Eλk, 則對任意 v∈ V, 我們有 v = v1

(1)

132 5. Operators on Inner Product Spaces

現若 V = E_λ₁ ··· E_λ_k, 則對任意 v∈ V, 我們有 v = v1+··· + vk, 其中 v_i∈ E_λi. 此時令 πi 為 orthogonal projection on E_λ_i, 則由 Lemma 5.4.8 知πi◦πj= O,∀i ̸= j 且

(λ1π1+··· +λkπk)(v) =λ1v₁+···λkv_k= T (v₁) +··· + T(vk) = T (v₁+··· + vk) = T (v).

得證 T =λ1π1+··· +λkπk, 故 (2)⇒ (3).

反之, 若 T =λ1π1+··· +λkπk, 令 Im(πi) = W_i, 則由 πi◦πj = O, ∀i ̸= j 知 Wi ⊥ Wj,

∀i ̸= j. 考慮 βi 為 W_i 的一組 orthogonal basis, 且令 W = W₁ ··· Wk. 若 W = V , 則 β = ∪^ki=1βi 為 V 的一組 orthogonal basis, 且對任意 v∈βi, 由於 v∈ Wi 當 j̸= i, 我們 有 πj(v) =πj(πi(v)) = O_V. 故 T (v) =λiv, 亦即 v 為 T 的 eigenvector. 而若 V ̸= W, 令 W_k+1= W^⊥, 此時 V = W₁···WkWk+1. 若再取βk+1為 W_k+1的一組 orthogonal basis, 則 β = ∪^k+1i=1βi 為 V 的一組 orthogonal basis. 又對於 v∈βk+1我們有 v∈ W_i^⊥,∀i ∈ {1,...,k}, 故 πi(v) = 0 得 T (v) = OV = 0v, 即 v 為 T 的 eigenvector. 得證β 為 V 的一組 orthogonal basis 且 β 中的元素皆為 T 的 eigenvector, 即 T 為 unitary diagonalizable. 得證 (3) ⇒ (1). 由 Proposition 5.4.10 我們知道若 T : V→V 為 unitary diagonalizable, 則存在λ1, . . . ,λk∈ F 以及 orthogonal projections π1, . . . ,πk 使得 T =λ1π1+··· +λkπk, 這稱為 T 的 spectral resolution. 此時由 Proposition 5.3.7 得

T^∗=λ1π1^∗+··· +λkπk^∗=λ1π1+··· +λkπk. 再由πi◦πj= O,∀i ̸= j 且πi◦2=πi 得

T^∗◦ T =λ1λ1π1+··· +λkλkπk= T◦ T^∗.

符合 T^∗◦ T = T ◦ T^∗ 的 linear operator T 稱為 normal operator, 這是我們下一節所要探討 的課題.

Question 5.21. 試證明若 n× n matrix A 為 unitary diagonalizable, 則 A^∗A = AA^∗. 5.5. Normal Operators

我們將探討 normal operator 的性質. 由於我們探討的 normal operator 為定義在 over F (F =C 或 F = R) 的 finite dimensional inner product space. 所以本節中的 vector space 一定是 finite dimensional inner product space 且其 over 的 field 為 C 或 R, 我們就不再贅敘.

Deﬁnition 5.5.1. 設 T : V → V 為 linear operator, 若 T 滿足 T^∗◦ T = T ◦ T^∗, 則稱 T 為一 個 normal operator.

設 A 為一個 n× n matrix, 若 A 滿足 A^∗A = AA^∗, 則稱 A 為一個 normal matrix.

Question 5.22. 一個 orthogonal projection 是否為 normal?

首先我們觀察可以由一個 normal operator 得到更多的 normal operator.

Lemma 5.5.2. 假設 T : V→ V 為 normal operator.

(2)

5.5. Normal Operators 133

(1) T^∗ 亦為 normal operator.

(2) 若 W,W^⊥ 皆為 T -invariant, 則 T|W 亦為 normal operator.

(3) 若 T 為 isomorphism, 則 T⁻¹ 亦為 normal operator.

(4) 對任意 f (x)∈ F[x], f (T) 亦為 normal operator.

Proof. (1) 由 (T^∗)^∗= T , 可得 T^∗ 亦為 normal.

(2) 由 Corollary 5.4.4, 我們知此時 W 亦為 T^∗-invariant 且 (T|W)^∗= T^∗|W. 故 (T|W)^∗◦ T|W = T^∗|W◦ T|W = (T^∗◦ T)|W = (T◦ T^∗)|W = T|W◦ (T|W)^∗. (3) 由 Proposition 5.3.7, 我們知此時 (T⁻¹)^∗= (T^∗)⁻¹, 故

(T⁻¹)^∗◦ T⁻¹= (T^∗)⁻¹◦ T⁻¹= (T◦ T^∗)⁻¹= (T^∗◦ T)⁻¹= T⁻¹◦ (T⁻¹)^∗.

(4) 若 f (x) = cnxⁿ+··· + c1x + c0, 則 f (T ) = cnT^◦n+··· + c1T + c0idV 且由 Lemma 5.4.1 知 f (T )^∗= c_n(T^∗)^◦n+··· + c1T^∗+ c₀id_V. 現因 c_iT^◦i◦ f (T)^∗= c_i∑ⁿj=0c_jT^◦i◦ (T^∗)^{◦ j},可得

f (T )◦ f (T)^∗=

∑

i, j

cicjT^◦i◦ (T^∗)^{◦ j}. 同理

f (T )^∗◦ f (T) =

∑

i, j

c_jc_i(T^∗)^{◦ j}◦ T^◦i.

故依假設 T◦T^∗= T^∗◦T, 知 T^◦i◦(T^∗)^{◦ j}= (T^∗)^{◦ j}◦T^◦i, 得證 f (T )◦ f (T)^∗= f (T )^∗◦ f (T). 接下來我們探討 normal operator 的性質, 在這一節我們先探討一些在 F =C 和 F = R 時都會對的性質, 下一節我們在分別針對 F =C 和 F = R 來探討個別的性質.

首先由 normal 的定義 (即 T◦ T^∗= T^∗◦ T), 對任意 v,w ∈ V, 我們有

⟨T(v),T(w)⟩ = ⟨v,T^∗(T (w))⟩ = ⟨v,T(T^∗(w))⟩ = ⟨T^∗(v), T^∗(w)⟩.

因此對任意 v∈ V 可得

∥T(v)∥²=⟨T(v),T(v)⟩ = ⟨T^∗(v), T^∗(v)⟩ = ∥T^∗(v)∥². 得證以下性質.

Lemma 5.5.3. 假設 T : V→ V 為 normal operator, 對任意 v,w ∈ V 我們有以下的性質.

⟨T(v),T(w)⟩ = ⟨T^∗(v), T^∗(w)⟩ and ∥T(v)∥ = ∥T^∗(v)∥.

現若 v∈ Ker(T), 則因 ∥T(v)∥ = ∥OV∥ = 0, 利用 Lemma 5.5.3 可得 ∥T^∗(v)∥ = 0, 亦即 T^∗(v) = OV. 也就是說 v∈ Ker(T^∗), 得證 Ker(T )⊆ Ker(T^∗). 同理可得 Ker(T^∗)⊆ Ker(T), 故 知 Ker(T ) = Ker(T^∗). 事實上由 Proposition 5.3.8, 我們可得下列性質.

Lemma 5.5.4. 假設 T : V→ V 為 normal operator, 則我們有以下的性質.

Ker(T ) = Ker(T^∗), Im(T ) = Im(T^∗), and Ker(T )∩ Im(T) = {OV}.

(3)

134 5. Operators on Inner Product Spaces

Proof. 因 T^∗◦ T = T ◦ T^∗, 由 Proposition 5.3.8 知

Ker(T ) = Ker(T^∗◦ T) = Ker(T ◦ T^∗) = Ker(T^∗), Im(T ) = Im(T◦ T^∗) = Im(T^∗◦ T) = Im(T^∗).

由此再利用 Proposition 5.3.8 所知的 Ker(T^∗) = Im(T )^⊥, 得 Ker(T ) = Ker(T^∗) = Im(T )^⊥. 得證

Ker(T )∩ Im(T) = Im(T)^⊥∩ Im(T) = {OV}.

利用 Lemma 5.5.4, 我們馬上得到關於 normal operator 非常重要的性質.

Corollary 5.5.5. 假設 T : V→ V 為 normal operator, 則我們有以下的性質.

(1) v∈V 是 T 的 eigenvector 且其 eigenvalue 為λ 若且唯若 v ∈V 是 T^∗的 eigenvector 且其 eigenvalue 為 λ.

(2) 對任意 m∈ N, Ker(T^◦m) = Ker(T ).

(3) 若 v, w∈ V 且 µv(x) 和 µw(x) 為 relatively prime (互質), 則 v⊥ w.

Proof. (1) 我們知道 T 的 eigenvalue 為 λ 的 eigenvector 為 Ker(T − λidV) 中的 nonzero element, 而 T^∗ 的 eigenvalue 為 λ 的 eigenvector 為 Ker(T^∗−λidV) 中的 nonzero element.

由 Lemma 5.5.2(4) 我們知 T−λidV 亦為 normal operator, 故由 Lemma 5.5.4 知 Ker(T−λidV) = Ker((T−λidV)^∗) = Ker(T^∗−λidV^∗) = Ker(T^∗−λidV).

證得 eigenvalue 為λ 的 T 的 eigenvector 就是 eigenvalue 為 λ 的 T^∗ 的 eigenvector.

(2) 首先證明 Ker(T^◦2) = Ker(T ). 很明顯的 Ker(T )⊆ Ker(T^◦2). 現若 v∈ Ker(T^◦2), 則 因 T (v)∈ Ker(T) 且 T(v) ∈ Im(T). 由 Lemma 5.5.4 可得 T(v) = OV, 故知 v∈ Ker(T). 即 Ker(T^◦2)⊆ Ker(T), 得證 Ker(T^◦2) = Ker(T ).

接著利用數學歸納法, 若 v∈ Ker(T^◦m), 則由 T^◦m−1(v)∈ Ker(T) ∩ Im(T), 得 T^◦m−1(v) = O_V, 即 v∈ Ker(T^◦m−1). 依歸納假設, 得 v∈ Ker(T^◦m−1) = Ker(T ). 得證 Ker(T^◦m) = Ker(T ).

(3) 由µv(x) 和 µw(x) 互質知存在 f (x), g(x)∈ F[x] 使得 f (x)µv(x) + g(x)µw(x) = 1. 由此得

v = f (T )◦µv(T )(v) + g(T )◦µw(T )(v) = g(T )◦µw(T )(v).

另一方面, 由 g(T )◦µw(T )(w) = OV 知 w∈ Ker(g(T) ◦µw(T )), 又由 Lemma 5.5.2(4) 知 g(T )◦µw(T ) 亦為 normal operator, 故再由 Lemma 5.5.4 知 w∈ Ker((g(T) ◦µw(T ))^∗),亦即 (g(T )◦µw(T ))^∗(w) = OV. 最後由 adjoint 的性質知

⟨v,w⟩ = ⟨g(T) ◦µw(T )(v), w⟩ = ⟨v,(g(T) ◦µw(T ))^∗(w)⟩ = ⟨v,OV⟩ = 0.

(4)

5.5. Normal Operators 135

回顧當 T : V→ V 是 linear operator, 我們有所謂的 primary decomposition theorem, 也 就是說若 µT(x) = p₁(x)^m¹··· pk(x)^m^k, 其中 m1, . . . , m_k∈ N 且 p1(x), . . . , p_k(x)∈ F[x] 為相異的 monic irreducible polynomial, 則 V = W1⊕···⊕Wk, 其中 Wi= Ker(pi(T )^◦mⁱ). 當 T 為 normal operator 時, 其 primary decomposition 有以下特殊的形式.

Proposition 5.5.6. 假設 T : V → V 為 normal operator, 則 µT(x) = p₁(x)··· pk(x), 其中 p1(x), . . . , pk(x)∈ F[x] 為相異的 monic irreducible polynomial. 若對所有 i = 1,...,n 令 W_i= Ker(p_i(T )), 則

V = W1 ··· Wk.

Proof. 假設 µT(x) = p₁(x)^m¹··· pk(x)^m^k. 利用 Lemma 5.5.2(4) 我們知 p_i(T ) 亦為 normal operator, 故由 Corollary 5.5.5(2) 知 Wi = Ker(pi(T )^◦mⁱ) = Ker(pi(T )). 換言之對任意 i = 1, . . . , k, 皆有 µT|_Wi(x) = p_i(x), 得證

µT(x) =µT|_Wi(x)···µT|_Wk(x) = p1(x)··· pk(x).

現若 i̸= j, 因 µT|_Wi(x) = pi(x) 和 µT|_{W j}(x) = pj(x) 為 relatively prime, 對任意 wi∈ Wi, w_j ∈ Wj 因 µwi(x)| pi(x) 和 µwj(x)| pj(x), 知 µwi(x) 和 µwj(x) 為 relatively prime. 利用 Corollary 5.5.5(3), 知 w_i⊥ wj, 得證 W_i⊥ Wj, 故知 V = W₁ ··· Wk.

接下來我們介紹兩種特別的 normal operator.

Deﬁnition 5.5.7. 假設 T : V → V 為 linear operator. 若 T^∗= T , 則稱 T 為 self-adjoint operator. 若 T^∗=−T, 則稱 T 為 skew-adjoint operator.

若一個 n× n matrix A 滿足 A = A^∗, 則稱 A 為 self-adjoint matrix. 若 A =−A^∗, 則稱 A 為 skew-adjoint matrix.

注意在 A∈ Mn(R) 的情形, 當 A 為 self-adjoint matrix (即 A^t= A) 一般也稱為 symmetric matrix. 而當 A 為 skew-adjoint matrix (即 A^t=−A) 一般也稱為 skew-symmetric matrix.

在 A∈ Mn(C) 的情形, 有的書將 self-adjoint 稱為 Hermitian 而將 skew-adjoint 稱為 skew- Hermitian.

很明顯的 self-adjoint operator 和 skew-adjoint operator 皆為 normal operator. 我們曾在上一節介紹過 self-adjoint operator. 事實上特別介紹這兩種 normal operator 是因為有以下重要的性質.

Proposition 5.5.8. 假設 T : V→ V 為 linear operator. 存在唯一的 self-adjoint operator T1: V → V 以及唯一的 skew-adjoint operator T2: V→ V 滿足 T = T1+ T2. 特別的, 我們有 T 為 normal operator 若且唯若 T₁◦ T2= T₂◦ T1.

Proof. 若 T₁ 為 self-adjoint, T₂ 為 skew-adjoint 且 T₁+ T₂= T . 則由 Proposition 5.3.7(1) 知 T^∗= T₁^∗+ T₂^∗= T₁− T2, 得 T₁= ¹₂(T + T^∗), T₂= ¹₂(T− T^∗). 故得證唯一性. 另一方面若 T1=¹₂(T + T^∗), T2=¹₂(T− T^∗),則由 Proposition 5.3.7(1) 得 T₁^∗= T1, T₂^∗=−T2. 亦即 T1 為 self-adjoint, T₂ 為 skew-adjoint 且 T₁+ T₂= T . 故得證存在性.