行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
台灣地區死亡率模型的理論與實證研究
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2412-H-004-005- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立政治大學統計學系 計畫主持人： 余清祥 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 93 年 2 月 10 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
國科會專題研究計畫成果報告撰寫格式說明
Preparation of NSC Project Reports
計畫編號：NSC 91－2412－H－004－005
執行期限：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：余清祥 執行單位：國立政治大學統計系
一、中文摘要 死亡率的變化關係到社會福利與政策的 制訂，尤其是死亡率改善幅度快速的台灣地 區，死亡率預測的正確性影響至鉅。然而與 多數近年經濟突飛猛進的國家類似，台灣地 區的死亡率記錄過去並不完整（例如：1950 年代最高年齡組為 70 歲，1960 年代為 80 歲，1980 年代為 85 歲，1990 年代為 100 歲） 或有瑕疵(例如：1994 年以前嬰兒死亡率的 數字)，適用於歐、美、日等已開發國家之死 亡率模型不見得適合，由 Yue, Hu, and Chang (2001)台灣高齡人口死亡率模型的實證研究 可見一斑。 本計畫首要目的為比較常見的死亡率模 型，包括 Lee-Carter、Heligman-Pollard、與關 係(Relational)等知名的參數模型，以及縱斷 面法與模型生命表等無母數方法，套入台灣 地區過去 50 年的死亡資料，尋找最符合台灣 狀況的 0 至 100 歲之死亡率模型。實證部分 中 ， 本 研 究 預 計 使 用 交 叉 驗 證 (Cross-Validation)評定模型的預測優劣；理論 部分也將探討如何修正既有的死亡率模型， 尋求最佳的估計法，使之能套用至不完整資 料。 關鍵詞：死亡率、預測、Lee-Carter 模型、 Heligman-Pollard 模型、關係模型、縱斷面、 模型生命表 AbstractMortality projection plays a critical role in designing social and welfare policies, especially for countries and areas like Taiwan with rapid mortality improvements. However, due to the incomplete data of the elderly
(which are common problems existing in most developing countries), directly applying frequently used methods, such as Lee-Carter and Heligman-Pollard models are highly questionable. See Yue, Hu, and Chang (2001) for a discussion of the mortality rates of elderly in Taiwan.
In this study, we will compare some well-known mortality models, including Lee-Carter model, Heligman-Pollard model, Relational model (parametric form), Cohort method, and Model Life Tables (nonparametric form), based on the 1951-2000 Taiwan mortality data, and try to find the method that can describe the mortality characteristics in Taiwan the best. Empirically, we will use cross-validation to judge which method has the best fit. Also, we will seek ways to modify the current methods and improve their estimation in the cases of incomplete data.
Keywords: Mortality Rates, Projection,
Lee-Carter Model, Heligman-Pollard Model, Cohort, Relational Model, Model Life Tables 二、緣由與目的 長久以來，死亡率的變化一直廣為大眾 關注，因其變化與人類壽命有非常密切的關 係 ， 其 中 學 者 Keyfitz (1985) 提 出 可 加 性 (Additive)及比例性(Proportional)的死亡率其 變 化 影 響 平 均 餘 命 的 想 法 ， 學 者 Pollard (1988)也推導出改變死亡率造成平均餘命的 變化公式，學者 Alho (1989)進一步證明在比 例性(Proportional)的死亡率假設下，死亡率 的變化與平均壽命間更有一對一(One-to-one) 的函數對應關係，由此可知死亡率與壽命間 的密切關係。近年來，台灣地區因醫藥衛生 進步、國民生活改善、醫療水準日益提升， 使得死亡率持續下降，國民平均壽命每年延
長的幅度依然可觀。以台灣地區居民西元 2000 年平均壽命為例，男性為 72.6 歲，女性 為 78.3 歲，較 1999 年仍有 0.2 歲的增加。壽 命的延長就個人而言，意謂退休後的人生規 劃延長；就社會而言，社會福利支出增加、 醫療資源負擔增加…等，死亡率降低之影響 可見一斑。 台灣地區死亡率的逐年降低與平均餘命 的增加，意謂老年人口增加及其比例的增 加，由於老年人口使用醫療資源的比例高於 其他的年齡人口，因此人口老化對社會福利 的規劃有非常大的影響。以西元 2000 年全民 健保高齡人口與非高齡人口醫療費用為例， 非高齡人口(0-64 歲)門、住診總計醫療費用 每人 11309 元，高齡人口(65 歲以上)門、住 診總計醫療費用每人 49632 元，高齡人口的 費用大約為非高齡人口的費用 4.39 倍。再以 行政院衛生署醫療保健支出統計(National Health Expenditure , 簡稱 NHE)為例，研究發 現 NHE 增長部分主要來自人口結構老化， 老年人不論就診率或醫療給付皆高於平均 數，因此估算老年人死亡率與社會福利規劃 息息相關。 關於死亡率的估算，台灣地區迄今尚無 死亡率模型的完整研究，國外已有許多關於 配適死亡率曲線模型的研究，較知名的方法 有 1980 年 Heligman-Pollard 模型估計澳洲的 死亡率曲線，與 1992 年 Lee 和 Carter 提出 Lee-Carter 模型預測美國的死亡率。本文即 以台灣地區未來死亡率的變化率趨勢為目 標，探討適合我國的死亡模型，提供作為預 測死亡率的參考依據。 因本文探討的是 0 歲至 84 歲的死亡率 變化，許多知名方法受限於僅適用部分年齡 (如 Gompertz 法則一般只用於成年人)，或受 限於模型配適不穩定(如 Heligman-Pollard 模 型有 8 個參數，通常在嬰幼兒年齡部分的參 數估計值不穩定)，因此本文僅考慮三種適用 於所有年齡且配適穩定的死亡率模型，計有 Lee-Carter 法、多項式迴歸法與多變量分析 方 法 ， 以 預 測 誤 差 為 比 較 標 準 。 其 中 因 Lee-Carter 模型廣泛使用於配適死亡率，但 尚無其配適方法在死亡率有散逸值(Missing Values)時的完整探討，本文將以電腦模擬研 究常用的配適方法，作為使用 Lee-Carter 模 型的參考。 三、Lee-Carter 模型的模擬研究 因 Lee-Carter 模型廣泛使用於配適死亡 率，但尚無其配適方法的完整討論。因此， 本節以電腦模擬研究三種配適方法在不完整 資料之下的優劣，作為使用 Lee-Carter 模型 的參考。 本部分的電腦模擬使用 S-Plus 2000 統 計軟體，以 Pentium-III 700MHz 個人電腦執 行，在重複模擬一千次之下計算 SVD、近似 法、WLS 三種配適方法的平均誤差，以誤差 大小判斷方法的優劣。誤差的評估方式有兩 種，定義如下： (1) 平 均 絕 對 百 分 比 誤 差 (Mean Absolute Percentage Error，簡稱 MAPE)
MAPE=
∑
= n t t t X n 1 1 ε 100 ×(2) 方 均 根 百 分 誤 差(Root Mean Square
Percentage Error，簡稱RMSPE)
RMSPE= 1 100 2 1 ×
∑
= n t t t X n ε 其中εt = Xt –Xt ∧ ，Xt為實際值，Xt ∧ 為配適 值。本文以SVD為基準，計算近似法、WLS 之誤差與 SVD 誤差的比值(Loss Ratio)在此 僅討論MAPE的結果所使用誤差比值 (LossRatio) ，因RMSPE的結果與MAPE類似，
在此僅討論MAPE的結果。 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 年齡組 比值 APP/SVD WLS/SVD 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 年齡組 比值 APP/SVD WLS/SVD 圖一、Lee-Carter模型之配適方法模擬比較 (上圖：男性；下圖：女性)
模擬結果(見圖一)發現，就男性而言，近 似法有最小誤差，WLS的誤差最大；女性結 果也類似，但近似法的優勢更加明顯。雖然 WLS原意在修正近似法，惟我們的模擬研究 發現卻適得其反，但是否可斷言 WLS 不適 用，則值得再進一步研究。以下實證分析中， 因為近似法較 SVD 簡單且模擬結果也不 錯，我們將以近似法為主，輔以 WLS 為比 較，作為Lee-Carter模型的配適方法。
四、實證分析
本篇文章引用的人口資料為內政部編印 的“中華民國台灣人口統計”(西元 1961 年 及1963年至1973年)以及“中華民國台閩地 區人口統計”(西元 1974 年至 2000 年)，其 中西元1950年至2000年的年中人口數(包含 男性與女性)、死亡人口數的資料(包含男性 與女性)。本文以西元1950年至1995年的資 料為基礎，1996 年至 2000 年的資料為檢測 對象，誤差比較以 MAPE 與 RMSPE 為標 準。對於預測誤差的好壞判斷，Lewis (1982) 建議以 MAPE 大小將模式預測能力分為以 下四個等級： MAPE <10% 10%~20% 20%~50% >50% 預測 能力 高精確 度 良好 合理 不正 確 預測誤差愈小，表示模式愈佳。RMSPE 因 為有平方項的關係容易受離群值（Outlier） 影響，但是仍可仿照上述之等級判斷之。在 以下的預測誤差探討，因 RMSPE 的數值與 MAPE類似，僅以MAPE的結果為代表。 0 10 20 30 40 50 1 4 7 10 13 16 年齡組 平均絕對百分比誤差 Approximate WLS Regression Multivariate 圖二、男性死亡率MAPE預測誤差比較 0 10 20 30 40 50 1 4 7 10 13 16 年齡組 平均絕對百分比誤差 Approximate WLS Regression Multivariate 圖三、女性死亡率MAPE預測誤差比較 使用比值法的高齡年齡組，一如Yue et al. 預測西元1993至1997年65歲及65歲以 上高齡死亡率的結果，其預測誤差最低；在 其他年齡組，除了幼齡組(5至14 歲的兩組) 誤差超過20%外，多變量方法的誤差大約都 在10%以內，其平均男性的預測誤差(MAPE 及 RMSPE)在四種方法中最小者，女性的預 測誤差則以WLS最小。 除了上述以西元1996至2000年的資料 驗證死亡率模型的優劣外，我們也以新近公 佈的西元2001年死亡率資料，檢測多項式迴 歸以外的三個較佳模型。由2001年整體結果 可知多變量法仍略優於近似法、WLS法，與 1996 至 2000 年結果類似。因此我們建議可 使用多變量方法預估全年齡的死亡率，其配 適方法不但操作容易，預測誤差也優於常用 的Lee-Carter模型。 五、計劃結果自評 為瞭解台灣地區的人口老化，本文引用 (近似法及WLS配適的) Lee-Carter模型、多 項式迴歸法與多變量方法探討死亡率的變 化，希冀找出較適合台灣死亡率的模型。本 文以西元1950至1995年資料為基礎建立模 型，西元1996至2000年資料為驗證對象， 發 現 多 變 量 方 法 及近似法、WLS 配適的 Lee-Carter 模型的預測誤差非常接近，優於 多項式迴歸法。因為多變量方法的配適較為 簡便，讀者可在配適台灣地區死亡率時作為 Lee-Carter模型外的另一種選擇。 除了本文探討的死亡率模型，仍有其他 模型可供參考。例如 Willet (1999)以英國 1911-1997 年 死亡率的改善幅度資料為基 礎，發現死亡率的改善幅度以微波的方式前 進，若可以找出死亡率的改善幅度前進的趨勢，即可預測出未來死亡率改善幅度，進而 預測死亡率。改善幅度的配適可藉由縱斷面
法(Cohort Method)，先建立同一世代的各年
齡組死亡率，再計算各世代間的改善幅度。 六、參考文獻
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