v v v v v v v v  ++=  -+=  xyzxyzxayz ++= 31,22,323    zyxzyxzyx =++=++=+- 523532232 zyxzyxzyx =+-=+-=+- 62732302 zyxzyxzyx =+-=+-=++ 13544202

(1)

Ch 4.1 高斯消去法與矩陣習題二年____班座號：____ 姓名：

一、基本題

1.試解下列三元一次聯立方程式：

(1)







= + +

= +

−

5 2 3

5 3 2 2

3 2

z y x

(2)







= +

−

= +

−

= +

−

6 2 7

3 2 3

0 2

z y x

(3)







= +

−

= +

−

= + +

13 5 4

4 2

0 2

z y x

2.下列演算式是一個有關 x，y，z 方程組的高斯消去法：

2 1 1 3 1 1 10 1 1 10 1 1 10

1 1 3 10 2 1 1 3 0 7 17 0 1 1

1 2 2 1 1 2 2 1 0 1 1 9 0 3 7 17

a a a

b c

 −   −   −   − 

       

− → − → − − →

       

 −   −   − − −   − − 

       

→…

繼續進行矩陣的列運算，可求得 x，y，z 的解，試求序組(a，b，c)

3.已知三元一次方程組

3 1,

2 2,

3 2 3

x y z

x ay z + + =



− + =



 + + =



有無限多組解，試求 a 值

4.設二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c 的圖形通過(1，1)，(2，3)，(3，7)三點，試求函數 f (x)

5.給定坐標空間中四個向量

v

a ＝(1，1，2)，

v

b ＝(1，2，1)，

v

c ＝(3，4，5)，

v

d ＝(5，7，8)，試問

v

d 是否可表示成

v

a ，

v

b ，

v

c 的線性組合？如果可以，其表示方法是否唯一？

(2)

6.若增廣矩陣

1 3 7 0 1 1 0 2 5

c b a

 

 

 

經過一系列的矩陣列運算後可以化成

1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1

 

 

 

，試求序組(a，b，c)

7.作矩陣列運算解方程組，最後得到

1 2 3 1 0 1 2 2 0 0 a b

 

 

 

，試求 a，b 之值討論方程組的解

8.小芬利用高斯消去法解方程組

4,

2 1,

4 5 14

x ay z

x y bz

cx y z

+ + =



− − + = −

 + + =



得到增廣矩陣

1 1 1 4 0 1 5 7 0 0 11 11

 

 

 − − 

 

，試求 a，b，c 的值

9.試就 a 值討論方程組

1, 1, 2

x y z

x y az x ay z

+ + =



+ + =



 + + =



的解

三、挑戰題

10.在電路網中並聯的兩個電阻器，其電阻的計算公式為

1 2

1 1 1

R = R +R ，其中 R1，R2是原來電阻器的電阻，而 R 是並聯後 的電阻。給定 A，B，C 三個電阻器，並聯 A，B 得到的電阻是 48 歐姆(ohm)，並聯 B，C 得到的電阻是 80 歐姆，並聯 A，C 得到的電阻是 60 歐姆，則 A 的電阻為多少歐姆？

(3)

一、基本題

1.試解下列三元一次聯立方程式：

(1)







= + +

= +

−

5 2 3

5 3 2 2

3 2

z y x

(2)







= +

−

= +

−

= +

−

6 2 7

3 2 3

0 2

z y x

(3)







= +

−

= +

−

= + +

13 5 4

4 2

0 2

z y x

解：(1)

1 1 2 3 2 2 3 5 3 1 2 5

 − 

 

 

×（－2）

×（－3）→

1 1 2 3 0 4 1 1 0 4 4 4

 − 

 

 − − 

  ×（－1）→

1 1 2 3 0 4 1 1 0 0 3 3

 − 

 

 − − 

 

﹐

對應方程組為

2 3,

4 1,

3 3, x y z

y z z

− + =



− = −

 − = −



①

②

③

由③式得 z＝1﹐代入②式﹐得 y＝0﹐將 y﹐z 代入①式﹐

得 x＝1，故方程組的解為 x＝1﹐y＝0﹐z＝1

(2)

1 2 1 0 3 1 2 3 1 7 2 6

 − 

 

 − 

 

×（－3）

×（－1）→

1 2 1 0 0 5 1 3 0 5 1 6

 − 

 

 − 

  ×1→

1 2 1 0 0 5 1 3 0 0 0 9

 − 

 

 − 

 

 

﹐

對應方程組為

2 0,

5 3,

0 9, x y z

y z

− + =



− =

 =



①

②

③

，③式為矛盾式﹐故此方程組無解

(3)

1 2 1 1 1 1 2 4 4 1 5 13

 − 

 

 − 

 

×（－1）

×（－4）→

1 2 1 1 0 3 3 3 0 9 9 9

 − 

 

 − 

  ×（－3）→

1 2 1 1 0 3 3 3 0 0 0 0

 − 

 

 − 

 

 

﹐

對應方程組為

2 1,

3 3 3, 0 0, x y z

y z + − =



− + =

 =



①

②

③

，令 z＝t﹐t 為任意實數﹐可得 y＝t－1﹐則 x＋2t－2－t＝1﹐

移項得 x＝－t＋3，因此方程組有無限多組解﹐其解為

3 , 1 , ,

x t

y t

z t

= −



= − +



 =



t 為任意實數

2.下列演算式是一個有關 x，y，z 方程組的高斯消去法：

2 1 1 3 1 1 10 1 1 10 1 1 10

1 1 3 10 2 1 1 3 0 7 17 0 1 1

1 2 2 1 1 2 2 1 0 1 1 9 0 3 7 17

a a a

b c

 −   −   −   − 

       

− → − → − − →

       

 −   −   − − −   − − 

       

→…

繼續進行矩陣的列運算，可求得 x，y，z 的解，試求序組(a，b，c)

解：觀察原式

2 1 1 3 1 1 10 1 1 10 1 1 10

1 1 3 10 2 1 1 3 0 7 17 0 1 1

1 2 2 1 1 2 2 1 0 1 1 9 0 3 7 17

a a a

b c

 −   −   −   − 

       

− → − → − − →

       

 −   −   − − −   − − 

       

→…

比較①﹑②得 a＝3﹐比較③﹑④得 b＝3﹐比較⑤﹑⑥得 c＝9，得序組(3，3，9)

(4)

3.已知三元一次方程組

3 1,

2 2,

3 2 3

x y z

x ay z + + =



− + =



 + + =



有無限多組解，試求 a 值

解：

1 3 1 1 2 1 1 2 3 a 2 3

 

 

 − 

 

 

×（－2）

×（－3）→

1 3 1 1 0 7 1 0 0 a 9 1 0

 

 

− −

 

 − − 

  ×（－1）→

1 3 1 1 0 7 1 0 0 a 2 0 0

 

 

− −

 

 − 

 

﹐

對應方程組為

( )

3 1,

7 0,

2 0,

x y z

y z a y

 + + =

 − − =



 − =



因為方程組有無限多組解，故(a－2)y＝0 必為恆等式，即 a＝2

4.設二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c 的圖形通過(1，1)，(2，3)，(3，7)三點，試求函數 f (x)

解：將 x＝1，2，3 代入 f (x)中，可得方程組

1,

4 2 3,

9 3 7,

a b c a b c a b c

+ + =



+ + =



 + + =



①

②

③

將②－①，③－②得 2, 1, 3

5 4,

a b c a b a b

= + + =

 +



 + =



④

⑤

⑥ 將⑥－⑤得 2a＝2，即 a＝1，代入⑤式，得 b＝－1，將 a，b 代入④式，得 c＝1

因此函數 f (x)＝x²－x＋1

5.給定坐標空間中四個向量

v

a ＝(1，1，2)，

v

b ＝(1，2，1)，

v

c ＝(3，4，5)，

v

d ＝(5，7，8)，試問

v

d 是否可表示成

v

a ，

v

b ，

v

c 的線性組合？如果可以，其表示方法是否唯一？

解：設

v v v v

d =x a +y b +z c

＝(x，x，2x)＋(y，2y，y)＋(3z，4z，5z)＝(x＋y＋3z，x＋2y＋4z，2x＋y＋5z) 因此解

3 5,

2 4 7,

2 5 8,

x y z

+ + =



+ + =

 + + =



得

3 2 , 2 ,

,

x t

y t

z t

= −



= −

 =



t 為任意實數

故 d

v

可以表示成 a , b , c

v v v

的線性組合，其表示方法有無限多種

二、進階題

6.若增廣矩陣

1 3 7 0 1 1 0 2 5

c b a

 

 

 

經過一系列的矩陣列運算後可以化成

1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1

 

 

 

，試求序組(a，b，c)

解：經過矩陣列運算前後所對應的方程組的解不變 1 2 3 7

0 1 1 2 0 0 1 1

 

 

 

所對應的方程組為

2 3 7,

2, 1,

x y z

y z

z + + =



+ =



 =



其解為

2, 1, 1, x y z

=



=



 =



代入

1 3 7 0 1 1 0 2 5

c b a

 

 

 

3 7, ,

2 5,

x cy z

y z b

y az + + =



+ =



 + =



得

2 3 7,

1 1 ,

2 5,

c b a + + =

 + =



 + =



即

3, 2, 2, a b c

=



=



 =



故序組(a，b，c)＝(3，2，2)

(5)

7.作矩陣列運算解方程組，最後得到

1 2 3 1 0 1 2 2 0 0 a b

 

 

 

，試求 a，b 之值討論方程組的解

解：

1 2 3 1 0 1 2 2 0 0 a b

 

 

 

2 3 1, 2 2,

x y z

y z

az b + + =



+ =

 =

 。

(1)當 a ≠ 0 時，方程組恰有一解，其解為

(

^{− +}³ ^bâ ^{, 2}⁻²â^b ^, ^bâ

)

(2)當 a＝0，b＝0 時，方程組有無限多組解，其解為

3 , 2 2 ,

,

x t

y t

z t

= − +



= −

 =



t 為任意實數

(3)當 a＝0，b ≠ 0 時，最後一式 0＝b 為矛盾式，其方程組無解

8.小芬利用高斯消去法解方程組

4,

2 1,

4 5 14

x ay z

x y bz

cx y z

+ + =



− − + = −

 + + =



得到增廣矩陣

1 1 1 4 0 1 5 7 0 0 11 11

 

 

 − − 

 

，試求 a，b，c 的值

解：

1 1 1 4 0 1 5 7 0 0 11 11

 

 

 − − 

 

對應的方程組為

4, 5 7, 11 11,

x y z

y z

z + + =



+ =

 − = −



其解為 1,

2, 1, x y z

=



=

 =

 代入原方程組可得

1 2 1 4,

2 2 1,

8 5 14, a

b c

+ + =



− − + = −

 + + =



故得 1, 3, 1 a b c

=



=

 =

 。

9.試就 a 值討論方程組

1, 1, 2

x y z

x y az x ay z

+ + =



+ + =

 + + =



的解

解：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

a a

 

 

 

×（－1）

×（－1）→

1 1 1 1

0 0 1 0

0 1 0 1

a a

 

 

 − 

 

﹐對應的方程組為







=

−

=

−

= +

+

1 )

1 (

0 ) 1 (

1

y a

z a

z y

x

(1)當 a ≠ 1 時，方程組恰有一解，其解為(

1 2

−

− a a ，

1 1

−

a ，0) (2)當 a＝1 時，最後一式 0＝1 為矛盾式，其方程組無解

(6)

10.在電路網中並聯的兩個電阻器，其電阻的計算公式為

1 2

1 1 1

R = R +R ，其中 R₁，R₂是原來電阻器的電阻，而 R 是並聯後 的電阻。給定 A，B，C 三個電阻器，並聯 A，B 得到的電阻是 48 歐姆(ohm)，並聯 B，C 得到的電阻是 80 歐姆，並聯 A，C 得到的電阻是 60 歐姆，則 A 的電阻為多少歐姆？

解：設 A、B、C 三個電阻器的電阻分別為 x、y、z，由題意可得

1 1 1 48, 1 1 1

80, 1 1 1 ,

60 x y

y z

x z

 + =



 + =



 + =



①

②

③

2 + +

① ② ③

得1 1 1 1 40 x+ + =y z ④

將④－①，④－②，④－③得

1 1

80,

1 1

120,

1 1

240, x y z

 =



=





 =

即

80, 120, 240, x y z

=



=



 =



故 A 的電阻為 80 歐姆