第 14卷第5集, 1982年, 418-436。 原文著者為海曼教授 W.K.Hayman。
羅爾夫 · 內伐里納
(Rolf Nevanlinna)1895-1980
楊重駿
1. 背景
羅爾夫 · 內伐里納 (Rolf Nevanlinna) 出生於 1895 年 10 月 22 日, 逝世於 1980 年 5 月 28日。 他來自一個講瑞典話的芬蘭家庭 — 其世代有軍人、 科學家及工程師。 他的姓原是 尼渥維武斯 (Neovius), 是他父親於 1906 年 改姓為里伐內納的。
羅爾夫母系的祖父, 赫曼·龍伯格 (Her- man Rombeig), 為一天文學家, 他在瀑科伐 (Pulkova) 觀察台記錄星誌。
羅爾夫的父親, 奧圖·魏爾海爾門 (Otto Willhelm) 生於 1867 年, 他先進入軍校, 然 後到赫爾新基 (Helsinki) 大學攻讀數學, 物 理及天文學。 他的博士論文是有關氧、 氮等氣 體的光譜線, 他的有些研究結果, 隱示存在有 某種稀有的氣體, 基於此, 暖塞 (Ramsay) 於 1904 年得到了諾貝爾獎。 奧圖 · 魏爾海
爾門在河曼 · 龍伯格 (Herman Rombera) 門下學習時, 結識了馬格麗特 · 龍伯格, 倆 人於 1892 年結婚, 並在約漢書 (Joensuu) 定居了下來, 當時奧圖當個中學教員, 這一 婚姻所生的小孩為弗利雪俄夫 (Frittiof) 生 於 1894 年, 羅爾夫 (Rolf), 1895 年生, 安 娜 (Anna)1896 年生及艾立克 (Erik)1901 年生。
2. 教育
當羅爾夫於 1902年上學時, 一下子就直 接上二年級, 因他已會讀和寫了。 也因此他的 學習就顯有些乏味。
但在學校時他的表現很傑出, 得到不少 師長的偏愛, 羅爾夫也學習了德文及法文, 並 從而奠定了他語文方面的特異稟賦, 不過他 這方面語文的流利是他到外國旅行後才發展
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出來的。 但他最好的老師還要算他的父親, 他 教羅爾夫最後學年的數學及物理。 他母親馬 格利特是個傑出的鋼琴家, 弗利雪俄夫及羅 爾夫倆兄弟總喜歡躺在鋼琴下聆聽母親的演 奏。 在羅爾夫 13 歲時他和他哥哥進了管弦學 校, 並成為有相當造詣的音樂家。
羅爾夫在中學表現的很好, 一直在班上 名列前茅, 他主要的興趣依次是古典文學及 數學, 在進入大學之前的中學生活裡, 他已讀 了林德諾夫 (Lindel¨of) 的“高等分析介紹”
並做了該書全部的習題, 於 1913 年他進入了 赫爾新基大學, 而林德諾夫 (為羅爾夫父親的 一位表兄弟) 在該校是個出色的科學家 (數 學家—譯者註), 他的講課 (用瑞典語) 深入 問題中心, 使聽眾能即刻進入狀態及注意聽 講。 林德諾夫是是位很熱誠的人, 很能引起人 的注意, 他用忠告及指正來幫助羅爾夫。 對他 工作的最高讚賞是“解釋的很恰當”。 在那同 時, 林德伯格 (Lindeberg) 及約翰森 (Jo- hansson) 為兩位教授, 而艾弗森 (Iversen) 為一助教。
在 1918 到 1919 年間他寫了他的博士論 文, 他花了很大的精力先把它寫的很精簡, 事 後他再把文稿再重新寫。 幾年後, 卡來台俄多 雷 (Caratheodory) 有所感說道 “先進的思 想創生於一瞬間, 但它的發展及基礎要經過 數十年的努力”。
3. 家庭
1911 年時, 羅爾夫及弗利雪俄夫回到勇 蘇 (Joensuu) 重溫他們的童年生活並到威伯
格他們的姨媽愛麗絲那住了4天。 愛麗絲的女 兒瑪俐對羅爾夫很有好感,6 年後他倆訂婚並 於 1919 年 6 月 4 日結婚, 同天羅爾夫取得了 博士學位。
1945 年, 羅爾夫在協助成立室內音樂會 社時, 遇到了西尼卡 · 卡里約–維莎白, 一位 女作家及傑出的翻譯家, 特別是有關多馬斯 · 馬思的作品。 羅爾夫的第一個婚姻就告觸礁, 並於 1958年在巴黎由芬蘭大使主婚的。
4. 事業
當羅爾夫在 1919年畢業時, 大學沒空缺 的職位, 所以他只得當一個中學教師。 1920 年蘭道 (Landau) 邀請他去哥丁根大學去, 而他於 1924年才去了那裡。
在那幾年中, 他建立了以他名字冠稱的 理論。 特別在位勢論方面的工作是和弗利俄 雪夫一齊合作的, 羅爾夫在 1922 時擔任赫爾 新基大學的講師, 1926 年升任為講座教授, 並才開始中斷在中學的教書, 晚上及星期天 對他而言都是很好的時間作研究, 而內伐里 納理論受到他和弗利雪俄夫討論的很大影響, 倆人終其身都一直相互地討論。
羅爾夫經常喜歡個別作講演及教導。 他 只對要講的主題作一大略的準備, 然後再設 法加以補充及改進。 有時會在黑板寫此與其 它方面相關的東西, 稍後他會把他講的寫成 講義, 最後成書。
羅爾夫在 1924 年時訪問了哥丁根大學, 在那他見到了希爾伯特 (Hilbert), 蘭道, 哥 蘭特 (Courant) 及挪色 (Noether)。 希爾伯
特在聽了羅爾夫的一個演講後稱道 “你已在 數學的牆上打了一個洞, 不久後, 其它數學家 會來設法把它填補回去”。 但改變的風一直吹 穿過這個洞。 後來羅爾夫在墨尼黑會見到亞 力山得諾夫烏里松 (Urysohn) 及卡來台俄 多雷。
蘭道在那段期間是每天 6 小時工作, 接 著休息 6 小時, 當工作在半夜開始時, 蘭道通 常會找他的助手協同他工作。 當羅爾夫把這 故事在蘇麗赫 (Zurich) 講後, 他自己就被人 加上“蘭道”的綽號。
羅爾夫跟法國人的交道是在 1926 年開 始, 那是林德諾夫安排他到巴黎去, 在那 他會到了哈大瑪達 (Hadamard) 及孟特耳 (Montel), 他第一次去蘇麗赫是在1928年由 拉斯 · 阿爾福斯陪同, 羅爾夫向阿爾福斯提出 的“旦雪華臆測 (Denjoy Conjecture)”, 阿 爾福斯證明了此臆測並使他因此於 1936年嬴 得首次頒發的費爾滋獎 (Fields medels)。
羅 爾 夫 曾 拒 絕 了 去 蘇 麗 赫 繼 承 魏 爾 (Weyl) 的職位, 於 1936-37 年, 羅爾夫又 去了哥丁根大學擔任客座教授, 在那他有了 第一個助教, 名叫魏笛區 (H. Wittich), 他 還遇見了赫格樂次 (Herglotz), 並覺得他是 位“極有趣”的人。
在二次大戰期間, 羅爾夫發明了一種檢 查彈道表的方法。 1941 年他為了赫爾新基大 學的校長, 1945年他被迫辭去校長的職務, 毫 無疑問, 理由是因他的親德國。
羅爾夫在 1946 年 10 月又重新回到蘇麗 赫, 在那他遇到了一大批數學家及物理學家, 包利 (Pauli), 在遇見包利之後, 他稱道說
“他是很少數那種一在場就會使人覺察是個 天才的人”。
1948 年在新成立不久的芬蘭科學院, 院 長及 1945 諾貝爾化學獎得主, 弗怛恩 (A. I.
Virtanen) 之鼓勵下加入他曾一度拒絕加入 的科學院, 成為 12 名院士之一。 (在當時院士 是支薪的, 但現在就沒有了。) 羅爾夫在蘇麗 赫一直連續擔任了 15 年的客座講座教授, 其 間他培養的學生有利俄圖 (O. Lehto)、 沙雷 俄 (L. Sario)、 凱樂 (H. Keller)、 史點勒 (A. Steiner)、 司徒雷伯耳 (K. Strebel) 及 艾爾溫 (G. Elfving)。
二次大戰後, 羅爾夫的興趣轉到變分法 及物理上去了。 他也很關注如何引進第一台 計算機到芬蘭及把計算機科學成為大學的一 門學問。
從 1959 年到 1962 年羅爾夫任國際數學 協會 (I.M.U) 的主席, 那段期間, 協會的 秘書是羅爾夫的好朋友錢德勒世克哈倫 (K.
Chandrasekharan), 其人在 1971 年也做了 主席。
內伐里納貝有相當保守的觀點, 他不認 為集合論是在中學用來介紹數學最好的。 他 也不願看到小孩被寵壞, 他認為這樣會使他 們將來感到生活的艱苦。 他常說“不成熟及不 現實的急進主義者會在生活與現實的艱苦學 校中改變過來”。 但他對芬蘭以至世界都持著 樂觀的看法。
羅爾夫一直不需要什麼睡眠, 在1930年 末期, 他通常早上 4點起來, 10點起與家人相 聚, 直到中午, 然後一直工作到下午 7 點, 接 著和他家人共渡晚間。
後來, 他將死時, 他仍問醫生“我是否可 以再工作?” 當他聽說他不能再繼續工作時他 就不再吃東西只進些流質。 他最後在寧靜安 詳中去世, 事後他醫師說“我有著上百的病人, 但他是第一個對我有些教導的人”。
羅爾夫沒被他的後代所忘掉。 有一男孩 對他的數學老師說“ 我的曾祖父是羅爾夫
· 內伐里納”。 當這位老師回問說“他是誰 啊?”小孩回答說 “你若不知道他那你就懂不 了什麼數學了”。
5. 榮譽
相對, 內伐里納理論的重要性, 他的榮 譽來到的顯的有些晚, 但在後來的 30 年中, 榮譽接踵臨到。 他得到的榮譽博士學位有海 得爾堡大學 (Heidelberg, 1963 年), 布哈 勒司特大學 (Bucharest, 1942), 基森大學 (Giessen, 1952), 柏林大學 (Berlin, 1955), 亞維司基來大學 (Jyvaskyla, 1969), 格拉 司歌大學 (Glasgow, 1969), 烏普沙拉大學 (Uppsala, 1974)。 他於 1959 年當選為倫敦 數學會的榮譽會員。 他也為下列學院或學社 的榮譽會員, 芬蘭科學與人文學院 (1975), 德國科學院 (1938), 芬蘭數學學會 (1955), 瑞士數學會 (1962), 芬蘭保險學會 (1965), 哥丁根學院 (1967), 瑞典皇家學院 (1967) 為年籍會員, 匈牙利學院 (1970), 法國學院 的通訊員 (1967), 及哥丁根大學 (1937) 的 榮譽會員及蘇麗赫大學 (1948) 的榮譽教授 及芬蘭文化基金會的榮譽主席。
他得到芬蘭政府的白玫瑰級的大十字勳 章及為芬蘭獅子級第一等勳章的頭銜, 他因
在 1939-40 戰爭期間的特出表現, 獲得了二 等沒佩劍的自由十字勳章。
6. 數學工作
內伐里納 1919 年的博士論文及其後之 續文 (1926b) 與研究滿足在 |z| < 1,
|f (z)| < 1 的解析函數, 及在給定點 z1, z2, . . . , zn 上取給定值 w1, w2, . . . , wn
有關的, 其主要問題是探討上類函數的存在 性, 若有了那樣一函數對再取點 zn+1 其相 應的值 f (zn+1) 的伸縮性或範圍。 此問題可 以依點數逐次解決, 並得到一些先前已知的 結果, 此理論曾較先為匹克 (Pick) 在 1915 年得到, 但較欠周全。(今通稱“Nevanlinna- Pick 值定理”, 譯者註)。
1921 年時本文作者到有星狀單一函數 方面, 係數的一精確估計, 不過羅爾夫 · 內 伐里納的鉅大國際聲譽, 來自冠以他姓名的 值分布論 (Value distribution theory)。 利 俄圖在 1982年的文章上曾很生動地報導此理 論的起始及背景, 這對我下面的介紹也受惠 很多。
1880 年匹卡 (Picard) 證明他的有名的 定理, 它是說在任一個 (非常數–譯者加) 的 整函數 (entire function) 取得所有至多有 一個例外的複數值 (例如 ez 有一例外值 0, 因 ez 永不為 0,–譯者加) 一個很自然的問 題, 是我們能否進一步對不同的值 a 方程 f (z) = a 的根, 作進一步的瞭解? 設 n(r, a) 表 f (z) = a 在 |z| < r 內的根的數目 (重根 計其重覆度–譯者加注), 則所有這些根 (即在
|z| < ∞ 整個複平面上–譯者加注) 的收歛指
數 (exponent of convergence) 或級 ρ(a) 可表為如下:
ρ(a) = lim
r→∞
log n(r, a) log r 。 哈大瑪達(1873年) 曾證明了: 若記號
M(r) = M(r, f ) = max
|z|=r|f (z)|
及 f 的級定義如下:
ρ = lim sup
r→∞
log log M(r, f ) log r 則對每個 a, ρ(a) ≤ ρ。
波雷爾 (Borel) 於 1897 年把匹卡定理 作了顯著的推廣, 他證明對每個至多一個例 外的值 a, ρ(a) = ρ, 並且這樣一個例外值 的存在, 當只有當 ρ 為一正整數或 +∞ 時 才會發生。 有關無窮級時的結果波雷爾只指 出此結論, 但後來由布魯門梭 (Blamenthal) 於 1910年證明的。
以上的理論是基於一事實即可把任一有 窮級的整函數用一乘積形式表示, 這是哈大 瑪達於 1893 年得到的結果。 這樣的理論有 些缺陷, 這套理論缺乏精確性及對無窮級的 整函數或一般有理整函數 (meromorphic function, 即由兩個整函數的商式表示, 如 (ez+ 1)/ sin z, 此種函數就像有理數是整數 的商式, 為整函數的一自然推廣, 又通稱為亞 純函數–譯者加注) 無法施用。 因對有理整函 數而言 M(r, f ) 就不適宜用來作為其增長作 的量度, 因 M(r, f ) 在有極點的圓周上變成 無窮大了。
內伐里納於 1920 年代對上面提的缺 憾作了空前的改革, 他採用了劍森 (Jensen)
1899 年得到的一結果。 即 log |f (0)| = 1
2π
Z 2π
0 log |f (reiθ)|dθ +Xlog r
|bi| −Xlog r
|aj| (1) 其中 aj 及 bi 等分別表 f (z) 在 |z| ≤ r 內 的零點及極點 (不妨設 f (0) 6= 0, ∞, 譯者 註)
依據伐里隆 (Valiron, 1913年), 他記
Xlog r
|aj|=
Z r 0log(r
t)dn(t, 0)
=
Z r 0
n(t, 0)
t dt = N(r, 0); (2)
Xlog r
|bi|=
Z r
0log(r
t)dn(t, ∞)
=
Z r
0
n(t, 0)
t dt = N(r, ∞)。 (3) 然後他又記 log+x = max(log x, 0), 於是
log x = log+x − log+ 1
x, x ≥ 0 及
1 2π
Z 2π
0 log |f (reiθ)|dθ
= 1 2π
Z 2π
0 log+|f (reiθ)|dθ
− 1 2π
Z 2π
0 log+ 1
|f (reiθ)|dθ。
上面看來簡單, 但卻是很重要的一個新步。
記
m(r, ∞) = 1 2π
Z 2π
0 log+|f (reiθ)|dθ 及對任一有限的複數 a, 記
m(r, a) = 1 2π
Z 2π
0 log+| 1
f (reiθ) − a|dθ, (4)
則劍森公式可改表為如下 [1924c]。
m(r, ∞) + N(r, ∞)
= m(r, 0) + N(r, 0) + log |f (0)|。
阿爾福斯 [1976年]寫說這個式子就是內伐里 納理論的開端是一點都不錯的。 在此結果中 將 f (z) 代以 f (z) − a, 則易見 N(r, ∞) 不變, 但 m(r, ∞) 至多改了 log+|a| + log 2。(即 m(r, ∞) − m(r, a) ≤ log+|a| + log 2, 此可由不等式: log+|Ppi=1zi| ≤ log+(p maxi=1,...,p|zi|) <Ppi=1|zi| + log p 推出–譯者註), 於是我們可得到第一基本定 理如下:
m(r, ∞) + N(r, ∞)
= m(r, a)+N(r, a)+log |f (0)−a|+ε(a) 其中 ε(a) 表滿足 ε(a) ≤ log+|a| + log 2 的一數量。
設 f (0) 6= ∞ , 內伐里納記
T (r, f ) = m(r, ∞) + N(r, ∞) (5) 並稱 T (r, f ) 為 f (z) 的特徵函數。 於是第一 基本定理表示 [1925g]對任何一個 a 值 (包 抱 a = ∞) 但 a 6= f (0),
m(r, a) + N(r, a) = T (r, f ) + O(1) (6) 其中 r 為變數。 對 f (0) = a 或 ∞ 時, 只需 一點點修飾, 我們就不在此計較了。
函數 T (r, f ) 對任何一個在整個複平面 或一圓盤內的亞純函數的增長, 給出了非常 好的描述。 它為 log r 的一漸增凸函數 (即
T(r,f )
log r 最終為漸增的—譯者註), 若 f (z) 為
一整函數, 則 T (r, f ) 與 log M(r) 有相等的 增長率, 所以我們可以在 (2) 中用 T (r, f ) 來 代替 log M(r, f ) 以定義任意一個亞純函數 或整函數 f 的級。 另一方面由式 (6) 可以看 到在某種意義下, f 對每個a值, 取相應的 M 及 N 的量度相加具有一密切關係。 但後者是 計數 f (z) = a 在 |z| ≤ r 內的根數, 而前者 是量度 f (z) 在 |z| = r 上與 a 值的距離的 一平均。 由此我們立即可得到 (前面提的) 哈 大瑪達不等式對任何一個 a, ρ(a) ≤ ρ。
但是內伐里納的目的是想要對波雪爾不 等式精度上有所改進。 他的方法是證明了一 般在式 (6) 中, N(r, a)為主宰的項。 更精確 說他證明了 (1925g), 對任何 q ≥ 3, 則
(q − 2)T (r, f )
≤
q
X
i=1
N(r, ai) − N1(r) − S(r)。 (7) 這就是所謂的第二基本定理, 此處 N1(r) 是 有關 f′ 的零點及 f 的多重極點的數量, 即 所有 f (z) = a (a 為任意一複數及 ∞) 的重 根 p 次者算 p − 1次, p = 2, 3, . . . 的總和, S(r) 為一比 T (r) 小很多的項。 例如當 f 為 複平面上亞純函數
S(r) = O(log rT (r)),
但若 f 為無窮大級時, 上面的估計式可能要 除去一個有限測度的 r 值。
但在這要指出的是內伐里納只證明 (7) 在 q = 3 的情形。 但這足夠得到比波雷爾結 果強得多的形式。 即若 f 在整個平面上為超 越的亞純函數, (即不是一有理函數–譯者註), 則除了可能兩個例外的 a 值外
limN(r, a) T (r) ≥ 1
3。
又除了兩個 a 值外, ρ(a) = ρ。
式 (7) 推廣到一般的 q 是幾乎同時由立 特勿德 (Littlewood ) 在一封給內伐里納的 信中及庫令勿德 (Collingwood) [1924] 得 到的。 內伐里納立即看出此一推廣的重要性 把它編入論文 (1925g) 中作為一附錄用來得 到下面的缺量關係式:
Xδ(a) ≤ 2, 其中
δ(a) = lim
r→∞
m(r, a)
T (r) = 1 − lim
r→∞
N(r, a) T (r) 此結果隱示除了一個可列的 a 值集合外, δ(a) = 0 如果我們把重根只計一次以 N(r, a) 來表相應的記數函數, 則可得一更強 的結果, 如設
θ(a) = 1 − limN (r, a) T (r) ,
則利用式 (7) 中的 N1(r) 項, 可得 [1926年]
Xθ(a) ≤ 2。 (8) 內伐里納並定義 [1929a]了所謂的分歧指標 (ramification index, 德文為 verzweigungs index) 如下:
µ(a) = limN(r, a) − N (r, a) T (r) 。 則可得 θ(a) ≥ µ(a) + δ(a) 及
Xδ(a) +Xµ(a) ≤ 2。 (9) 有關式 (9) 完備的精確性直到最近1977年由 覺來新 (Drasin) 證明, 他能對任意給定滿足
0 ≤ δ(a) + µ(a) ≤ 1 及式 (9) 之情況下的 一簇 δ(a) 及 µ(a) 值, 建造出一個亞純函數 f , 其對每個 a 具且僅具有所給定的 δ(a) 及 µ(a) 等值。
若要是去列舉許多由內伐里納本人及其 他的人用第二基本定理 (7) 及其結果 (8), 所得的漂亮應用會把我們引得離本文太遠了, 在這舉一個 [1926 年]的例子。 設 f1 及 f2
為兩個超越的亞純函數, 如有 5 個不同的值 a1, a2, a3, a4 及 a5 使得 f1 及 f2 取 ai(i = 1, 2, 3, 4, 5) 的點集 (不計重度) 皆相同, 則 f1 ≡ f2。 若要求重度也一樣, 則只要有 4 個 如此的值結論成立, 除非此四個值有一種調 和的關係, 這時兩個函數不等, 但會不取 4 個 值中的兩個值, 設 a2, a4 及 f1 = S(f2), S 為一分式線性變換 S 將 a2 及 a4 互調, 但 保持 a1 及 a3 不變為不動點。 相應的有窮 級整函數及 3 個值 (有限) 時, 早先由波里雅 (Polya)1921年就得到了。
此理論到目前為止可說幾乎完備了, 已 經收錄在內伐里納著名的專論 [1929a]中, 但 其中大部份已在 [1925g]一文中刊載, 該文 據利伐圖認為是內伐里納最重要的工作。 魏 爾 (Weyl) 於 1943 年稱讚該文“為本世紀少 有的偉大數學事蹟之一”。
到目前為止, 所有的證明都是解析性的 及基於劍森定理的推廣, 其被發明者內伐里 納稱之為坡松-劍森 (Poisson-Jensen) 定 理。 此後此定理在函數論方面扮有根本性的 角色, 竟達到有次波艾司 (Boas) 對我說 (或帶有些誇張性)“任何有關亞純函數的結 果, 如果不是經由坡松-劍森定理導致的就不
會是正確”。 而坡松-劍森公式是可依據劍森 公式 (1) 並將 |z| ≤ r, 映照到本身同 時把 0 映到一特定的點 ξ 的分式線性變 換, 這樣一來可將 log |f (ξ)|, 可藉由邊界值 log |f (reiθ)| 及 f 在 |z| < r 內的零點及 極點來表示。 解析的技巧使得人們很容易去 比較一些函數的和、 乘積、 導函數及其它組合 的特徵函數及值分布的性質。 然而在 1930 年 代初期, 引進了兩個技巧新照亮了值分布論, 一個就是阿爾福斯 [1929年]及多少有點歸日 人清水辰次郎–譯為註 (Shimizu) 的幾何方 法及另一個弗羅司特曼 (Frostman) 的位勢 論方法。 第一種方法得到同樣的第一基本定 理形式, 即 (阿爾福斯 [1929], 清水辰次郎 [1929]):
m0(r, a) + N(r, a) = T0(r) + m0(0, a)。
這兒 T0(r) 為 |z| < r 在映照 f (z) 之下在 黎曼球面上的映像集計重度的面積 A(r) 的 對數的積分, 同時
m0(r, a) = 1 2π
Z 2π
0 log 1
k(f (reiθ), a)dθ 其中
k(w1, w2) = |w2− w1|
q(1 + |w1|2)(1 + |w2|2) 為在黎曼球面上兩點 w1, w2 的弦距。 利用這 些想法, 阿爾福斯於 [1935 年]得到了一個第 二基本定理, 把 A(r) 和在 |z| = r內被 p 對 1 地映照到相互不相交的單連通域 Dν 的區 域 (稱為島嶼) 的數目, p 為島嶼的覆蓋度。
內伐里納於 1936 年, 把弗羅司特曼 [1935]的容量 (Capacity) 的概念作推進得
以證明 [1936a]。 對給定的正數 α > 12, 任 何在 |z| < R 內特徵函數為無界的函數, 下 式:
m(r, a) = O{T (r)α} r → +R (10) 對所有的 a 值, 除了一個具容量為 0 的值的 集合 E 外成立。 另一方面, 若 E 為任一容量 為 0 的密緻子集, 則必存在有一在 |z| < 1 具有無界特徵函數的函數 f , 其不取任何E中 的值。 於是對任何 a ∈ E, 當 r → 1 時
N(r, a) = 0, m(r, a) = T (r) + O(1), 與此相關的結果, 容許較大的例外值集, 更強 的結果, 稍早已由立特武德 [1930]及阿爾福 斯 [1931]所得, 內伐里納早在 [1925g]中就 證明若 f (z), 在平面上的特徵函數為有界的, 則只有當 f 為一常數, 在有限的圓盤 |z| <
R 上的特徵函數為有界時只有當 f = f1/f2, 此處 f1 及 f2 在 |z| < R 內為正則的且 在 |z| < 1 上, |fj(z)| < 1; j = 1, 2。
於是式 (10) 可視為與函數在孤立奇異點鄰 域舉止的魏爾斯特拉斯 (Weierstrass) 定理 的一深遠的推廣, 內伐里納 [1936c]也曾討 論容量為 0 的豪司道夫 (Hausdorff) 測 度及得到廣義的康托 (Cantor) 集的一完整 刻劃。 在這段期間另一些貢獻包括有發明了 調和測度及其相關連的原理, 哈大瑪達的三 圓定理得以有一強力的推廣, 內伐里納曾在 [1933e] 中用一相關的構想得到密爾魯 (Mil- loux) 不等式的確切形式, 該結果同時由伯林 (Beurling)[1933]得到, 其一較弱形式稍早由 史密特 (Schmidt)[1932]得到, 現一般稱之 為史密特–伯林不等式, 其實並不是很恰當的, 它在整函數的研究中已顯示出為一根本工具,
這些及其它一些結果編寫成書 [1936a]自書 出後對函數論者有了很大的啟示, 該書也如 同他後來寫的一些書, 被翻成俄文及英文以 及有幾版德文的。
和上面所提到的內伐里納的貢獻, 他 其它的工作就顯得處於下風了, 他終其身 不斷地寫了許多論文及書, 包括不同的課 題由彈道學 [1943a] 到教育 [1953d,e]。
他在黎曼面 (Riemann Surfaces) 的書 [1953d]是此課題方面最有價值的書之一。 潑 利次耳 (O. Pretzel) 有次告訴我, 他覺得 對羅爾夫和弗利雪俄夫合寫的有關免坐標分 析一書 [1959f]很有興趣。 內伐里納和巴台魯 (Paatero)[1965c]寫了一本 (解析函數論方 面的–譯者註) 初等教科書 [1965c]。 然而在 他一篇綜述性的演講 [1966b]中, 他對複分析 方面 1936 年以後的進展, 一字未提。 或許是 因為他並沒積極關注世界各地為數日多的年 青敬佩者, 對他的理論所作的種種改良及應 用。 有關這方面理論一直到 1975 年的種種成 果可參閱阿爾福斯 [1976]一文。
在過去一兩年間立克曼 (S. Rickman) 作了一突破, 他將匹克定理推廣到由 Rn 到 Rn 的擬正則 (quasiregular) 映照上去, 當 n > 2 時, 那是一個和正則映照, 最相近的 一概念, 內伐里納的一些構想在立克曼的證 明中發揮了主要性的功用, 譬如虧量關係式, 毫無疑問的此理論會在今後多年中盛放的。
譯者尾註 :
事實上值分布論在中國也很早就受到它 的影響, 熊慶萊及庄圻泰都是這方面研究的
姣姣者, 他們也培養及帶動一大批優秀的中 青年人繼續把值分布的理論及應用深入化。
值得一提的是, 值分布論方面近年的一個突 破是著名的 Nelvnlinna 臆測, 即第二基 本定理, 當 q 個值用 q 個小函數來取代 仍然成立, 已在 1986 年被史旦米茲 (Stein- metz) [J. Reine Angeiv Math. 368 (1986), 134-141]所證明, 而其證明用的關鍵 技巧是來自庄圻泰教授的, 目前值分布理論 被應用來探討所謂分解論的一新課題。 譯者 算是這方面研究的先驅者 [參看庄圻泰–楊重 駿所著的亞純函數的不動點與分解論, 北大 出版社, 1988 年]。 現這方面研究已開始推展 到多複變數的亞純函數或映照上來 [參看譯 者和龔昇主編的 Several complex variable in China, Contemporary Math. Series Vol. 142, A.M.S. , 1993], 另外是有關 5 值 定理以及一些推廣在近年來也有許多進展及 推廣。 這些已編入由譯者和儀洪勛所著的“亞 純函數唯一性理論”, 已由中國科學出版社, 1995 年 9 月出版。
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—本文作者任教於香港科技大學數學系—
