Mathematical Excalibur, Volume 3, Number 2

Volume 3, Number 2

Olympiad Corner

The Ninth Asian Pacific Mathematics Olympiad, March 1997:

Time Allowed: 4 hours.

Each qu自tionis w叮曲 7points. Problem 1. Given 1 1 S=l ＋－一－＋一一一一一＋ J+l l+l+l 3 6

1

＋－－－－－一一一

.

J+l+.1 ＋·＋一_L一， 993006

where the denominators contain partial sums of the sequence of reciprocals of triangular numbers. Prove that S

>

1001.

Problem 2. Find an integer n, with 100

2”+2

$

n

$ 1997, such 曲at 一一一－ is also an n

integer.

Problem 3. Let ABC be

insαibed in a circle and let

a triangle

l - !!!:2_ l - .!!!!?_ l 一旦旦－ a - • ’ , b - .’， c 一直’，

, r , a , r i b ' " C

(continued on page 4)

Editors: CHEUNG Pale-Hong, Curr. Studies, HKU KO Tsz..Mei, EBE Dept, HKUST

田間GTat-Wmg,A(:p. M油D啊， HKPU

LI Kin-Yi且，MathDept, HKUST NGKeng p。 Roger,ITC, HKPU Artist: YEUNG Sau-Ying Camille，卸fFA,CU Ackno＂喝edgment：官1anksto Catherine NG, EBE

Dept, HKUST for gen位al 祖sistance.

The edit恆s welcome contributions from all

岫chers 組d students. With y個II submi回ion, pie甜einclude your nar尬， addr自s,school, en祖ii,

telephone and fax 且，umbers (if available). 目前tronic submissi。”，呵>eciallyin MS Word 缸e encouraged.τ'he deadline for r血eivingn凶erial for the next issue is July 10, 1997.

For individual subsαiption for ihe remaining issue for the 96-97 academic y臼L send us a stamped

se!f-addr自sed envel中e. Send all corre中onde且自 t。：

Dr. Kin-Yin Li Department of Mathematics

Hong Kong University of Science a且dTechnology

Clear Water Bay, Kowloon, Hong Kong

Fax: 2358-1643 I Email: makyli@uxmail叫1k

乞似““~

March-May, 1997

由圓周率到四年一

香港道教聯合會青松中學 梁于傑

閏

有時，一個簡單的電腦程序，就可以令 我們發現不少有趣的數學現象，以下便 是一個好例子 ： PROO恥Mrati翎赴刑﹔﹛叩岫 inMS QuickPascal} VAR

nurner, denom : Lo且glnt﹔

devi,n世且， real＿且o:Double;

BEGIN

min:= 10﹔ real_n，。：＝ pi﹔ FOR de且om:= 1 TO 50000 DO

BEGIN

numer := round(r臼1_.n。•denom); devi := abs(nurner/denom -real』且o）﹔ !Fdevi <m扭扭IBN END END. BEGIN min :=devi; wrr能ln(numer，＇尸， denom) END 這個程序是用來尋找圓周$π的有理數近 似值的。程序令分母（ den。m）由 1 開始 ，先計算出最接近的分子（ numer ）的數 值，然後計算出遺個有理數近似值 (numer/den。m ）跟圓周率的偏差 (devil ，如果偏差比以前的小，就將該 有理數印出來。 不出兩秒趟，電腦就會計算出結果： 的， 1駒， 1師， 1駒，留7, 17明7，卻1劇， 22371, 2紹78, 街路，鈞燄泣， 311閣，認3'100，濁的1武位1翩翩)4, 間的ol17, 52873'1帥，民間1倒3,··· 從以上的結果，我們不難發現這個現 象：並不是每當分母增加時，所計算出 來的有理數近似值就一定較準確，好似 當分母介乎於 8 至 56 之間時，以 7 作為

分母的近似值就比它們駕車確了。

如果大家細心地觀察一會，相信亦會發 現在遺些分母之中，出現了一些「跳 躍」的現象，好似由 7 跳至57 、由 113 跳 至 16604 等。再留心看看，每次跳躍之 後，分母增加的幅度亦有關係： 7之後的 57 、 64 、 71 等，就相隔 7 ﹔ 113 之後的 16604 、 16717等，就相隔 113 。同時分子 亦有相類似的關係。奇怪嗎？為甚麼會 有遺個現象出現呢？ 要解釋以上的現象，我們就需要認識一 個很特別的表達數值的方法，它就是 「連分數」（continued 企action）。所謂 「連分數」就是利用一連串的倒數來衰 連一個數的數值，例如： 1057 _ 61 _ 1 一一一－－498 一＂＂＇ 498 一缸， 498 61 一，一』一一 -... 10 -... 1 IS+- IS ＋－一－－－：－一 61 ,. . 1 一一 10 我們並且用這個記號來表示以上的結 1057 果：一一一＝﹝2﹔8,6,10﹞。 498 到了今天，數學家經已發現了很多有關 連分數的性質，其中一項就是「漸近分 數」的現象。以上述數字為例，如果我 們逐次選取連分數中部份的數字，即

仲 2,

[2;8]=

2十三

，

帥，6﹞＝

2＋」「＝埠，﹝2﹔肘，10﹞＝ I里，

8 ＋一「T-' -·T-''-" 6 所得到的一列分數，就叫做 q部份連分 數」。我們可以證明 r 部份連分數」是 一列越來越漸近原本數值的分擻，換旬 話擒，在數列中每一個分數都可以表示 為原本數值的約數，而且後者的車雄性 會比前者佳﹔當然，後者分母的數值卻 比前者的大，應用起來就不及前者方便 了。 回到上面電腦程序的結果，哉們發現如 果將圓周率π表示威連分數的話，我們有 π ＝﹝3﹔7,15,1,292,1,1, ... ) 0 （因為圓周率是

一個無理數，它的連分數費遠式自然是

無窮盡的。）寫出π的部份連分數，我們

都﹞＝

3,

[3﹔7﹞＝手， p

﹔

355 103993 β久的，1﹞＝一一， [3;7,15,1,292﹞＝一一一一， 33102 等等。而這些部份連分擻，不是和電腦 程序計算出來的結果相岡嗎？ 不過，電腦程序計算出來的結果卻比 「部份連分數」為多，這是因為部份連 分數的現象祇是一個充分條件，而不是 一個必要蝶件，所以「部份連分數」並 不是一個完整的漸近分數的數列。雖然 如此，一個完整的數列亦可以利用「連

分數」來衰違出來。留意于＝ β﹔4

＝﹝3﹔5﹞，守＝ β﹔

w-

=[

，菩

＝﹝3﹔7,

9﹞

等等﹔

不難看出，每當分母增加至和「部份禮 分數」相間的數值時，下一個漸近分數

空盤e2

>

老師不敦的幾何〈

張百康 Mathematical Excalibur, Vol. 3, No. 2, Mar-M帥， 97

弧上的圓周魚。所以 LB1AP =

LC,A.3P z 同理， LC1AP= LB,A.3P 。

這兩結果告訴聽們： LBAC

=

LB,A.3C3 ； 同理， LACB= LA3C3B3 和

“

BC= LA3B3C3 。因此三角形 ABC 和 A3B3C3 相似。顯而易見，踏根三 角形有下列周期，陸＝ 心4.BC- M3B3C3 - M6B6C6~..., 心4.1B1C1-M,Jl4C4 - M1B1C1 - .. · 和心4.2B2C2- MsBsCs - MsBsCs ～．．．。 如果踏極點在三角形 ABC外部時， 這周期性還成立嗎？答案在一般 情況下是肯定的，大家可參考上 述證明加以修改便可。有沒有例 外情況？如果大家懂得用互動幾 何軟件如 Cabri Geometry 或 Geometer

’

s Sketchp祉，還是一個有 意義的探究活動。通過探究，犬

家應該發現 E 如果踏根點P在三角

形 ABC 的外接圖上，則踏根三角形 A1B1C1 退化為一直線，也沒有其他 的踏棍點使踏根三角形退化為直 轍。遺直線稱為辛姆生線（Sims個 Line）。辛姆生 (Robert Simson）是十 七、人世紀的數學家，但後人在 他的著作中找不到這性質的證明， 反而是 William Wallace 在 1797 年發 表了下列證明 z 我們較早前碰過的垂足三角形 (or也ic triangle）和中點三角形 (medi泌的angle）有甚麼共同的性質 呢？大家請重溫一下這兩個三角形 （團一〉。 半個一應 一一的數 的下的海 」’弓 ， “民 U

數日而織

分院卜的刑

蛤閱巳 u t ！弓 ， M 裁軍 A

心叭叭

ω

幻的一側

門－－

3

_叭如

EJ

吋 l ︱’、三可且，－ rbL 臼 na 團圓司 3 －’ i 司3AW 恤， HK

斗卜劇故川川

下如數，們既 由例分 Mt 會。連於口 將始份等於 就開部半等

白

：﹔：：：土

叮

。只~

設 A1 、 B1 、 q 共線（圖四），則 必B1C1 和 LA1B1C 為對頂角，所以 相等。已知 LPA1C=LPB1C= 90。及 LPB1A

=

LPC1A

=

90。，所以 p 、 Ai 、 c 、 Bi 四點共圖，且 p 、 Bi 、 C1 、 A 也共圖。由此推出 LA1PC= LA1B1 C = LAB1C1 ＝此間。並且， LPA1B

=

LPC1B

=

90。，所以 p 、 Ai 、 B 、 C1 四點也共圈，因此， LA1PC1 和

LC1BA1 互補。但 LA1PC1 = LA1PC

+ LCPC1

=

LAPC1 + LCPC1

=

LAPC ,

所以 LAPC和 LABC (=LC1BA1）也互 補。故A 、 B 、 c 、 p 四點共圍，即 P 點在三為形ABC 的外接圖上。 片 （團一） 其實，它們可以看成是更一般情 況的兩個特例 z 令P為已知三角形 ABC 內任意一點。從P作垂直線垂 直於這三角形的三遍，連這三垂 線的垂足可得另一三角形 A1B1C1' 稱為三角形 ABC 相對於踏極點 (pedal point) P 的踏根三角形 (p叫al triangle) （圖二）。 分別以三角形 ABC 的垂心和外心 作踏極點便可得垂足三角形和中 點三角形作為ABC的踏根三角形。 踏棍三角形有甚麼有趣的性質呢？ 在 1892年出版的一本幾何書中，編 輯 J. Neuberg 提出及證明了踏根三 角形的一個周期性現象 z 以 P作為三角形 A1B1C1 的踏極點， 可以得到 A1B1C1 的踏破三角形 A2B2C2 。繼續這作法以 P 為踏根 點，可以得到另一個踏棍三角形 A品3C3 ，如此類推（圖三）． （圖二） 已 8 A (continued on page 4) 8 （圖三） 由於各有一對對角是直魚，因此 下列的四邊形都是外接四邊形 E AC1PB1 、 C1B2PA2 和 BiA3PC3 °因此 LB1AP 、 LB1C1P (=LA2C1P）、 LA2B2P (=LC3B2P）和 LC,A.3P 依吹兩兩為等 以上的現象同時解釋了，為何在數列 中，分母數值的問隔會和「跳躍」前的 分母數值相等的現象。大家祇要將﹝3﹔7,8﹞ 和﹝3﹔7,9﹞計算一次，就會明白為何分子的 差距和分母的差距，剛好等於﹝3﹔7﹞的分 子和分母了。 在未討論下一個問題前，值得指出的 是，在電腦程序計算出的漸近分數中， 有幾個數值是十分「著名的」。側如：

﹔，道是人類對圓周率最早期的約數，

中國古籍中就有「徑一周三」的記載。

另外子要噸多介紹了。考？是古希臘

數學家阿基米德提出的約數﹔而器就

最先由中國南北朝時代的數學家祖沖之 提出的。當知道下一個漸近分數的分母 將會高達 16604時，相信大家都會明自為 何祖沖之計算出圓周率的七位小數約數 之後，要經過多連一千年的時間，才有 人能夠計到更佳的圓周率近似值 l 其實漸近分數並不是一些數字的玩意， 它有不少實際的應用價值，其中一項就 是閏年的計算。跟撮資料顯示，地球環 鵑太陽一周需要365 日 5小時48分46秒，

化為分數就即是有 365話：日。其中的

365 日當然沒有問題， f.!l剩下的~日

又如何處理呢？完全不理，那麼祇要每 過5年，就會有一整天的時間差距了。 （又或者每 43200 年，就會相差了 10463 日。）因此我們在曆法上就訂立了閏年 的制度：即每隔一些年份就在那年增加 一日，藉此保持居法上不會出現偏差。 但是，到底要經過多少年才有一次閏年 呢？說們不可能經過4萬多年後，才增加 萬多日來補償。不過我們可以通過計算

器﹔的漸近分數來獲得答案。

首先我們將本文開始的電腦程序中的 real_no旬于改為 ： real_no:= 10463/43200;

執行後，可得到結果：

0/1, 1/3, 1/4, 4/17, 5/21, 6／：訝， 7/29, 8／詞， 23／好， 31/128,101/417, 132/545, ..

從結果中的 j可知，我們應該每4年就要

多加一日。按此比例，每 100 年就應有

25個閏年。但由主和三上可以知道，每

95 100年其實根需要24個閏年。所以如果我 們很跟著「四年一閏」的方法來編寫曆 (continued on page 4)

Mathematical Excalibur, Vol. 3, No. 2, Mar-May, 97

Problem Corner

We welcome readers 個 submit solutions to the probl凹1s posed below for publication considerati個. Solutions should be preceded by 也e solver

’

s

nam皂， addr自s, school affiliation and

grade level. Please send submissions to Dr. Kin-Yin Li, Dept of Mathematics, Hong Kong University of Science and Technology, Clear Water Bay, Kowloon. The deadline for su加titting solutions is July 10, 1997.

Problem 56. Find all prime numbers p such that 'l1' + p2 is also prime.

Problem 57. Prove that 伽 realnumbers X, y, Z > 0,

·2

v2

z2 X

+

Y

+

Z

一－＋－＂－－＋－一－一這一一－ι一一－－

x+y y+z z+x 2

Problem 58. Let ABC be an acute-angled triangle 明白 BC> CA. Let O be its circumcenter, H its orthocenter, and F the foot of its altitude CH. Let the

p紅pendicular to OF at F meet 也e side

CA at P. Prove 也at LFHP = LBAC.

(Source: unused problem in the 1996

IMO.)

Problem 59. Let n be a positive integer

greater 曲曲 2. Find all real number solutions (Xt, Xz, · · ·, Xn) to 出e equa位on

(1-x1)2 + (x1-x2)2 + · · ·

+

(Xn-1-Xn)2

+

x/

＝斗才﹒

n+l (Source: 1975 Briti品 Mathematical

Olympiad)

Problem 60. Find (without calculus) a fifth degree polynomial p(x) such that

p(x) + 1 is divisible by (x - 1)3 個d p(x）一 1 is divisible by (x + 1)3. ** ** ** ** ＊吋隘，＊ * M * ＊四月＊ *-un * * t ‘* * mM * *. M * * YMR * *‘ h * ** ** ** **

Assume there is a posi位veinteger n such that

4可＋布立 ＝ r

is rational. Squaring and simpli句ring,

we get

rτ－－：：－ r2 -2n

'\In· - 1 ＝一一－一

2

is also rational. However, for n > 1, if

d亡1

=

alb 伽 some po副vein紀gers

a,

b having no c個lffiOD f訓。r grea紀r

than 1, then a2 = b2(n2-l), which implies b also divid郎 a. So b must be 1.

Nowforn> 1,

n2 > n2 一 1 = a2 > (n - 1)2 is impossible. Son = 1, but 血en

4可＋而立了 ＝ Ji

is i訂ational. Therefore, no such n exists.

Other commended solvers: CHAN Ming

Chiu (La Salle College, Form 6), CHAN Wing Sum (HK.UST}, William CHEUNG Pok Man (S.T.F.A. Leung Kau Kui College, Form 6), CHOI Wing Shan Winnie (St. Steph間， s Girls' College, Form 6), LEUNG Shun Ming (La Salle College, Form 4), LIU Wal Kwong (Pui Tak Canossian College), TSE Wing Ho (Ho Fung College, Form 5), Sam YUEN Man Long (Sτ'FA

Leung Kau Kui College, Form 4) and YUNG Fai (CUHK).

Problem 52. Let

a,

b,

c

be distinct real numbers such that a3 = 3(b2+c2) －詣， b3 = 3(c2+a2）一 25, c3 = 3(a2+b2) - 25. Find the value of abc.

Solution: CHEUNG Pok Man (S.T.F.A. Leung Kau Kui College, Form 6), YEUNG YI Pok (Pui Shing Catholic Secondary School, Form 7) and YUNG Fai(CUHK).

Let

a,

b,

c

be roots of

x3 - pr'

+

qx - r = 0.

Paie3

coefficients of 也etwo equations, we get

p = -3, q = 0 and abc = r ＝一（25 +

6q-3p2) = 2.

Other commended solvers: LIU Wai

Kwong (Pui Tak Canossian College), TSE Wing Ho (Ho Fung College, Form 5) and Sam YUEN Man Long (STFA Leung Kau Kui College, Form 4）。

Problem 53. For MBC, de曲1e A’叩

BC so that AB+ BA’

=

AC+ CA’個d

similarly define B

’

on CA and C 叩

AB. Show 也at AA’, BB’, CC are concurrent. (The point of concurrency is called the Nagel point of MBC.)

Solution: CHEUNG Pok Man (S.T.F.A. Leung Kau Kui College, Form 6), LIU Wal Kwong (Pui Tak Canossian College) and YEUNG Yi Pok (Pui Shing Catholic Secondary School, Form 7)

Let a = BC, b = CA, c 草 ABands= (AB + BC + CA)/2. Since AB + BA

’

=

s=

AC+ CA’, we have BA’ z S - C and

CA

’=

s - b. S扭曲ar旬， CB’＝ s - a,

AB’= s - c, AC = s - b and BC = s - a.

Then

(CA’/BA’)(AB’/CB’)(BC I AC')= 1.

So by 也e converse of Ceva’ s 也eorem,

AA’, BB’, CC' are concurrent.

Other commended solvers: Gary NG

Ka Wing (Sτ'FA Leung Kau Kui College, Form 4) and Sam YUEN Man Long (STFA Leung Kau Kui College, Form4).

Problem 54. Let R be the set of real numbers. Find all functions f : R

•

R

such 也at

ftj(x+y)) =ft.x+y) + j(x）.舟1）一句

f前 allx, y E R. (Sour臼： 1995Byelorussian

Ma血ema岫1Olympiad (Final Round))

Solution: YUNG Fai (CUHK).

Putting y = 0, we get

flj(x))=[1 + .t(O)]f{x}.

Then p = a+ b 土c, q戶中＋ b空+ ca and Replacing x by x + y, we get Problem 51. Is 曲的 apositive integer n r = abc. Since a1. + b1. + c1. = p1. 一句， so 口哨O)l/(x+y)= /(f(x·刊））

such 也at~士1.+.Jn士了

is a

ra位onal

a3 = 3(b2 +

c2）一 25

=

3(p2-2q-a2）一 25.

=flx+y) +

fix）.舟，）一句，

number?

Solution: Gary NG Ka Wing (Sτ'FA

Leung Kau Kui College, Form 4).

This is 叫uivalentto a3 + 3a2 + (25 + 6q - 3p2) = 0. Then

a

is a root of x3 + 3x2 + (25 + 6q - 3p2) = 0. Similar旬， b and C

are roots of 曲is equation. Comparing

which simplifies to

flO)ftx+y)

=

flx)f(.y) －刀﹒

Mathematical Excalibur, Vol. 3, No. 2, Mar-M帥， 97 Problem Comer

(continued from page 3)

Putting y

= 1, we get

/(0).f(x+ 1) = .f(x)/(1 ）一 x.

Putting y = -1 個dreplacing x by x+l,

we get

/(0).f(x) = J(x+ 1淑一l)+x+1.

Eliminating /(x+ 1) in the last two

equations, we get

﹝f(0}-/0).f{-l）敢苟且 [1(0}-/(-l)}x+ /(0).

Iff(O）一 JO狀－ 1) ;t:O，也閉只x)is linear.

Iff(O）一／（1淑一1)= 0，也enputting x = 0

in the last equa位恤， weget /(0)

=

0. In

也is 個se, the displayed equation above

implies/(x叭叭＝砂﹒ Th個／（x)/(1) = X

f位 all x e R. So /(1) ;t: 0 and f(x) is

linear.

Finally, substituting /(x) = ax + b into

也e 位iginal 呵uati凹， since/(x) cannot

be 仰的tant, we find a= 1 and b

=

0, i.e.

/(x) = x for all x ε R.

Other commended solvers: CHAN

Wing Sum (HK.UST) and William CHEUNG Pok Man (S.T.F.A. Leung Kau Kui College, Form 6).

Problem 55. In the beginning，的

beetles are placed at different squares of

a 9 × 9 square board. In each move,

every 訣別巴tieαeeps to a horizontal or

vertical a句acent square. If no beetle

makes either two horizontal moves or two vertical moves in succession, show 也at

after

8個1e moves, there will be at least two beetles in the same square. (SαX品： 1995 Byelαussian Ma自個別叫 Olympiad (Fmal Round))

Solution: William CHEUNG Pok Man (S.T.F.A. Leung Kau Kui College, Form

6) and YUNG Fai (CUI亞）．

Assign an ordered pair 徊，b) to each

square with

a,

b = 1, 2, ... , 9. Divide

也e 81 squares into 3 types. Type A

consists of squ訂閱 wi曲 bo也 a and b

odd, type B consists of squar臼 wi也 both

a and b even and type C cα1sists of the

remaining squ訂閱． The numbers of

squares of the typ臨 A, Band Care 詣，

16 個d40, respectively.

Assume no collision occurs. After two

succ臼sive mov間， beetles in type A

squar郎 willbe in type B squ訂閱. So the

number of beetles in type A squ訂閱 are

at most 16 at 個y time. Then there are

at most 32 beetl的 in type A or type B

squ訂閱 at 組y time. Also, after one

move, beetles in type C squares will go

to type A or typ巴 Bsquares. So there are

at most 32 beetles in type C squ訂閱 at

any time. Hence there are at most 64 beetles on the board, a contradiction.

Other commended solvers: Sam YUEN

Man Long (STF A Leung Kau Kui College, Form 4.

Olympiad Corner

(continued from page 1)

where ma, mb, me are 也e lengths of the

angle bisectors (internal to 也e 組組gle)

and Ma, Mb, Mc are 也e lengths of the

angle bisectors extended until 也ey m臼t

the circle. Prove that

L

z~

L _

一~一﹒＋＿＿＿：：＿一－＋一一午一－ ~3. sin" A sin" B sin" C

個d that 呵uality holds iff ABC is

equilateral.

Problem 4. Triangle A1A2A3 has a right

angle at A3. A sequen臼 ofpoints. is now

defined by the following iterative

prα;ess, where n is a positive integer.

Fr個lAn (n 注 3), a perpendicular line is

drawn to meet A’,-2An-t at An+1·

(a) Prove that if 也is process were

C個組nued indefinitely，也en one and

only 叩epoint P is int位ior to every

triangle A,._:zAn iAm n ~ 3.

(b) Let A1 and A3 be fixed points. By

considering all possible locations of

A2 on tlle plane, find the locus of P.

Problem 5. Suppose that n persons A1,

A2, ... , An (n ﹔主3) ares個tedin circle and

that A; has a; ol月jects such 也at

a1 + az + • • • + an = nN

where N is a positive integer. In order

也ateach person has the s位ne numb巴rof

objects, each person A; is to give or to

receive a 問tainnumber of obj凹的 toor

frαn its two neighbours A;-1 and A;..1,

where An+t m闊的 A1 and Ao means An.

How should 也is distribution be

performed so 也at 曲e total numbers of

objects tr組sferredis minimum?

Pa孟e4

自圓周率到四年一間

(continued from page 1)

法，一百年後就會多了一目。因此在今 天我們使用的曆法之中，年份能夠被4整 除的，例如 1996年，就定為閏年，但如 果年份能夠被 100 整除的話，例如 1900 年，就不是閏年了。 再算一算，就知道每 400 年就有 96 個問 年， 416 年就應有 96+4=100 個閏年。不

過，這結果又不乎合幸運個慷件 i 故

此，曆法上又需要在每 400 年中增加一 目，就好似2000年，因為這數字能被判。 整除，這年又變自一年間年了！ 公元 2000年快到了，大家渴望見一見這 400年才有一次的閱年嗎？ 老師不敦的幾何〈三〉

(continued from page 1)

把上述推理逆時過來，恰巧也成 立，因此只有外接圖上的點能使 踏板三角形退化為辛姆生線。 踏根三角形的周期性可否推廣到 n 遍形呢？大家不妨先用四遍形來 試試。 B M. Stew；制在 1940 年證明 了自 n 遍形的第 n f圖踏板 n 邊形相 似於原 n 邊形（刊於 American Ma出租iatic泌 Mon曲ly 第七卷第 462-466頁）。 台灣師範大學滑屬中學初中二年 級的孫君儀同學最近以踏板多過形 作為研究課題，獲得 1997 年台灣科 學展覽第三名。她借助 Geometer’ s Sketchpad 發現了一些有趣性質並加 以證明，大家不妨試試探討，甚 至再推廣。這些性質包括， ﹒對於凹 n邊形和自交 n遍形，第 n 個踏板 n 遍形是否和原 n 遍形相 似？ ﹒踏根點在 n 邊形外都，類似性質 是否存在？有甚麼條件會使踏板 n遍形不存在？ ﹒第 n個踏根 n邊形和原 n邊形的面 積比是多少？ ﹒垂足改為夾 x。角時，類似性質是 否存在？ ﹒踏根點在何處可使第三垂足三角 形的面積最大？