wfww wfwwwfww fwwfww fwfw r r B (Oscillations)

六、振動(Oscillations)

6.1 等速圓周運動與簡諧運動(SHM Simple Harmonic Motion)

在第四章我們得知，當質點沿著曲線運動時，其加速度（源自約束力）為 n

t n t

a s a_t a_r

s + = +

= ρ

&2

&

&

考慮等速圓周運動的情況時，切線加速度 at為零，而法線加速度 ar為 rω²=v²/r (r=ρ)，方向為朝向圓心。在第一章運動學時知道，若以直角座標系描述等速圓 周運動，則其位移為

) sin(

) cos(

& = ω +φ = ω +φ +

=xi yj　　　　x r t 　　y r t r

而其速度與加速度為

) cos(

)

sin(ω φ ω ω φ

ω + = +

−

= +

=v_xi v_yj　where　v_x r t 　v_y r t v

2 2

2

2cos(ω φ) ω ω sin(ω φ) ω

ω t x a r t y

r a where a

a_x + _{y x} =− + =− _y =− + =−

= i j　 　 　

a

若只考慮等速圓周運動於一維方向的分量運 動（如 x 軸分量），則其位移（如上面式子所 示）隨時間的變化將為一簡單的正弦（或餘弦）

函數（如圖），一般稱此運動為簡諧運動 (SHM)。我們定義當位移經過一固定的時間 T 之後，會完全重複原先的變化，也就是對任意 時間 t 而言 x(t+T)=x(t)皆會成立，則我們稱此 運動為週期性運動，而 T 為該運動的週期 (period)。由此可知，上述運動的週期為（繞 一圈或角位移為 2π所需時間）T=2π/ω。習慣 上，我們常以每單位時間內週期性運動重複幾 次來描述此週期性運動，我們稱之為週期性運 動的頻率(frequency) f，f =1/ T = ω/2π，而ω稱 之為該運動的角頻率(angular frequency)。頻

率的單位為 s^-1或 hertz (Hz)。正弦（或餘弦）函數中的變數值(ωt+φ)被稱為該運 動的相位(phase)，所以對圓周運動而言，速度與位移的相位差為 90^o或π/2，而 加速度與位移的相位差為 180^o或π。

以動力學的觀點來看，簡諧運動為物體受力致使運動狀態隨時間而變化，而 其受力大小根據牛頓運動定律為

kx x m t

mr t

ma t

F_x( )= _x( )=− ω² cos(ω +φ)=− ω² =−

所以簡諧運動的形成主要為物體受到一恢復力(restoring force)的影響，亦即受力 的方向與偏離平衡點（受力為零之處）的位移方向相反，且此力的大小線性正比 於其偏移量的大小。由此敘述我們知道，符合此狀況的最直接例子為彈簧系統。

考慮彈性係數為 k 的彈簧系統中，一質量為 m 的物體連結於此彈簧上，當彈簧 壓縮量為 x 時，物體所受的力為

2 2

dt x md x m kx ma

F = =− = &&= 這顯示此物體的位移滿足微分方程

　　 x

dt x d m

define k mx

k dt

x

d ₂

2 2 2

2

2 =− ω = ⇒ =−ω

滿足此微分方程之解的一般形式為

) / ( tan ,

);

sin(

sin

cos t B t x C t C A² B^{2 1} A B A

x = ω + ω　或　 = ω +φ 　其中　 = + 　φ= ⁻ 此為前面所敘述的簡諧運動，而其週期與頻率為

m k f T

k T m

π π ω

π

2 1

; 1 2 2

=

=

=

= 　

例題一：一質量為 1300kg 車子的避震器彈性係數為 20,000N/m。當它乘載兩個 人總質量為 160kg 時，路經一坑洞使得車子上下震動，問其振動頻率為何？

由上式結果

kg Hz m N m

f k 1.18

350 / 20000 2

1 2

1 = =

= π π

例題二：一 0.5kg 的物體連接在彈性係數為 20N/m 的彈簧上，沿著無摩擦力的水 平面做簡諧運動。（一）假若此物體的振幅為 3.0cm/s，求此系統之能量與該物體 之最大速度。

由第三章中運動常量所導致的守恆量為

J kx

E const

kx mv

U K

E = + = ¹₂ ² + ₂^{1 2} = .　　⇒　　 = ₂¹ _max² =9.0×10⁻³ s

m v

mv U

K

E = + =¹_{2 max}² 　　⇒　　 _max =0.19 /

（二）當為移量為 2.0cm 時，物體的速度為何？

(

)

m k m kx m

v E 0.141 /

2

2 2 2

±

=

−

=

−

±

=

6.2 單擺(Simple Pendulum)與物理擺(Physical Pendulum)

單擺為另一種常見的做週期運動的機械裝置。考慮一長度為 L，質量可忽略 的繩子，其一端固定，另一端繫一質量為 m 的物體。當其與垂直線夾一微小角

度時，因重力的因素會使該物體回到垂直位置

（如圖所示）。由牛頓定律我們有

∑

當角度不大時，sinθ ≈ θ。再將弧長 s = Lθ代 入，單擺的運動方程可重新寫為

θ θ L g dt

d²₂ =−

此運動方程與由彈簧系統所得到的微分方程 一樣，所以符合此運動方程的解為

) cos(

)

( θ_max ω φ θ t = t+

角位移對時間為一簡諧運動，擺動週期與頻率為

g L T f

L f g

L

g π

π π

ω ω 1 2

2 ; 1

; = 2 = = =

= 　　　　 　　　　

思考問題：若將繩子改為彈簧，彈簧掛上物體後的平衡長度為 L，問此擺的週期 會大於、小於或等於繩子擺？

例題三：Christian Hyugens (1629-1659), the greatest clockmaker in history, suggested that an international unit of length could be defined as the length of a simple pendulum having a period of 1 s. What would it be in unit of meter?

Solving the equation above, we get g m

L T 0.248 4 ²

2 =

= π

假若擺的質量並非集中於擺長的另一端，而是須要考慮質量 於空間的分佈（如圖所示），則我們稱此為物理擺(physical pendulum)。此問題可以剛體轉動運動來考慮。若已知物體的 質心到轉動點(pivot point)的距離為 d，而此物體相對於此點 的轉動慣量為 I，則因重力對此系統所施的力矩而產生的運 動為滿足：

∑

式子中的負號代表力矩的方向為減小角度值的方向。同樣 的，我們考慮當擺動的角度不是很大時：

θ ω θ θ

θ

θ ²₂ ²

sin  =−



 



−

=

⇒

≈ I

mgd dt

d

由於此微分方程的形式與前面的一樣，故此擺動對角度值而言為一簡諧運動。其 週期為

mgd

T π I

ω π 2 2 =

=

例題四：A uniform rod of mass M and length L is pivoted about one end and oscillates in a vertical plane. Find the period of the oscillation if the amplitude of the motion is small.

We can find the moment of inertia in the previous chapter to be I = ML²/3.

Substituting these quantities into the equation gives

g L L

Mg T ML

3 2 2 2

2 1 2 3

1 π

π =

=

扭擺(Torsional Pendulum)

當物體為一長線所繫住時，以此線為軸，物體被扭轉一微小 角度θ（如圖）。繩索因此角度扭轉而施予此物體一力矩，其 大小與扭轉角度成正比，方向為減小此扭轉角度的方向。由 此我們可以寫出此系統的運動方程為

θ ω κθ

θ κθ θ

τ=− = ²₂ ⇒ ²₂ =− =− ² I

dt d dt

I d 　　 　　 所以，扭擺亦為一簡諧運動。其頻率為

π κI T =2

此系統稱為扭擺。在此我們並不強調扭轉角度大小的限制。

只要此扭轉(twisting)對此繩索而言仍然在彈性的範圍之內，

力矩的大小與角度成正比的關係仍成立，上式的結果不變。

6.3 阻尼諧振子(Damped Oscillators)

前面幾個章節所討論的簡諧振盪子皆為理想狀況下的結果，在實際的振盪 系統中常常有耗散(dissipative)的現象，如摩擦力、空氣阻力等的存在。因而，對 實際的振盪系統而言，因有非保守力的存在，其力學能會隨時間的變化而減小，

我們稱此類系統為擁有阻尼的(damped)。一般中較常見到的狀況為阻尼正比於運 動速度的例子，考慮一系統的阻力(retarding force)為 R=-bv，恢復力(restoring force) 為-kx，則由牛頓運動定律可得

∑

此運動方程與所熟悉的簡諧運動微分方程差異於多出一次微分項。在此微分方程 中，對函數 x 而言為齊次方程，故在解此類型的微分方程時，我們可以複數形式

Ae t

x = ^λ

當成微分方程一般解的形式。首先將微分方程整理成 0 2

2 ₂ ²

2

2 = = ⇒ + + x=

dt dx dt

x d m

b m

k

o

o γ γ ω

ω 　　 　　 　　

令　　

再將此一般解形式代入方程中可得特徵方程

0 2

0

2 ^{2 2 2}

2x+ γλx+ω_ox = ⇒ λ + γλ+ω_o =

λ 　　 　　

此特徵方程的兩個解為

t t

o² x A₁e ¹ A₂e ²

2 2

, 1

λ

ω λ

γ γ

λ =− ± − 　　⇒　　 = +

（一）過阻尼情況(overdamped oscillator)

2 2

ωo

γ >

此時特徵方程的兩個解不相等，且皆為負實 數。由上列解的形式可知，x 為一指數衰減 形式。故此運動不是振動，而是非週期性衰 減運動。（如圖之(c)曲線）

（二）臨界阻尼情況(critical damped oscillator)

2 2

ωo

γ =

此時特徵方程的兩個解相等λ1 =λ2 =−γ ，若將此結果代入一般解的形式 中，僅能給出一個任意常數的解，故此並非最終的通解形式。數學上很容易 證實，此時通解的形式應該為

e t

t A A

x=( ₁+ ₂ ) ^−γ 故此運動也不是振動，而是非週期性衰 減運動。（如圖之(b)曲線）

（三）阻尼不足情況(underdamped oscillator)

2 2

ωo

γ <

此時特徵方程的兩個解為共軛複數，故 其運動通解為一般解的實數部分

( )

{

}

x =Re ^−γ 1 ^ω′ + 2 ^−ω′

其中指數函數為複數時可根據歐拉公 式(Euler’s formula)e^±iθ =cosθ±isinθ 此形式有時亦可改寫成

θ

γ θ

ω

ω′= _o² − ²;C₁ = ₂¹ A_oeⁱ ;C₂ = ₂¹ A_oe⁻ⁱ

) cos(ω θ

γ ′ +

=

⇒ x A_oe^−t t

因此，在阻尼不足的情況下，振子的振動幅度隨時間呈指數衰減之諧振動。

思考問題：An automotive suspension system consists of a combination of spring and shock absorbers, as shown in the figure. If you were an automotive engineer, would you design a suspension system that was underdamped, critically damped, or

overdamped?

6.4 受迫諧振子(Forced Oscillator)

假若對系統加一外力，在某些條件之下，則此力對系統所作之功，有可能剛 好彌補因阻尼產生的能量消耗。習慣上我們稱有外力作用的振盪系統為，受迫諧 振子。最常碰到的例子為阻尼振盪子受到一週期函數形式的外力驅動，譬如 F = Fo cosωt, 其中ω為外力週期之角頻率，而 Fo為常數。所以受迫諧振子的運動方 程為

∑

為計算方便起見，我們將之改寫為

m t x F dt

dx dt

x d m

b m

k _o

o

o γ γ ω ω

ω , 2 ₂ 2 ² cos

2

2 ≡ 　　 ≡ 　⇒　 + + =

因外力項的存在，使得此微分方程為非齊次方程。根據線性微分方程的理論，此 方程的解為相對應齊次方程的通解與非齊次方程的任一特殊解之和。為方便求得 特解，我們先求此方程的複數形式

m i F

A Ae

x m e

x F dt

dx dt

x

d _o

o t

i t

i o

o = ⇒ = ⇒ − + =

+

+2 ² ( ^{2 2} 2 )

2

2 γ ω ^ω 　　 　特殊解形式 ^ω 　 ω ω γω 由此我們解得

(

)

+ =

= − ^{+ −1} _{2 2}

2 2 2

2 2 2

2

tan 2 4

/ 2

/

o t

i

o t o

i o

o F m e where

i e m x F

ω ω φ γω

ω γ ω

γω ω ω

ω

φ ω

ω 　　 　　

取其實數部分即為此方程的特殊解，加上齊次方程的通解後，可得一般解形式為

) cos(

)

cos(ω +φ + ^γ ω′ +θ

=c t ae⁻ t

x ^t

，其中

(

)

(

)

/ 4

/



 

 +

− + =

= −

m b m F m

c F

o o

o o

ω ω ω ω

γ ω

ω

為了便於探討，我們將響應之振幅寫為

[ ]

(

)

(

)

/

γ ω γ γ

ω

ω − − + −

=

o o

o m

c F

（一）當ω=0 時，

k F m

c F ^o

o

o =

= /₂

ω 。此時外力為

常數，故最終結果為位移對平衡位置產生一靜偏移。

（二）當0<ω< ω_o² −2γ² 時，響應振幅 c 隨ω的增加而遞增。

（三）當ω= ω_o² −2γ² 時，響應振幅

2

2 2

/ γ ω

γ −

=

o

o m

c F 達到最大。我們稱此頻率

為共振頻率(resonance frequency)，而此時系統處於共振(resonance)狀態。

由上列表示式得知，共振頻率與響應振幅的大小與阻尼有關。阻尼越小 時，共振頻率越接近自然頻率ωo，而響應振幅將越大。相對的，當阻尼變

大時，共振頻率與響應振幅皆隨之減小，而當 0

2 = →

→ω^o γ_c ω_r

γ 時 。

（四）當ω> ω_o² −2γ² 時，響應振幅 c 隨ω的增加而遞減，並在頻率趨近於無 窮大時，振幅變為零。

共振吸收及 Q 值

對於一受迫諧振子而言，能觀察或測量到的物理量，常常不是振幅，而是維 持穩定振動所需的能量。考慮系統外力對系統所作之功率為

2 2

2 2 2

2 2

2

2 



 

 + 





+

 =

 

 + +

=

=

= dt

m dx dt

xdx dt

x d dt m dx dt x dx dt

dx dt

x m d dt F dx Fv

P γ ω_o ω_o γ

( )



 

 +  +

= 2 2

2 2

2 2 1 2 1

dt dE dt

m dx kx

x dt m

d & γ

上式中第二項為反抗阻尼所消耗之功，它永遠為正值。第一項為振子之力學能變

化，當振動進入穩定態之後，其週期平均值應為零 =0 dt T

dE ，所以在振動進入 穩定態之後的週期平均消耗功率為

) ( sin 2

2γ ² = γ ²ω^{2 2} ω +φ

= m x mc t

P &

利用數學結果 sin²(ωt+φ) = cos²(ωt+φ) =₂¹ sin²(ωt +φ)+cos²(ωt+φ) =1/2 我們可得

( )

[

]

2 2

4γ ω ω

ω

ω ω γ

γ = − +

=

o o

m mc F

P

這結果表示，系統對能量的吸收與頻率有關。習慣上，我們稱之為色散型 (dispersive)的。由其函數形式可知，當ω=ω_o時，平均吸收功率到達最大。

γ m P F^o

4

2

max =

當

(

)

( )

( )( )

2

2 ω ω ω ω ω ωω ω

ω_o − = _o + _o − ≅ _o − γ

ω

ω = ±

∴ _{P o}

max 2 1

此二ω的差值∆ω 2= γ稱為共振吸收曲線的寬度(width)。由前面的定義γ=b/m 得 知，當阻尼越小（或質量越大）時，吸收曲線的寬度愈窄，而吸收峰值愈高。換 言之，此系統的選擇性愈強，而吸收量愈大。為了表示一振動系統的吸收特性，

或所含的阻尼程度，一般常用品質因素(quality factor)Q 來描述，它定義為振子 平均能量與於一個週期內所耗散的能量之比乘上 2π

(

)

π ω

π 2 2 / 2 4

2

2 2

2 2 2 2 2 1 2 1

o o

x m

x m x

m P

T

Q E +

+ =

=

≡ &

&

在鄰近於共振時，ω約等於ωo，所以

ω ω γ ω

=∆

= ^{o o}

Q 2

故欲增加系統吸收的選擇性時，則需減少阻尼，亦即提升 Q 值。然而由其通解 的形式得知，阻尼小時瞬間變化項衰減越慢，使振子對驅迫力之響應得於較長時 間之後方為主導，故常常得於選擇性與反應外力變化之忠實性之間取得協調。舉 幾個例子：一般揚聲器的 Q 值約在 10 到 100 左右，水晶振盪約為 10⁴，光譜線 約為 10⁹，而雷射共振可達 10¹⁴！