班級_______ 座號_______ 姓名________________

大溪高中高二數學週考 範圍：週考 B4-2-3,3-1 日期：101.04.05 [共十題，答案務必填入下面空格]

班級_______ 座號_______ 姓名________________

（　　　）1.下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解﹖　

(1)

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

 

 

 

 

 

　(2)

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0

 

 

 

 

 

　(3)

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2

 

 

 

 

 

　(4)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 5

 

 

 

 

 

　(5)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0

 

 

 

 

 

﹒

（　　　）2.下列有關線性方程組

2 3

2 ,

3 6 11

x y z

x y z a a b x y bz

  

    

   



（ （ 的敘述哪些是正確的﹖　(1)若此線性方程

組有無限多組解﹐則a  4　(2)若此線性方程組恰有一組解﹐則 b ¹ 9　(3)若此線性方程組恰 有一組解﹐則a  4　(4)若此線性方程組無解﹐則 b  9　(5)若此線性方程組無解﹐則 a ¹ 4﹒

3. 已知聯立方程組

2 1 2 3 6 5

3 4 6

x y z

x y z

x y kz

  

   

   



有無線多組解, 且解 ( , , ) ( 2,3 2 , ), x y z    t t t R , 則 k  .

4.大溪一姊使用高斯－喬登消去法﹐在紙上解三元一次方程組如

1 1 8 1 0 0 4

0 5 3 0 1 0 3

0 1 15 0 0 1 1

a b c

    

     

   

    

   



﹐

其中數字 a﹐b﹐c 不慎污損﹐則數對( a,b,c )  . 5.對增廣矩陣 4 9

3 7 a b

 

 

 作列運算若干次後得到 1 0 1 0 1 1

 

 

 ﹐則(a,b)  ____________﹒

6.方程組

2 3

2 1

3

x y z x ay z x y z b

  

   

   



有無限多解﹐求數對 (a,b)  ____________

7.設矩陣

1 3 2 4 2 1 3 6 3 2 5 6

  

 

 

 

  

 

經過列運算後得

1 3 2 4 0 1 1 0 0 1

a b

  

 

 

 

 

 

﹐則數對(a,b)為____________﹒

8.阿貴使用增廣矩陣解一個三元一次聯立方程組：

1 4 2

3 11 4 5 7 11

a b c

 

  

 

 

 

→…→

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

 

 

 

 

 

﹐求a ______﹒

9.許願池公司有甲﹑乙﹑丙三位員工﹐現欲做一個工程﹐如果甲﹑乙﹑丙三人同時合作﹐則需 10 小時﹔如 果只有乙﹑丙同時合作﹐則需15 小時﹔如果由甲進行 15 小時﹐再由丙獨自接手進行 45 小時﹐才能完成 一件工程﹒試問如果只有乙獨自進行需 小時才能完成一件工程.

10.有個三位數﹐其百位數字與個位數字之和等於十位數字﹐如果將百位數字與十位數字交換﹐所得之三 位數較原數大450﹐如果將原數的十位數字與個位數字交換﹐所得之三位數較原數小 27﹐試求此數為___

_________﹒

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

大溪高中高二數學週考 範圍：週考 B4-2-3,3-1 日期：101.04.05 [共十題，答案務必填入下面空格]

班級_______ 座號_______ 姓名________________

（　　　）1.下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解﹖　

(1)

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

 

 

 

 

 

　(2)

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0

 

 

 

 

 

　(3)

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2

 

 

 

 

 

　(4)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 5

 

 

 

 

 

　(5)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0

 

 

 

 

 

﹒

（　　　）2.下列有關線性方程組

2 3

2 ,

3 6 11

x y z

x y z a a b x y bz

  

    

   



（ （ 的敘述哪些是正確的﹖　(1)若此線性方程

組有無限多組解﹐則a  4　(2)若此線性方程組恰有一組解﹐則 b ¹ 9　(3)若此線性方程組恰 有一組解﹐則a  4　(4)若此線性方程組無解﹐則 b  9　(5)若此線性方程組無解﹐則 a ¹ 4﹒

3. 已知聯立方程組

2 1 2 3 6 5

3 4 6

x y z

x y z

x y kz

  

   

   



有無線多組解, 且解 ( , , ) ( 2,3 2 , ), x y z    t t t R , 則 k  .

4.大溪一姊使用高斯－喬登消去法﹐在紙上解三元一次方程組如

1 1 8 1 0 0 4

0 5 3 0 1 0 3

0 1 15 0 0 1 1

a b c

    

     

   

    

   



﹐

其中數字 a﹐b﹐c 不慎污損﹐則數對( a,b,c )  . 5.對增廣矩陣 4 9

3 7 a b

 

 

 作列運算若干次後得到 1 0 1 0 1 1

 

 

 ﹐則(a,b)  ____________﹒

6.方程組

2 3

2 1

3

x y z x ay z x y z b

  

   

   



有無限多解﹐求數對 (a,b)  ____________

7.設矩陣

1 3 2 4 2 1 3 6 3 2 5 6

  

 

 

 

  

 

經過列運算後得

1 3 2 4 0 1 1 0 0 1

a b

  

 

 

 

 

 

﹐則數對(a,b)為____________﹒

8.阿貴使用增廣矩陣解一個三元一次聯立方程組：

1 4 2

3 11 4 5 7 11

a b c

 

  

 

 

 

→…→

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

 

 

 

 

 

﹐求a ______﹒

9.許願池公司有甲﹑乙﹑丙三位員工﹐現欲做一個工程﹐如果甲﹑乙﹑丙三人同時合作﹐則需 10 小時﹔如 果只有乙﹑丙同時合作﹐則需15 小時﹔如果由甲進行 15 小時﹐再由丙獨自接手進行 45 小時﹐才能完成 一件工程﹒試問如果只有乙獨自進行需 小時才能完成一件工程.

10.有個三位數﹐其百位數字與個位數字之和等於十位數字﹐如果將百位數字與十位數字交換﹐所得之三 位數較原數大450﹐如果將原數的十位數字與個位數字交換﹐所得之三位數較原數小 27﹐試求此數為___

_________﹒

1 2 3 4 5

123 1245 －8 (1,－18,－12) (13,10)

6 7 8 9 10

(2, 4) (2,1)  3

18 385

大溪高中高二數學週考解析 範圍：週考 B4-2-3,3-1 日期：101.04.05

（　　　）1.下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解﹖　

(1)

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

 

 

 

 

 

　(2)

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0

 

 

 

 

 

　(3)

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2

 

 

 

 

 

　(4)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 5

 

 

 

 

 

　(5)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0

 

 

 

 

 

﹒

　解答　 123

解析 列出增廣矩陣所表示的一次聯立方程式﹕

(1)

2 2

3 3

4 4

x x

y y

z z

 

 

   

 

   

 

(2)

0 0

2 0 0

3 0 0

x x

y y

z z

 

 

   

 

   

 

(3)

2 3 4 0

2 3 1

2 2

x y z x

y z y

z z

   

 

     

 

   

 

(4)

2 3 4 4 3 2 1 0 5

x y z

x y z

  

    

 



無解 (5)

2 3 4 4 3 2 1 0 0

x y z

x y z

  

    

 



無限多組解 故選(1)(2)(3)﹒

（　　　）2.下列有關線性方程組

2 3

2 ,

3 6 11

x y z

x y z a a b x y bz

  

    

   



（ （ 的敘述哪些是正確的﹖　(1)若此線性方程

組有無限多組解﹐則a  4　(2)若此線性方程組恰有一組解﹐則 b ¹ 9　(3)若此線性方程組恰 有一組解﹐則a  4　(4)若此線性方程組無解﹐則 b  9　(5)若此線性方程組無解﹐則 a ¹ 4﹒

　解答　 1245

解析 由高斯消去法可得﹕

3 3

1 1 2 1 1 2

2 1 1 0 3 3 6 3 6 11 0 0 9 4

a a

b b a

   

    

   

     

   

(1)○﹕無限多解  b  9 且 a  4﹒

(2)○﹕恰有一解  b  9 ¹ 0﹒

(3)╳﹕恰有一解  b ¹ 9﹐a  4 不限﹒

(4)(5)○﹕無解  b  9 且 a ¹ 4﹒

故選1245﹒

3. 已知聯立方程組

2 1 2 3 6 5

3 4 6

x y z

x y z

x y kz

  

   

   



有無線多組解, 且解 ( , , ) ( 2,3 2 , ), x y z    t t t R , 則 k  .

　解答　 －8

解析 已知解為( , , ) ( 2,3 2 , ), x y z    t t t R

代入第三式滿足3( 2) 4(3 2 )   t   對於所有實數 t 皆成立, 即8kt 6 t kt  , 0 k 8

4.大溪一姊使用高斯－喬登消去法﹐在紙上解三元一次方程組如下﹕

1 1 8 1 0 0 4

0 5 3 0 1 0 3

0 1 15 0 0 1 1

a b c

    

     

   

    

   

 ﹐

其中數字a﹐b﹐c 不慎污損﹐則數對( a,b,c )  . 　解答　 (1,－18,－12)

解析 由

1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 1 1

 

  

 

 

 

可知 4

3 1 x y z

 

  

 



由

1 1 8

0 5 3

0 1 15

a b c

  

  

 

  

 

可知

8 5 3

15 x y az

y z b y cz

  

  

   



將x﹐y﹐z 代入得

4 3 8 1

15 3 18

3 15 12

a a

b b

c c

   

 

     

 

      

 

故數對 ( a,b,c )  (1,－18,－12)﹒

5.對增廣矩陣 4 9 3 7

a b

 

 

 作列運算若干次後得到 1 0 1 0 1 1

 

 

 ﹐則(a,b)  ____________﹒

　解答　 (13,10)

解析 增廣矩陣 1 0 1 0 1 1

 

 

 所代表的方程組為 0 1

0 1

x y x y

 

  

  1

1 x y

 

  ﹐ 代入增廣矩陣 4 9

3 7 a b

 

 

 所代表的方程組 4 9 3 7

x y a x y b

 

  

 中﹐可得(a,b)  (13,10)﹒

6.方程組

2 3

2 1

3

x y z x ay z x y z b

  

   

   



有無限多解﹐求數對 (a,b)  ____________

　解答　 (2, 4)

解析 方程組有無限多解﹐利用增廣矩陣運算後某一列全為 0﹐

3 3 3

1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 1 1 0 2 5 5 0 2 0 4

3 1 1 0 4 5 9 0 4 5 9

a a a b

b b b

           

       

     

        

     

第二列必為0, 即 a  2, b  4

7.設矩陣

1 3 2 4 2 1 3 6 3 2 5 6

  

 

 

 

  

 

經過列運算後得

1 3 2 4 0 1 1 0 0 1

a b

  

 

 

 

 

 

﹐則數對(a,b)為____________﹒

　解答　 (2,1)

解析

1 3 2 4 2 1 3 6 3 2 5 6

  

 

 

 

  

 

1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4

0 7 7 14 0 1 1 2 0 1 1 2 0 7 11 18 0 0 4 4 0 0 1 1

  

 

     

   

 

   

    

 

   

     

∴(a,b)  (2,1)﹒

8.阿貴使用矩陣列運算解一個三元一次聯立方程組如下：

→

1 4 2

3 11 4 5 7 11

a b c

 

  

 

 

 

→…→

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

 

 

 

 

 

﹐求 a  ____________﹒

　解答　 3

解析 解(x,y,z)  (1,1,1)代回 x  4y  az  21  4  a  2 ∴﹐ a   3﹒

9.某公司有甲﹑乙﹑丙三位員工﹐現欲做一個工程﹐如果甲﹑乙﹑丙三人同時合作﹐則需 10 小時﹔如果只 有乙﹑丙同時合作﹐則需15 小時﹔如果由甲進行 15 小時﹐再由丙獨自接手進行 45 小時﹐才能完成一件 工程﹒試問如果只有乙獨自進行需 小時才能完成一件工程.

　解答　 18 小時

解析 設甲﹑乙﹑丙獨自進行時﹐分別需要^x﹐y﹐z小時﹒

由題意列得聯立方程式

1 1 1 1 10 1 1 1

15 15 45

1 x y z

y z

x z

   



  



  



﹐利用增廣矩陣

1 1

1 1 1 1 0 0

10 30

1 1

0 1 1 0 1 1

15 15

15 0 45 1 15 0 45 1

   

   

   

  

   

   

   

   

   

1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

30 30 30

1 1 1

0 1 1 0 1 1 0 1 0

15 15 18

1 1 1

0 0 45 0 0 1 0 0 1

2 90 90

     

     

     

     

   

     

     

     

     

解得x30﹐y18﹐z90﹒

故只有乙獨自進行需18 小時才能完成一件工程﹒

10.有個三位數﹐其百位數字與個位數字之和等於十位數字﹐如果將百位數字與十位數字交換﹐所得之三 位數較原數大450﹐如果將原數的十位數字與個位數字交換﹐所得之三位數較原數小 27﹐試求此數為___

_________﹒ 　解答　 385

解析 設此數為 100a  10b  c﹐

則 100 10 100 10 450 100 10 100 10 27 a c b

b a c a b c

a c b a b c

  

      

      



　　

0 5 3 a b c a b b c

  

   

  



﹐ 解得a  3﹐b  8﹐c  5﹐故此數為 385﹒