15 ° 30 ° 15 °° 30 ∠= CBA 135 ∠=°° CAB 30 ∠=∠=°° CDBCAB 30 ∠= BCO 45 ∠=°−°=° ACB 604515 ∠=∠ DACDBC 30 °° 15 15 ° h +° 50sin15 252 60 ° 30 °° 15 30 ° 15 °

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：95.05.10 班級

範

圍 2-6 三角測量

座號

姓 名 一、填充題 (每題 10 分)

1、 海中有一島其四周 3 浬處佈滿水雷，有一船艦在 A 點見島在其東15 北，該船艦由 A 由東南方行駛 1 浬，再次測得島在其東 北，若船艦方向不變繼續前進，是否安全？

答：______。

° 30°

答案：船艦是安全的

解析：∠ABI =105 , 60° ∠IAB= °，∵ 1

sin15 sin105

=

AI

° ° ∴

AI

= +2 3

∴設ID⊥AB於 D，∴ sin 60 ( 3 ³) 3.23 3 ID=AI⋅ ° = +2≒ > ，

∴船艦是安全的

2、 一人在山麓測得山頂之仰角為 ，由此處上山有一直線斜坡路，與地面的斜度是15 ， 此人沿此坡走 50 公尺，又測得山頂之仰角為 ，則山高為______公尺。

30° °

60°

答案： 25 2

解析：設山高為

h

+50sin15°

∴ 3( 50sin15 ) 50 cos15 3

h

+ ° =

h

+ ° ，∴ ²⁵(3 2 6)

h= 2 − ，∴山高為 25 2 公尺。

3、 平地上有一塔，塔上豎立一旗桿。今在地面上一點 A 處，測得旗桿的張角為15 ，塔頂 之仰角為 ，向塔走近 2 公尺到達 B 點後，測得旗桿之張角仍為15 ，則塔高為______

公尺，旗桿長為______公尺。

°

30° °

答案： 3 1+ , 2

解析：∵ DAC∠ = ∠

DBC

∴ABCD 四點共圓

∴∠

CDB

= ∠

CAB

= °30 ，∴∠

BCO

=45°，∠

ACB

= ° − ° = ° 60 45 15

∴ 2

sin15 sin15 sin 30

CD BC

= =

° ° °，CD=2, 6BC= + 2，

CD

= 3 1+

4、 運河邊有 A, B 兩點，A, B 兩點間距離為 20 公尺，運河中有船隻 C 測得 ,

，則 C 與 B 之間的距離為______公尺。

30

∠

CAB

= ° 135°

∠

CBA

= 答案：10( 6+ 2)

解析： 20

sin 30 sin15

BC

=

° ° ∴BC =10( 6+ 2)

5、 某船位於 C 看見 A, B 二燈塔在北偏東15 之方向上成一直線，船向北 30 西方向航行° ° 2 3 哩到達 D，此時看見 A 燈塔在東15 北的方向上，另一燈塔 B 在東 南的方向上，則

A, B 兩燈塔之距離為______哩，又 D 與燈塔 B 之距離為______哩。

° 30°

答案： 2 6 2 2− , 6 2 3−

解析： ^{2 3}

sin 45 sin105 DB =

° ° ∴

DB

= −6 2 3，

sin 60 sin 45

DB AB

°= ° ∴

AB

=2 6−2 2

6、 屋頂上豎立一旗桿。今在地面上一點 A 處，測得旗桿頂之仰角為 30 ，向屋子走近 2 公尺到達 B 點後，測得旗桿頂之仰角為 60 ，屋頂之仰角為 ，試求旗桿之長。

°

° 45°

答案： 3 1− 公尺

解析：設旗桿長 h 公尺，屋子高 k 公尺∴ OC =

BO

=

k

∴

DC

= 3

k

− = ，

k h

3( 3 )k = +2 k ， ∴

k

= ， 1

∴

h

= 3 1− 公尺 7、 如圖四邊形 ABCD，已知

15 , 30 , 60 , 15 又

DAC CAB ABD DBC

∠ = ° ∠ = ° ∠ = ° ∠ = °

AB

=10，則 CD= ______,

AC

= ______。

答案：10(2− 3), 10

解析：∵∠

DAC

= ∠

DBC

= °15 ∴ABCD 四點共圓 過 ABCD 作一圓設半徑為 R

， 180 (15 30 60 ) 75

∠ADB= ° − ° + ° + ° = ° ∠

ABC

= ° + ° = ° 60 15 75

∴ 2

sin 75 sin15 sin 75

AB CD AC

= = =

R

° ° ° ，

∴AC= AB=10, 10(2CD= − 3)

8、 某人在一塔之正西 A 點，測得塔之仰角為 45 ，在 A 點之西南方 B 點，測得塔之仰角 為 ，若

° 30° AB長 10 公尺，則塔高______公尺。

答案：^{5 2 5 10} 2 +

解析：設塔高 h ∴AO=h OB, 3 , 135 , = h ∠OAB= ° AB=10

∴( 3 )h ² =h²+10²− × × ×2 h 10 cos135°

2 5 2 50 0

h

−

h

− = ∴ ^{5 2 5 10}

h= ±2 (負不合)，∴ ^{5 2 5 10} h= +2

9、 一船向正東航行，於 A 點望見 P, Q 二燈塔測其方向，P 在北 30 東，Q 在北 75 東，該 船向前航行 15 公里後，於 B 點再測二燈塔之方向，P 在北 30 西，Q 在北 東，則 燈塔 Q 與 A 的距離為______公里，又 P, Q 兩燈塔的距離為______公里。

° °

° 45°

答案：

∵ ∴△PAB 為正三角形，

∴

60 , 60

PAB PBA

∠ = ° ∠ = °

15

PA

=

AB

= ，又

∴

45 , 135 , 15

PAQ ABQ QAB

∠ = ° ∠ = ° ∠ = °

15 sin135 sin 30

AQ

=

° ° ∴AQ=15 2

∴ ² 15² (15 2)² 2 15 15 2 ² 15

PQ = + − × × × 2 = ²，∴PQ=15 10、由地面上共線之三點 A, B, C，且 B 在 A, C 之間，測得不在沿線

上的一座山之山頂之仰角依次為30° 60° 45°, , ，若

AB

=100公 尺，

BC

=200公尺，則山高為多少公尺？

設山高 DO h= 公尺，∴ 3 , , 3

AO

=

h BO

=

h CO

=

h

∴cos(∠OBA)+cos(∠OBC)=0 (∵∠

OBA

+ ∠

OBC

=180°)

∴

2 2 2 2 2 2

100 ( ) ( 3 ) 200 ( )

3 3

0

2 100 2 200

3 3

h h

h h

h

+ − + −

+ h

× × × × = ，

h

=100 ∴山高為 100 公尺 11、某人於山麓測得山頂的仰角 ，由此山麓循15 斜坡上行 360 公

尺，再測得山頂的仰角為 ，則山高多少公尺？

45° °

60°

答案：令CD= 3 ,x∴CF =2x，

2 360 6 2 1

2 360

sin 30 sin15 4 2

x x −

= ⇒ ⋅ =

° °

∴ ×

90( 6 2)

x= +

∴ ，∴CD=90 3( 6+ 2)

6 2

360 90( 6 2)

BD EF −4

= = × = −

∴山高=

CD

+

BD

=270 2+90 6+90 6−90 2 =180( 6+ 2)（公尺）

12、自一山坡頂測得平地上一點的俯角為 ，沿山坡走下山坡長的五分之四，再測得同一 點的俯角為15 。試求山坡的傾斜角的正切值。

30°

°

答案：∵∠

BAD

=∠

CAD

= °15 ，∴

AB AC

: = :1 4 設AB=4 , k AC= k ∵ °

∴

30

∠

BAC

= 2

BO

=

k

∴CO=(2 3 1)− k ∴ 2 4 3 tan

θ

= 2 3 1= 11⁺²

−

13、兩觀測站 P, Q 相距 1200 公尺，飛機 A 在地面 B 點的正上方，在 P 測得 A 的仰角為 30 ，

，在 Q 測得 ，則飛機的高度為多少公尺？

° 45

∠BPQ= ° ∠BQP=60°

答案：令高度= 公尺，

x

∴

PB

= 3

x

， ^{3 1200} sin 60x =sin 75

° °

∴

6 2

3 ( ) 1200

4 2

x +

⋅ =

∴ 3

× ，

2400 6 2

x

=

∴ + =600( 6− 2)（公尺）

14、已知 A 船在燈塔的西南，B 船在燈塔的南15 西，且在 A 船 的東南方，若 A 船距燈塔 15 浬，則 A, B 兩船距離多少？

°

答案：

45 15 30 90

AOB OAB

∠ = ° − ° = ° ∠ =

∵ 且 ° ，

15 1 5 3 3

AB

= ⋅ =

∴ （浬）

15、塔高 100 公尺，在塔的北 東 A 處與南 30 東 B 處，各測得 塔的仰角分別為 與 45 ，則

60° °

75° ° AB=？ 答案：

塔高

OC

=100， 100, OA tan15 100(2 3)

OB OA

= OC = ° ⇒ = −

∴

2 2 2

[100(2 3)] 100

AB

= − + =100 (8 4 3)² − 100 8 2 12

AB

= −

∴ =100( 6− 2)（公尺）

16、在 A, B 兩塔腳所連線段之中點，測得兩 塔之仰角各為 60 及 30 （見圖），試問 塔 A 之高為塔 B 之高的幾倍？

答案：由

° °

3 3 3

AC AC MA AC BM

BD

=

MA BD

⋅ =

MA BD

⋅ = ⋅ = ， 故 AC 是BD的 3 倍。

17、海中一小島，四周 3 浬處佈有水雷，今有一艦從西向東行駛，於 A 處測得該島在北 60 東，行 5 浬後，於 B 處測得該島在北 東，設若此艦航行不變，是否有危險？

° 45°

答案：令最短距離CD=x BC, , =x ⇒ AC = +(5 x)= 3x 5 5( 3 1)

6.8 3 3 1 2

x

= = +

∴ − O >

°

，∴此艦沒有危險 18、在平面上三點 A, B, C，測得一山頂的仰角均為 30 ，若

且

° 30

∠

BAC

=

BC

=200公尺，則山高是多少？

答案：

∵仰角皆為 30 ，° ∴

AD

=

BD

=

CD

，∴A, B, C 共圓 令 , 3 , ²⁰⁰ 2 ( 3 )

sin30

DE=x AD= x = ⋅ x

∴ ° ，

200 3 , 200

x

=

x x

= 3

∴ ∴ ，∴山高為^{200 3}

3 公尺

19、一船向正東航行，望見 P, Q 二燈塔，測其方向，P 在北 30 東，

Q 在北

東，該船進行 15 公里，再測二燈塔之方向，P 在北 西，Q 在北 東，試求兩燈塔的距離。

°

75° 45°

60°

答案：設 A 為船的最初位置，B 為向正東進行 15 公里的位置。

在△ABP 中，

sin sin

AP AB

β

⁼

γ

15

sin(90 45 ) sin[180 (60 45 )]

⇒

AP

=

° − ° ° − ° + °

15 2

15sin 45 2 15( 3 1) sin 75 6 2

4 AP

° ×

⇒ = = = −

° +

在△ABQ 中，

sin150 sin15

AQ AB

° = °

15sin 30 15 ( 6 2)

sin15 2

AQ ° × +

⇒ = =

°

20、由一直線上相異三點 A, B, C 測得一高塔的仰角分別為30° 45° 60°, , ，若

AB

=

BC

=600 公尺，則此高塔高度是多少？

答案：

令

DE

= 3

x

，AD=3 , 3 , x BD= x CD=x 利用中線長定理∴(3 )x ²+x² =2[( 3 )x ²+600 ]² ，

， 4x2 = ×2 600 600×

∴ ∴

x

=300 2（負不合），

∴塔高= 3

x

=300 6（公尺）

21、站在湖中小島的山峰上，看對岸的高峰仰角是 30 ；看湖面，這

高峰的鏡影俯角是 ；所站的山峰高度為 250 公尺(從湖面算起)，試問對岸高峰高度 是多少？取兩位有效數字，設之為：

° 45°

100 10

p⋅ + ⋅q (公尺)，p q, ∈{0,1, 2, , 9}則

( 1 ) ( ) (A) p∈{1, 3, 5, 7} (B) p∈{2, 3, 6, 7} (C) p∈{4, 5, 6, 7} (D) (E)

( 2 ) ( ) (A) (B)

{8, 9}

p∈ {0,8}

p∈

{1, 3, 5, 7}

q∈ q∈{2, 6, 7} (C) q∈{4, 5, 6, 7} (D) (E) q

{8, 9}

q∈ {0,8}

∈ 答案：( 1 ) (D) ( 2 ) (A)

解析：( 2 ) 設對岸高峰高度為 h 公尺，則 (h−250) cot 30⋅ ° =(h+250) cot 45°

∴h=250(2+ 3) 933≒ ，∴p=9，q=3