從圓到橢圓：克卜勒行星定律的排序與軌道圖像之探討
邱韻如
長庚大學 通識中心 yjchiu@mail.cgu.edu.tw （投稿日期：民國 108 年 05 月 22 日，接受日期：108 年 06 月 11 日） 摘要：克卜勒三大定律是物理課程重要的概念之一。在發展的過程中，克卜勒是 先確定等時間掃過等面積的第二定律之後，才發現火星軌道其實是橢圓的，和目 前教科書上的順序顛倒，也就是說，現行教科書把後發現的橢圓律稱為第一定律， 先發現的面積律稱為第二定律。除了順序問題之外，在陳述克卜勒前兩定律時， 為強調行星軌道是橢圓的，絕大部分的物理教科書所畫的橢圓軌道，離心率大都 超過 0.5 以上，甚至是高達 0.8 的長橢圓，導致許多學生誤以為太陽系行星的軌道 都是長橢圓。另一方面，講到第三定律時，許多教科書把軌道畫成圓的，但卻以 哈雷彗星為例來說明此定律。本研究從科學典籍與圖像出發，探討教科書的繪圖 表徵所引起的迷思概念，提出其對物理教與學的影響及相關問題。從三方面來探 討：(一) 從古希臘到十七世紀，行星軌道從圓到橢圓的演變歷程及其圖像表徵。(二) 從克卜勒前兩定律的順序被翻轉，探討教科書的物理定律陳述與實際歷史發展之 歧異。 (三) 從教科書中與橢圓軌道相關的繪圖表徵及其相關的迷思概念，提出適 切的教學表徵教學建議。 關鍵詞：橢圓軌道、科學史、科學圖像表徵、迷思概念、教科書壹、 前言
筆者在幾年前發現，克卜勒提出的行星橢圓軌道，對一般人來說，根本圓到看不出是橢 圓1。然而，絕大部分課本上的軌道圖，都畫得非常橢圓，導致大眾都誤以為太陽系行星的軌 道都是長橢圓。之後，筆者又發現現行物理教科書中，克卜勒前兩個行星定律的排序與其發 展的順序相反，因此耙梳史料與典籍，以探究竟。 克卜勒三大行星定律的前兩個，寫在 1609 年出版的《新天文學》（Astronomia nova）裡 ，這是他自 1600 年以來和火星奮戰的成果；第三定律直到十年後出版的《世界的和諧》（ Harmonices Mundi）裡才出現，並延伸到太陽系的其他行星。在發展的過程中，克卜勒是先 確定等時間掃過等面積的第二定律之後，才發現火星軌道其實是橢圓的，現行教科書把後發 1 邱韻如(2012)，〈克卜勒的行星橢圓軌道有多橢？〉 10.6212/CPE.201907_20(1).0001現的橢圓軌道律稱為第一定律，先發現的等面積律稱為第二定律。在探討過程中，筆者繼而 注意到許多物理課本或坊間查詢到的行星軌道圖，不僅畫成很明顯的橢圓，其太陽的位置也 常不在焦點上。本文分三方面探討：一是從地心說到日心說的同心圓宇宙圖像；二是克卜勒 前兩個定律的順序；三是調查學生橢圓軌道概念，探討教科書圖像對教學的影響。
貳、 從地心說到日心說
一、細觀各個同心圓
一般常見的托勒密宇宙體系圖像，如圖 1，是以地球為中心的同心圓，每個圓軌道的半 徑大約呈等差的關係。實際上，在古希臘時代就已經知道行星的逆行現象2，為解釋其觀測結 果，在如圖 1 這般完美的同心圓上，還有「本輪」(epicycle)和「均輪」(deferent)的設計：行 星繞著本輪轉，此本輪又繞著均輪轉3；地球並非位於均輪中心4，而是有一段「偏心距」（圖 2）。只要計算出每個行星的本輪均輪大小、偏心距大小，就可成功預測行星的運行。以火星 為例5，托勒密的火星本輪與均輪的半徑比是 39.5：60，大約是 2：3。 圖 1：托勒密的宇宙體系(Peter Apian's geocentric cosmology from Cosmographia, 1524.) 圖 2：本輪均輪簡易模型 (作者 繪) 圖 3：1580-1596 年間以地球為中 心的火星軌跡。(Kepler’s Astronomia nova, Ch1,1609) 哥白尼在《天體運行論》一書中，大膽的把宇宙中心置換為太陽，繼續使用圓軌道及本 輪6，並列出各行星相對於太陽的運行數據。圖 4a 是 1543 年《天體運行論》印刷版的日心模 型，哥白尼在此同心圓圖上標注各行星軌道週期的大約值：土星 30 年、木星 12 年、火星 2 2 以火星為例，大約每兩年會逆行兩個月。 3 邱韻如(2018)，〈克卜勒的火星任務〉。 4 因此，「均輪」又稱為「偏心圓」。 5 哥白尼，《天體運行論》，中文版，p46，註 116 哥白尼在 1514 年撰寫的《小評》(Commentariolus)上說他「只」用了 34 個圓。Berry《A Short History
年、地球和月亮 1 年、金星 7 個半月、水星 88 天，並在文章中提及「週期與軌道圓大小成 比例」。仔細察看，發現這些圓軌道的半徑並非如圖 1 般成等差增加，而是越外圍增加得越 多，但未根據與週期成比例來繪製。2005 年出版的中文版（圖 4b），各行星軌道圓的半徑比 例，和哥白尼原著（圖 4a）有差距，再仔細看，發現圈數也不相同。繼續追查，找到哥白尼 的手稿（圖 4c），發現手稿圖沒有月繞地的小圓，各行星的軌道半徑增量及圈數也和前兩圖 有差異。較符合比例繪製的是克卜勒在《世界的和諧》第五卷所畫的太陽系行星軌道圖（圖 5）及弗龍堡大教堂裡的哥白尼墓（圖 6）。 (a)1543 年 印刷版 (b) 2005 年 中文版 (c)哥白尼手稿 圖 4：日心模型(Copernicus' De revolutionibus orbium coelestium,1543.)
圖 5：克卜勒所繪行星軌道。
(Kepler’s Harmonices mundi, libri V, Ch3, 1619.)
圖 6：哥白尼墓，位於波蘭弗龍堡大教堂 (Frauenburger Dom)。(作者拍攝)
二、克卜勒與火星的戰爭
克卜勒根據第谷的觀測數據，與火星鏖戰了五年。他在 1609 年出版7的《新天文學》第 一章，畫出 1580 年到 1596 年間以地球為中心的火星運行軌跡（圖 3）8，接著一一討論分析 托勒密、哥白尼及第谷三種模型對火星運動位置所做預測的準確度，他歸納出這三個系統其 實都是差不多的，只是觀察點不同而已9。克卜勒選擇哥白尼體系，發明了所謂的「跨週期量 天術」10，先用逐日測得的地日距離與角度，找到地球繞日等時間掃過等面積的定律，繼而 找到火星繞日的等面積律。之後，他才發現，火星的軌道形狀與圓不太吻合。起先，他以為 是杜勒(Dürer,1471-1528) 所說的「卵形」(ovals)，接著推測是在卵形和圓形之間。之後，他 靈光一閃想到橢圓，發現竟然吻合。1605 年 10 月 11 日他寫信給天文學家友人大衛·法布里 奇烏斯11，宣告路徑是個完美的橢圓。
So, Fabricius, I already have this: that the most true path of the planet [Mars] is an ellipse, which Dürer also calls an oval, or certainly so close to an ellipse that the difference is insensible. 12
參、 前兩個定律的順序
筆者在閱讀咸豐年間出版的《談天》一書時，赫然發現等面積律竟寫在橢圓律的前面， 其排序與現行物理教科書不同： 一曰歷時同則星日距所過面積亦同。二曰諸行星皆行橢圓道，以日為橢圓之一心。三 曰諸行星距日中數與周時有公比例。（《談天》卷九） 為確定前兩個定律的順序，筆者展開追查，除了閱讀克卜勒《新天文學》之外，也追查 幾本天文及物理教科書，企圖找出是從何時開始，兩個定律順序被翻轉。一、
《談天》與其底本《天文學綱要》
《談天》是最早把西方近代天文學引入中國的一本書，於咸豐九年(1859 年) 刊行，由 傳教士偉烈亞力口譯，李善蘭刪述，徐建寅續述，全書共十八卷。這本書的底本是約翰赫歇 爾（John Frederick William Herschel, 1792-1871）13的《天文學綱要》（Outlines of Astronomy）
第四版(1851 年)。
7 因為與第谷後人間有數據產權的爭議，延遲到 1609 年才出版。
8 他稱此圖為「四旬齋節椒鹽餅」(panis quadragesimalis)。四旬齋節是從復活節往前 40 天這一段期間，
椒鹽餅(pretzel)最早出現在德國南部，是四旬齋節期間分送給小孩的食物。(《追蹤哥白尼》，p73-76)
9 Simonyi, A Cultural History of Physics. pp.190, 2012.
10 項武義、張海潮、姚珩，《千古之謎－幾何、天文與物理兩千年》，Ch4。
11 大衛·法布里奇烏斯（David Fabricius，1564 -1617）德國牧師、天文學家。他和長子約翰內斯·法布
里奇烏斯（1587-1615）一起用望遠鏡確認了太陽黑子的存在。克卜勒和這對父子密切通信。
12 克卜勒全集第 15 卷 (Johannes Kepler Gesammelte Werke, Vol. 15), letter 358: a letter to David Fabricius
from 11 October 1605.
13 《談天》將作者名譯為侯矢勒約翰。約翰·赫歇爾是天文學家威廉·赫歇爾(William Herschel,1738-1822)
《天文學綱要》這本書在當時非常暢銷，1849 年初版，在約翰·赫歇爾生前共發行了 11 版，身後還有「新版本」(new edition,1875)出版。筆者查閱 1875 年的版本，克卜勒的面積律 是「第一」，橢圓律是「第二」，如下：
To begin with the first law, that of the equable description of areas…. (art.490)
The second law of Kepler, or that which asserts that the planets describe ellipses about the sun as their focus, …. (art.491)
二、貝瑞《簡明天文學》
知名科學史家貝瑞(Arthur Berry, 1862-1969)的《簡明天文學》（A Short History of Astronomy），1898 年初版，是當時很有名的教科書。此書在 Art 140 敘述克卜勒發現前兩定 律的歷程時，是先述及其發現火星軌道是橢圓，太陽位於橢圓焦點，才說到火星離太陽近時 移動快，離太陽遠時移動慢，進而才提出所謂的面積律。貝瑞以 Fig 59（圖 7a）講解橢圓的 焦點及離心率，然後以 Fig 60 介紹克卜勒第二定律（圖 7b），並在該圖下方特別說明此圖的 離心率大約是 1/3，是為凸顯而誇張繪圖，實際火星的軌道離心率僅有 1/10。在這兩個圖之 後，貝瑞於 Art 141 列出前二定律（圖 7c）。筆者不敢斷言最早把橢圓律稱為第一定律的就是 這本書，只能說在此書之後，筆者找到的書都將橢圓律稱為第一定律。
肆、 行星軌道的形狀
一、現今教科書上的橢圓軌道
實際根據從表 1 的離心率來繪圖，可以發現，太陽系的行星軌道雖是橢圓，但其實看起 來很接近圓。許多教科書為了強調是橢圓而不是圓，都把圖畫得很誇張，但卻沒有註明其圖 未按比例繪製，導致讀者誤以為行星的軌道很橢圓。 彗星軌道非常橢圓，例如哈雷彗星的離心率大約是 0.967。在克卜勒時代，尚未把彗星 與行星的運行歸為同類，克卜勒可能也沒想過，他的行星定律竟然也適用於彗星。 表 1: 太陽系六行星及哈雷彗星軌道資料 與太陽的距離(AU) 行星 離心率 近日點 Perihelion 遠日點 Aphelion 平均 水星 0.206 0.31 0.47 0.39 金星 0.007 0.72 0.73 0.72 地球 0.017 0.98 1.02 1.00 火星 0.093 1.38 1.67 1.52 木星 0.048 4.95 5.45 5.20 土星 0.056 9.04 10.12 9.58 哈雷彗星 0.967 0.95 35.10 17.84 圖 8：六種離心率不同的橢圓在網路上搜尋與「行星軌道」相關的圖片，可以看到大多數橢圓軌道圖像都是不對的。 圖 8 是六種不同離心率的橢圓（已標示出其焦點位置）。表 2 是幾本普物課本裡的橢圓軌道， 圖 9 是表 2 裡其中四本教科書上的圖，可以看到除了離心率都不小之外，太陽的位置幾乎都
不在該橢圓的焦點處。此外，筆者還發現，有些課本在講前兩定律時，把軌道畫得很橢圓， 但講到第三定律時，軌道圖常常變回很圓，這期間的矛盾卻少有人提出。有的教科書，講的 是「行星」，講到第三定律時，卻以彗星當例題，但未說明克卜勒定律適用於行星和彗星。 表 2: 某些教科書中的克卜勒定律橢圓軌道示意圖 教科書 克卜勒前兩定律示意圖 第三定律 No Code 離心率 太陽位置錯誤率
1 TBU_K e= 0.81 error= 54% circular 2 TBU_Y e= 0.71 error= 31% none 3 TBU_M e= 0.25* error= 0% none 4 TBU_B e= 0.41* error= -13% circular 5 TBU_H e= 0.82* error= 9% circular 6 TBU_G e= 0.67 error= 33% circular 7 TBH_CW e= 0.78 error= 33% none 8 TBH_HL e= 0.71 error= 36% none * 圖說有特別註明該圖是誇張畫法
二、學生的地球繞日軌道圖像概念
筆者為瞭解學生的行星軌道圖像概念，設計了一份地球繞日軌道試卷。測驗的對象有兩 群，樣本 A 是 90 位大一理工科系學生，樣本 B 是 74 位高一科學班學生（已學過高一物理的 克卜勒定律單元）。筆者請學生在試卷上選擇最接近地球繞日的軌道後，再在其選擇的軌道 圖上標示出太陽的位置（圖 10）。正確答案應選「A」（參考表 1 的離心率），且太陽位置幾 乎在中間。從結果（表 3）看到，大多數學生並不知道地球繞日軌道其實非常接近圓，選擇 D 和 E 的人數最多，且太陽位置幾乎都不在其選擇橢圓圖的焦點位置。 圖 10：行星橢圓軌道問卷用圖 表 3： 地球繞日軌道形狀測驗 人數(*) 軌道類型 樣本 A 樣本 B A 1 2 (2) B 6 8 (1) C 3 4 D 23 (1) 19 E 47 (1) 34 F 10 7 合計 90 74 *刮號內是把太陽位置標示在該橢圓焦點位置的人數
伍、 問題與討論
一、從地心到日心
自古以來，天文學家們仰望星空，企圖找出行星們的運行規律。常見的托勒密地心說圖 像，並未在同心圓上畫出本輪、均輪、偏心點等結構，這也無可厚非，畢竟這已是「過時」 的理論。哥白尼日心說與托勒密地心說所選擇的參考點不同，但以其理論推算與觀測數據的 密合度來看，托勒密的密合度反倒較高，這是值得我們尊敬的。比較圖 3 和圖 4 的火星運行 圖像，可以想見，要把地球上的觀測數據轉換成地球會公轉的日心體系，並不是件容易的事。二、日心說圖像的各軌道半徑
比較三個哥白尼太陽系圖像（圖 4a,4b,4c），可以看到軌道間距及軌道圈數都有差異， 可見從手稿到印刷，從原文到翻譯，圖像的繪製有出入，值得注意及繼續探究。哥白尼在《天 體運行論》提到，軌道的半徑大約和行星週期成正比，當時已掌握行星週期了。雖然克卜勒 已呈現出依軌道半徑比例繪圖的太陽系圖像（圖 5），哥白尼的墓碑也是依半徑比例繪圖（圖 6），但是教科書與坊間目前流傳的太陽系圖像，絕大多數都還是把土星和木星畫得太靠近 太陽，未依比例，且未告知其未依比例。 太陽系行星中，不管是行星體積還是軌道半徑，在天王星與海王星加入太陽系團隊後， 大小的差距更顯鉅大，要大致依照比例繪圖，需要特別的呈現方式；例如為呈現哈雷彗星軌 道，只畫外行星（圖 11），地球與內行星則要另繪圖表示。 圖 11：哈雷彗星軌道與外行星的關係（作者繪）三、行星軌道的圖像
克卜勒將圓改成橢圓，是破天荒的突破，為了強調橢圓，大部分教科書把前兩個定律畫 得很橢圓，但卻「忘記」提醒讀者，他們並未按比例畫圖。矛盾的是，講到第三定律，卻又 常常把軌道畫成圓。此外，也少有人在此提出質疑，如果軌道是那麼橢圓，為何克卜勒之前 的天文學家都沒有發現。 火星軌道看起來真的很圓。在教學上應該不是故意畫得很橢來提醒學生它不圓，而是強 調為何克卜勒能看出它不是正圓，以及引領學生提出問題，例如： 為何克卜勒之前，沒有人發現是橢圓？ 為何這麼圓，克卜勒卻能看出是橢圓？ 行星軌道的橢圓和圓的這一點點差距，在天文學上有多大的意義及啟發？ 筆者想到與橢圓軌道有關的兩個例子：季節的更迭與火星衝，提供參考。 因地軸傾斜，夏天時太陽直射北半球，冬天時直射南半球，許多教科書畫了地繞日的橢 圓軌道來解釋，反倒讓學生很不理解，因為北半球夏天時太陽與我們的距離反倒比冬天時還 遠，如果學生知道其實軌道還挺圓的，就比較能夠接受。 去年（2018 年）七月底，正好是火星大衝，火星距離地球最近，火紅得在天上閃耀。地 球繞日的週期是一年，火星則為 1.88 年，當日地火三者排成一線時（地球在中間），稱為火 星衝（Mars oppositions, 圖 10)。以太陽為中心，畫出地球及火星繞日軌道後，可以看到火星 軌道的「橢圓」被彰顯出來了。 圖 10：火星衝（作者繪）14
14 Mars oppositions 2010~ 2022, by Deborah Byrd in TODAY'S IMAGE , May 22, 2016
四、克卜勒前兩定律順序顛倒的啟發
從邏輯推理來看，先定義軌道形狀是橢圓，再講等時間掃過等面積的面積律，似乎比較 合理。探討科學史，讓我們瞭解定律的發展是經過漫長的歲月。早在古希臘時代，學者們已 經發現行星運行的速率會有快慢變化及逆行現象，發明了本輪、均輪還有偏心距等來描述行 星運動，以後見之明來看，橢圓的特性其實已經呼之欲出。克卜勒選擇太陽為中心，把從地 球上觀測的數據轉換為日心的數據，他推算出行星繞日的速率會變化，發明所謂的「量天術」 找出所謂的面積律，最後才進而發現軌道的形狀並不夠圓，關鍵在於他所掌握的第谷觀測數 據夠精確。 不只是克卜勒行星定律，物理課本上許多定律，都和科學史上的發展有歧異，物理教師 應該要有此認知。五、教學上的建議
課本上或坊間許多比例不正確的圖像，造成了我們對行星軌道圖像的迷思。筆者提出兩 個教學相關活動供參酌：動手作圖及數據模擬。 很少學生實際親自動手畫過橢圓。教師可以引導學生動手畫橢圓，讓他們真正體驗橢圓 離心率和焦點的關係。還可以讓學生根據實際天文數據（例如表 1）按照比例來畫太陽系圖 像。 再進一步，可以讓學生透過數據模擬方式探討地球和火星的互動關係，以及地心說與日 心說的轉換。可以搜尋或製作火星和地球繞日的動態圖（圖 10），引導學生思考以地球為中 心時，所觀測到的火星軌跡（圖 3）；或者引導學生思考與探究，從以地球為中心觀測某行星 的數據，如何轉換成以太陽為中心的系統15。陸、 結論
絕大多數教師及學生的史觀，是透過教科書建立的。透過科學史的研究與典籍的閱讀， 常讓我們驚覺教科書的敘述與真實歷史發展的差異是如此之大。 克卜勒本人並沒有以定律一二三的形式表述他的發現，是後世天文學家把他歷經近二十 年的成就整理簡化成三大定律，以與牛頓三大定律對應16。克卜勒前兩定律的順序，和其發 展順序是相反的，第三定律則是十年後才出現在另一本書《世界的和諧》上，這也是絕大多 數教科書沒有告訴讀者的。特別一提的是，今年(2019 年)正是《世界的和諧》出版 400 週年， 筆者翻閱此書，除了寫下所謂的克卜勒第三定律外，這本書還充滿了音樂，但限於筆者的音 樂程度，目前還無法進一步瞭解此書。 筆者不敢斷言是從何時或哪一本教科書開始翻轉前兩定律的順序，目前只能說大概從二 十世紀初開始，教科書幾乎都是把後發現的「橢圓律」列為第一，而先發現的「面積律」排 序為第二。如此排序翻轉，已積重難返，但卻可以在得知此事實之後，藉機回顧與探究克卜 勒當年發展這些定律的歷程。 15 Timberlake, T. K. (2013) 介紹托勒密、哥白尼與第谷三種不同系統的數據模擬轉換的教學活動。 16 金格瑞契，《追蹤哥白尼》，p197。
教科書的插圖在科學學習上扮演很重要的角色。以本研究為例，絕大多數人腦海裡的太 陽系行星軌道圖像，都與實際相差很多，包括形狀其實沒那麼橢圓、太陽的位置沒畫在焦點 上，以及各行星軌道的半徑差異等。錯誤的圖像，以訛傳訛，造成許多迷思與誤解，教學上 應提出與糾正。反方向來思考，從這些各式各樣未依比例繪圖且彼此矛盾的圖像中，可以設 計許多值得探究與實作的議題，引領學生閱讀相關資料、找出矛盾、提出問題、實際作圖或 數據模擬等等。
致謝
感謝長庚大學 BMRP922 支助，特致謝忱。參考資料
1. 克卜勒著、張卜天譯 (2005)，《世界的和諧》，臺北：大塊文化。 2. 江曉原(1994)，〈托勒密評傳〉，《世界著名科學家傳記 天文學家 II》，科學出版社。 3. 邱韻如(2012)，〈克卜勒的行星橢圓軌道有多橢？〉，《科學月刊》，43(7)，p492~493。 4. 邱韻如(2018)，〈克卜勒的火星任務〉，《科學月刊》，49(4)，p264-267。 5. 金格瑞契(Owen Gingerich)著、賴盈滿譯(2007)，《追蹤哥白尼：—部徹底改變歷史但沒 人讀過的書》，臺北：遠流出版。 6. 侯失勒撰、偉烈亞力譯、李善蘭刪述、徐建寅續述(1859)，《談天》，續修四庫全書。 7. 姚珩、黃秋瑞(2003)，〈克卜勒行星橢圓定律的初始內涵〉，《科學教育月刊》，期 256， 頁 33-45。 8. 哥白尼著、張卜天譯(2005)，《天體運行論》，臺北：大塊文化。 9. 項武義、張海潮、姚珩(2010)，《千古之謎－幾何、天文與物理兩千年》，臺北：台灣商 務印書館。10. Berry, A. (1898). A short history of astronomy. London: Murray.
11. Caspar, M. (1959). Kepler, trans. and ed. C. Doris Hellman, New York.
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19. Timberlake, T. (2013). Modeling the History of Astronomy: Ptolemy, Copernicus and Tycho. Astronomy Education Review, 12 (1), 010201.
From Circular to Elliptical: Exploring the Sequence and
Related Illustrations of Kepler's Laws of Planetary Motion
Yun-Ju Chiu
Chang Gung University yjchiu@mail.cgu.edu.tw
Abstract
Kepler’s three laws of planetary motion proposed in 1600s are famous and important in physics course. However, the sequence of the first two laws in physics textbooks is in reverse order, different from their historical context. The second law, about the equal area in the same time interval, was in fact arrived first. Then, Kepler found the orbit an ellipse, which is now called the first law. Additionally, most textbooks emphatically point out that planetary orbits are elliptical in the first two laws and illustrate elliptical orbits of large eccentricity to strengthen the concept. These exaggerated illustrations lead students to mistake that most planetary orbits are long ellipses. Actually, very different from the illustrations of elliptical orbits in textbooks, most planetary orbits are nearly circular. On the other hand, textbooks usually use circular orbits to state the third law. In an odd way, some textbooks use the orbit of Comet Halley as an example to interpret the third law. The aim of this study is to bring forth some enlightenment of teaching and learning from exploring the representation of improper scientific illustrations and related misconceptions on the concept of ellipse and the elliptic orbits. The study will discuss from several aspects:(1) to understand the historical development and the graphical representations about planetary orbits from ancient Greece to 17th century; (2) to explore the disambiguation between the sequence of the first two laws and their historical context; (3) to find out some improper illustrations from the modern textbooks and then design some questionnaires to probe further related misconceptions.
Key words: elliptical orbit, history of science, representation of scientific illustrations,
