2. 考試時間 100 分鐘。

2017 年 4 月 22 日

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說明:

1. 本試題含封面共 7 頁，8 大題。

2. 考試時間 100 分鐘。

3. 請在每個試題所屬的頁面作答。如欲使用試題背面，請標示清楚。

4. 如果題目附有答案欄，請將答案寫在答案欄上。

5. 清楚地寫出計算及證明的過程，沒有過程的答案將不予記分。

題號 配分 分數 1 20

2 15

3 10

4 10

5 10

6 10

7 15

8 10

總分 100

1. 選擇題 (每題選出一個正確答案) (a) (5 points) 若 e^x/y = x + y, 求 dy

dx =?

(A) xy

x²+ xy + y² (B) xe^x/y+ y²

ye^x/y− y² (C) xy

xe^x/y− y² (D) y

x − 2 xy²e^x/y (E) ye^x/y+ y²

xe^x/y− y²

(b) (5 points) 令 f (x) = 2x³− 9x²+ 12x. 選出一個正確選項

(A) f (x) 有一個局部極大值在 x = 1, 一個絕對極大值在 x = 2, 和一個反曲 點在 x = 3/2;

(B) f (x) 有局部極大值在 x = 1 和 x = 3/2, 及一個局部極小值在 x = 2;

(C) f (x) 有局部極小值在 x = 1 和 x = 2, 及一個反曲點在 x = 3/2;

(D) f (x) 有一個局部極大值在 x = 1, 一個局部極小值在 x = 2, 和一個反曲 點在 x = 3/2.

(E) f (x) 有反曲點在 x = 1, x = 2 和 x = 3/2;

(c) (5 points) 令 f (x) 連續且可微分在 [−1, 2] 區間上. 已知 f(−1) = −5 和 f(2) = 7.

下列哪一個敘述是「錯」的?

(A) f (x) 有一個絕對極大值在 [−1, 2]���;

(B) 存在一個點 c 介於-1 和 2 之間, 使得 f (c) = 0;

(C) 存在一個點 c 介於-1 和 2 之間, 使得 f^′(c) = 4;

(D) 存在一個點 c 介於-1 和 2 之間, 使得 f^′(c) > 0 ;

(E) 上述 (A), (B), (C), (D) 選項皆有可能因 f (x) 的其他性質不同而產生錯 誤.

(d) (5 points) 級數

∑∞ n=1

(−1)ⁿ (n²+ 1)^p 是 (A) 絕對收斂當 p≥ ¹₂;

(B) 絕對收斂當 p > 1 和條件收斂當 0 < p≤ 1;

(C) 絕對收斂當 0 < p≤ ¹₂ 和條件收斂當 p > ¹₂; (D) 發散的對於任意 p;

2. 計算

(a) (5 points) lim

x→−∞

( x x + 2

)x

(a)

(b) (5 points)

∫ ^π

4

0

x cos x dx.

(b)

(c) (5 points) 寫出函數圖形 y = x^cos(πx) 於 x = 3 的切線方程式.

(c)

3. (10 points) 令 f (x) =

∫_x²

x e^t2 dt

x− 1 當 x̸= 1. 試給出一個值 f(1) 使得 f 連續在 x = 1.

3.

4. (10 points) 已知 f (0) = 0, f^′(0) = 1和 |f^′′(x)| ≤ 2 對於所有 x ∈ [0, 3]. 求 f(3) 最大可 能的值.

4.

5. (10 points) 試證明 1− x

1 + x < e^−2x 對於所有 x∈ (0, 1).

6. (10 points) 已知以 r 為半徑的三維球體體積為 V = ⁴₃πr³. 若以每分鐘 3 立方英吋的 速度吹入空氣於一個氣球中，試求當氣球體積為 36π 立方英吋時，其半徑 r 的改變速 度為何?

6.

7. 已知一曲線的參數方程式為

x = cos³t y = sin³t t∈ [0,π 2].

(a) (5 points) 求出所有時間 t∈ [0,^π₂], 使得當一質點延此曲線軌跡運動時，此質點在 該時間有最大速度.

(a)

(b) (5 points) 計算此曲線的孤長

(b)

(c) (5 points) 計算此曲線繞 x 軸旋轉後的旋轉曲面之表面積

8. (10 points) 求級數

∑∞ n=0

2ⁿ

n!(n + 2) 的值. (提示: 對函數 f (x) = xe^x 的泰勒級數做積分) 8.