B-spline曲面搭接連續性調整

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國立臺灣大學工學院機械工程學研究所碩士論文

Graduate Institute of Mechanical Engineering College of Engineering

National Taiwan University Master thesis

B-spline 曲面搭接連續性調整

Continuity Adjustment of B-spline Surfaces

曹育銘 Yu-Ming Tsao

指導教授：尤春風博士 Advisor: Chun-Fong You, Ph.D.

中華民國 99 年 7 月

July, 2010

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誌謝

感謝尤春風教授兩年多的引領指導，讓學生在碩班期間確立研究學習方向，並朝該方向努力發展，真正的學習到如何發現問題、面對問題並解決問題，這應該也是個人在碩班期間，於學術學習上最大的收穫。另外，於程式撰寫、專業知識認知上，尤教授亦提供相當大的助益，讓個人得以順利完成這一份碩論研究。此外，並感謝口試委員莊勝雄教授與陳俊銘教授，對於本論文及研究的意見與指正。

感謝易龍學長於碩班兩年，在個人專業領域的協助與指引以及生活中的諸多照顧；感謝振揚、孜佑、正富學長以及亦蓮學姊於研究及生活中的照應；感謝同屆的昆育、友瑜、康豪，在課業、研究上的相互討論，協力前進；也感謝大堃、建成、順原、孟貞、又璇、淑婷學弟妹，在個人論文撰寫期間的同行與打氣。

最後感謝父母、哥哥、姊姊以及兩位弟弟，在個人求學生涯中的陪同參與與支持，讓自己不管走到哪，都有一個「家庭」為後盾，支柱著自己的前行，於精神上、生活上都提供了最大的依歸。

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B-spline 曲面搭接連續性調整

摘要

隨著工業發展自動化、效率化之追求，電腦輔助設計已於工業界占據重要地位。因應產品之仿製作業需求，於電腦輔助設計中更衍生逆向工程作業項。由產品外形的點資料掃描，經過一連串分割、鋪面、曲面調整等演算，於電腦中重建產品 CAD 模型，進一步遞送分析及製程規劃。

本研究著力於逆向工程領域中的曲面連續性調整作業。針對鋪面輸出之曲面搭接間隙，進行修正調整，求取曲面與曲面的銜接平順性。研究探討上，以 B-spline 參數曲面為調整目標，藉由對 B-spline 曲面基底資訊探討，並引入數值方法，對曲面搭接連續性進行最佳化調整作業，目標於最終輸出符合 G¹、G² 連續性之曲面資料。

關鍵字：逆向工程、連續性、 B-spline 曲面、數值方法、最佳化連續性調整、G¹連續、G²連續。

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Continuity Adjustment of B-spline Surface

Yu-Ming Tsao

Abstract

With the pursuit of automatic and efficiently industrial development, computer aided design has been played an important role in the industry.

In response to the requirements of the work of imitation, reverse engineering is generated. Measuring the shape of products and a series of calculation including segmentation, surface reconstruction and surface adjustment are the steps of the reverse engineering process. Finally, we can reconstruct and analyze the CAD model of products and plan the product’s manufacture procedure.

This research focus on continuity adjustment of surfaces in reverse engineering. In order to reach the smoothness of adjacent surfaces, the output of surface reconstruction has been adjusted and modified. This research implements the optimal continuity adjustment of surfaces by using the numerical methods and discussing the basic information of B-spline surfaces which are the main adjust target of the research. The final goal is to export surfaces, that fit G¹ and G² continuity.

Keywords: reverse engineering; continuity; B-spline surface;

numerical methods; Optimal continuity adjustment;

G¹ continuity; G² continuity.

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圖目錄

圖1.1 逆向工程作業流程 ... 2

圖1.2 汽車鈑件模具業之鈑件生產流程 ... 3

圖1.3 批次處理鋪面、連續性調整作業流程 ... 5

圖2.1 單一補綴資料 ... 14

圖2.2 控制點調整單一造型曲面示意 ... 14

圖2.3 曲面搭接邊界關係示意 ... 15

圖2.4 雙曲面搭接關係示意 ... 16

圖2.5 雙曲面搭接邊界曲率誤差示意 ... 17

圖2.6 G⁰誤差示意 ... 18

圖2.7 位置連續與邊界控制點關係示意圖 ... 19

圖2.8 切平面示意圖 ... 21

圖2.9 雙曲面搭接 G¹連續關係示意 ... 21

圖2.10 曲面搭接邊界微分項示意 ... 23

圖2.11 等同邊界參數搭接關係 G¹連續相關控制點 ... 23

圖2.12 控制點共線調整切平面連續 ... 24

圖2.13 非等同邊界參數搭接曲面 ... 25

圖2.14 曲率基底示意 ... 25

圖2.15 等同邊界參數搭接關係 G²連續相關控制點 ... 28

圖3.1 數值求解流程 ... 31

圖3.2 數學函數呈現數值求解流程 ... 32

圖3.3 牛頓法求取方程式解步進示意 ... 33

圖3.4 牛頓法演算流程 ... 34

圖3.5 數值調整 G¹連續目標函數項、變數項設定示意 ... 35

圖3.6 最速下降法搜尋極值示意 ... 36

圖3.7 最速下降法演算流程圖 ... 37

圖3.8 二維空間 PSO 演算粒子步進示意圖 ... 38

圖3.9 粒子演算法流程圖 ... 39

圖3.10 曲面資料存取架構 ... 41

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圖3.11 曲面資料於數值演算過程中傳遞示意 ... 42

圖3.12 雙案例曲面搭接關係 ... 42

圖3.13 雙曲面搭接關係 ... 43

圖3.14 剪切曲面搭接邊界連續性調整-調整曲面選擇 ... 44

圖3.15 雙曲面搭接連續性調整項次示意 ... 45

圖3.16 各級連續性調變順序 ... 46

圖3.17 等同邊界參數四曲面田字形搭接 ... 46

圖3.18 田字形搭接連續性調整示意 ... 47

圖4.1 曲面連續性調整步驟 ... 49

圖4.2 曲面資料探討架構 ... 50

圖4.3 雙曲面搭接曲面資料建構流程 ... 50

圖4.4 調整曲面邊界示意 ... 51

圖4.5 搭接邊界分例探討 ... 52

圖4.6 四曲面田字形搭接曲面資料建構流程 ... 53

圖4.7 衝突點判別圖示 ... 54

圖4.8 曲面搭接誤差顯示與邊線細切密度關係 ... 56

圖4.9 雙曲面邊界點標定示意 ... 56

圖4.10 雙曲面搭接邊界資料對應示意 ... 57

圖4.11 剪切邊界前處理示意 ... 60

圖4.12 零散邊線前處理示意 ... 61

圖4.13 曲面搭接連續性調整實作分例 ... 62

圖4.14 雙曲面搭接連續性調整實作對話框 ... 63

圖4.15 雙曲面搭接連續性調整實作 ... 64

圖4.16 四曲面田字形搭接連續性調整實作對話框 ... 65

圖4.17 四曲面田字形搭接連續性調整實作 ... 66

圖4.18 序列曲面搭接連續性調整實作對話框 ... 67

圖4.19 序列曲面搭接連續性調整實作 ... 68

圖5.1 數值方法評比測試案例 ... 70

圖5.2 調整驗證曲面資料 ... 74

圖5.3 實例驗證呈現架構 ... 74

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圖5.4 序列曲面搭接調整輸入資料 ... 75

圖5.5 CATIA 呈現序列曲面調整前 G¹連續誤差 ... 75

圖5.6 CATIA 呈現序列曲面調整前 G²連續誤差 ... 76

圖5.7 CATIA 呈現序列曲面調整後 G¹連續誤差 ... 76

圖5.8 CATIA 呈現序列曲面調整後 G²連續誤差 ... 76

圖5.9 Imageware 邊界連續性誤差資訊檢測對話框 ... 77

圖5.10 Imageware 呈現序列曲面搭接連續性調整前後資料點誤差 ... 78

圖5.11 四曲面調整輸入資料 ... 79

圖5.12 CATIA 呈現四曲面調整前 G¹連續誤差 ... 79

圖5.13 CATIA 呈現四曲面調整前 G²連續誤差 ... 80

圖5.14 CATIA 呈現四曲面調整後 G¹連續誤差 ... 80

圖5.15 CATIA 呈現四曲面調整後 G²連續誤差 ... 81

圖5.16 Imageware 呈現四曲面連續性調整前後資料點誤差 ... 81

圖5.17 剪切曲面調整輸入資料 ... 83

圖5.18 CATIA 呈現剪切曲面調整前 G¹連續誤差 ... 83

圖5.19 CATIA 呈現剪切曲面調整前 G²連續誤差 ... 83

圖5.20 CATIA 呈現剪切曲面調整後 G¹連續誤差 ... 84

圖5.21 CATIA 呈現剪切曲面調整後 G²連續誤差 ... 84

圖5.22 Imageware 呈現剪切曲面搭接連續性調整前後資料點誤差 ... 85

圖A.1 剪切曲面搭接控制點分佈關係 ... 97

圖A.2 剪切曲面搭接邊界點參數示意 ... 97

圖A.3 曲面搭接邊界微分向量合成示意 ... 98

圖B.1 控制點分佈示意 ... 103

圖B.2 曲面參數方向、一階微分項示意 ... 103

圖B.3 調整控制點判別 ... 107

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表目錄

表1.1 開發平台 ... 11

表2.1 各級搭接邊界連續條件統整表格 ... 30

表3.1 田字形搭接各步驟調整曲面規劃 ... 48

表4.1 調整曲面於相異搭接邊之分例討論 ... 52

表4.2 變數資料傳遞陣列規劃 ... 55

表5.1 測試案例一-原始資料 ... 71

表5.2 測試案例一-連續性調整結果比較 ... 71

表5.3 測試案例二-原始資料 ... 72

表5.4 測試案例二-連續性調整結果比較 ... 72

表5.5 序列曲面調整前後誤差呈現 ... 78

表5.6 四曲面調整前後結果呈現 ... 82

表5.7 剪切曲面調整前後結果呈現 ... 85

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第一章導論

1.1 研究背景

逆向工程之應用，常見於復刻版或各式副廠用品之製作上，小如球鞋，大至車輛鈑件皆可見逆向工程之實作應用。於實務上，逆向工程之仿製作業，大多無法取得產品的原始設計圖，而是經由委託廠提供模型或原廠零件的購買，取得仿製目標模型。

早期的仿製作業，利用立體雕刻機，依靠磨銑床作業製作一比一等比例模具，再進行產品量產。此作法為類比式作業，並無法進行尺寸變更等相關設計變更作業，且於模具設計上仰賴傳統工業技藝，全賴作業經驗評估設計良劣。現今新式的作業流程，企圖以數位化之作業取代傳統經驗法則之操作，利用非接觸式光學掃描量測系統 (advanced topometric sensor, ATOS)進行模型外形資訊量測，取得模型外形之點群資料。該數位資料經過處理，產生 CAD 曲面資料，並向下傳遞，藉由 CAE 分析規劃，利用較科學的方式評估、設計模具。

概略的逆向工程流程如下列，並於圖 1.1 以流程圖方式呈現： (1) 取得樣品模型。

(2) 3D 輪廓掃描得到模型輪廓點資料。 (3) 點資料經處理鋪設得曲面資料。

(4) 曲面修飾、檢測至符合原始模型輪廓資訊。 (5) 模具設計製作。

(6) 產品生產。

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圖1.1 逆向工程作業流程

根據經濟部工業局及相關工業雜誌資料[26]， 2005 年台灣汽車零組件產值為新台幣 2,198.4 億元，而鈑件結構市場產值即占約新台幣 576 億元，且台灣汽車零件外銷市場中，屬碰撞維修零件部分已於國際市場占有一席之地。台灣廠商藉由於模具開發上的技術優勢，於車輛售後維修(after market, AM)碰撞市場在全球的市占率將近八成。

逆向作業鈑件生產過程中，最大的競爭力就在於如何能以最快的速度投入市場，供給零件至車輛的 AM 市場。而台灣業者於製造生產的時程掌握上有較佳的控制能力，該部分的時程精簡較難著墨，因此於前端設計規劃時程的精簡、縮短乃成為重要課題。

汽車鈑件模具業之鈑件生產流程如下，並於圖 1.2 以流程圖呈現： (1) 購買原廠 (original equipment manufacturer, OEM)汽車鈑件。

(2) 挑選品質佳之鈑件進行輪廓資料掃描。

(3) 由掃描輪廓點資料鋪設為曲面資料，並進行曲面搭接、誤差調整至通過誤差檢測。

(4) 進行模具設計之工法流程規劃。

(5) 依各工法對應曲面資料建構模面，並進行 CAE 分析。 (6) 製作模具。

(7) 生產線之鈑件量產作業。

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圖1.2 汽車鈑件模具業之鈑件生產流程

於前端模具設計、規劃過程中，最為費時的部分即在於點資料的鋪面及調整上。經過數位掃描，得到鈑件輪廓點資料，須經鋪面、連續性及誤差調整之動作，輸出符合規格之曲面資料，方得以往下傳遞。而曲面之輸出目標，在於鋪設出符合搭接連續性且與原始雲點資料比對下誤差值小於一定數值之曲面，參照相關業界之準則，統整檢測標的如下列：

(1) 點資料誤差

比對原始雲點資料與鋪設曲面資料之距離誤差。誤差距離須小於 0.3mm。

(2) 曲面搭接邊界連續性

雙片曲面搭接之連續性要求標的，求取誤差於特定範圍內。依訴求層級不同可分為G⁰(位置 )連續、G¹(切平面 )連續、G²(曲率 )連續。

(15)

其中 G⁰ 連續條件為距離誤差落於 0.001mm 內； G¹ 連續條件為切平面角度誤差小於 0.05deg； G²連續條件為曲率誤差小於 1%。上列標的亦為業界曲面調整所追求之目標。一般稱達到 G²連續條件之曲面為 A 級面；達到 G¹連續條件曲面為 B 級面。除此客觀標準外，另須考量一項較為直觀標的：光影反應。

(3) 光影反應

藉由 CAD 軟體之應用，附加材質至曲面資料上，由工程人員觀察曲面之光影反應平順性，作為另一參考、調整依據。該部分調整上，一般皆須依賴工程人員實作經驗，依照個人思維進行調整，且調整上較屬藝術美感上之追求，有賴實作經驗方得完善。

於輸出曲面皆通過檢測後，以此鈑件曲面為後續模具規劃之依據，接續進行模具設計、製作，進而生產鈑件。

1.2 研究動機

汽車鈑件的模具規劃設計流程中，模型資料之數位化前處理過程占據極大時程比重。汽車鈑件經由掃描得到眾多雲點資料，藉由針對雲點資料特徵標定，進行點資料分群動作，分別由各群點資料鋪設為曲面。由此流程可得知單一片鈑件，因其外形特徵之變異，可能分割為數十至數百塊曲面，須於曲面鋪設完成後，進行搭接連續性之調整。然而各鈑件中曲面與曲面之相關性乃環環相扣，於任意曲面之變動皆有可能影響到其相鄰曲面之搭接連續性，因此該連續性調整作業流程須不斷往返進行，藉由重覆性微調作業不斷壓低連續性誤差，至多數接隙皆落入誤差範圍內。

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現前車輛鈑件曲面鋪設、調整流程中，操作人員須對鈑件特性有一定程度了解，且在軟體操作上要有相當的經驗。然而該流程之作業仍相當費時，以汽車外鈑為例，其作業時程須 5-7 天；內鈑則須 12-15 天，其時間消耗主要在於眾多往返操作之作業及數量龐大之資料處理。由程式設計角度觀之，可發現在曲面資料處理過程中，有眾多重複性高、依循特定法則之作業項，試圖藉由程式整合，統整原本手動操作流程至程式作業中，利用電腦擅長處理重複性資訊之特性，取代人工的費時處理，目標務求鈑件曲面處理時程的精簡，有效達到前處理時程的縮短。

當前的曲面鋪設調整方式，由操作人員取得雲點資料，對雲點資料進行分群並逐一鋪設為曲面資料，於單一曲面鋪設完成後，隨即與前端鋪設好之曲面進行連續性比對及點資料誤差比對，其流程可視為 Z 型演進，往返於點資料鋪面、連續性與點誤差調整以及檢測三動作之間，逐步驟作業至整塊鈑件曲面鋪設完成。

於自動化流程設計中，考量規劃線性之作業流程，以批次處理方式處理龐大資料項。於分群後之雲點資料全數鋪設成曲面，再針對曲面資料進行連續性調整，最後進行檢測。流程如圖 1.3 所示。

圖1.3 批次處理鋪面、連續性調整作業流程

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本研究乃針對曲面搭接連續性調整部分進行探討，目標在於得以接收批次輸入鈑件曲面資料，並進行搭接連續性調整，最終輸出符合搭接連續性之曲面資料。

由搭接連續性調整衍生相關作業，包含雙片搭接調整、特殊搭接案例(四曲面田字形搭接 )調整、剪切曲面搭接調整等。藉由程式規劃設計，達成自動化調整作業。

就汽車鈑件而言，單一鈑件之連續性調整，內鈑須調整達到 B 級面需求，即符合 G⁰、G¹ 連續條件；外鈑須達到 A 級面需求，即符合 G⁰、G¹、G² 連續條件。於連續性相關檢測通過後，方可往下傳遞進行後續工法排程、模具規劃作業。且調整好之鈑件曲面，即為接續製模之模面依據，因此曲面資料前處理不僅關係著車輛鈑件生產時效，亦影響鈑件製作品質，由此可見該流程之重要性。

1.3 文獻回顧

1.3.1 NURBS 基礎資料

NURBS[17]為非均勻有理 B-spline(non-uniform rational B-spline) 縮寫。於現今電腦 3D 繪圖領域中， NURBS 幾何資料呈現模型已占據重要地位。其重要性源於 NURBS 於資料呈現上的準確性、調控性佳、簡潔明確的關係式以及可用少量資訊呈現複雜幾何外形等優點。也因如此 NURBS 亦成為電腦輔助幾何設計 (computer aided geometric design, CAGD)領域中，設計規劃之重要工具。其發展推演，最初為 Bézier 曲線之成形，後續漸整合擴充至較為完整的 NURBS 模型。

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Bézier 曲線於 1962 年，由法國雷諾 (Renault)汽車公司工程師 Pierre Bézier 發表。 Bézier 提出 Bézier 幾何建構模型，並應用於汽車主體設計上。Bézier 模型異於多項式幾何建構模型，利用數值方式建構 3D 幾何資料，添增設計者於外形設計調控的便捷性，漸發展成工藝設計領域之重要工具。

B-spline 資料於 1946 年由 Isaac Jacob Schoenberg 提出。其建立之曲線近似模型，最初應用於統計資料的平順化上，然而直至 1974 年 Gordon 與 Riesenfeld 於探討研究 Bézier 模型間，衍生至 B-spline，進而發現該資料之眾多便利性及強大，B-spline 之幾何建構模型始大力發展並引用至電腦輔助設計領域。相較於 Bézier 模型 B-spline 有較高的局部調控性，不致因為設計外形大幅變異，迫使切分曲面，造成搭接處理問題，且 B-spline 模型有一套較為通用的演算標準，針對升降階、插入節點等問題進行處理運算，於衍伸應用上有較高的便利性。

儘管 B-spline 模型於設計造型曲線、曲面有著極佳的效力，然而於二次曲線、曲面資料之模擬應用上，卻無法精確的呈現該造型，而有設計誤差之問題。為解決相關二次函式的模擬問題，隨後發展出非均勻有理 B-spline 模型，其涵括 Bézier、 B-spline 資料項，得以充分呈現各式幾何資訊，並被國際標準化組織定義為工業產品形狀表示之標準方法。

Piegl and Tiller[17]統整 NURBS 相關資料，由底層幾何資訊起始，對 Bézier、B-spline、NURBS 等進行概括性的統整說明，並說明於實作層面上如何呈現相關幾何資訊。衍生部分亦針對常見幾何形體，整理建構方法，於 NURBS 幾何資訊上提供充分的認知空間。

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Faux and Pratt[8]提供計算幾何相關演算概念，從基礎的空間幾何概念，至曲線、曲面幾何形體設計，並衍生處理造型搭接問題等。另外亦說明幾何形體的微分關係，對應於切線、切平面、曲率等相關幾何資訊關係式。

1.3.2 曲面搭接連續性資料

Kahmann[14]針對相接曲面切平面及曲率關係，推演 Bézier 曲面邊界平滑銜接條件，即切平面、曲率連續式。以曲面函數資料為基礎，推導於特定交界點上，欲達到連續條件，雙曲面函數式微分關係，其關係式資料包含曲面雙參數方向函數微分式及向量量值平衡係數項。當銜接邊界上各點皆符合推演之關係式，即可視為達到特定連續性之曲面銜接平滑化動作。

Du 與 Schmitt[7]由 Bézier 曲面函數推演，建構 G¹連續基礎關係式，並訂定平衡係數決定法則，引入張量積式，導得於雙曲面搭接 G¹連續 性下，控制點之分配關係。後續進階探討 N 片曲面 (N>2)共用中心點環 狀搭接下，G¹連續性調整之控制點規劃法則。

Ye 等人 [21]探討雙片 Bézier 曲面搭接的邊界連續性條件。在預設共同搭接邊界下，藉由 Bézier 曲面張量積式微分關係求取推演，並加入適當的調控係數，規劃邊界連續條件之數學模型。該數學模型包含調控係數及曲面控制點兩大調控項。於文中並推演調控係數之求取法則，進而求取平衡條件下之控制點。最後針對 G¹、G² 連續性調整實作。

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Hu 與 Sun[10]由 B-spline 參數曲面及曲線關係，推演剪切曲面之搭接連續性調整演算法。藉由 B-spline 張量積式之推演，導得剪切曲面搭接 G⁰、G¹ 連續性演算式，並實例調整呈現搭接連續性調整結果。

陳見宜[24]針對 B-spline 曲面搭接關係，由基礎連續性平衡關係式起始，歸納平衡係數的求取法則，進而調控連續性關係。於雙片搭接調整中可有效的調降搭接邊界誤差至 G² 連續條件。

1.3.3 最佳化調整資料

Moreton 與 Séquin[16]以最佳化方法進行曲面造型設計規劃。由點資料鋪面延伸至後續連續性調整，藉由最小能量之規劃求取，取得曲面鋪設調整之適當結果。

Alhanaty 與 Bercovier[1]探討曲線及曲面對點資料的貼合關係，藉由最佳化方法的引用，定義出目標函數並進行數值解求取。相較於傳統資料貼合方法，於數值解可得到相異的造型效果。

Ueng 等人 [20]應用最佳化演算法，進行曲線貼合運算。藉由訂立不同目標案例，即不同的目標函數，求取與輸入資料點相符之曲線方程式。視目標之狀態，得到貼合資料點或平順、延伸預測性之曲線。

由上列整合相關文獻資料，經比對評估，在曲面搭接連續性調整上，本研究採用最佳化方法進行調整，試突破解析求解的相關限制，以新的求解概念，適應至幾何問題處理上。運算上以數值方法為工具，並整合各級連續性條件為求解目標，進行最佳化調整。

(21)

1.4 研究內容

本研究針對 B-spline 參數曲面進行搭接邊界的連續性調整。首先對調整目標項：B-spline 曲面，進行概略性介紹，於問題討論上建立初步著力點。接續討論曲面搭接連續性關係，以雙參數方向(u、 v 方向 ) 曲面為基礎，統整曲面搭接 G¹、G²連續關係式。為銜接數值方法之演算，並由曲面搭接關係中規劃調整控制點(變數項 )及調整目標 (目標函數)，初步完成前端資料之統整。

問題求解上，以數值方法為求解工具，進行最佳化求解。針對選用數值演算方法進行概略介紹，並詳述實作層面上，曲面資料與演算法之銜接關係，最終遞送資料進行實作調整。針對調整輸出資料項進行討論，比較各式調整設定之輸出結果，進行結論歸納。於實作討論上，規劃三搭接案例進行調整實作：

(1) 序列曲面搭接

呈現一般非剪切曲面搭接狀況之調整結果及效果。

(2) 四曲面田字形搭接

顯示於曲面調整衝突點之處理方式，並細列調整流程及調整周邊限制。

(3) 剪切曲面搭接

特殊搭接案例之調整。異於非剪切曲面搭接狀況，添增調整設定限制條件。

(22)

於整體研究過程中，以調整曲面搭接連續性為目標，運用數值方法步進運算，於相異演算方法中會得到不同的收斂效果。本研究亦針對不同的數值演算法運用提出說明，解述如何將訂定目標套用至既有數值演算法中，並進行適應性調整，於最終選擇可得到最佳演算結果之演算方法為實作項目。

本研究演算開發，以 JAVA 程式語言為發展工具，並於 Eclipse 開發平台上進行開發實作。整體架構以尤春風博士所開發之 Spring Solid System[22]為演算核心，並於 SpringSolidCAD[23]之曲面設計模組上，擴充曲面搭接連續性調整功能。Spring Solid System 為純 Java 撰寫，可供跨平台運用之 CAD 核心，該系統符合 STEP AP203/214[12][13]規範，得以支援自行開發之 Spring Solid Part、 STEP AP203/214。

資料傳遞方面，以 STEP 檔案格式為基底，藉由 Spring Solid System 核心解讀規劃演算，最終輸出 STEP 檔案，傳輸至相關軟體進行驗證。

因於 JAVA 運作之需求，本程式須於可支援 Java Runtime 與 Java 3D Runtime 之作業系統上運行。本研究使用之開發平台如下：

表1.1 開發平台

硬體部分 Intel® Core™2 Duo CPU 2.8GHz, 4GB of RAM

作業系統 Microsoft Windows XP Professional Version 2002 SP3

開發環境 Java 2.0 Platform SE 6.0, Spring Solid System, SpringSolidCAD.

開發平台 Eclipse SDK 32bit Version 3.4.0

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1.5 論文架構

本論文分為六個章節，各章節呈現內容大致如下：

第一章導論

說明整體研究背景，並細分研究背景、研究動機、文獻回顧、研究內容、論文架構子細目。

第二章 B-spline 曲面搭接邊界連續條件

說明本研究的主體目標：搭接連續性。由 B-spline 參數曲面數學模型介紹為起始，接續分別導引說明 G⁰ 連續、G¹ 連續、G²連續為調整目標下，如何匯整條件式。

第三章數值方法

針對所引用之數值方法進行說明，並對曲面搭接連續性調整及數值方法作相關銜接處理。

第四章曲面搭接連續性調整實作

實際引入數值方法，分別探討曲面資料的實例建構、實作前處理及調整實作。

第五章實例驗證與討論

進行實作輸出，並以相關流通軟體進行驗證比對。

第六章結論與未來展望

總結，並細列可延伸發展方向。

(24)

第二章 B-spline 曲面搭接邊界連續條件

NURBS 曲面資料可視為較大範疇之幾何模型，於本研究應用上添增許多非必要考量項，運用上將其資料範圍縮減至非均勻非有理 (non-uniform, non-rational)B-spline 曲面，以下簡稱 B-spline 曲面。利用 B-spline 曲面之數學關係式進一步探討雙片曲面於搭接邊界之幾何關係。

2.1 B-spline 曲面數學模型

利用張量積方式(tensor-product-form)呈現一組 B-spline 曲面之參數方程式：

, , ,

1 1

( , ) ^m ⁿ i j k i( ) l j( )

i j

Q u v C N u N v

= =

=



⋅ ⋅

 

(2.1)

B-spline 曲面利用兩個維度參數 (u、 v)，定義包含四稜邊之四邊形 幾何外形曲面資料，稱此一完整四稜邊曲面為單位補綴(patch)。於方程式中包含階數(order)、控制點 (control point)、節點 (knot)以及演算基礎 Cox-deBoor[4]演算法四大要項。其中Ci j,

代表參數曲面控制點資料；

,( )

Nk i u 及 N_{l j}_, ( )v 分別為 u 、 v 方向基底函數 (basic functions, blending functions)； k 及 l 為雙參數方向之階數； m、 n 為雙參數方向各控制點 數量。圖 2.1 為簡易單一補綴資料，包含控制點及曲面彩現資料。

(25)

控制點

u v

圖2.1 單一補綴資料

於應用層面探討 B-spline 參數曲面張量積關係式項次，可分為控制點及基底函數兩大部分。控制點為曲面造型主要調控項，可藉由控制點的調控，設計造型曲面；基底函數包含階數、節點及 Cox-deBoor 遞迴演算式。於基底函數中可藉由階數、節點之調控，改變曲面調控特性，如控制點數量等，由此可發現控制點與基底函數亦有一定相對應關聯性。本研究連續性調整探討，即針對雙片補綴資料著手，對應曲面張量積式，推演規劃控制點調控目標，以控制點調控為連續性調整之實作方法。圖 2.2 呈現控制點變動前後，對應曲面造型之關係。

圖2.2 控制點調整單一造型曲面示意

(26)

除控制點對於 B-spline 曲面的調控影響性外，基底函數各參數項次亦對連續性調整實作規劃有重要影響。以雙片曲面搭接為例，當雙曲面於搭接邊界階數、節點資料相等時，於此稱為等同邊界參數。如圖 2.3(a)，可以發現雙邊控制點會有相互銜接現象。在搭接連續性目標的追求下，可藉由曲面基底函數的微分關係，直接導得雙曲面控制點之應對關係。然於搭接邊界階數或節點任一資料不等之狀況，稱非等同邊界參數，如圖 2.3(b)。連續性調整則須往覆於偵測邊界連續性關係及控制點調控之間，無法以通式形式解得控制點對應式。兩者實作上有著極大差異。

1( , )_l _l L u v



1( , )_r _r R u v



2( , )_l _l L u v



2( , )_r _r R u v



圖2.3 曲面搭接邊界關係示意

圖 2.3 所示， (a)為搭接邊界等同參數關係，於控制點排列上建構相互映對次序，其可視為穩定參數案例，在連續性調整上可直接導得控制點對應關係；(b)將右曲面進行升階動作、節點關係維持不變，得到左曲面階數 4、右曲面階數 5，而雙曲面維持相同節點之參數關係。

如圖 2.3(b)顯示，左面有 5 排控制點、右面 6 排控制點，於搭接邊界之控制點對應，變為交錯排列。此案例則無法直接推導連續性條件下控制點對應關係，須借助其他數值方法進行最佳化求解。

(27)

於雙片 B-spline 曲面搭接基礎下，搭接關係可分為等同邊界參數及非等同邊界參數兩大案例。搭接連續性條件之探討，除說明各級連續性條件，並規劃於等同邊界參數下，邊線微分參數之消減，列出簡化之搭接連續關係式。於非等同邊界參數案例，則另行規劃搭接連續關係式。於第三章引入數值方法，以曲面搭接連續關係式為目標，進行控制點調整。

( , )

、R u v( , )_R 雙片曲面搭接 G⁰連續關係，於搭接邊界共用同一曲線條件下，可得下式：

(1, ) (0, ) L v =R v

 

(2.6)

另行求取雙邊張量積式：

, ,

1

(1, ) ^r q j l j( )

j

L v B M v

=



⋅

 

(2.7)

0, ,

1

(0, ) ^r j l j( )

j

R v C M v

=



⋅

 

(2.8)

(30)

進一步整理兩式相等條件可得：

, , 0, ,

1 1

( ) ( )

r r

q j l j j l j

j j

B M v C M v

= =

⋅ = ⋅



^



^ ^(2.9)

, 0, , 1, 2 ,

q j j

B =C j= r

 

 (2.10)

G⁰ 連續條件下，於搭接邊界上雙曲面控制點應相互對應、相等。在搭接邊界參數相同之前提下，G⁰ 連續調整引用該特性，設定控制點相等即可達成。

圖2.7 位置連續與邊界控制點關係示意圖

圖 2.7 所示， (a)呈現當搭接邊界控制點相對應時，雙曲面達到 G⁰ 連續條件；(b)針對右面調控單一控制點，造成邊界分離現象，失去連續條件。

於雙曲面非等同參數條件下，調整方式須針對邊界控制點進行微幅調控，並逐點檢測距離誤差至誤差值落於需求標的之內。本研究並未考量此案例調整，因其調整上較難界定雙邊對應之參照點，且於鋪面之輸出結果，一般皆已達到位置連續之條件，若有需求，會於前處理階段，以相關軟體進行 G⁰ 連續調整。

(31)

2.3 切平面連續(G¹ continuity)

G¹ 連續於曲線與曲線搭接關係中詮釋為切線連續；然於曲面與曲面搭接關係中則稱之為切平面連續。本研究乃針對曲面資料調整討論，因此於文中皆以曲面為基礎，稱 G¹ 連續為切平面連續。

於車輛鈑件逆向工程作業中，各部鈑件為平衡於成本及品質等考量，皆會訂定不同調整需求標的，作為資料輸出前的檢驗要項。由最基礎的連續性條件探討起，G⁰連續性為所有鈑件皆須達到的基本條件；

G¹連續性為內鈑件之調整目標；G²連續性則為外鈑件之調整目標。各部鈑件因工藝需求差異而訂出不同準則，由此可得知 G¹連續性為一過度項，於內鈑件須調整至 G¹連續性始可輸出；外鈑件則至少須調整至 G¹連續性，並繼續 G²連續性之調整。

在切平面連續目標追求下，首先定義曲面切平面。以本文使用之 B-spline 曲面為基礎，單片曲面具有 u、v 兩維度空間域。試於曲面 ( , )Q u v

上尋求任一特定點Q a b( , )

，即 u=a、 v=b。針對該點分別對曲面 u 方向 及 v 方向進行一次微分，得到Q a b_u( , )

、Q a b_v( , )

兩參數方向切線值。取兩切線向量之外積可得到該曲面上定點切平面法向量，記作 Nab



，其中 ( , ) ( , )

ab u v

N =Q a b ×Q a b

  

。由單一定點及單一法向量即可定義空間座標中唯一平面，即所求切平面，由圖 2.8 呈現於曲面上求取之切平面關係。

(32)

Nab



( , ) Q a bu

( , ) Q a bv



( , ) Q u v

圖2.8 切平面示意圖

曲面搭接 G¹ 連續性之調整，初步工作項為定義邊界點，藉由邊界點資料項對應雙曲面參數座標並求取微分關係，計算各曲面切平面，由切平面對應關係判斷校調方向，進而調整。因此於調整設定上，G⁰ 連續性可視為 G¹ 連續性調整之先決條件。

u

l

u

r

v v

圖2.9 雙曲面搭接 G¹連續關係示意

如圖 2.9 所示，針對一對搭接曲面，擷取邊界點資料並判斷各搭接點 G¹連續性。圖中 A 點為達到 G¹連續之邊界點，由雙曲面求取之切 平面為共同平面； B 點未達 G¹連續，於雙邊求取之切平面相異，即切平面法向量方向相異。因此可以藉由邊界點幾何資訊的探求，規劃 G¹ 連續性調整目標式。

(33)

於搭接邊界等同參數下，針對雙曲面邊界L(1, )v

、 R(0, )v

進行 G¹ 連續調整之控制點調控規劃。由共用切平面關係，可得：

(1, )Lu v ×Lv(1, )v =α( )v R⋅u(0, )v ×Rv(0, )v

(2.11)

(1, ) Lu v

 、 Lv(1, )v

分別為左面邊線 L(1, )v

沿 u_l、 v 參數方向一次微分； (0, )

Ru v

 、 Rv(0, )v

分別為右面邊線 R(0, )v

沿u_r、 v 參數方向一次微分。因搭接邊界等同參數且符合 G⁰ 連續之先決條件，可得雙曲面邊界於 v方 向一次微分值應等同，即 Lv(1, )v =Rv(0, )v

。原外積關係式可減化為三向量共平面條件式：

( )

det Ru(0, ),v Lu(1, ),v Lv(1, )v =0

(2.12)

或加入向量量值調控係數，改寫式(2.12)至下式：

(0, )Ru v =β( )v L⋅u(1, )v +γ( )v L⋅v(1, )v

(2.13)

式(2.12)及式 (2.13)沿用 Kahmann[14]於 Bézier 曲面搭接案例中相關推演，並於本研究推廣至 B-spline 參數曲面搭接關係。^det

(

^{  }^{A B C}^{, ,}

)

^為

對 A

、B

、 C

三向量求取行列式值，該數值可對應於三向量圍築之六面體體積，設定為零即可呈現三向量共平面關係；β( )v 、γ( )v 為向量量值調控係數。微分項向量關係示意圖如圖 2.10，衍生求取雙曲面張量積式微分項，並導入 G¹ 連續平衡式：

(34)

, ', ,

1 1

(0, ) ^s ^r (0) ( )

u i j m i l j

i j

R v C N M v

= =

=



⋅ ⋅

 

(2.14)

, ', ,

1 1

(1, ) (1) ( )

q r

u i j k i l j

i j

L v B M M v

= =

=



⋅ ⋅

 

(2.15)

, , ',

1 1

(1, ) (1) ( )

q r

v i j k i l j

i j

L v B M M v

= =

=



⋅ ⋅

 

(2.16)

(1, ) (0, )

v v

L v =R v

 

( , ) L u v

l

 ^

R u v ( , )

_r

(1, ) Lu v



(0, ) Ru v



ul u_r

v v

圖2.10 曲面搭接邊界微分項示意

由 Cox-deBoor 遞迴演算法，針對基底函數微分項推演，探討於式 (2.13)相關影響之控制點。可以得到對 G¹ 連續有影響性之曲面控制點為搭接邊界一排控制點及雙曲面由搭接邊界向外推算一排控制點。於當前 G¹ 調整相關作業，多針對邊界往外推演一排控制點調控，避免邊界排對 G⁰ 連續之影響。相關示意如圖 2.11 所示。

圖2.11 等同邊界參數搭接關係 G¹連續相關控制點

(35)

在等同邊界參數條件下，試引用切平面連續之基底原理：雙邊切平面共面。以較為簡潔方式推導 G¹ 連續關係。由式(2.13)，進一步固定 Lv(1, )v

項次，即設定 β( ) 0v = ^{，得到式}(2.17)。於圖 2.10 邊界向量示意上，可發現 Lu(1, )v

、Ru(0, )v

若共線，亦可達到三向量共平面條件。實際調控上，如圖 2.12 設定雙曲面對應控制點共線，即可達到搭接 G¹連續性。其可視為 G¹連續調整方法選項之一，於操作上便捷，然而相對應的犧牲些許調控自由度，並添增誤差項。

(0, )Ru v =γ( )v L⋅u(1, )v

(2.17)

圖2.12 控制點共線調整切平面連續

於非等同邊界參數案例，如圖 2.13，曲面微分項並不如等同邊界相互對應分配，於運算上無法進行參數消減動作。衍生式(2.12)關係，並添增對剪切曲面的考量，依附錄 A.1 G¹ 關係式推演，得下式：

( )

det p Ru(0, )v +q Rv(0, ),v Lu(1, ),v Lv(1, )v =0

  (2.18)

其中 p、 q 為向量取值參數，為確保全面考量到各向量權重。將式 (2.18)引至數值方法，於 4.1.4 小節引為目標函數，其可針對較廣義的

(36)

曲面搭接關係進行 G¹ 連續調整。

( , )_r _r R u v



( , )_l _l L u v



ul

vl

ur

vr

Ru



Rv Lu

Lv



搭接邊界一次微分向量關係

控制點資料

圖2.13 非等同邊界參數搭接曲面

2.4 曲率連續(G² continuity)

由曲面對參數方向一次微分可求得切平面關係，即 G¹狀態；若以一次微分及二次微分項次為基底，則可導得曲率關係，即 G²狀態。於曲面搭接曲率連續性調整關係式中，以 G⁰連續、G¹連續為基底條件，針對 G² 連續條件統整並條列出平衡關係式，後續調整控制點，目標至符合平衡關係式，即為達到 G² 連續條件。

( , ) Q u v



Qu

Qv

N



u v

t=Q u Q v^+ ^

  

圖2.14 曲率基底示意

(37)

於幾何上定義，曲率為曲線上特定點之截圓半徑倒數，如圖 2.14 曲率關係示意。因此於曲率值求解過程中，須先針對曲面資料求取定 點切平面法向量 N

及以定點座標為出發點，求取切平面上一方向向量 t

。方向向量為利用雙參數方向之一次微分關係求得於切平面上一特定方向 t =Q u Q v_u ^+_v ^

，以此為基礎下可得法曲率(normal curvature)關係式：

2 2

11 12 22

2 2

11 12 22

2 2

g u g u v g v e u e u v e v

κ = ⁺ ⁺

+ +

   

    (2.19)

式(2.19)之各項參數，如下所示：

11 u u

e =Q Q 

 e₁₂ =Q Q _u _v

 e₂₂=Q Q _v _v



11 uu

g =Q N

 g₁₂ =Q   _uv N=Q_vu N

  g₂₂=Q _vv N



關係式中Q_uu

為參數曲面對 u 方向進行二次微分；Q_uv

為參數曲面對 u 方向、v 方向各進行一次微分；Q_vv

為參數曲面對 v 方向進行二次微分；

u

 及v

分別為對 u、 v 方向的取值比重，為決定取值截面之重要參數。

於曲面上固定點，隨平面向量 t

取值相異可得不同截平面，相對應曲率值亦相異。取其中絕對最大曲率及絕對最小曲率，稱之為主曲率 (principal curvature)，記作κ 、₁ κ 。由主曲率延伸求取高斯曲率 (Gaussian 2

curvature) K 、平均曲率 (mean curvature) H 分別如下所示：

(38)

1 2

K = κ κ (2.20)

(

¹ ²

)

1

H =2 κ κ+ (2.21)

由法曲率關係，衍生推演曲率連續關係式。於 Kahmann 所述，在雙片曲面搭接案例中，規劃搭接雙邊等同切平面法向量，即達 G¹連續條件，如式(2.22)；並由等同邊界參數得式 (2.23)。

(0, )Ru v =β( )v L⋅u(1, )v +γ( )v L⋅v(1, )v

(2.22) (0, )Rv v =Lv(1, )v

(2.23)

設定雙曲面有共同漸進方向(法曲率值為零之方向 )，即曲率連續條件，並銜接式(2.22)、式 (2.23)。由比較係數方式，可求得 G²連續關係式，式(2.24)。因其推演過程藉由搭街關係對邊界參數消減，該式於非剪切曲面搭接關係中才得以引用。於附錄 A.2 中，針對該項 G²關係詳述推演概念。

(

)

2

det (1, ), (1, ), (0, ) ( ) (1, ) 2 ( ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) 0

u v uu uu

uv vv

L v L v R v v L v

v v L v v L v β

β γ γ

−

− − =

   

  (2.24)

或加入向量量值調控係數呈現：

2 2

(0, ) ( ) (1, ) 2 ( ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) (1, )

uu uu uv vv

u v

R v v L v v v L v v L v

s v L v t v L v

β β γ γ

= ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

   

  (2.25)

其中 β( )v 、γ( )v 、 s v( )、t v( )分別為向量量值調控係數。

B-spline曲面搭接連續性調整

國立臺灣大學工學院機械工程學研究所 碩士論文

National Taiwan University Master thesis

B-spline 曲面搭接連續性調整

Continuity Adjustment of B-spline Surfaces

曹育銘 Yu-Ming Tsao

指導教授：尤春風 博士 Advisor: Chun-Fong You, Ph.D.

中華民國 99 年 7 月

July, 2010

誌謝

B-spline 曲面搭接連續性調整

Continuity Adjustment of B-spline Surface

目錄

圖目錄

表目錄

第一章 導論

第二章 B-spline 曲面搭接邊界連續條件



( , )

L u v

R u v ( , )

















u

u

v v

( )

(

)







( , ) L u v

R u v ( , )

( )

(

)

(

)

國立臺灣大學工學院機械工程學研究所碩士論文

指導教授：尤春風博士 Advisor: Chun-Fong You, Ph.D.

第一章導論