數學與當代生活(大學)

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數學與當代生活

陳宜良

中央大學數學系

台灣工業與應用數學會

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影響當代生活的兩個重要發明

•  電腦: 泛指具運算能力的各種裝置 •  互聯網(Internet) •  想想看，如果你一天沒手機，沒電腦，沒網路，你會怎麼樣。

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在電腦裡運作的是

算法丶數學

•  How google works

•  How Amazon recommends books

•  What is digital image processing

•  How X-‐ray CT works

•  How to reduce imaging Hme in MRI

•  How Snow is simulated in the movie FROZEN

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現代生活中的數學

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Google 搜尋引擎

•  訊息搜尋 •  知識搜尋 (Wiki) •  地圖搜尋 •  拉近了距離 (空間丶時間) •  ……. Google 改變我們的生活

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How google works

•  爬挖資料 _(Crawling)

•  建立索引 (Indexing) 60 trillion pages

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Google 的核心技術: PageRank

•  它是_{1996年兩名史丹福大學的研究生Sergey} Brin , Larry Page 所提出的搜尋引擎

•  1998年他們成立了Google 公司。

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How google works

•  Google 用下列三歩驟回應搜尋要求

–  Googlebot: 這是Google + Robot的簡稱。它會定期地

請求訪問已知的索引建立新頁面。

–  Indexer 索引機: 針對每一網頁上的每一個字建立索引 –  搜尋處理器: 跑PageRank程式，回應線上搜尋要求。

•  Google於全球數個地方，僱用伺服器中心來存

放較低成本的普通電腦，運行Red Hat Linux作業

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兩個問題

•  隨機漫步可能陷在某一網頁出不去 •  隨機漫步可能不收歛

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Google 公司現況

•  Google 公司在1998由Brin, Page二人成立，2001年加

入Schmidt，成為鐵三角，三人於2004年協議20年內不拆夥。 •  2014年營業額600億美金，稅前利潤172億，浄利潤13 9億，資產1311億。九成收入來自廣告系統。 •  全球設有12個資料中心，每天處理數十億個搜尋要求。 •  公司使命是:整合全球範圍的信息，使人人皆可訪問並從中受益。

•  公司非正式口號是: Don’t be evil.

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現代生活中的數學

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How Amazon recommends books

•  亞馬遜網上書店 Amazon.com 是美國最大的一家網路電子商務公司，是網路上最早開始經營電子商務的公司之一，亞馬遜書店成立於1995年，一開始只經營網路的書籍銷售業務，現在則擴及了範圍相當廣的其他產品，包括了DVD、音樂光碟、電腦、軟體、電視遊戲、電子產品、衣服、傢具等等。 •  亞馬遜會根據你購買或評比過的書籍，推薦你相關的書籍

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RaHng by correlaHon-‐weights

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Amazon 的現況

•  _{1994年成立，目前是全球最大的互聯網} 零售商之一。 •  產品: – 零售:圖書丶軟體丶音樂丶家電丶食品丶日用品等等 – 電子書閲讀器Kindle, 平版電腦 – 雲端計算服務 •  規模_: – 營業額: USD610.9億(2012)

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另一作法

: 矩陣完備化

•  _{Given
less
than
1%
of
books
raHngs} •  Goal: predict missing raHngs

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Neflix Problem

•  _{Neflix是一家美國公司，提供北美地區綫上} 播放DVD的出租業務。 •  2011年4月，Neflix宣布在美有2360萬用戶，而全世界則超過2600萬，可提供10萬種DVD 選擇。 •  _{Neflix會根據用戶訂閱過或評比過的資料提} 供推薦影片。

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Neflix

獎

•  _{Neflix為追求最佳collaboraHve
ﬁltering算法} 的獎，獎金一百萬美金，由Neflix公司提供。 •  比賽方式是所提供的方法要比該公司用戶的方法(Cinematch)好10%. 度量方法是RMSE (root-‐mean-‐square-‐error).

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Neflix問題

•  資料格式_{:
<用戶，電影，評分日期，評分>} •  訓練集: 99,072,112筆 •  小考集: 1,408,342筆 •  比賽集: 1,408,342筆 •  2009/9/18 Neflix公司宣布``BellKor‘s PragmaHc Chaos’’團隊贏得該年的Neflix獎

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矩陣完備化

•  _{Given
less
than
1%
of
movie
raHngs} •  Goal: predict missing raHngs

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矩陣完備化

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矩陣完備化

•  可用來作推薦系統 •  也可用來作分類

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Neflix的現況

•  _{2015年，全球已有6000萬個訂戶，分佈} 到40個國家 •  產品: 互聯網媒體播放服務，DVD光碟出租 •  規模: – 2014營業額: USD55億 – 2014淨利: 2.26億

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現代生活中的數學

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影像處理

Ø  What is digital Image?

Ø  Image Enhancement Ø  Contrast Enhancement Ø  Image Denoising Ø  Image Deblurring Ø  Image Inpainting Ø  Image segmentation Ø  Image registration Ø  Image representation Ø  Image compression 31

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什麼是數位影像?

1.  What is a digital image?

A digital image Is an array, or a matrix , of square pixels (picture elements) arranged in columns and rows.

a. Binary Image (logical array)

{ } ( , ) 1 0 I i j = or l k R n j m i I R I :Ω → ⎯sampling,⎯⎯⎯quantized⎯⎯→ _d :{1≤ ≤ ,1≤ ≤ }→ _k,1≤ ≤ Chiu-Yen Kao,matlab 32

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什麼是數位影像?

b. Intensity Image

8 bit (uint8, 0-255), 16 bit (uint16, 0-65535) and double ([0 1])

a.  color Image

RGB:

24 bit = 256^3 ~ 16 million colors

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影像強化Image Enhancement

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35

70% Salt-and-Pepper

Noise

Chan, Ho, Nikolova L1

除雜訊

Denoising

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37

Chan, Ho, Nikolova

70% Salt-and-Pepper

Noise

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影像填補Image Inpainting “Image Inpainting : An Overview”, Guillermo Sapiro “Fast Digital Image Inpainting”, Manuel M. Oliveira, Brian Bowen, Richard McKenna and Yu-Sung Chang Chiu-Yen Kao 38

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影像分割Image Segmentation

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影像對位Image Registration

P Chen, CL Lin , IL Chern, A PERFECT MATCH CONDITION FOR POINT-SET MATCHING PROBLEMS

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影像表現

Image Representation

•  Multi-scale representation (wavelets)

(9,7)−filter, NPT=256*256, NZ= 8753, CR=7.4873 50 100 150 200 250 50 100 150 200 250 Origin Graph 50 100 150 200 250 50 100 150 200 250 42

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影像壓縮Image Compression

1:1 144:1

23:1

JPEG: Discrete Cosine Transform (Wiki)

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現代生活中的數學

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斷層攝影Tomography

Basic principle of tomography: superposition free tomographic cross sections S1 and S2

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X光電腦斷層攝影X-ray CT

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X-ray Computed Tomograph

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Image Reconstruction

•  Tomographic reconstruction : • Radon transform • Imaging model • Image reconstruction 1 ( , ) ( ) , x r Rf r f x dx S θ θ θ ⋅ = =

_∫

∈ Given , reconstruct z u

z Ru n

₌

₊

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Reconstructed images by CT

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Nobel winners for CT (1979)

Allan McLeod Cormack Godfrey

Hounsfield

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現代生活中的數學

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Magnetic Resonance Imaging

(MRI)

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MRI images

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核磁共振

用磁場操控

• 鬆弛: 主磁場 B0

• 激發: 無線電波場(RF) B1

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核磁共振的基本原理 I

•  一些原子核具有核自旋，就像陀螺一般 •  具核自旋的原子核會形成「磁偶極矩」,就像一個小磁鐵般,在磁場中進行旋進，類比於陀螺在重力場下會進行旋進 •  旋進頻率稱作拉姆頻率，等比於磁場強度。 •  當核偶極矩的方向不平行於磁場時,就會像旋轉的小磁般, 造成空間磁通量(通過磁場時的大小度量)的變化,可藉由感應線圈,偵測得到核旋進的訊號。 •  醫學用的核磁共振儀,主要就是偵測我們體內氫原子核的自旋

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核磁共振的基本原理 II

•  激發: 將磁化向量轉到橫向的過程 •  鬆弛: 磁化向量恢復到主磁場方向的過程 •  編碼: 在每次的鬆弛過程中,打開不同型態的梯度磁埸,便可以操控磁化向量在不同位置的旋進頻率,這個過程稱作「編碼」 •  由這些編碼所得的訊號,我們可以反推空間中磁化向量強度的分布 •  在腦中,不同介質(骨骼、灰質、白質)的磁化強度不同, 因此磁化向量強度的分布,即反映了腦中的結構。

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快速核磁共振造影

•  醫學造影通常希望 – 低劑量 – 高精度 – 快速造影 •  最近的突破: 壓縮感知(Compressive Sensing)

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壓縮感知

E. Candes, J. Romberg, T. Tao 2006 David Donoho 2006

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Compressive sensing

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Compressive Sensing (2004)

•  Dv

David Donoho

Emmanual Candes Terence Chi-Shen Tao

Candes, Romberg, Tao, Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information, IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 52, NO. 2, FEBRUARY 2006 cited 4894

DL Donoho, Compressed sensing, Information Theory, IEEE Transactions on, 2006 , cited 6716

Michael Lustig

億億

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現代生活中的數學

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迪士尼的冰雪奇緣

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冰雪奇緣的雪是怎麼模擬的

•  雪是一位_{UCLA數學系的教授}_{Joseph
Teran} 團隊所做的電腦動畫

•  所用的方法是以數值方法解彈塑性力學方程式。

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Disney's Frozen - A Material Point Method For Snow Simulation

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現代生活中的數學

•  _{How
google
works}

•  How Amazon recommends books •  What is digital image processing •  How X-‐ray CT works

•  How Snow is simulated in the movie FROZEN

•  活用的數學，大幅改進了我們的生活。

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新時代

新思維

新數學

•  傳統數學在新時代要有新思維 •  新的應用課題賦予傳統數學新的生命 –  線性代數中在數據分析丶影像處理十分重要 –  各種大尺度數值計算十分重要，在電腦動畫也有新的應用。 –  優化丶數學規劃等都有新的應用 –  圖論丶離散幾何在大數據丶社群網路研究等有新的應用 –  微分方程丶偏微分方程丶變分學丶反問題等仍是連續世界建模的基本工具 –  機率丶統計丶不確定性的量化分析等也是建模的工具

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做中學

•  多接觸應用問題 •  從實作中學

•  從簡單的東西做起

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一個小故事

•  一個數學系畢業生組織的讀書會

–  Taiwan R User group and Data Mining

–  hop://www.meetup.com/Taiwan-‐R/ –  Python, Git •  R 是目前最紅的 Open Source 統計語言，而且，不只是對於傳統的統計檢定來說，或是，對於新世代的 Machine Learning 和 Data Mining 的許多技術而言，R 都有很完整的套件支援。因此，可以很快速的在R上面運用各種 Machine Learning 的技術來分析資料。 •  他們開了一家Data Mining 公司。 •  大量數據分析: hop://www.revoluHonanalyHcs.com/

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謝謝大家

•  數學和你的生活息息相關

數學與當代生活(大學)