2 m =− 2 x +°=°⇒α=° 30240210 30 30 ° 30 °°° 30

班級 三年 班 範

圍 三角函數(3)

座號

姓 名 一、填充題( 每題 10 分)

1. 設t = cos2

θ

，則 2(sin⁸

θ

− cos⁸

θ

) =_____________________。(以 t 表示) 答案：− t³ − t

解析：2(sin⁸

θ

− cos⁸

θ

) = 2(sin⁴

θ

− cos⁴

θ

)(sin⁴

θ

+ cos⁴

θ

)

= 2(sin²

θ

− cos²

θ

)(sin²

θ

+ cos²

θ

)[(cos²

θ

− sin²

θ

)² + 2sin²

θ

cos²

θ

] = 2( − cos2

θ

)(t² +

2

1sin²2

θ

) = − 2t [t² + 2

1(1 − t²)] = − 2t(

2 1 2

1t2+ ) =− t³ − t

2. 求 cot 9 π cot

9 2π

cot 9

4π =__________________。

答案： 3

1

解析：∵ cos20°cos40°cos80° =

°

°

°

°

°

20 sin 8

80 cos 40 cos 20 cos 20 sin

8 =

°

° 20 sin 8

160

sin =

°

° 20 sin 8

20 sin =

8 1

又 sin20°sin40°sin80° = − 2

1sin40°(cos100° − cos60°)

= − 4

1(2sin40°cos100°) + 4

1sin40°

= − 4

1[sin140° + sin( − 60°)] + 4

1sin40°

= − 4

1sin40° + 4

1sin60° + 4

1sin40° = 8

3

cot 9 π cot

9 2π

cot 9

4π = cot20°cot40°cot80° =

°

°

°

°

°

°

80 sin 40 sin 20 sin

80 cos 40 cos 20

cos =

8 3 8 1

= 3 1

3. 設 f (x) = 2sin(30° − x) − 2cosx， − 60° < x ≤ 210°，若 f (x)在 x =

α

處有最大值 M，在 x =

β

處 有最小值m，則(1)數對( ,α M)=___________________；(2) 數對( , )β m =_________________

答案：(1) (1, 210 )° (2)( 2, 60 )− °

解析： f (x) = 2sin(30° − x) − 2cosx = 2sin30° cosx − 2cos30° sinx − 2cosx = − cosx − 3 sinx = − 2(sinx ³

⋅ 2 +cosx ¹

⋅2) = − 2(sinx cos30 + cosx sin30 ) = − 2sin(x +30 )且 − 30° < x + ≤ 240°

° °

° 30° ¹ sin( 30 ) 1

2 x

⇒ − ≤ + ° ≤

(1)當sin( 30 ) ¹

x+ ° = −2， ( ) 2 ( ¹) 1

f x = − × −2 = 最大，即M =1， 此時

(2)當sin( ， 最小，即

30 240 210

x+ ° = ° ⇒ α = ° 30 ) 1

x+ ° = f x( )= −2 m= − ， 此時2 x+ ° =30 90° ⇒ β =60° 4. 設x∈R，f (x) = 1 + sinx + cosx − sin2x

(1)令t = sinx + cosx，請以t表示f (x) = 。(2)求f (x)之最小值為 。 答案：(1) − t² + t + 1 (2) − 2

(1) 設t = sinx + cosx 1 1

2(sin cos ) 2 sin( )

2 2 4

x x x π

= ⋅ + ⋅ = + ，− 2 ≤ t≤ 2，

且t² =(sinx+cos )x ² =1 + 2sinx cosx = 1 + sin2x ⇒ sin2x = t² − 1 ∴ f (x) =1 + t − (t² − 1) = − t² + t +2，− 2 ≤t≤ 2

(2) f (x) = − t² + t + 2 = −[ t² − t +( )^{1 2} 2 ]+⁹

4= − (t − 2 1)² +⁹

4 ∵ − 2≤ t≤ 2，當t = − 2 時，f (x) = − (

2 2−1

− )² +⁹

4 = − 2 為最小值 5. 設t = tan

θ

，請以t表示(1) sin2

θ

= 。 (2) cos2

θ

= 。

答案：(1) ₂

1 2

t t

+ (2)

2 2

1 1

t t

− + 解析：(1) sin2

θ

=

θ θ tan2

1 tan 2

+ = ₂

1 2

t t

+ (2) cos2

θ

= ^{1 tan}₂ 1 tan

θ θ

− +

2 2

1 1

t t

= − + 6. 設

π

<

θ

<

2 3π

，tan

θ

= 2

5 ，則cos 2

θ = 。

答案： 6

− 6 解析：

π

<

θ

<

2 3π ⇒

2 π <

2 θ <

4 3π

，tan

θ

= 2

5 ⇒ cos

θ

= ²

−3

⇒ cos 2

θ 1 cos ^{1 ( 2}3⁾

2 2

+ θ + −

= − = − = − 1

6= 6

− 6

（∵

2 π <

2 θ <

4 3π

，cos 0 2

θ< ） 7. 函數f (t ) = sin²2t − 3cos²t在 0 ≤ t ≤ 2

π

的範圍內，其最大值為 。

答案：16 1

解析：f (t ) = (1 − cos² 2t) − 3．

2 2 cos

1+ t= − (cos2t + 4 3)² +

16

1 ⇐ 降次、配方 cos2t = −

4

3時，f (t) = 16

1 為最大值。

8. sin

θ

，cos

θ

為x² + px + q = 0 之二根，試以p，q表 2cos² 2 θ (cos

2 θ + sin

2

θ )² = 。 答案：1 − p + q

解析：∵ sin

θ

，cos

θ

為x² + px + q = 0 之二根，∴ sin

θ

+ cos

θ

= − p，sin

θ

cos

θ

= q 2cos²

2 θ (cos

2 θ + sin

2

θ )² = 2．^{1 cos} 2

θ

+ ．(1 + 2sin 2 θ cos

2 θ )

= (1+ cos

θ

)(1 + sin

θ

) = 1 + (sin

θ

+ cos

θ

) + sin

θ

cos

θ

= 1 − p + q 9. 設 180° < x < 360°，若tanx =

°

−

°

° +

°

37 cos 83 sin

37 sin 83

cos ，則x = 。

答案：255°

解析：tanx =

°

−

°

° +

°

37 cos 83 sin

37 sin 83

cos =

°

−

°

° +

°

37 cos 7 cos

37 sin 7

sin =

°

°

°

° 15 sin 22 sin 2

15 cos 22 sin

2 = cot15° = tan75°

∵ 180° < x < 360° ∴ x = 180° + 75° = 255° ⇐ 第三象限的 75°

10.設sin

α

+ sinβ =

2，cos

α

+ cosβ =

3，則：(1) cos(α −β) = 。(2) cos(α +β) = 。 答案：(1) −

72

59 (2) − 13

5

解析：

(1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= +

= +

3 cos 1 cos

2 sin 1 sin

β α

β α

，平方得

2 2

2 2

sin 2 sin sin sin 1 4 cos 2 cos cos cos 1

9

⎧ α + α β + β =

⎪⎪⎨

⎪ α + α β + β =

⎪⎩

上下兩式相加(sin² cos² ) 2(sin sin cos cos ) (sin² cos² ) ^{1 1} 4 9

α + α + α β + α β + β + β = +

得 sin

α

sin

β

+ cos

α

cos

β

= − 72

59 ⇒即 cos(

α

−

β

) = − 72 59

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= +

= +

3 cos 1 cos

2 sin 1 sin

β α

β α

⇒和差化積

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

− = +

− = +

…

…

…

…

3 1 cos 2

cos 2 2

2 1 cos 2

sin 2 2

β α β α

β α β

α

c

d

由1 2得 tan

2 β α+ =

2

3， ∴cos(

α

+

β

) = tan 2 1

tan 2 1

2 2

β α

β α

+ +

− +

=

2 2

2) (3 1

2) (3 1

+

−

= −13 5

11.設tan

α

， tan

β

為 3x² − 7x + 1 = 0 之二根，則

(1) tan(

α

+

β

) = 。(2) 3sin²(

α

+

β

) – 7sin(

α

+

β

) cos(

α

+

β

) + cos²(

α

+

β

) = 。 答案：(1)

2

7 (2) 1

解析：tan

α

， tan

β

為 3x² − 7x + 1 = 0 之二根，則tan tan ⁷, tan tan ¹

3 3

α + β = α β =

(1) tan(

α

+

β

) =

7

tan tan 3 7

1 tan tan 1 1 2 3

α + β = =

− α β −

(2) 3sin²(

α

+

β

) – 7sin(

α

+

β

) cos(

α

+

β

) + cos²(

α

+

β

)

2 2

2

2 2

2 2

2

2

sin ( ) sin( )

cos ( )[ 3 7 1 ]

cos ( ) cos( )

1 [ 3 tan ( ) 7 tan( ) 1 ] sec ( )

1 1

[ 3 tan ( ) 7 tan( ) 1 ] [ 3 ( ) 7( ) 1 ] 1

1 tan ( ) 7 2 2

1 ( ) 2

α + β α + β

= α + β ⋅ − ⋅ +

α + β α + β

= α + β − α + β +

α + β

= α + β − α + β + = × − + =

+ α + β +

7 7

12.x⁶ = − 32 + 32 3 有 6 個根，六個根在複數平面上的六個點所圍成正六邊形，其周長i 為 。

解析： − 32 + 32 3i= 64( − i 2

3

1 +2 ) = 64(cos

3 sin2 3

2π π

+i )

zk = 2(cos 6 3 2

2

π π

+ k

+ isin 6 3 2

2

π π

+ k

)，k = 0，1，2，3，4，5 將六個根圖示在高斯平面，圖形為一正六邊形，六個頂點在以原點 為圓心，半徑為 2 的圓形上，則正六邊形ABCDEF的周長為 6．2 =12

13.設z =

i i 3 1

3 +

− ，則(1) z之極式為 。 (2) z⁵⁰ = 。

答案：(1) cos 2 3π + isin

2

3π (2) −1

解析：(1) z =

i i 3 1

3 +

− =

2 ) 3 2 (1 2

2 ) 1 2 ( 3 2

i i +

− =

3) 3 sin (cos 2

6 ) sin11 6

(cos11 2

π π

π π

i i + +

= cos(¹¹ )

6 3

π π− + isin(¹¹ )

6 3

π π− = cos 2

3π + isin 2 3π

(2) z⁵⁰ = (cos 2

3π + isin 2 3π

)⁵⁰ = cos (75

π

) + isin (75

π

) = −1 14. 6 − 8i的平方根為 。

答案：± ( 2 2 − 2 i) 解析：

設 (x yi+ )² = − 6 8i

，且

2 2

2

2

2 2

6 8

2 8

10 2

x y

xy x x y y

⎧ − =

⎪ = − ⇒⎧ =⎪

⎨ ⎨

⎪⎩ =

⎪ + =

⎩

x y, 異號 2 2

2 x

y

⎧ = ±

⇒ ⎨⎪

⎪⎩ =∓ ，即± ( 2 2 − 2 i)為 6 − 8i 的平方根

15. y = 3sinx − 4cosx，當x =

α

時，y有最大值，求tan 2

α = 。 答案：3

解析：

y = 3sinx − 4cosx = 5(sinx ³

⋅5 −cosx ⁴

⋅5) = 5sin(x −

φ

)，其中 cos

φ

= 5

3，sin

φ

= 5 4

當 sin(x −

φ

) = 1，即 x −

φ

= 2

π + 2n

π

，n∈Z 時，y 有最大值 5，此時

α

=

φ

+ 2

π + 2n

π

，n∈Z

tan

⇒ 2

α = tan(

2 φ +

4

π + n

π

) = tan(

4 π +

2 φ ) =

tan2 tan 4 1

tan2 tan 4

φ π

φ π

−

+ =

tan2 1

tan2 1

φ φ

− +

又

1 3

1 cos 5 2

tan2 sin 4

5 φ − φ −

= =

φ = ⇒ tan4 2 φ =

2

1，∴ tan 2 α=

2 1 1

2 1 1

− + = 3

16. 設

ω

= cos 7

π + isin 7

π ，則

(1)

ω

⁶ +

ω

⁵ +

ω

⁴ +

ω

³ +

ω

² +

ω

+1 = 。

(2) (1−

ω

) (1 −

ω

²) (−1 −

ω

³) (1 −

ω

⁴) (1−

ω

⁵) (1 −

ω

⁶)之值為 。 答案：(1)0 (2) 7

解析：

ω

= cos² 7

π+ isin² 7

π ⇒

ω

⁷ = (cos² 7

π+ isin² 7

π)⁷ = cos2π + isin2π = 1

ω

為 的一虛根，又 …….(*)

ω代入(*) 但

(1)

(2) ω = cos

7 1 0

x − = x⁷− =1 (x−1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+ +x 1)

6 5 4 3 2

( 1)( 1)

⇒ ω − ω + ω + ω + ω + ω + ω + = 0

+ ω + ω + ω + ω + ω + =

ω− ≠ ⇒1 0 ω + ω + ω + ω + ω + ω + =^{6 5 4 3 2} 1 0

6 5 4 3 2

1 0 ω

2 7

π+ isin² 7

π為x⁷ = 1 的一虛根 ⇒ x⁷ = 1 的 7 個根為 1，ω，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，ω⁶

∴ x⁷ − 1 = (x − 1)(x − ω)(x − ω²)(x − ω³)(x − ω⁴)(x − ω⁵)(x − ω⁶)

⇒ x⁶ + x⁵ +x⁴ + x³ + x² + x + 1 = (x − ω)(x − ω²)(x − ω³)(x − ω⁴)(x − ω⁵)(x − ω⁶)

令x = 1，(1 − ω)( 1 − ω²)( 1 − ω³)( 1 − ω⁴)( x − ω⁵)( x − ω⁶)= 1⁶ + 1⁵ + 1⁴ + 1³ + 1² + 1 + 1=7

17.函數f (x) =

x x sin 3

cos 2

+ 的最大值為 ，最小值為 。

答案： 2

2 ； − 2

2

解析：令k =

x x sin 3

cos 2

+ ∴ k(3 + sinx) = 2cosx ⇒ 3k = 2cosx − ksinx x為任意實數，− 2²+ −( k)² ≤3k≤ 2²+ −( k)² ，

即 |3k| ≤ 2²+(−k)² ⇔ 9k² ≤ 4 + k²，

∴ 8k² ≤ 4 ⇒ k² ≤ 2

1，即−

2 2 ≤ k ≤

2

2 ，故最大值為

2

2 ，而最小值為 −

2 2