布朗運動簡介

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布朗運動簡介

黃文璋

布朗運動(Brownian motion) 又稱 Wiener 過程, 為最早被徹底研究的一個過程, 與 Po- isson 過程同為應用機率中最重要的兩個過程。

在 1827 年, 英國植物學家 Robert Brown (1773-1858) 在顯微鏡中觀察到, 懸浮於溶液中之微小的粒子, 呈現一連續而不規則的運動。當然這種現象不只在液體中才有, 如果我們稍加留意, 當陽光射進陰暗的房間時, 從光束中可看到很多飄動的灰塵, 這也是布朗運動所產生的效應。

不過布朗並非第一位提出此現象存在的人, 從 17 世紀開始, 荷蘭博物學家 Leeu- venhoek (1632-1723) 以及後來的許多科學家都先後注意到此現象。但布朗的探討引起科學界的重視, 因此後來便以布朗運動稱呼此現象。布朗之後科學家相繼研究, 並對布朗運動產生的原因提出解釋。起初科學家以為布朗運動的產生是由於粒子本身是“活的”(alive), 但法國數學家及物理學家 Poincar´e (1854-1912) 以為這違反熱力學第二定律 (second law of thermodynam- ics)。今日我們知道布朗運動之所以產生, 乃是因粒子被其四周的分子連續不斷的撞擊所

造成的一種運動 (在溶液中於正常情況下, 一特定的粒子, 每秒約受到10²⁰ 次的撞擊。)。

在 1905 年, 愛因斯坦 (Einstein) 利用物理中分子動力學 (kinetic molecular theory) 的原理以數學方式來描述布朗運動。他起先是要導出布朗運動可能存在, 後來才知道此運動早就被觀測到了。令X(t)表粒子在時間t於x軸之位置 (即只考慮一維的布朗運動) , 且設X(t₀) = x0為在起始時間t₀之位置。若假設移動對時間為齊性 (即有定常增量,stationary increments, 則可將t₀取為 0。

另外, 獨立增量也假設成立, 且以 ft(x)表布朗運動於時間t位置在x之 p.d.f.(機率密度函數)。愛因斯坦證明ft(x)滿足下述偏微分方程式:

∂f

∂t = D∂²f

∂x², (1)

其中D稱為擴散係數, 為一大於 0 之常數。

若我們改變尺度, 上式可轉換為熱力方程式 (heat equation)∂f /∂t = ¹₂∂²f /∂x²。不難證明 (1) 式之解為

ft(x) = 1

√4πDte^−(x−x⁰⁾²^/4Dt。 (2)

1

(2)

藉由物理上的性質, 愛因斯坦證明擴散係數D = 2RT /Nf , 其中R為理想的氣體係數 (gas constant),T 為絕對溫度,N為亞佛加德羅數 (Avogadro number),f 為摩擦係數, 此係數與溶液的黏性及粒子之性質有關。其後不久, 根據愛因斯坦所建立之模式,Perrin 經過一系列之實驗, 給了一與目前所接受之亞佛加德羅數差距不超過 19%之估計值。此結果很能支持分子動力學的理論, 而在此之前仍有許多物理學家對這理論抱存疑態度的。 Perrin還指出愛因斯坦的模式描述出一到處不可微之連續函數。這種函數在此模式被提出之前, 是被大多數的數學家認為是一種刻意製造而無太多數學價值的函數。

另外,Bachelier 以賽局論來研究股票價格之波動, 並在他1900年出版的博士論文中, 提到其模式可應用到物理中的布朗運動。在他後來的研究中, 他給出一些關於布朗運動的函數之分佈。

在這段研究布朗運動的期間, 數學理論的發展卻顯得較緩慢, 此因要適當地用數學來描述此模式較困難。在 Lebesgue 提出關於測度論的論文之後約 20 年,Wiener(1923) 對於布朗運動首度給出較簡明的數學公式, 他並證明布朗運動的樣本路徑幾乎到處連續。

在 1933 年,Wiener 又與 Paley 及 Zyg- mund 共同證出布朗運動的樣本路徑幾乎到處不可微。另外 Khintchine(1924) 發現布朗運動之疊對數法則 (law of the iterated logarithm)。

自 1939 年起,L´evy 對布朗運動做出許多深入而且徹底的結果, 可以說在他之後只

剩一些細節方面的推廣。後來他又研究多維布朗運動, 並將結果推廣到一般的抽象空間, 特別是 Hilbert 空間。

由於 Wiener 及 L´evy 之顯著的貢獻, 布朗運動有時又被稱為 Wiener 過程或 Wiener-L´evy 過程。

底下我們用一簡單的方式來介紹布朗運動, 即將布朗運動視為一隨機漫步之極限。

假設溶液中之某粒子平均每△t的時間受到一次碰撞, 每次碰撞後產生一很小的移動, 此移動設為隨機且與原來位置獨立。為了簡便, 只考慮在某一特定方向之移動, 且設每次移動+△x或−△x之機率各為p及q = 1−p。此粒子之移動可視為在一維中之隨機漫步, 每次移動之單位為△x。若裝液體之容器很大, 則可假設此粒子之起始位置離容器之邊界均很遠。將此粒子之起始位置設為原點, 則在時間t之位置X(t)可表示為

X(t) =△x(I1+· · · + I[t/△t]) (3) 其中I_i = 1 或 −1依第i次之位移為+△x 或

−△x而定,[ ] 為高斯函數, 又

P (Ii = 1) = 1− P (Ii =−1) = p。

適當地選取上述這些參數, 則由中央極限定理可得X(t)趨近一常態分佈。更明確地說 , 若令

△x = σ^q△t, p = 1

2+

√△t 2σ µ,

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此處µ,σ 為二固定常數且σ > 0, 則當△t → 0時 (因此△x → 0 且p → ¹₂),

X(t)− µt σ√

t

−→ Φ,d (4) 其中Φ為N (0, 1)分佈。即證出

(i) X(t)有期望值為µt, 變異數為σ²t之常態分佈。

又因粒子在不相交時區之移動為相互獨立, 故又有

(ii) {X(t), t ≥ 0}有獨立增量。

由 (i) 及 (ii) 立即可知X(s + t) − X(s)有N (µs, σ²s)之分佈。最後由於在任一時區中之位移只與此時區之長度有關, 故

(iii) {X(t), t ≥ 0} 有定常增量。

此外尚有其它不同的方式來引進布朗運動。

令X(t)表溶液中某粒子於時間t在某方向之位置。設{X(t), t ≥ 0}滿足下述三個條件 X:

(i)^′ {X(t), t ≥ 0}有獨立增量;

(ii)^′ {X(t), t ≥ 0}有定常增量;

(iii)^′ 對∀δ > 0,

limh↓0P (|X(t + h) − X(t)| ≥ δ)/h = 0。

(5) 可以驗證前述隨機漫步之極限滿足此三個條件, 因此 (i)^′-(iii)^′ 是一種較弱的假設。

底下我們解釋這些條件的意義。

首先條件 (i)^′與下敘述等價:

X(t + h)− X(t)與{X(u), u ≤ t}獨立,∀h > 0, t > 0。

因此條件 (i)^′表粒子在時區[t, t+h]之位移, 與在這之前, 即時間 0 至t之位置皆獨立。

當然這只是一個粗略的假設。從物理上來看, 比較正確的說法是, 在時區 [t, t+h]因分子的撞擊, 而傳給粒子的動力, 與在時間t之前的運動無關。此假設只有當由在時區 [t, t+h]之起始速度所造成之位移, 與在時區[t, t + h]之動力所產生之位移相比很小才有效。由建立模式的觀點, 這是三個條件中最差的一個, 不過我們還是接受此假設。

條件 (ii)^′則算是相當合理的假設。它表示此粒子的移動, 對時間而言為齊性, 即在任一時區之位移的分佈, 只與此時區之長度有關, 而與此時區在何處無關。只要粒子所在之容器很大, 便可做此假設。

再看條件 (iii)^′, 我們覺得每一粒子移動的樣本路徑應該都是連續的, 而不會有突然的跳升或降落。現將時區[0, s]分成n等份, 每份長度為h = s/n。若此粒子之移動為連續, 則當h→ 0(即n → ∞) 時, 在某種意義下,

g(h) = sup

1≤i≤n|X(ih) − X((i − 1)h)| (6) 須趨近至 0。至少我們希望對∀δ > 0,

limh↓0P (g(h)≥ δ) = 0。 (7) 由條件 (i)^′, 隨機變數Yi =|X(ih)−X((i−

1)h)|,i = 1, . . . , n, 為相互獨立。又由條件 (ii)^′,Y1, . . . , Yn有相同分佈。故

P (g(h)≥ δ) = 1 − P ( sup

1≤i≤n

Y_i< δ)

= 1− P (Y1< δ)ⁿ

= 1− (1 − P (Y¹ ≥ δ))ⁿ。 (8)

可看出上式趨近至 0 若且唯若nP (Y₁ ≥ δ)→ 0, 即

sP (|X(h) − X(0)| ≥ δ)/h → 0。 (9)

(4)

由於s < ∞, 再利用條件 (ii)^′定常增量的性質便得證 (5)。

為了簡便我們再多做一個假設, 令X(0)

= 0。此並非一限制, 因若X(0)不為 0, 只須考慮過程{X(t) − X(0), t ≥ 0}即可, 此過程仍滿足條件 (i)^′-(iii)^′。我們有下述定理。

定理1: 設{X(t), t ≥ 0}為一滿足條件 (i)^′-(iii)^′ 且 X(0) = 0之過程, 則存在常數µ及σ, 使得X(t)有N (µt, σ²t) 分佈。

證明: 對任意t > 0及n ≥ 1, 令h = t/n,Y_i = X(ih)−X((i−1)h)。則 X(t) =

P_n

i=1Yi, 其中Y1, . . . , Yn為 i.i.d. 之 r.v.’s。

令M_n = max1≤i≤nYi, 則如前, 利用條件 (iii)^′, 仍有 Mn P

−→ 0。由 Breiman (1968) Proposition 9.6 (見下註) 可得X(t)有常態分佈。

其次證明存在常數µ及σ, 使得E(X(t))

= µt,V ar(X(t)) = σ²t。令k1(t) = E(X(t)) , k2(t) = V ar(X(t))。則利用條件 (i)^′及 (ii)^′ 便得

k1(t + τ ) = E(X(t + τ ))

= E(X(t + τ )− X(τ)) + E(X(τ))

= k1(t) + k1(τ ), (10)

及

k₂(t + τ )

= E(X(t + τ )− k1(t + τ ))² (11)

= E(X(t + τ )−X(τ)−k1(t)+X(τ )−k1(τ ))²

= k₂(t) + k₂(τ )。

又由條件 (iii)^′知τ → 0時,X(t + τ) −→^d X(t), 由於已證出對∀t > 0,X(t)有常態分佈, 因此 τ → 0時,

E(X(t + τ ))→ E(X(t)), V ar(X(t + τ ))→ V ar(X(t))。

故k1(t)及k2(t)皆為連續函數。即得證 (見 Young (1958)) 此二函數皆為線性函數。

註: 令Sn = X₁⁽ⁿ⁾ + · · · + Xn⁽ⁿ⁾, 其中X₁⁽ⁿ⁾, . . . , X_n⁽ⁿ⁾ 為 i.i.d. 之 r.v.’s。

若Sn d

−→ X, 則max{X1⁽ⁿ⁾, . . . , X_n⁽ⁿ⁾}−→^d 0若且唯若X有常態分佈。

經過上述討論, 底下我們正式給布朗運動之定義。

定義1: 一隨機過程{X(t), t ≥ 0}稱為布朗運動若其滿足:

(i) X(0) = 0且 X(t)在t = 0連續;

(ii) {X(t), t ≥ 0}有定常及獨立增量;

(iii) 對∀t > 0,X(t)有N (µt, σ²t)之分佈, 其中 µ,σ為二常數。

上述二常數µ及σ²分別稱為布朗運動之偏差(drift) 及擴散係數(diffusion coeffi- cient)。若µ = 0且σ² = 1, 則此過程稱為標準(standard)布朗運動。由於若令X(t) =^f (X(t) −µt)/σ, 則過程{X(t), t^f ≥ 0}為一標準布朗運動, 即可將一任意之布朗運動轉換為一標準布朗運動, 故我們通常只須考慮標準布朗運動。

以隨機漫步之極限來解釋布朗運動, 使我們聯想到 (幾乎所有) 此過程之樣本路

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徑應該是一 t之連續函數。另外, 由於為隨機漫步之極限, 每一樣本路徑永遠是很尖的 (pointy) 或說是很糾結的 (kinky) 而到處不平滑 (smoo- th), 因此X(t)應該 (幾乎) 到處不可微。事實上此二猜測都是對的。

由於{X(t), t ≥ 0}具有獨立增量的性質, 因此亦為一 Markov 過程。又因X(t)有常態分佈, 期望值為 0, 變異數為t, 其 p.d.f.

為

ft(x) = 1

√2πte^−x²^/2t。 (12) 再利用定常及獨立增量, 對任意n > 1及0 <

t1 < t2 < . . . < tn, 可得到 X(t₁), . . . , X(t_n)之聯合 p.d.f. 如下。

f (x₁, x₂, . . . , x_n)

= ft¹(x1)ft²−t¹(x2− x1)· · · ftⁿ−tn−1(xn− xn−1)。 (13)

有了 (13) 基本上我們可算出任何想要之機率。例如, 若要求在給定X(t) = a之下 ,X(s)之條件分佈,0 < s < t, 則

f_s|t(x|a) = f_s(x)f_t−s(a− x) f_t(a)

=

√t

p2πs(t− s)exp{−x²

2s− (a− x)² 2(t− s) +a²

2t}

= C exp{−t(x− as/t)²

2s(t− s) }。 (14)

因此對0 < s < t, 給定X(t) = a,X(s)亦有常態分佈, 期望值及變異數分別為

E(X(s)|X(t) = a) = as/t, (15) V ar(X(s)|X(t) = a) = s(t−s)/t。 (16)

由 (16) 得知給定X(t) = a,X(s)之條件變異數與a無關。若令s/t = α, 0 <

α < 1, 則給定X(t),X(s)之條件分佈有期望值為αX(t)變異數為 α(1− α)t之常態分佈。

由 (13) 可得X(t₁), . . . , X(t_n)有多變量常態分佈, 因此標準布朗運動過程為一高斯過程 (Gaussian process)。高斯過程之定義為

定義2: 設有一隨機過程{X(t), t ≥ 0}, 若對任意n > 1 及0 < t¹ <

· · · < tn,X(t₁), . . . , X(t_n)有n變量之常態分佈, 則{X (t), t ≥ 0}稱為高斯過程。

由於多變量常態分佈可由邊際期望值及共變異數的值所決定, 因此標準布朗運動也可定義為一高斯過程, 期望值為E(X(t)) = 0, 且對∀s ≤ t

Cov(X(s), X(t))

= Cov(X(s), X(s))

+Cov(X(s), X(t)− X(s))

= s,

其中最後一等式用到V ar(X(s)) = s及獨立增量的性質。

定理2: 一高斯過程 {X(t), t ≥ 0} 為標準布朗運動, 若且唯若 E(X(t)) = 0 且 Cov(X(s),X(t)) = min{s, t},∀s, t ≥ 0。

系理1: 若{X(t), t ≥ 0} 為偏差為µ, 擴散係數為σ²之布朗運動 , 則Cov(X(s), X(t)) = σ²min{s, t}。

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參考文獻

布朗運動發展至今, 此過程及它的各種推

廣, 在許多領域諸如經濟學、交換理論 (commu- nication theory)、生物學、管理科學、數理統計及量子力學中都有廣泛的應用。

Karlin and Taylor (1975) Chapter 7 對布朗運動做了很詳盡的介紹, 本文很多題材取自該處。 Karlin and Taylor (1980) Chap- ter 15 也有許多關於布朗運動之例子及應用。

L´evy(1954) 一書中有關布朗運動的章節不論在觀念及結果方面都非常豐富。 Itˆo and McKean (1965) 及 Freedman (1971) 是兩本較深但也很重要的書。李育嘉 (民國 74 年) 及謝南瑞 (民國 81 年) 也是兩篇值得參考的相關著作。

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2. Bachelier, L. (1900), Théorie de la spécul- ation, Ann. Éc. Norm. Sup.

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4. Itˆo, K. and McKean, H. P. Jr. (1965), Diffusion Processes and Their Sample Paths, Springer-Verlag, Berlin.

5. Karlin, S. and Taylor, H. M. (1975), A First Course in Stochastic Processes, 2nd ed., Academic Press, New York.

6. Karlin, S. and Taylor, H. M. (1980), A Second Course in Stochastic Pro- cesses, Academic Press, New York.

7. Lévy, P. (1954), Théorie de l’Addition des Variables Aléatoires, 2nd ed., Ganthier-Villars, Paris.

8. Paley, R., Wiener, N., and Zygmund, A. (1933), Note on random functions, Math. Zeit., 37, 647-688.

9. Wiener, N. (1923), Differential space, J. Math. Phys., 2, 131-174.

10. Young, G. S. (1958), The linear func- tional equation, Amer. Math. Month.

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11. 李育嘉 (民國 74 年), 漫談布朗運動, 數學傳播, 第 9 卷第 3 期,22-31。

12. 謝南瑞 (民國 81 年), 若干機率論與分析學的關連與互動, 數學傳播第 16 卷第 4 期。

—本文作者任教於國立中山大學應用數學系_—