µ∂v3 ∂y −∂v2 ∂z ¶ ˆı

Gauss定理

•流量(flux)

A vr

nˆ

S

( ) ^r

v r r

)的流量φ定義為 φ = v· ˆnA

= v_⊥A

單位[φ] =m³/sec (每秒鐘流過A的量) Note: 若ˆn → −ˆn，則流量φ變號

若流速v (r)與r有關，則通過dA的流量 dφ = v (r)· ˆn (r) dA

通過曲面S的總流量為 φ =

ZZ

S

v· ˆndA

若S為z = f (x, y)，則n = µ

−∂f

∂x,−∂f

∂y, +1

¶

ˆ

n = n

|n| = 1

sµ∂f

∂x

¶2

+ µ∂f

∂y

¶2

+ 1 µ

−∂f

∂x,−∂f

∂y, +1

¶

dA =

sµ∂f

∂x

¶2

+ µ∂f

∂y

¶2

+ 1dxdy

∴ φ =ZZ

Ω

µ

−v^x∂f

∂x − v^y∂f

∂y + vz

¶ dxdy (Ω為S投影在x-y平面的區域)

Note: ˆn與+z軸的夾角為γ，則cos γ = 1 sµ∂f

∂x

¶2

+ µ∂f

∂y

¶2

+ 1

，∴ dA = sec γdxdy

1

Example 1 速度場v (x, y, z) = xˆi + yˆj + zˆk，曲面S為z = 1 − (x²+ y²) , z ≥ 0，計算流 量RR

S

v· ˆndA，(ˆn指向上) Solution:

f (x, y) = 1−¡

x²+ y²¢

∂f

∂x =−2x, ∂f

∂y =−2y

∴ ZZ

S

v· ˆndA = ZZ

Ω

µ

−v¹∂f

∂x − v²∂f

∂y + v3

¶ dxdy

= ZZ

Ω

¡1 + x²+ y²¢

dxdy =· · · = 3 2π

•散度(divergence)與旋度(curl)

向量場v (x, y, z)的散度定義為 divv = ∂v1

∂x +∂v2

∂y +∂v3

∂z 旋度定義為

curlv =

¯¯

¯¯

¯¯

ˆı ˆj kˆ

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

v1 v2 v3

¯¯

¯¯

¯¯= µ∂v3

∂y −∂v2

∂z

¶

ˆı +· · ·

令∇ ≡ µ ∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

¶

，則也可寫 divv = ∇ · v

curlv = ∇ × v

•Gauss定理(散度定理)

ZZ

S

v· ˆndA = ZZZ

T

∇ · vdxdydz

其中S為一平滑的封閉曲面，S所圍出的立體為T ，法線ˆn指向外

2

x

y z

Ω nˆ

( ) ^{x y}

f z

S

: =

,

( ) ^{x y}

f z

S

: =

, x

y

nr

ˆ

n = (cos α1, cos α2, cos α3)

α1, α2, α3分別為ˆn與x, y, z軸的夾角 為了簡化，假設平行於座標軸的任何直線 與S相交都不超過２點，則可以證明

ZZ

S

v1cos α1dA = ZZZ

T

∂v1

∂xdxdydz ZZ

S

v2cos α2dA = ZZZ

T

∂v2

∂ydxdydz ZZ

S

v3cos α3dA = ZZZ

T

∂v3

∂z dxdydz 以下只證第三式

立體T 為所有滿足

f⁻(x, y)≤ z ≤ f⁺(x, y) (x, y)∈ Ω 的點(x, y, z)的集合

ZZZ

T

∂v3

∂z dxdydz = ZZ

Ω

ÃZ f⁺ f⁻

∂v3

∂z dz

! dxdy

= ZZ

Ω

£v3

¡x, y, f⁺¢

− v³¡

x, y, f⁻¢¤

dxdy (1)

v3dxdy = v3cos α3dA

∴ (1) =ZZ

S⁺

v3cos α3dA + ZZ

S⁻

v3cos α3dA = ZZ

S

v3cos α3dA Note: 若T 為r₀點旁很小的區域，則v流出S的流量

φ = ZZ

S

v· ˆndA = ZZZ

T

∇ · vdxdydz ' ∇ · v (r⁰)× T 的體積V^T

∴ ∇ · v (r) = lim

VT→0

RR

S

v· ˆndA VT

∇ · v > 0的點稱為源點(Source)

∇ · v < 0的點稱為匯點(Sink)

∇ · v = 0的點沒有淨流量

3