國立台灣海洋大學 河海工程學系 2B 工程數學（二）

國立台灣海洋大學 河海工程學系 2B 工程數學（二）

【工程數學（二） 補救教學第十一次課堂小考解答 小老師-李家瑋】 SK 製表

若 ^F { ^{f t ( )} } ^{= F ( ) ω 且 F} { } ^{g t ( ) = G ( ) ω ，捲積（ ∗} , convolution）定義為

( ) ( ) ( ) ( )

f t g t f u g t u du

∞

−∞

∗ = ∫ −

可得證 ^F { ^{f t ( ) ∗ g t ( )} } ^{= F ( ) ( ) ω G ω 。}

今定義 correlation 為

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c t f t g t f u g t u du

∞

−∞

= ^D = ∫ +

試問 ^F { ^{f t ( ) D g t ( )} } ^{與原函數（ f t g t ( ), ( ) ）作傅力葉轉換（ F ( ), ω G ( ) ω ）之關係。}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c t f t g t f u g t u du

∞

−∞

= ^D = ∫ +

令 u = − v du , = − dv

可將上式寫成 c t ( ) f t ( ) g t ( ) f ( v g t ) ( v dv ) f ( t ) g t ( )

∞

−∞

= ^D = ∫ − − = − ∗

所以 ^F { ^{f t ( ) D g t ( )} } ^{= F} { ^{f ( − ∗ t ) g t ( )} } ^{= F ( − ω ) ( ) G ω}

若改成 c t ( ) g t ( ) f t ( ) g u f t ( ) ( u du )

∞

−∞

= ^D = ∫ +

所以 ^F { ^{g t ( ) D f t ( )} } ^{= F} { ^{g ( − ∗ t ) f t ( )} } ^{= G ( − ω ) ( ) F ω}

( ) ( )

f t D g t 與 g t ( ) D f t ( ) 分別對 t 作圖，互為對 y 軸的鏡射。

0 1 t e

1 1

t ( )

f t g t ( )

互為共軛，所以 f t ( ) D g t ( ) 與

( ) ( )

g t D f t 為對 y 軸的鏡射。