114 4. Linear Transformations
當 T :Fn→ Fm 是 linear transformation 時, 我們可以利用 T 的 standard matrix rep- resentation [T ] 的 null space 來決定 T 的 null space, 也可利用 [T ] 的 column space 來 決定 T 的 range. 同樣的, 當 T : V → W, 為 linear transformation, 我們也可利用 T 的 matrix representation 來決定 T 的 null space 和 range. 分別選定 V 和 W 的 ordered basis β = (v1, . . . , vn) 和 γ = (w1, . . . , wm). 由前面的 commutative diagram, 利用 V → W 接著 W→ Fm 的路徑以及 V → Fn 接著Fn→ Fm的路徑, 對於任意 v = c1v1+··· + cnvn∈ V, 我們 有
[T (v)]γ = [T ]γβ
c1
... cn
. (4.1)
現 若 v∈ N(T), 表示 T(v) = 0, 因此由 [T(v)]γ = [0]γ =
0... 0
, 得 [T]γβ
c1
... cn
=
0... 0
, 亦即
c1
... cn
= [v]β 為 [T ]γβ 的 null space 的向量. 反之, 若
c1
... cn
∈ Fn 為 [T ]γβ 的 null space 的向量,
表示 [T ]γβ
c1
... cn
=
0... 0
. 故由式子 (4.1) 知, 當 v = c1v1+··· + cnvn 時, 我們有 [T (v)]γ=
0... 0
.
此即表示 T (v) = 0, 得證 v = c1v1+··· + cnvn∈ N(T).
另一方面, 若 w = d1w1+··· + dmwm∈ R(T), 表示存在 v = c1v1+··· + cnvn∈ V, 使得 T (v) = w. 因此由式子 (4.1) 知,
d1
... dm
= [T(v)]γ = [T ]γβ
c1
... cn
, 亦即
d1
... dm
是 [T]γβ 的 column
space 的向量. 反之, 若
d1
... dm
∈ Fm為 [T ]γβ 的 column space 的向量, 表示存在
c1
... cn
∈ Fn使
得
d1
... dm
= [T]γβ
c1
... cn
. 故由式子 (4.1) 知, 若令 v = c1v1+··· + cnvn, 我們有 [T (v)]γ=
d1
... dm
,
得證 d1w1+··· + dmvm= T (v)∈ R(T). 我們證得了以下的結果.
Proposition 4.3.16. 假設 V,W 為 vector space 且 β = (v1, . . . , vn), γ = (w1, . . . , wm) 分別 為 V,W 的 ordered basis. 設 T : V → W 為 linear transformation 且 [T]γβ∈ Mm×n(F) 為 T 相 對於β,γ 的 matrix representation. 則 c1v1+···+cnvn∈ N(T) 若且唯若
c1
... cn
屬於 [T]γβ 的
null space. 而 d1w1+··· + dmwm∈ R(T) 若且唯若
d1
... dm
屬於 [T]γβ 的 column space.
4.3. Matrix Representation 115
Example 4.3.17. 我們考慮 Example 4.3.13 的例子, 當考慮 P2(R) 的 ordered basis ε2= (1, x, x2) 以及 P3(R) 的 ordered basis ε3= (1, x, x2, x3), 我們知道 T 對於 ε2,ε3 的 matrix representation Tεε23 利用 elementary row operations 化為 echelon form 可得
1 −1 1 1 0 −1 0 1 −1
0 0 1
1 −1 1 0 1 −2
0 0 1
0 0 0
.
由於 pivot 的個數等於 column 的個數, 我們知 Tεε23 的 null space 為{
0 0 0
}, 故知 N(T) = {0},
亦即 T 為 one-to-one. 另一方面 [T ]εε32 的 rank 為 3, 故 {
1 1 0 0
,
−1 0 1 0
,
1
−1−1 1
} 為 column space 的 一 組 basis. 因 此 得 {x + 1,x2− 1,x3− x2− x + 1} 為 R(T) 的一組 basis. 由於 dim(P3(R)) = 4 ̸= dim(R(T)) = 3, 我們知 R(T) ̸= P3(R), 故 T 不是 onto.
Example 4.3.18. 考慮 M2×2(R) 所形成的 vector space (參見 Example 2.2.5 (A)). 考慮 函數 T : M2×2(R) → M2×2(R) 定義為 T(A) = A − At, ∀A ∈ M2×2(R). 我們可得 T 為 linear transformation. 這是因為對任意 A, B∈ M2×2(R) 以及 r ∈ R, 我們有
T (A + rB) = (A + rB)− (A + rB)t= A + rB− At− rBt= (A− At) + r(B− Bt) = T (A) + rT (B).
考慮 M2×2(R) 的 ordered basisε =
([ 1 0 0 0
] ,
[ 0 1 0 0
] ,
[ 0 0 1 0
] ,
[ 0 0 0 1
]) .由於
T ( [ 1 0
0 0 ]
) =
[ 0 0 0 0
] , T (
[ 0 1 0 0
] ) =
[ 0 1
−1 0 ]
,
T ( [ 0 0
1 0 ]
) =
[ 0 −1 1 0
] , T (
[ 0 0 0 1
] ) =
[ 0 0 0 0
] ,
我們得 T 對於ε,ε 的 matrix representation 為 [T]εε =
0 0 0 0
0 1 −1 0 0 −1 1 0
0 0 0 0
. 利用 elementary
row operation 將 [T ]εε 化為 echelon form
0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. 得到 [T]εε 的 null space 的一組
basis 為{
1 0 0 0
,
0 1 1 0
,
0 0 0 1
}, 因此得 { [ 1 0
0 0 ]
, [ 0 1
1 0 ]
, [ 0 0
0 1 ]
} 為 N(T) 的一組 basis. 又
[T ]εε 的 column space 的一組 basis 為{
0 1
−1 0
}, 故得 {
[ 0 1
−1 0 ]
} 為 T 的 range R(T) 的一 組 basis. 注意我們有 dim(R(T )) + dim(N(T )) = 1 + 3 = 4 = dim(M2×2(R)). 另外若 A ∈ N(T)
116 4. Linear Transformations
表示 T (A) = A−At= 0, 亦即 A = At. 反之亦然, 也就是說 A∈ N(T) 若且唯若 A 為 symmetric matrix. 因此由 dim(N(T )) = 3, 我們知所有 2× 2 的 symmetric matrices 所成的 subspace 的維度為 3.
Question 4.14. 試求所有 3× 3 的 symmetric matrices 所成的 subspace 的維度為何?
當 T1, T2皆為Fn到Fm的 linear transformation 時, 對任意 c1, c2∈ F, 我們知道 c1T1+c2T2
的 standard matrix representation [c1T1+ c2T2]和 T1, T2 的 standard matrix representations [T1], [T2] 的關係為 [c1T1+ c2T2] = c1[T1] + c2[T2] (參見 Lemma 4.3.7). 這對於一般的 linear transformations T1: V → W 以及 T2: V → W 的 matrix representations 也是對的. 不過要 特別注意, 一般的 linear transformation 的 matrix representation 是和定義域以及對應域 的 ordered basis 有關, 所以只有當 T1, T2 都考慮對應相同的 ordered basis 所得的 matrix representation, 這樣的矩陣運算才有意義. 也就是說當分別給定 V,W 的 ordered basis,β,γ, 我們會有
[c1T1+ c2T2]γβ= c1[T1]γβ+ c2[T2]γβ.
對於合成函數也有類似的情況, 若 T : V→ W, T′: W → U 為 linear transformations. 若 分別給定 V,W,U 的 ordered basisα,β,γ, 我們有以下的圖示
V T - W
Fn - Fm
?6 6?
Tα Tα−1 Tβ−1 Tβ
W T′ - U Fm - Fk
?6 6?
Tβ Tβ−1 Tγ−1 Tγ
這裡由於 T 的對應域和 T′ 的定義域相同, 所以我們可以考慮合成函數 T′◦ T. 又由於 W 都 用固定的 ordered basisβ, 所以兩邊 W 到 Fm 的之間的函數相同 (皆為 Tβ). 因此我們可以 將上面兩個 commutative diagrams 合併成一個 commutative diagram 如下:
V T - W
Fn - Fm
?6 6?
Tα Tα−1 Tβ−1 Tβ
- T′ U
- Fk? 6Tγ Tγ−1
由於底部 Fn→ Fm 的 matrix representation 為 [T ]βα, 而 Fm→ Fk 的 matrix representation 為 [T′]γβ, 因此由 Lemma 4.3.7 知, 它們的合成所對應的 matrix representation 為 [T′]γβ[T ]βα. 因此我們有
[T′◦ T]γα= [T′]γβ[T ]βα. 綜合以上的討論, 我們有以下有關 Lemma 4.3.7 的推廣.
Theorem 4.3.19. 假設 V,W,U 為 finite dimensional vector space overF 且令 α,β,γ 分別 為 V,W,U 的 ordered basis.
(1) 假設 T1, T2 為 V 到 W 的 linear transformations. 則對任意 c1, c2∈ F, 我們有 [c1T1+ c2T2]βα= c1[T1]βα+ c2[T2]βα.
4.3. Matrix Representation 117
(2) 設 T : V→ W 及 T′: W → U 為 linear transformation. 則 [T′◦ T]γα= [T′]γβ[T ]βα.
假設 V,W 為 finite dimensional vector space over F, 其中 dim(V) = n,dim(W) = m. 令 L (V,W) 為所有 V 到 W 的 linear transformations 所成的集合. Proposition 4.1.6 告訴我 們L (V,W) 有加法和係數積的封閉性. 很容易證明 L (V,W) 是一個 over F 的 vector space.
令 β, γ 分別為 V,W 上的 ordered basis, 我們可以訂一出一個由 L (V,W) 到 Mm×n(F) 的函 數 M : L (V,W) → Mm×n(F), 其定義為對任意 T ∈ L (V,W), M (T) = [T]γβ. Theorem 4.3.19 告訴我們 M : L (V,W) → Mm×n(F) 是一個 linear transformation. 我們有以下的結果.
Theorem 4.3.20. 假設 V,W 為 finite dimensional vector space over F, 其中 dim(V) = n, dim(W ) = m. 給定 β, γ 分別為 V,W 上的 ordered basis, 定義函數 M : L (V,W) → Mm×n(F), 其中 ∀T ∈ L (V,W), M (T) = [T]γβ. 則 M : L (V,W) → Mm×n(F) 是一個 one-to- one 且 onto 的 linear transformation. 並可得 dimF(L (V,W)) = mn.
Proof. 對任意 T1, T2L (V,W) 以及 c ∈ F, 我們有 M (T1+ cT2) = [T1+ cT2]γβ, 而 M (T1) + cM [T2] = [T1]γβ+ c[T2]γβ, 故由 Theorem 4.3.19(1) 知 M (T1+ cT2) =M (T1) + cM [T2].
假設 β = (v1, . . . , vn) 以及 γ = (w1, . . . , wm), 對任意 A = [ai j]∈ Mm×n(F), 由於 A 的 i-th column 為
a1i
... ami
, 對任意 i = 1,...,n 我們考慮 T ∈ L (V,W) 為唯一的 linear transformation
滿足 T (vi) = a1iw1+···+amiwm(參見 Theorem 4.1.8). 依定義 [T ]γβ的 i-th column 為 [T (vi)]γ 與 A 的 i-th column 相同, 故證得M (T) = [T]γβ = A. 這證得了M : L (V,W) → Mm×n(F) 是 onto, 也證得它是 one-to-one, 因為這樣的 T∈ L (V,W) 是唯一的.
最 後 利 用 Dimension Theorem (Theorem 4.2.9), 我 們 知 道 rank(M ) + nullity(M ) = dimF(L (V,W)). 由於 M 是 one-to-one, nullity(M ) = 0. 又由於 M 是 onto, 我們知 rank(M ) = dimF(Mm×n(F)) = mn. 故得證 dimF(L (V,W)) = mn. Theorem 4.3.20, 告訴我們線性映射和矩陣間的對應關係. 也就是說我們可以利用表現 矩陣來了解線性映射, 也可以用線性映射來了解矩陣. 兩者之間互相的關係大家應充分體會.
———————————– 20 December, 2018
