行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
顧客價值分析隨機模型建立之研究
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC93-2416-H-002-013-
執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日
執行單位： 國立臺灣大學工商管理學系
計畫主持人： 郭瑞祥
共同主持人： 蔣明晃
報告類型： 精簡報告
報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 94 年 8 月 1 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
顧客價值分析隨機模型建立之研究
Stochastic Modeling of Customer Value Analysis
計畫編號：
NSC93-2416-H-002-013
執行期限：93/08/01 ~ 94/07/31
主持人：郭瑞祥 台灣大學工商管理學系
rsguo@ntu.edu.tw共同主持人：蔣明晃 台灣大學工商管理學系
cmh@ntu.edu.tw摘要
隨著資訊科技的快速進步以及相關演算法的發 展，現今顧客終生價值已經可以得到比以往更好的估計 結果。本研究的主要目的是提出一個能夠估計顧客終生 價值的系統化模型而且進行實際模型的驗證。 本研究系統化模型包含下列步驟： 1. 建構顧客購買行為之隨機模型以及提出顧客購 買頻率及金額之機率分配假設。 2. 利用馬可夫鏈描述顧客購買行為的改變，並且根 據 RFM(recency-frequency -monetary)模型定義顧 客之購買狀態。 3. 根據貝氏定理推導顧客購買狀態之移轉機率。 4. 建立顧客之移轉矩陣及利潤矩陣，並且計算顧客 之終生價值。 本研究亦利用某工業用電腦廠商之實際銷售資料 進行本模型之驗證，得到以下結論： 1. 本模型之估計結果的確優於其他業界常用之顧客 價值分析方法，並能得到一個非常準確的顧客價 值之估計。 2. 我們所提出的模型不但可以捕捉顧客的異質性， 並且可以有效預測每個顧客的購買行為。 關鍵詞：顧客價值分析，馬可夫鏈，貝氏統計Abstract
With the rapid progress of information technology and development of related algorithms, customers’ lifetime value can now be better estimated. The goal of this research is to propose a systematic method to estimate customers’ lifetime value and conduct empirical validation.
Our proposed model consists of the following steps: 1. Construct a stochastic model of customers’ purchase
behavior and propose the underlying probability distributions of customers’ purchase frequency and monetary.
2. Model the customer’ purchase behavior as a Markov chain and the associated transition states based on RFM (recency frequency monetary) model.
3. Use Bayesian theorem to derive transition state probability.
4. Construct customers’ transition and reward matrices and calculate customers’ lifetime value.
The proposed method has been validated using an industrial computer company’s sales data. Results show that:
1. Our model outperforms the current empirical estimated practices and achieves a very accurate estimation of customers’ value.
2. The proposed method is able to model customers’ heterogeneity and predict each customer’s purchase behavior.
Keywords: Customer value analysis, Markov chain, Bayesian statistics
2
顧客價值分析隨機模型建立之研究
郭瑞祥
國立台灣大學
緒論
隨著資訊科技的快速進步以及相關演算法的發 展，現今顧客終生價值已經可以得到比以往更好的估計 結果。因此，企業可以掌握更多顧客的資訊並藉此和具 有價值之顧客建立更進一步的關係。有鑑於此，如何去 判斷或預測顧客的價值就成為一個非常重要的課題。 現有學者所提出之顧客價值分析的相關文獻主要 以顧客購買行為之隨機模型及顧客價值分析模型為 主。首先，針對顧客購買行為的分析，有不少學者建構 了隨機模型捕捉顧客的購買行為，其主要方法為對顧客 之購買行為建立機率分配之假設，從而推估顧客未來之 購買行為，但是此類研究的重點大多以建構顧客購買行 為隨機模型為主，對於如何應用模型估計顧客價值之探 討仍然不多，或僅大略帶過，於顧客預期利潤之推估著 墨甚少。再者，有關探討顧客價值分析模型之相關文 獻，因為大部分學者對於顧客價值的闡述，過去皆依照 Kotler (2000)的定義：「企業從顧客身上所獲得的收益和 企業為吸引及服務顧客的成本相比較，收益超過成本的 部分即顧客價值」，並依此定義發展出基本的折現公式 估計顧客價值，並針對特定情境設立不同之假設進行分 析，然而這類顧客價值模型，對於顧客價值計算之方式 缺乏詳細之定義及系統化之架構，故實用性並不高。 有鑑於以上之討論，本論文希望能提出一套系統化 的顧客價值分析模型，並且利用實證資料說明模型的實 用性，為企業提供一個能夠分析顧客價值的可能方案， 因此本論文主要目的如下：建立顧客購買行為隨機模型以描述顧客行為
本研究將結合 Ehrenberg (1959)及 Colombo & Jiang (1999)對顧客行為之機率分配假設，建立本研究之顧客 購買行為隨機模型，以描述顧客的購買行為。
建構結合 RFM 模型及馬可夫鏈的顧客價值分
析模型
本研究假設顧客購買行為的改變為馬可夫鏈隨機 過程，並利用 Hughes (1994)所提出之 RFM 模型定義顧 客購買狀態。此外本研究利用貝氏機率推導顧客購買狀 態移轉機率，根據顧客行為隨機模型計算各購買狀態下 之預期利潤進行顧客利潤矩陣之估計。最後結合顧客購 買狀態移轉矩陣及利潤矩陣，進行顧客價值估計。進行顧客價值分析模型的資料實證及比較
本研究利用某工業用電腦廠商之實際顧客交易資 料，進行本顧客價值分析模型之資料實證，並將分析結 果和目前業界常用之顧客價值預測方法進行比較。
文獻探討與建立假說
顧客價值分析模型之發展
Kotler (2000)認為關係行銷的重心要放在如何和最 有價值的顧客建立長期並為公司帶來利潤的關係，而 Morgan & Hunt (1994)更明白點出顧客價值已經成為顧 客關係行銷的一個中心教條，如同 Wyner (1996)所提， 顧客價值已經重新詮釋了傳統行銷的活動：把顧客視為 一種資產，評估其未來收益以及成本以決定是否進行行 銷活動。Wyner (1996)更指出，企業 80％的銷售利潤是 來自於 20％的顧客，而其餘 20％的銷售利潤，卻花了 公司 80％的行銷費用。由此可知，如何找出具有價值 的顧客，對企業的獲利來說是多麼重要。而根據 Kotler & Armstrong (1996)所下的定義，具有價值的顧客為「一 個未來為公司帶來的利潤大過於公司花在其身上的成 本之顧客」。 顧客價值之計算主要是將顧客在未來數年間之消 費金額與相對應之產品成本與維持成本加以扣除，再折 現以求得出顧客未來數年淨貢獻的現值。在這樣的理論 基礎之下，發展出了不少顧客價值分析模型。Dwyer (1989)首先定義顧客終生價值為「由顧客面所預期之利 潤，減去與顧客相關成本的現值」。此外 Sewell & Brown (1990)、Hughes (1994)、Kotler (2000)等學者也分別在 不同的假設以及定義之下提出了各自對顧客價值的計 算公式，不過大都是在特定的假設以及參數之下所提出 的例子。而 Berger & Nasr (1998)有鑑於此，試圖提出一套有系統的模型計算顧客價值，他們針對 Jackson (1985) 提出的二類顧客之特色加以整理，對該二類型的顧客之 終生價值提出了五種類型的模型。而 Hughes (1994)所 提出之 RFM 顧客價值分析模型不同於其他之方法，此 模型利用三種指標：最近購買日(Recency)、購買頻率 (Frequency)及 購 買金額 (Monetary)， 以判 斷顧客的 價 值，Stone (1995)更在其研究中利用此模型分析信用卡 顧客之價值。因為一般企業的顧客交易資料庫中都可以 萃取出這些資訊，因此 RFM 模型可以說是目前企業界 最常用的顧客價值分析方法之一。
顧客購買行為之隨機模型
在行銷相關文獻中其實對顧客購買行為的研究已 經有相當久的時間，大部分的文獻是利用假設的機率分 配 捕 捉 顧 客 購 買 行 為 的 變 化 ， 通 常 都 是 利 用 卜 松 (Poisson)或指數(Exponential)分配捕捉顧客購買時間以 及次數，再利用 Gamma 分配捕捉顧客的異質性，這方 面 的 文 獻 以 Ehrenberg (1959) 所 提 出 的 負 二 項 (Negative Binomial Distribution)模型最具代表性，負二 項模型主要是結合 Poisson 分配以及 Gamma 分配而成 的混合型模型(Mixture Model)，應用在估計顧客購買頻 率上，這個模型也成為後來許多探討顧客購買行為之文 獻的基礎。如 Schmittlein et al. (1987)所提出的 SMC 模 型就是結合了負二項分配以及 Pareto 分配推導顧客的 存活機率以及期望交易次數。此外還有結合了指數分配 以及 Gamma 分配的模型用來捕捉顧客購買時間間隔的 分配(Hadie et al., 1998)，以及結合了二項式分配和 Beta 分配的 BB 模型(Beta-Binomial)用來捕捉顧客重複選擇 的行為，如品牌選擇行為。而 Brockett et al. (1996)三位 學者曾針對不同分配的假設，試圖提出一個具有彈性的 一般性顧客購買頻率模型。 此外也有一些從不同觀點切入的文獻：如 Colombo & Jiang (1999)提出一個隨機 RFM 模型，利用負二項分 配捕捉顧客購買時間以及 Gamma-Gamma 混合型模型 捕捉購買金額的分布﹔此外，Fader et al. (2001)提出一 個估計新產品銷售之顧客行為動態隨機模型，概念主要 是在購買發生後設立行為改變點以及改變機率，而 Huang (2002)另外又針對顧客瀏覽網頁的行為建構了一 個完整的動態隨機模型。馬可夫鏈於行銷上之應用
早期結合馬可夫鏈的行銷文獻如 Parfitt & Collins
(1968)所提出之 Trial-Repeat Model 與 Silk & Urban (1978)所提出之 Assessor Model，皆利用馬可夫鏈捕捉 顧客不同品牌購買行為的改變機率及重複購買之行 為，以估計新產品未來之市場佔有率。而近期之文獻， 如利用馬可夫鏈推估顧客購買行為，並且結合顧客價值 計算概念的 Pfeifer & Carraway (2000)；但是，以上相關 文獻都有一個共同點：對於馬可夫鏈移轉矩陣或利潤矩 陣中之移轉機率及預期利潤都沒有探討其估計方式，或 是缺乏嚴謹之理論推導。
貝氏機率於行銷上之應用
近年來貝氏機率於顧客行銷模型上之應用逐漸興 起，但是由於發展時間尚短，因此相關文獻並不多，其 應用方式可以分為兩類：首先，一些學者利用貝氏機率 估計顧客購買行為改變的機率，其方式為將顧客之前的 購買紀錄定義為貝式機率中之事前觀測值，並據此估計 顧客未來購買行為之事後機率；如 Huang (2002)所提出 之顧客網頁瀏覽行為之整合性隨機模型即為此例。此 外，由於貝式統計的發展，有學者應用貝式統計的觀念 建構顧客購買行為之隨機模型，並進行顧客個人之估計 值分析，以作為進行一對一行銷時之參考；如 Jen et al. (2002) 所 提 出 之 貝 式 層 級 模 型 (Hierarchical Bayes Model)，這三位學者利用貝式層級模型捕捉顧客購買頻 率，並利用 MCMC (Markov Chain Monte-Carlo)演算法 估計行為參數之個人估計值，以預測顧客未來之購買頻 率。綜合以上探討，本研究接下來將介紹本顧客價值分 析模型之建構方法。首先將結合負二項分配(Ehrenberg, 1959) 以 及 Gamma-Gamma 混 合 型 函 數 (Colombo & Jiang, 1999)對顧客行為之假設，建立一個隨機模型捕捉 顧客的購買行為，並結合馬可夫鏈及 RFM 模型。本研 究假設顧客購買行為為一馬可夫鏈，且應用 RFM 模型 定義顧客之購買狀態。而本研究的主要貢獻即為利用貝 氏機率於隨機模型之假設下，估計顧客購買狀態之改變 機率，並且建構移轉矩陣及利潤矩陣，提出一個系統化 的顧客價值分析模型。
顧客價值分析模型之建構方法
圖 1 所示為本研究之顧客價值分析模型建構架構 圖。本研究所建構之顧客價值分析模型，主要結合顧客 購買行為隨機模型、馬可夫鏈、RFM 模型及貝氏機率 此四個理論或模型所發展而成。首先，本研究建立顧客4 購買行為隨機模型，並根據顧客之歷史交易資料估計模 型假設中之先驗分配參數。此外，本研究利用馬可夫鏈 描述顧客購買行為，並且根據 Hughes (1994)所提出之 RFM 顧客價值分析模型，定義馬可夫鏈中之不同顧客 購買行為狀態，以建構顧客購買狀態之馬可夫鏈移轉矩 陣及利潤矩陣。而本研究最主要的貢獻為：根據貝氏機 率推導顧客在已觀察到前期購買行為狀態時，其下期購 買行為狀態之事後機率分配，並以之估計顧客購買狀態 移轉矩陣之移轉機率。此外，本研究依據顧客購買行為 隨機模型之行為機率分配假設，估計顧客於不同購買狀 態下之預期貢獻利潤，以建立利潤矩陣。最後，結合顧 客購買狀態移轉矩陣以及顧客利潤矩陣進行顧客價值 之分析。
購買行為隨機模型之假設
本購買行為隨機模型建立方式主要為設立六個顧 客購買行為之假設，利用此六大假設描述顧客購買行為 以建構此隨機模型。本隨機模型結合 Ehrenberg (1959) 所提出之負二項分配模型及 Colombo & Jiang (1999)提 出之 Gamma-Gamma 混合型模型，設立顧客每期購買 頻率及購買金額之機率分配假設，並利用 Gamma 分配 捕捉顧客之異質性，以描述顧客之購買行為。 假設一： 假設顧客購買頻率和購買金額兩個不同的行為維 度是互相獨立，不具有相關性。因此這兩個行為機率函 數的參數互相獨立。 假設二： 假設顧客的購買狀態移轉行為符合馬可夫鏈的假 設，這表示顧客下一期購買狀態發生的機率只和上一期 的購買狀態有關。 假設三： 假 設 個 別 顧 客 購 買 頻 率 f 為 卜 松 分 配 (Poisson Distribution)：[
]
0 ! > = = λ −λ λ λ f e f F P f f(1) 公式(1)表示，在單位時間平均購買次數為λ之下， 單位時間內購買次數為 f 的機率。 假設四： 因為考慮顧客的異質性，故假設個別顧客單位時間 平均購買次數
λ
服從 Gamma 分配：(
| ,) ( )
1 >0, >0 Γ = α λ − − α α λ αλ λ e w w w g w w (2) 假設五： 假設個別顧客發生購買行為之各期平均單次購買 金額為 Gamma 分配，因為購買金額不可能為負，不適 合用常態分配來捕捉，因此依據 Colombo & Jiang (1999) 之假設，本研究採用更具有彈性、並且符合購買金額不 為負之特性的 Gamma 分配： 0 , 0 ) ( ) , | ( 1 > > Γ = θ − − θ θ m e θ u u u m g u m u m(3) 公式(3)中， m 代表各期平均單次購買金額。 假設六：
依據 Colombo & Jiang (1999)之假設，由於顧客各期 平均單次購買金額服從之 Gamma 分配的平均值為 θ / u ，為了考慮顧客的異質性，本研究假設此 Gamma 分配的平均值u/θ隨著不同顧客而變動，因此，本研 究將
u
定義為常數值，利用θ捕捉每位顧客購買金額行 為之不同，假設顧客平均單次購買金額的 Gamma 分配 之參數θ
符合另一個 Gamma 分配： 0 , 0 ) ( ) , | ( 1 > > Γ =φ
θ
− −φ
φ
θ
φθ θ e v v v g v v(4) 首先根據假設三和假設四可以推導出顧客購買頻 率的機率為負二項分配(Ehrenberg, 1959)：
[
]
f w NBD f w f w w f F P + + Γ + Γ = = 1 1 1 ! ) ( ) ( , | α αα α (5) 根據假設五和假設六可以推導出顧客各期平均單 次購買金額的機率密度函數為 Gamma-Gamma 混合型 函數(Colombo & Jiang, 1999)：m m m m v u v u v u m g v u G G 1 ) ( ) ( ) ( ) , , | ( + + Γ Γ + Γ = − φφ φ φ
(6)
顧客購買狀態移轉矩陣之定義
於本節中將利用 Hughes (1994)所提出之 RFM 模型 定義顧客購買狀態之馬可夫鏈移轉矩陣。定義顧客購買狀態
本研究依據 RFM 模型定義馬可夫鏈移轉矩陣的顧 客購買狀態，依此假設建立顧客狀態如下：R 為 0 到 r 種狀態、F 為 1 到 f 種狀態、M 為 1 到 m 種狀態，其中 R 表示自最近發生購買行為之一期計起，距現在已有幾 期沒有購買行為的發生。舉例說明，如果顧客第一期有 購買行為，那在第二期初及第一期末的 R 為 0，假使顧 客在第四期有購買，但是第五期沒有購買，那在第六期 初及第五期末的 R 為 1。此外，F 與 M 為顧客最近一 期發生購買行為時的購買頻率和平均單次購買金額狀 態，此處的購買頻率為單期內之總購買次數。此外當顧 客最近購買期間 R 的狀態為 r+1，表示至少已有 r+1 期 以上未再交易，於是判斷其為已流失的顧客，並且不會 再 移 轉 到 其 他 狀 態 ， 故 稱 R=r+1 時 為 吸 收 狀 態 (Absorbing State)。因此在這樣的假設下，當顧客上一 期狀態為 R=r+1 時，此顧客下一期移轉到狀態 R=r+1 的機率為 1，而移轉到其他狀態機率將會為 0。於吸收 狀態(r+1)該如何決定？根據 Schmittlein & Morrison (1985)及 Colombo & Jiang (1999)所提出的方法，在公式 (1)的假設下，一個顧客在平均購買次數為λ
下，觀察 到上一個購買發生後已經過了 r 期沒購買的機率為 r e−λ 。因此可根據公式(1)及(2)推導出任意一個顧客發 生單期購買 f 次的行為之後，結果有 r 期沒購買的機率 密度函數為(見附錄 A)： f w r f r z + + + + = 1 1 ) | ( αα(7) 根據公式(7)，如果有 r 期以上沒購買之機率小於某 門檻值(Threshold)時，即可判斷此顧客可能已流失，因 此可利用此公式作為決定吸收狀態的理論基礎，但是在 實務上，其實可以憑藉歷史資料的情況以及需求預測部 門對其顧客行為之經驗，直接決定適當的
r
值作為吸收 狀態。因此顧客狀態共有(r+1)×f ×m+1種情形。購買狀態之移轉情形
圖 2 為顧客購買狀態移轉情形，P（ijk,lmn）代表當顧 客這期的購買狀態(R,F,M)為(i,j,k)時，下一期會移轉到 狀態為(l,m,n)的機率。舉例說明狀態移轉情形：假設本 期顧客曾購買商品，其在本期末或下期初之狀態為 (R,F,M)＝(0,X,Y)，如果顧客在下一期有購買產品，而且 其購買頻率為 I、平均單次購買金額狀態為 J，則顧客 下期末及下下期初的狀態由(0,X,Y)移轉到(0,I,J)。假使 顧客在下一期沒 有購買，則其狀態由 (0,X,Y)移轉 到 (1,X,Y)。建立購買狀態移轉矩陣
依照前一小節所述之顧客購買狀態移轉情形，可以 得知，假設顧客前一期之購買狀態為(R,F,M)＝(Z,X,Y)， 當顧客下一期發生購買行為時，其可能移轉之購買狀態 必為 R=0 之購買狀態其中之一，如果顧客下一期沒有 發生購買行為，則其必移轉至(R,F,M)＝(Z+1,X,Y)之購 買狀態。圖 3 即為顧客前後期之可能移轉情形。因此可 以定義顧客購買狀態的移轉矩陣為(r+1)×f ×m+1行 乘以(r+1)× f×m+1列的矩陣如圖 4 所示。根據貝氏機率推導狀態移轉機率
由於本研究假設顧客購買頻率(F)和購買金額(M) 獨立，故先分開討論其個別移轉機率，再結合兩者計算 顧客之 RFM 購買狀態移轉機率，並討論特殊情境下之 狀態移轉機率。推導購買頻率狀態移轉機率
根據貝氏機率及公式(1)與(2)，在觀察到已發生之 購買頻率狀態 R=r1和 F=f1時，購買頻率機率分配的參 數λ之事後機率密度函數如下(見附錄 B)：(
)
( ) ) 1 , | ( g ) ( 1 ) , | ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 α λ λ α λ ρ λ α λ λ + + + = + Γ + + = + + − − + + r w f e w f r f r r w f w f (8) 根據公式(1)及(8)，則可以推導出當移轉矩陣中起 始狀態為 R=r1和 F=f1時，則下一期購買頻率之事後機 率如下(見附錄 C)：(
)
(
)
f f w w f f r w f f f w f r r f f f + + + + + + + Γ + Γ + + = 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ) ( ! ) ( 1 ) , | (α
α
(9) 根據公式(9)，可利用顧客購買頻率狀態之移轉機率 同時定義最近購買期間狀態之移轉機率：假設當移轉矩 陣中起始狀態為 R=r1和 F= f1時，下一期會移轉到 ) , (r f =(0,f2)的機率為 ff(f2| f1,r1)，此時 f2 >0， 表示下一期顧客發生購買行為；而當下一期顧客沒有發 生購買行為時，顧客移轉到(r,f)=(r1+1,f1)的機率為 ) , | 0 ( f1 r1 ff 。推導購買金額狀態移轉機率
根據貝氏機率以及公式(3)、(4)和(6)，在觀察到已 發生之購買金額為m1時，購買金額機率分配的參數θ6 之事後機率密度函數如公式(10)。
(
)
) , | ( g ) ( m ) ( ) ( ) | ( ) | ( 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 m v u e v u m g g m g m m v u v u G G m + + = + Γ + = = + − − + + − φ θ θ φ θ θ θ ρ θ φ θ θ θ(10) 根據公式(3)和(10)，可推導當觀察到購買金額為m1 時，下一期購買金額之事後機率密度函數如下： v u v u u m m m m v u u v u m m d m m g m m f + + − ∞ + + + Γ Γ + Γ + = ∫ = 2 1 1 1 0 1 1 ) )( ( ) ( ) 2 ( ) ( ) | ( ) | ( ) | ( φ φ θ θ ρ θ θ (11) 但因購買金額為連續性之變數，所以其每一個狀態 應定義為某個範圍。因此，為了估計購買金額狀態移轉 機率，本研究根據公式(6)及公式(10)推導當觀察到顧客 前期之購買金額
m
1屬於某一購買金額狀態時(假設此 購買金額狀態範圍為：a1<m1<b1)，下一期購買金額 之事後機率密度函數如公式(12)。 + + Γ Γ + Γ = ∫ + + Γ Γ + Γ ∫ + + + Γ Γ + Γ + = < < < < ∩ = < < + + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( m m m m v u v u W dm m m m m v u v u dm W m m v u u v u m m b m a P b m a P m P b m a m f v u b a v u b a u v v u u m φ φ φ φφ φ φ φ(12) 根據公式(12)即可推導購買金額狀態移轉機率，假 設當觀察到顧客前期購買金額狀態為a1<m1<b1時， 則此顧客下一期購買金額
m
2移轉至某一購買金額狀 態(假設此購買金額狀態範圍為：a2 <m2 <b2)的事後 機率如下： ∫ < < = < < < < 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ) | ( ) | ( b a m m dm b m a m f b m a b m a f(13)
推導完整顧客購買狀態移轉機率
根據購買頻率和金額的狀態移轉機率，以及顧客的 購買頻率和金額獨立之假設，可推導出顧客 RFM 狀態 之移轉機率如公式(14) 圖 1：顧客價值分析模型建構架構圖 顧客交易資料 進行參數估計： 估計顧客購買頻率及金額 之先驗機率分配參數 定義顧客購買狀態： 利用 RFM 模型定義馬可夫 鏈移轉矩陣之狀態 推導各狀態之預期利潤： 根據行為機率分配估計 各狀態之預期利潤 推導購買狀態移轉機率： 根據行為機率分配及貝 氏機率推導移轉機率 建立購買狀態移轉矩陣 建立利潤矩陣 進行顧客價值估計 顧客價值估計結果 ：代表模型中所輸入 之資料 ：代表模型中的程序 ：代表匯合連接點 ：代表最後模型所顯 示的結果 圖 1 : 顧客價值分析模型建構架構圖) , | 0 ( ) , , | , , 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , r f f b m a f r b m a f r f f m f r = < < < < + (14) 公式(14)表示當顧客下一期沒有發生購買行為時之 購 買 狀 態 移 轉 機 率 ， 顧 客 購 買 狀 態 從 (R,F,M)= ) , , (r1 f1 a1<m1<b1 移至(r1+1,f1,a1 <m1 <b1)。 同理可推導當顧客下一期發生購買行為時之購買 狀態移轉機率如下： 0 ) | ( ) , | ( ) , , | , , 0 ( 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 , , > < < < < = < < < < f b m a b m a f r f f f b m a f r b m a f f m f m f r
(15) 公 式 (15) 表 示 當 顧 客 購 買 狀 態 從 (R,F,M)= (r1,f1,a1<m1<b1) 移轉至 (0,f2,a2 <m2 <b2)時之 機率。
推導特殊之購買頻率移轉機率
此外，在定義購買頻率狀態時，必須考慮到最後一 個購買頻率的狀態要如何定義。如果將最後一個狀態定 義為某一購買頻率 f，此即表示假設顧客的購買頻率之 最大值為 f，此為不合理的假設，因此本研究中將購買 頻率最後一個狀態 f 定義為：購買頻率≥f
。至於如何 決定 f 之值可利用公式(5)計算顧客購買頻率≥f
的機 率，並參考實際資料分布的情況。由此可決定 f 的大小， 使得顧客購買頻率≥f
的機率小於某一個門檻，如此 一來即可有效減少估計上的誤差。而根據公式(8)及 (9)，此購買頻率狀態移轉至其他狀態之機率如公式 (16)。 ∑ ∞ = + + + Γ + Γ ∑ ∞ = + + + Γ + Γ + + + + + Γ + + Γ + + + = ∑ ∞ = ∑ ∞ = = ≥ ≥ = ≥ f f w f r f w w f w f f w f r f w w f w w f f r f w f w f f w f r f f f r f r f f f f r f r f f r f f f f f r P f f r f P f f r f f f 1 ( ) 1!(1 1 ) 1 ) 1 ( 1 ( ) 1!(1 1 ) 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 2 ( ! 2 ) 1 ( ) 1 2 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 , 1 ( , 1 ) 1 , 1 ( , ) 1 , 1 | 2 ( ) 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 2 ( ) 1 , 1 | 2 ( α α α α α α(16)
8 IJ XY P0 ,0 XY XY P0 ,1
P1XY,2XY
P2XY,3XY
P3XY,4XY
IJ XY
P
1 ,0 IJ XY P2 ,0 IJ XY P3 ,0 IJ XY P4 ,0 前一期之購買狀態 下一期之購買狀態 下一期之購買狀態 (Z,X,Y) (Z+1,X,Y) (0,I,J) 顧客下一期沒有 發生購買行為時 顧客下一期發生 購買行為時 此情形下之移轉機率為： P（ZXY,0IJ） 此情形下之移轉機率為： P（ZXY,(Z+1)XY） 圖 3：顧客購買狀態前後期之移轉情形 0XY (0IJ)1XY 2XY 3XY 4XY
…...
r+11 圖 2：狀態移轉情形
移轉矩陣 圖 :4 = + 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1 , ( ) 0 , ( ) 014 , ( ) 013 , ( ) 012 , ( ) 011 , ( ) 0 , 211 ( ) 014 , 211 ( ) 013 , 211 ( ) 012 , 211 ( ) 011 , 211 ( ) 0 , 111 ( ) 014 , 111 ( ) 013 , 111 ( ) 012 , 111 ( ) 011 , 111 ( ) 0 , 014 ( ) 014 , 014 ( ) 013 , 014 ( ) 012 , 014 ( ) 011 , 014 ( ) 0 , 013 ( ) 014 , 013 ( ) 013 , 013 ( ) 012 , 013 ( ) 011 , 013 ( ) 112 , 012 ( ) 0 , 012 ( ) 014 , 012 ( ) 013 , 012 ( ) 012 , 012 ( ) 011 , 012 ( ) 111 , 011 ( ) 0 , 011 ( ) 014 , 011 ( ) 013 , 011 ( ) 012 , 011 ( ) 011 , 011 ( Λ Λ Λ Λ Μ Μ Λ Μ Μ Μ Λ Μ Μ Μ Μ Λ Λ Μ Μ Λ Μ Μ Μ Λ Μ Μ Μ Μ Λ Λ Μ Μ Λ Μ Μ Μ Λ Μ Μ Μ Μ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ r rfm fm rfm rfm rfm rfm rfm fm fm fm fm fm fm P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 根據公式(16)可估計從購買頻率狀態(r1,f1≥ f)移 轉到其他購買頻率狀態的機率，因此從(r1,f1 ≥ f)移轉 到(0,f2≥ f)的機率如公式(17)。 ∑ ≥ = ≥ ≥ ∞ =f f f f f f r f f f f r f f f 2 1 1 2 1 1 2 ) , | ( ) , | ( (17) 而從其他購買頻率狀態(r1,f1)移轉到最後一個購 買頻率狀態(0,f2 ≥ f)的機率如下： ∑ = ≥ ∞ =f f f f f f r f f f r f f 2 1 1 2 1 1 2 | , ) ( | , ) ( (18)
利潤矩陣
定義利潤矩陣
利潤矩陣即為不同購買狀態下之顧客對企業的平 均利潤貢獻所構成之矩陣。例如，當顧客的購買狀態為 (0,1,1)時，對於企業的利潤貢獻如公式(19)。 (0,1,1) g(0,1,1) Q(0,1,1) C(0,1,1) G = × −(19) 其中 (0,1,1) G :代表此種狀態下，顧客的利潤貢獻額 ) 1 , 1 , 0 ( g :為此一顧客的購買頻率，此例子中其值為 1 (0,1,1) Q :為此一購買金額狀態的平均單次購買金額 (0,1,1) C :代表花費在此名顧客的行銷成本 因此相對應於移轉矩陣的[(r+1)×f×m+1]列乘以 利潤矩陣 G 可以建立如公式(20)。 ( ) ( )
[
]
( ) ( )[
]
( ) ( )[
]
( ) ( )[
]
( ) ( )
−
−
−
−
−
−
=
+ − − − 1 1 , 1 , 1 , , 0 , , 0 ) , , 0 ( 1 , , 0 1 , , 0 ) 1 , , 0 ( 2 , 1 , 0 2 , 1 , 0 ) 2 , 1 , 0 ( 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 ) 1 , 1 , 0 ( r m f m f m f m f m f m fC
C
C
Q
g
E
C
Q
g
E
C
Q
g
E
C
Q
g
E
Μ
Μ
G
(20) 其中 ) , , (XYZ g 代表顧客的購買頻率 (XYZ) Q , , 代表各種購買狀態下顧客平均單次購買金額 (XYZ) C , , 代表各種購買狀態下企業對該名顧客的行銷 成本[ ]
E 代表期望值 利潤矩陣中，每一列的值代表各購買狀態下顧客之 預期利潤，由公式(19)可知，當購買狀態 R 等於 0 時， 表示顧客發生購買行為，因此有利潤產生，而當 R 不 等於 0 時，表示顧客沒有發生購買行為，故預期利潤貢 獻為負值。估計利潤矩陣
根據購買行為隨機模型以及公式(6)，可以推導出利 潤矩陣中各購買金額狀態下之平均單次購買金額的期 望值如公式(21)。10 + + Γ Γ + Γ × + + Γ Γ + Γ =
∫
∫
< < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 1 1 , 1 , 0 ( 1 ) ( ) ( ) ( * 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( dm m m m m v u v u m dm m m m m v u v u Q E b a v u b a v u b m a f φ φ φ φ φ φ (21) 但是於估計購買金額之最後一個狀態時，因為此狀 態定義為大於某個金額，因此在估計其期望值時，本研 究把公式(21)中的b1以過去資料裡每期平均單次購買 金額之最大值代入，而不是以無限大(∞)，因為如以 ∞ = 1 b 代入公式(21)，其結果將會發散或造成嚴重高估 的現象。 根據公式(5)可估計最後一個購買頻率狀態的購買 頻率之期望值公式如(22)。[
]
∑ ∑ + + Γ + Γ + + Γ + Γ = ∞ = ∞ = ≥ f f f f f w f w m f f f w f w f w f w f g E 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ) 1 , 1 , 0 ( 1 1 1 ! ) ( ) ( 1 1 1 ! ) ( ) ( * α αα α αα (22) 本研究以過去資料裡每期購買頻率之最大值代替 公式(22)中的無限大(∞)。不同的是，根據實際資料的 驗證，本研究發現在購買頻率的情形裡，不論是以每期 頻率之最大值或是無限大(∞)代入公式(22)，其結果非 常接近。顧客價值的計算
根據顧客狀態移轉矩陣以及利潤矩陣，可以計算 出各種狀態下之顧客在未來的每一期中對於企業的利 潤貢獻，此外，計算顧客價值可以分以下兩種計算方式：在有限期間內計算顧客價值
以有限期間來計算顧客價值的計算公式如(23)。(
)
[
P]
G V t T t T d 1 1 1 ∑ + = = − (23) T V 為顧客在未來 T 期所創造的價值 P 為顧客移轉矩陣 G 代表利潤矩陣 d 代表折現率 t 為顧客購買期間距今的期數在無限期間下計算顧客價值
以無限期來計算顧客價值如公式(24)。(
)
[
]
(
)
[
P]
[
I(
)
P]
G G P V V 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 − − − ∞ = − ∞ → + + = ∑ + = ≡ d d d t t T T -(24) 其中 V 為顧客未來所創造的總價值 P 為顧客移轉矩陣 G 代表利潤矩陣 d 代表折現率 I 為單位矩陣 t 為顧客購買期間距今的期數參數估計
本小節的重點在如何估計購買行為隨機模型裡的 機率分配參數，這對於估計顧客價值而言是非常重要的 一環，因為不論是移轉矩陣的估計和利潤矩陣的估計都 是根據購買行為隨機模型裡的參數計算而得。估計購買頻率之機率分配參數
根據所建立之模型，購買頻率所要估計的參數為 α 和 w ，這兩個參數為個別顧客之平均每期購買頻率λ
的先驗分配參數，本研究以最大概似法(Maximum Likelihood Method)估計α
和w
。 假設共有 n 名顧客，每一名顧客的平均購買頻率為 ) ... 2 , 1 (i n i = λ 。則對數之最大概似函數(Log-Likelihood Function)如公式(25)。 )] , | ( ln[ ) ,..., , | , ( 1 1 2 1 =∑ = n i n g w w LLα λ λ λ λ λ α(25) 根據公式(25)，即可利用最大概似法求出α 和 w 之 最大概似估計值(Maximum Likelihood Estimate)，得到
λ之先驗分配參數。
估計購買金額之機率分配參數
購買金額所要估計之先驗分配參數有u, v,φ三個， 如同 Colombo & Jiang (1999)所提出的參數估計方法， 本研究以最大概似法估計u, v,φ。假設共有 n 名顧客， 且 每 一 個 顧 客 有 發 生 購 買 行 為 之 期 數 為 ) ,..., 2 , 1 (k n hk = ，另外每一名顧客於有發生購買行為之
期 別 ， 其 單 期 之 平 均 單 次 購 買 金 額 為 ) ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 ( ,j i i i n j h m = = ，其中 i 表示是那一個顧 客，j 表示是那一個期別。則對數之最大概似函數 (Log-Likelihood Function)如公式(26)。 ∑ ∑ = = = − n i i h j j i G G j i v u m g m v u LL 1 1 , , )] , , | ( ln[ ) | , , ( φ φ
(26) 根據公式(26)，即可利用最大概似法求出u, v,φ之 最大概似估計值，得到購買金額之先驗分配參數。
研究資料實證及比較
資料介紹
本研究所使用資料為某工業用電腦廠商(以下稱 A 公司)的某遙控輸入輸出模組產品系列之實際歷史交易 資料。其時間長度為 30 個月，由 1997 年 11 月至 2000 年 4 月，包含 701 個顧客。本研究利用前 24 個月之資 料估計模型參數，再利用後 6 個月進行模型分析結果之 驗證。資料分析
資料實證之說明
於資料分析之前，本研究將檢驗資料是否符合模型 之假設；再者，為了符合實際資料之特性，本研究進行 資料驗證時，將先對資料進行初步的處理，此外，所估 計之顧客價值和模型原本之定義有所差異。以下將分別 詳述之。 對數量進行預測 由於 A 公司的客戶主要為企業界，因此大多採直接 銷售的方式，所以在產品的定價上差異非常大。因此， 本研究為了去除種種商業上對實際購買金額的影響，將 直接對顧客之購買數量進行預測，取代購買金額。 對顧客進行分群 由於本研究的模型屬於同質性模型(Homogenous Model)，利用同一組參數進行所有顧客價值的估計，因 此，如果顧客之間行為異質性過大，將造成模型所估計 之參數對整體顧客的行為不具有代表性，導致估計結果 不準確。因此，本研究為了使參數更能代表整體顧客的 行為，將先對所有 701 位顧客進行分群，而經過對顧客 的交易資料之初步分析，結果顯示主要有兩種顧客：一 種為低購買頻率且低購買數量之低價值顧客，一種為高 購買頻率且高購買數量之高價值顧客，而且此產品的銷 售量有 85%左右來自約 3%的顧客，顯示顧客行為有兩 極化的現象。因此本研究將先利用集群分析把顧客分為 兩群，再分別進行顧客價值的估計。 對假設進行驗證 本研究的模型有兩個重要的前提假設：顧客購買頻 率和購買數量(金額)兩個行為維度互相獨立，以及顧客 的購買行為符合馬可夫鏈特性。首先針對第一個獨立性 假設，在對資料進行分析之後，發現所有顧客之每月購 買 頻 率 和 每 月 平 均 單 次 購 買 數 量 的 相 關 係 數 為 0.1817，呈現低度正相關，此兩變數之散佈圖如圖 5 所 示。 就圖 5 而言，並沒有發現明顯之線性或非線性關 係，因此第一個獨立性假設應可適用於此資料。再者， 為了使資料的特性更符合馬可夫鏈的假設，因此本研究 購買頻率及數量散佈圖 圖 :5 購 買 頻 率 和 購 買 數 量 散 布 圖 0 2 4 6 8 1 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 每 月 平 均 單 次 購 買 數 量 每 月 購 買 頻 率12 希望移轉矩陣中，當前後兩期移轉時，至少涵蓋顧客的 一個購買週期，確保顧客前後兩期購買行為之關聯性。 因此本研究將會對分群後的兩群顧客，分別設定其每期 時間長短，使兩期的時間長度至少要大於每群顧客的平 均購買週期。
進行顧客分群
本 研 究 以 常 用 之 集 群 分 析 法 進 行 分 群 ， 採 用 k-means 演算法，利用每位顧客的平均每月購買頻率及 平均每次購買數量兩個變數作為分群的依據，把顧客分 為兩群，其分群結果如圖 6 所示。 根據集群分析之 k-means 演算法分群之後，得到第 一群 25 名顧客(圖 6 之正方形點)以及第二群 676 名顧 客(圖 6 之三角形點)。由圖 6 可以看出：第一群顧客為 高購買頻率或高購買數量的高價值顧客，第二群顧客為 低購買頻率及低購買數量的低價值顧客。接下來將分別 針對這兩群顧客進行價值分析。定義顧客狀態
第一群之高價值顧客 因為此群顧客之平均每月購買頻率為 1.5 次，故將 每期長度定為 1 個月。而根據公式(7)及資料本身的情 況，發現顧客如果已有整整 4 期沒有發生購買行為，其 繼續購買的機率非常之低，因此將吸收狀態定為 4 (4=r+1,r=3)。此外，根據圖 7，可知顧客單期購買 頻率 5 次以上(包含 5 次)發生的比率只有 5.6%，而且根 據公式(5)所估計之負二項分配，單期購買頻率 5 次以 上之理論機率僅有 7.1%，因此將最後一個購買頻率狀 態定義為>4，也就是≥5。 而經過實際資料驗證，本研究發現將所有顧客每期 之平均購買數量依集群分析之 k-means 演算法進行分 群，並以分群結果作為狀態定義之依據最為適當，因為 此分群方法不但能有效區分具有差異之顧客購買金額 行為，並能更有效地預測顧客之購買數量。本研究將購 買數量狀態分為三種，分佈結果如表 1。 第二群之低價值顧客 由於此群顧客之平均每月購買頻率為 0.22 次，因 此把每期的長度定為 3 個月。根據公式(7)以及資料本 身的情況，顯示顧客如果已經有整整 4 期，亦即已 12 個月沒有發生購買行為時，其繼續購買之機率已非常 低，因此將吸收狀態定為 4(=r+1)。而根據公式(5)所 估計之負二項分配，第二群顧客單期購買頻率在 5 次以 上的理論機率僅有 0.7%，而且在過去兩年(1997 年 11 月至 1999 年 10 月)的實際資料中，顧客實際單期購買 頻率在 5 次以上的比率也相當低。因此，本研究將最後 一個購買頻率狀態定義為>4，也就是≥5。最後，本 研究將第二群顧客之購買數量狀態分為三種，分佈結果 如表 2。因此，第一群和第二群顧客狀態皆定義為 61 (=4×5×3+1)種狀態，而其移轉矩陣和利潤矩陣都將有 61 列。建立移轉矩陣及利潤矩陣
建立移轉矩陣之前，必須利用過去兩年(1997 年 11 月至 1999 年 10 月)之實際顧客交易資料估計模型之先 驗分配參數。表 3 為利用前面提出的方法所估計之參 數。從表 3 所列之參數，可發現這兩群顧客所估計出之 參數具有相當大之差異，此結果顯示這兩群顧客之購買 行為的確具有顯著不同，因此分群後再做分析將可使所 估計之參數更能代表各群顧客之購買行為。根據表 3 中之參數，即可利用之前所推導之狀態移轉機率公式， 建構顧客購買狀態移轉矩陣。此外，由於本研究於資料 實證時所定義之利潤矩陣並不考慮行銷成本，並以購買 數量取代購買金額，因此，利潤矩陣中每一個購買狀態 之預期每期總購買數量計算方式如公式(27)。 ) 0 ( 0 ) ( ) 0 ( > ⇒ × ⇒ r r,f,m ,f,m ＝ 量 數 買 購 期 預 總 時 為 態 狀 買 購 預期單次購買數量 買頻率 購 期 ＝預 量 數 買 購 期 預 總 時 為 態 狀 買 購
(27)
進行顧客價值的估計
建構移轉矩陣以及利潤矩陣之後，必須計算在 1999 年 10 月底，亦即前兩年交易資料之最後一期末時，61 個購買狀態之顧客人數分佈，之後即可利用之前所推導 之顧客價值估計公式計算接下來 6 個月內(1999 年 11 月至 2000 年 4 月)所有顧客之總購買數量。此外，在進 行資料驗證時，本研究不考慮折現率。 顧客分群結果 圖 :6分群結果
0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4平均每月購買頻率
平
均
每
次
購
買
數
量
第二群
第一群
14
資料分析結果比較
本研究把主要之分析結果(利用兩個變數分群之 資料進行分析)，和本模型於只用平均購買頻率分群的 資料之分析結果、未分群的資料之分析結果、過去值作 為預測值的結果、Hughes 計算方式所得之結果以及未 來半年(1999 年 11 月至 2000 年 4 月)之實際銷售數量做 比較，以驗證本研究模型的實用性。此外，本研究計算 前半年之總銷售數量(1999/5-1999/10 之總銷售數量)， 作為利用過去值當作預測值之預測方法所得之結果，以 得到此預測方法在未來半年之預測結果。Hughes 之顧客終生價值估計方法
此處將大略介紹 Hughes(1994)所提出之顧客價值 估計方式。依據 Hughes(1994)對於顧客收益的計算方式 來看，每位顧客的終生收益方面可包含三個部分：顧客 每期的維持率、顧客每次交易的平均金額與期間長短。 因此，每位顧客在未來 6 個月中的交易數量可定義如公 式(28)。 圖 7：第一群顧客每期購買頻率次數分配圖購買頻率
10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0第一群顧客購買頻率次數分配圖
次
數
300 200 100 0標準差 = 1.65
平均數 = 1.6
N = 557.00
表 1：第一群購買數量狀態分群結果 第一種狀態 第二種狀態 第三種狀態 平均單次購買數量範圍 0-58 58-130 >130 (單位：個) 表 2：第二群購買數量狀態分群結果 第一種狀態 第二種狀態 第三種狀態 平均單次購買數量範圍 0-13 13-74 >74 (單位：個) 表 3：參數估計結果 群別\估計出之參數α
w u vφ
第一群 0.8177 1.2303 2.25 3.154 40.011 第二群 2.008 1.34 85.9 1.6705 0.0323平均的交易數量) 每個月交易幾次 平均顧客每期的維持率 顧客數目 ＝ 交易數量 × × × ∑ t ti (28) 個月 此乃是預估 計算之期間的長短，在 期間的長短： 購買的數量 估計顧客每次交易時候 平均的交易數量： 月會交易幾次 估計所剩餘的顧客每個 平均每個月交易次數： 客人數 的時候仍會購買的舊顧 此項乃是推估在下一期 ： : 平均顧客每期的維持率 代表所計算的期別 其中 6 t
分析結果比較
根據公式(28)即可得到利用 Hughes(1994)之方法所 估計的結果，而各種預測方法的結果整理於表 4，而誤 差率計算公式如公式(29)。 誤差率=｜預測值－實際值｜/實際值 (29) 由表 4 可得知，本研究結果誤差率最低，究其原因如下： 1. Hughes 的方法由於假設了顧客的維持率，卻沒有 考慮顧客回流的可能性，導致嚴重低估顧客的購 買數量。而且在 Hughes 的模型中，僅以三個變 數：每期顧客維持率、每期交易次數以及每次交 易數量來描述顧客的購買行為，缺乏對顧客購買 行為的隨機性以及異質性的假設，過度簡化了顧 客的購買行為。因此，Hughes 的模型不論在實證 以及理論上都還需要再加以補強。 2. 本模型未分群之資料其分析結果也嚴重低估了顧 客購買數量，雖然理論上如果利用負二項分配所 估計出之參數能夠包含了顧客行為的平均值資 訊，那利用此參數所估計之結果應該不會造成嚴 重低估的結果，但是因為本模型是利用貝氏機率 及馬可夫鏈來推導顧客不同購買狀態的移轉機 率，針對不同購買狀態的顧客預測其行為的改 變，因此原本負二項分配所估計之參數包含之平 均值資訊可能會被貝氏機率的特性所影響，導致 顧客事後機率分配之參數所包含之資訊改變，因 此在本研究的情況下，如果沒有事先對資料進行 分群，所估計出之參數無法捕捉到那極少數之高 價值顧客，將導致預測結果低估。 3. 業界常用的方法：直接用過去值當作預測值，此 方法的誤差非常小，推測其可能原因為此交易資 料來自工業用電腦廠商，而其交易對象主要為企 業界，其購買行為較為穩定，因此適合以過去值 作為預測值。既然如此，此方法不但簡單而且效 果佳，那為何還要提出本研究中如此複雜之模 型，其主要理由有三：第一，用過去值作為預測 的依據，即假設顧客行為沒有任何變動，此假設 並不符實際情況，但本模型假設顧客購買狀態會 進行移轉，較符合顧客之實際購買行為。第二， 本模型具有理論基礎，並對顧客行為具有完整之 表 4：各方法之計算結果比較 預測方法 結果 用兩變數分 群(本研究 主要結果) 只用平均購買 頻率分群 未分群 過去值 (1999/5-1999/10 之總銷售數量) Hughes 第一群預測值 7964 6950 第二群預測值 2451 3238 總預測數量 10415 10189 5231 10078 2604 第一群實際值 7939 7325 第二群實際值 2498 3112 總實際值 10437 10437 10437 10437 10437 總誤差率(取絕對值) 0.21% 2.4% 49.88% 3.44% 75.05%16 描述及假設，因此本模型較具有彈性並具有發展 性，只需更動部分假設即可將模型應用於不同型 態之資料，並且能夠加入顧客行為參數之變動 性，考慮顧客購買行為受到其他因素影響而變動 時之情況。第三：現今的資訊科技已非常發達， 即使是個人電腦所具有的計算能力已可媲美以前 的超級電腦。本模型在進行實證時所使用的即是 個人電腦。因此，在現今的資訊科技幫助下，複 雜的計算以及龐大的資料量已不再是重要的考 量，如何使準確率更提昇一個百分比也許是許多 企業主更關心的重點，這也就是本研究在實用上 的價值所在了。 4. 當本模型應用於已分群之資料時，不論以兩個變 數或是一個變數作為分群的依據，其對兩群顧客 之預測結果都相當好，表示模型參數的確捕捉到 了各群顧客之購買行為，顧客的購買行為也大致 符合模型的假設。而從本實證中可以得知，不一 定要同時用購買數量以及購買頻率作為分群的依 據，只要能夠有效區分具有不同購買行為的顧 客，本模型就能夠準確地預測不同群顧客的未來 價值。 究其以上論述，可知資料驗證之結果證明了本研究 所提出的模型不但能夠在學理上有效地解釋顧客的購 買行為，並且可以用於實際資料上作預測，得到相當不 錯的預測結果，且其預測結果優於目前其他常用之預測 方法，因此本研究所提出之模型的確具有實用上的價 值。
結論
在本篇論文中，本研究嘗試建構一個顧客價值分析 模型，並且進行實際資料的驗證，根據實證之結果可以 發現：結合 RFM 模型及馬可夫鏈能夠更有效捕捉顧客 購買行為的改變，而且透過事先分群可以彌補同質性模 型(Homogeneous Model)在分析顧客具有異質性的資料 時之不足，並可對不同購買狀態的顧客進行預測。此 外，建構顧客購買行為隨機模型及利用貝氏機率可使移 轉矩陣及利潤矩陣估計結果更為準確。最後，本研究資 料實證之結果證明本顧客價值分析模型的確具有實用 上之價值。REFERENCES
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