2. 考試時間 100 分鐘。

2018 年 4 月 28 日

姓名： 學號： 學系：

說明:

1. 本試題含封面共 10 頁，8 大題。

2. 考試時間 100 分鐘。

3. 請在每個試題所屬的頁面作答。如欲使用試題背面，請標示清楚。

4. 如果題目附有答案欄，請將答案寫在答案欄上。

5. 清楚地寫出計算及證明的過程，沒有過程的答案將不予記分。

題號 配分 分數 1 20

2 15

3 10

4 10

5 15

6 10

7 10

8 10

總分 100

1. 選擇題 (每題選出一個正確答案)

給定函數 f (x)，(a)、(b) 兩小題考慮其導函數 f^′(x)之圖形如下:

圖形在 0 ≤ x ≤ 2 間為圓弧，在 2 ≤ x ≤ 3 間為直線。另假設 f(0) = 0.

(a) (5 points) f (3) =?

(A) 2π (B) ¹₂ −^π₂ (C) ³₄ (D) 0 (E) ^π₂ − ¹₂ (b) (5 points) 以下何者敘述必定錯誤?

(A) f 在 x = 1 有反曲點。

(B) f 在區間 [0, 3] 上為連續函數。

(C) f 在 x = 1 有局部極小值。

(D) f 在 x = 2 有局部極大值。

(E) f (4) = 0。

註記: 原考題中因 y 軸座標之標註有誤 (−1, 0, 1 誤標為 0, 1, 2.)，依據該錯誤資 訊，(a) 題無答案，故送分，而 (b) 題 C,D,E 皆為正確答案，選出任何一項皆給 分。

Remark: There is a typo on the original exam, where the numbers on y-axis are mistakenly marked 0, 1, 2 instead of the correct −1, 0, 1. Because of the wrong data, question (a) has no answer, and therefore 5 points are automatically given.

For part (b), options C,D,E are all correct according to the wrong data. Any of those answers results in full 5 points.

(c) (5 points) 以下對瑕積分

∫ _∞

1

f (x) dx

之敘述何者為真?

(A) 若 lim_x→∞f (x) = 0，則積分收斂。

(B) 若 f (x) 為非零多項式，則積分發散。

(C) 若積分發散，則對所有實數 c，∫_∞

1 cf (x) dx 亦為發散。

(D) 若積分收斂，則存在 M > 0 使得對於所有 x > M ，f (x) > 0。

(E) 以上皆對。

(d) (5 points) 假設 P (x) = ∑_∞

j=0a_jx^j 為函數 f (x) 在 x = 0 之泰勒展開式。以下敘 述何者為真?

(A) 若對於所有 j，f^(j)(0) 存在。則在 x = 0 附近，f (x) = P (x).

(B) 對於所有 j，a_j = f^(j)(0).

(C) 對於所有 j，f^′(x) =∑_∞

j=1jajx^j−1。 (D) 存在偶函數 f (x) 使得 a₃ = 1。

(E) 以上皆非。

註: f^(j) 為 f 的 j 階導函數。

Solution: (a) E (b) C (c) B (d) E

2. 計算

(a) (5 points)

tlim→∞

( 1 + 1

4t )t

=?

(a) e¹⁴ Solution: Let u = 4t, then t→ ∞ ⇔ u → ∞.

lim_t→∞(

1 + _4t¹)t

= lim_u→∞(

1 + _u¹)^u₄

=(

lim_u→∞(

1 + ¹_u)u)¹₄

= e¹⁴.

(b) (5 points) ∫ 1

0

sin√

x dx =?

(b) 2(sin 1− cos 1) Solution: Let u =√

x, we have∫₁

0 sin√

x dx = 2∫₁

0 u sin u du.. Doing integra- tion by parts, we have

2

∫ ₁

0

u sin u du = 2(−u cos u + sin u)|¹₀ = 2(sin 1− cos 1).

(c) (5 points) ∫

x− 2

x²− 4x + 13 dx =?

(c) − log |√ ³

9+(x−2)²| + C Solution: ∫ _x−2

x²−4x+13 dx = ∫ _x−2

(x−2)²=9 dx. Let x− 2 = 3 tan u, the integral is rewritten into

∫ 3 tan u

3²sec²u 3 sec²u du =

∫

tan u du =− log | cos u|+C = − log | 3

√9 + (x− 2)²|+C.

3. (10 points) 描述 a 值範圍，使得曲線

y + y³ − x³ − ax²− x = 0

有水平切線。

3. a≥√

3 or a≤ −√ 3

Solution: Differentiate both sides, we have dy

dx + 3y²dy

dx − 3x²− 2ax − 1 = 0, or

dy

dx = 3x²+ 2ax + 1 1 + 3y² .

Horizontal tangent lines appear precisely when _dx^dy = 0, which is true if and only if 3x²+ 2ax + 1 = 0. For the quadratic polynomial to have real root, we have

4a²− 12 ≥ 0, which is true if and only if a≥√

3 or a ≤ −√ 3.

4. (10 points) 將一條一公尺長的鐵絲在某點垂直折成 L 型，並將兩端分別固定在 x 與 y 軸且兩邊平行座標軸 (見下圖)。

將鐵絲繞 y 軸旋轉，求形成之旋轉體積的最大值。

4. ^4π₂₇

Solution: Suppose the length of the top is t and the bottom is 1− t. The volume of revolution is V (t) = πt²(1−t) = πt²−t³. To find the maximum value, we differentiate V^′(t) = π(2t−3t²) and see that the critical points are 0,²₃. The corresponding volumes are 0 and ^4π₂₇ and the second value is clearly the maximum volume.

5. (15 points) 求

xlim→2

∫x²

−4cos(t⁴+ t²) sin⁷t dt

x− 2 .

列出所有充分理由才給滿分。

5. 4 cos 272 sin⁷4

Solution: Let F (x) =∫_x²

−4cos(t⁴+ t²) sin⁷t dt. Since the integrand is an odd func- tion, we have that F (2) = 0. The limit is rewritten as

xlim→2

∫_x²

−4cos(t⁴+ t²) sin⁷t dt

x− 2 = lim

x→2

F (x)− F (2)

x− 2 = F^′(2).

By the fundamental theorem of calculus, F^′(x) = 2x cos(x⁸+x⁴) sin⁷x²and therefore F^′(2) = 4 cos 272 sin⁷4.

6. (10 points) 證明不可能存在可微函數 f (x) 滿足 f (0) = 0、f (1) = 4、且 f^′(x) < e^x 對 於所有 x。

Solution: Suppose such function exist, then by mean value theorem, 4 = f (1)− f (0) = f^′(t) for some t∈ (0, 1). But f^′(x) < e^x < 3 on (0, 1) and therefore f^′(t) = 4 is impossible.

7. (10 points) 求所有 p > 0 使得積分

∫ 1 0

cos^4px + 1 x^2p dx 收斂。列出所有充分理由才給滿分。

7. p < ¹₂

Solution: Note that since 0≤ cos x ≤ 1 on [0, 1], we have

1≤ cos^4px + 1≤ 2 for all x ∈ [0, 1]. Then,

0≤ cos^4px + 1 x^2p ≤ 2

x^2p and ∫1

0 2

x^2p dx converges when 2p < 1, or p < ¹₂. Therefore, if p < ¹₂, the integral converges.

To ensure that the integral diverges for other values of p, we observe

0≤ 1

x^2p ≤ cos^4px + 1 x^2p and ∫1

0 1

x^2p dx = ∞ for 2p ≥ 1, or p ≥ ¹₂. The integral diverges for p ≥ ¹₂ and therefore integral converges if and only if p < ¹₂.

8. (10 points) 給定函數

f (x) = e^{cos x}

√e ,

x∈ (0, π). 證明函數在該區間可逆並求 (f⁻¹)^′(1).

8. −^√2₃

Solution: Since f^′(x) =− sin x^{ecos x√}_e < 0 on (0, π). The function is strictly decreas- ing and therefore one-to-one and invertible. To compute the derivative of f^′ at 1, we first solve f (x) = 1. That is,

e^{cos x−12} = e⁰. Therefore, we must have cos x = ¹₂, or x = ^π₃ and

(f⁻¹)^′(1) = 1

f^′(^π₃) =− 2

√3.

註記: 原中文版本考題中，函數定義域誤打為 (0, 2π)(英文版本正確)，因此函數並不 可逆。故證明可逆部分送五分 (中英文版本皆送)。因為該筆誤，在中文版本中計算反

函數之微分，有可能算出另一可能性 √²

3，若算出該答案，或是明確指出反函數並不

存在，亦給五分，但英文版本該部分照常批改。

Remark: In the Chinese version of original exam, the domain of the function is mistak- enly given by (0, 2π) (while the English version is correct). Therefore, the 5 points on proving the invertibility of f is automatically given (in both versions). However, the part on computing (f⁻¹)^′(1) is well posed for English version and therefore is graded normally.