兩軸精密壓電定位平台之適應性控制研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

兩軸精密壓電定位平台之適應性控制研究(第 2 年) 研究成果報告(完整版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 99-2221-E-011-021-MY2

執 行 期 間 ： 100 年 08 月 01 日至 101 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立臺灣科技大學機械工程系

計 畫 主 持 人 ： 黃緒哲

報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

公 開 資 訊 ： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 101 年 08 月 10 日

中 文 摘 要 ： 本計畫研究第一年內容將以 model-based 控制器架構來設計 與驗證 X-Y 壓電驅動定位平台之精密定位控制。壓電陶瓷馬 達具顯著之非線性摩擦特性，本研究將對摩擦模型進行探 討，並針對模型不確定性進行修正。首先建立 LuGre 摩擦之 數學 model，再利用非線性滑動模式控制器設計其控制器，

達成具備次微米級之定位精度目標。

第二年內容為使用基因演算法搭配第一年所求之 LuGre 參 數，尋找模型最佳化參數，建立最近似的 LuGre 摩擦模型。

並加入 FAT 適應控制器，完成 X-Y 壓電平台定位控制。將基 因演算模型參數與平台控制結果與前一年計畫內容進行比 較，並探討其中差異。

中文關鍵詞： 壓電定位平台， LuGre 摩擦模型， 非線性滑動模式控 制，FAT 適應控制器

英 文 摘 要 ：

英文關鍵詞： PZT moving table, LuGre friction model, parameters estimation,functional approximation technique, and adaptive control

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

兩軸精密壓電定位平台之適應性控制研究(2/2)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC99-2221-E-011-021-MY2

執行期間： 99 年 08 月01 日至 101年 07 月31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學機械工程系(所)

計畫主持人： 黃緒哲

計畫參與人員： 李宗霖、陳冀鵬、黃志遠、楊宗賢、林于崴、張統凱

報告類型： 成果報告

處理方式： 本計畫不可公開查詢

中 華 民 國 101 年 8 月 11 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

□期中進度報告

兩軸精密壓電定位平台之適應性控制研究(2/2)

計畫類別：■ 個別型計畫 □ 整合型計畫 計畫編號：NSC 99－2221－E－011－021－MY2 執行期間： 99 年 8 月 1 日至 101 年 7 月 31 日

計畫主持人：黃緒哲教授

計畫參與人員：李宗霖、陳冀鵬、黃志遠 楊宗賢、林于崴、張統凱

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

■出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列管計 畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年■二年後可公開查詢

執行單位：國立台灣科技大學 機械系(所)

中 華 民 國 101 年 8 月 11 日

兩軸精密壓電定位平台之適應性控制研究(1/2)

執行期限：99 年 8 月 1 日到 101 年 7 月31 日 主持人：黃緒哲教授 國立台灣科技大學機械工程系(所)

計畫參與人員：李宗霖、陳冀鵬、黃志遠 國立台灣科技大學機械工程系(所)

摘要

本計畫研究第一年內容將以model-based 控制器架構來設計與驗證X-Y 壓電驅動定位平台之 精密定位控制。壓電陶瓷馬達具顯著之非線性摩擦特 性，本研究將對摩擦模型進行探討，並針對模型不確 定性進行修正。首先建立LuGre 摩擦之數學model，

再利用非線性滑動模式控制器設計其控制器，達成具 備次微米級之定位精度目標。

第二年內容為使用基因演算法搭配第一年所求 之LuGre參數，尋找模型最佳化參數，建立最近似的 LuGre摩擦模型。並加入FAT適應控制器，完成X-Y 壓電平台定位控制。將基因演算模型參數與平台控制 結果與前一年計畫內容進行比較，並探討其中差異。

1. 前言

由於摩擦之問題在不同領域皆為一極重要之特 性，因此有許多摩擦模型被提出，用來描述各種摩擦 之特性。在文獻【1】中Armstrong 等人整理了大量 的文獻資料，概述摩擦行為包括靜摩擦、庫倫摩擦與 黏滯摩擦等特性外，在更細微的部份還包含遲滯、

Stribeck 等現象。Dahl【2】於研究摩擦時發現，在 一微小移動時，靜摩擦的行為會類似一個彈簧元件，

此行為可稱為一預滑動現象，因此描述了一個spring -like的啟動摩擦行為。而現今最常被採用的模型則為 LuGre摩擦模型【3】，此模型包含＂stribeck effect,hysteresis,spring-like,characteristics for stiction, and varying break-away force “等摩擦特性。

本研究所用摩擦補償之控制策略為model-based 的控制方法。在摩擦力的參數鑑定法上，Min-Seok Kim 等人【4】提出於頻域去鑑定摩擦模型，透過limit cycle analysis 求出各種非線性的摩擦元件，並以函數 描述其特性。Jeong Ju Choi 等人【5】利用neural network Preisach model 對LuGre model 進行修正，用 以解決摩擦力隨位置不同而變動的特性。

本研究之實驗定位平台是由壓電馬達所驅動，藉 由馬達與平台間的摩擦力作用，使平台在滑軌上移 動。因此摩擦力成為影響精度的最重要因素，如果要 達到高精密度的定位控制與追跡控制就必須克服摩 擦力影響的特性。

2. 系統架構

本系統採用PC-based 之控制架構，實驗配備包 含X-Y 雙軸壓電驅動平台、光學尺、壓電馬達驅動 器、D/A 介面卡與 833 Encoder card…等，圖 1 為系 統實體圖。主要控制流程，即由PC 中控制器所計算 的控制力經由D/A 介面卡做轉換後，輸出類比訊號 至Driver Box 驅動壓電馬達以帶動平台的運動，並由 光學尺讀取並傳回Encoder 介面卡計算位移量，再經 PC 運算下一次控制力的回授訊號，完成一閉迴路之 控制動作，圖 2 為系統架構圖。

圖 1 系統實體圖

圖 2 系統架構圖

本實驗使用 Nanomotion Ltd. Company 生產的壓 電驅動X-Y 平台。X 軸馬達採用 HR2 馬達，為一壓 電超音波馬達，HR2 馬達因包含兩驅動頭因此可產生

約8N 的驅動力( 4N/element)。 而 Y 軸因需承受較大 的負載，因而採用包含四驅動頭的HR4 馬達，可產 生16N 的驅動力。驅動器如圖 3 之示意圖，同樣採 用Nanomotion AB1 Driver Box，且設定控制信號為 analog 輸入，容許範圍在±5V 或±10 V，Driver Box 收到輸入電壓後會產生一48V 的 PWM 信號，並經一 LC 電路使產生一 39.6KHz 的 sine wave 輸出給壓電陶 瓷馬達，推動平台移動。

圖 3 驅動器運作示意圖

位置量測光學尺解析度為0.1μm，最大量測長度 為100mm。實驗介面卡採用研華公司之控制介面 卡，PCL-833 Encoder card 負責光學尺數位訊號的計 數，並將之轉換為位置訊號。PCL-726 DA 卡，具 12 位元解析度之 DA 功能，並設定電壓範圍為±5V，負 責將PC 算出之數位控制訊號，轉換為類比訊號，再 傳送給Driver Box 驅動馬達運作。使用個人電腦及 MS-DOS 作業環境下，利用 Turbo C 軟體撰寫平台控 制程式，並設定程式取樣時間為2msec。

3. 摩擦模型與摩擦力估測

如前言所述，LuGre model【3】為結合 strickbeck effect，hysteretic behavior，spring-like characteristics for stiction and varying break-away force 等摩擦力行為的 模型，摩擦力模型及數學推導可由毛刷模型來說明，

如圖4。本文所使用之摩擦模型即是使用 LuGre model。

圖 4 毛刷模型 3.1 LuGre 摩擦模型

對於一般的伺服系統之動力學我們可以用下列 數學方程式表示

F u x

m&&= − (1)

其中 m 為平台的等效質量。F為平台 受到的非線性摩擦力，u=k_c

( )

將F以LuGre model 來表示如下

( )

&

&

& σ⁰

−

= (2) dt x

z dz

F=σ0 +σ1 +σ2& (3)

( ) ( )

V F x

F F x g

s c

s

c & &

& 2

2

exp ⎟⎟+σ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

− +

= (4)

其中x&為速度，z為毛刷平均變形量(the average deflection of the bristles)，σ 表示剛性係數₀

(stiffness)，σ 表示阻泥係數(damping)，₁ σ 表示黏滯₂ 摩擦係數(hysteresis)，其中選擇函數g(x&)描述 Stribeck effect ，V_s表示Stribeck velocity，F_c與F_s分 別代表庫倫摩擦與靜摩擦。

在壓電驅動實驗系統中，根據平台移動方向的 不同，靜摩擦參數也會有所不同。因此，在這裡分別 定義成x&>0，靜摩擦參數為F_c⁺，F_s⁺，α⁺，V_s⁺，當

<0

x& ，靜摩擦參數為F_c⁻，F_s⁻，α⁻，V_s⁻。 由上式(3)，

令 =0 dt

dz ，摩擦力與速度的關係可以表示成 x

z F=σ₀ +σ₂&

( ) ( )

V F x

F F

s c

s

c & & &

2 2

sgn

exp +σ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

− +

= （5）

上式（5）的曲線即為 Stribeck 曲線。

3.2 摩擦參數估測

對於摩擦模型的摩擦參數估測，分成兩個部分進 行 ， 首 先 使 用Stribeck 曲 線 估 測 出 靜 態 摩 擦 參 數

s s

c F V

F， ，σ，₂ ，然後使用這裡得出的靜態摩擦參數取 代實際值，然後由limit-cycle震盪曲線求出動態摩擦 參數σ₀，σ₁【6】。

3.2.1 靜態參數估測

令平台閉迴路系統以一組固定的速度運動

n i

xi} ₁

{& ₌ ，可以得到相對應的控制力{u_i}_iⁿ₌₁，由(1)式，

當x&&=0時u=F，由上述兩個陣列確定了摩擦力與

速度之間的穩態對應關係，也就是Stribeck 曲線，如 圖 5 所示。

圖 5 Stribeck 曲線

設待參數估測向量

[

]

s F F V F F V

x = ˆ⁺, ˆ⁺,ˆ ⁺,ˆ⁺,ˆ ⁻,ˆ ⁻,ˆ ⁻,ˆ⁻

2

2 σ

σ 定義辨識誤差

(

)

(

)

e ,& = − ,& (6)

將(5)改寫成

( ) ( )

( ) ( )

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

<

+

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

− +

>

+

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

− +

=

−

− −

−

−

+ +

+ + +

0 ˆ

ˆ sgn ˆ exp ˆ ˆ

ˆ 0 ˆ sgn

ˆ exp ˆ ˆ

2 2

2 2

i i i T

s i c s c

i i i T

s i c s c

x x x V

F x F F

x x x V

F x F F F

&

&

&

&

&

&

&

&

，

，

σ

σ (7)

取目標函數為

( )

∑=

=

n

i

i s x x e J

1

2 ,

2

1 & (8)

則參數估測的問題即改變為最小化目標函數J【6】。

最佳化方法直接利用Matlab optimization toolbox 的 函數“fminunc＂，以得到摩擦參數的估測結果。

3.2.2 動態參數估測

在估測動態參數σ₀、σ₁時，靜態參數使用上一節 得到的估測結果，因為當速度瞬間不為零時以及 stick-slip 現象時系統的暫態響應對於動態的參數變 化會非常敏感【3】，所以透過設計 limit-cycle 震盪曲 線來估測動態參數，如圖 ，控制器設計為：

(

)

(

)

−

−

= k x k x x k x x dt

u _v& _{p d i d} (9)

調整k_v與k_p使系統穩定，接著調整k_i值讓系統 對於步階輸入產生limit-cycle 震盪，設定待估測 向量xd =

[

]

(

) ( ) (

)

e , = − ₁ , (10) 其中x

( )

(

)

F u x

m&&₁= − (11)

1 2 1

0 ˆ

ˆ x

dt z dz

F=σ +σ +σ & (12)

z x g x x dt dz

) ( ˆ

. 1

1 0 1

&

& σ

−

= (13)

取目標函數為

( )

( )

∑

+

= ^N

i

d

d t c e x t

x e c J

1

1 2

2 1

1 , max , (14) 其中c、₁ c₂為權重係數，參數估測問題改變為最小化 目標函數J【6】。最佳化方法直接利用Matlab optimization toolbox 的函數“fminunc＂，以得到摩 擦參數的估測結果。

圖 6 穩態 limit-cycle 震盪曲線 4. 滑動模式控制 4.1 一維平台動態方程式的推導

針對一維滑動平台考慮摩擦力與平台之間的作 用力關係時，利用牛頓第二運動定律，考慮質量與接 觸面間的關係，如錯誤! 找不到參照來源。7，其方 程式可以表示為

^mx&&=^u−^Ffriction+^D

( )

( )

( )

u = _c , ，u 為壓電馬達產生的等效推力，k_c( tx, ) 為機電轉換增益， u 為輸入電壓。整理(15)式重新定 義系統如下

( )

b

x&&= _m , − + (16)

其中

( )

m t x t K x

b_m ^c( , )

, = 為一個已知邊界時變函

數， m

d D m

f =F^friction、 = 。

圖 7 平台自由體圖 4.2 滑動模式控制理論

滑動模式控制法，發展至今已經被廣泛的應用到 非線性系統，特別是當系統有模式不確定性出現或是 外界干擾的影響時，均能有效的克服，此種強健性正 是滑動模式控制的最大優點。

一般來講，滑動模式控制是利用一種非連續的控 制力去驅使系統的狀態，朝向位於相平面中之滑動平 面（sliding surface）做切換，並且在其上漸漸滑行至 原點，圖8 所示，此時系統將會同時趨於穩定，並且 所要追蹤的誤差也會趨向為零，此時控制目的即可完 成。但是其缺點是當其在滑動表面上移動時之切換動 作，會造成控制輸入有顫振(chattering)現象。

圖 8 狀態朝向滑動平面趨近 已知系統動態方程式(16)式【7】【8】：

( )

x&&= _m , − + (17)

而系統所產生的不確定項，可將系統重新描述為 可變結構系統(variable structure)表示如下

d d f u b b

x&&=( _m⋅Δ ) − + _m+Δ (18) 其中Δb為系統參數變動，Δ 為外部擾動變動，d 假設界限值如下

0

0 _min ^{min max} _max

>

<

Δ

=

≤ Δ

≤

=

≤

γ γ

β β

， d

b b b b b

m

m (19) 定義滑動變數

e e

s= &+λ (20)

其中λ為正實數代表變數在滑動平面的收斂速 率，e為誤差信號。滑動變數的時間導數為

(

)

s

d &

&&

&&

&

&&

&

λ λ

+

−

= +

= (21)

帶入(18)式

(

)

(

)

s&= _m⋅Δ − + _m+Δ − &&_d +λ& (22) 將控制器設計為

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

− +

−

= f d x λe ηsat φ^s

u b _{m d}

m

1

1 && & (23)

其中η 為強健項(robust term)用來抵擋參數擾動₁ 的影響。為了避免當系統狀態誤差達到s=0平面而 產生chattering 的現象，設計 saturation function 的 boundary layer 如錯誤! 找不到參照來源。所示，來改 善此現象。

圖 9 Saturation function )

, (sφ

sat 函數形式如下：

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

<

−

≤

>

=

φ φ φ

φ φ

s s s

s sat

1

s 1 ) ,

( (24)

將(23)式代入(22)式整理可得

( ) [ ]

s d sat b

e x d f b

s _{m d}

Δ

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛

−

+

− +

− Δ

−

=

η φ

λ

1

1 && &

&

(25) 令

e x d f

uˆ=− + _m− &&_d +λ& (26) 則(25)可改寫為

( )

sat b u b

s ⎟⎟⎠+Δ

⎜⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛

− Δ

−

= 1 ˆ η₁ φ

& (27) 在這個情況下，系統的穩定收斂特性分成以下兩 點來討論，如錯誤! 找不到參照來源。

z s >φ

定義 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

Δ φ φs sat s

s ，改寫(27)式如下

(

)

s= = −Δ −Δ Δ +Δ

Δ& & 1 ˆ η₁sgn( ) (28) 為了證明ss^.<0，將(4-14)乘以Δs得到

(

)

sΔ = −Δ Δ −Δ Δ +Δ Δ

Δ _& 1 ˆ η₁sgn (29)

( )

s

sΔ ≤ − Δ + Δ − Δ

Δ & 1 β_min ˆ γ β_minη₁ (30) 選擇

0 uˆ

) - 1 (1

min min

1 ⎥ >

⎦ + ⎤

⎢ +

⎣

= ⎡ β γ η η

η β (31)

則

<0 Δ

⋅

−

≤ Δ

Δs s& η s (32) 由(32)可得證，系統狀態誤差在 boundary layer 外滿足滑動條件(sliding condition)，s 會收斂到 boundary layer 內。

圖 10 誤差相平面 z s<φ

此時s 將收斂於區間 boundary layer

[

]

圖 11 使用邊界層的滑動模式控制

5. 基因演算法估測系統參數

基因演算法有別於傳統的搜尋方式，適用於求解 複雜系統的最佳化問題。因此，在眾多領域上都能見 到基因演算法的應用。以自動控制領域方面來說，經 由基因演算法的運算可找出許多複雜的問題的最佳 化，並且都能達到良好的控制效果。本研究將會應用 基因演算法於摩擦模型最佳參數之收尋上，以求得較 佳的系統模型。

5.1 基因演算法

基因演算法(Genetic Algorithm)起源於對生物系 統基於自然演化過程的一種最佳化搜尋機構，由美國 Michigan大學的Holland教授及其學生所共同提出以 生物遺傳及進化機制下之流程歸納出一種提案策略 是用於各個複雜系統之自行優化演進的技術。

首先將參數編碼成如同染色體的離散或二元字 串，視為一個初始物種。接著隨機重複產生N 個初 始物種，然後根據求解的條件設計適合度函數(fitness function)，適合度高的物種將被挑選至交配池中 (mating pool)，此為複製過程，再依照交配及突變過 程的運算，即完成一代的基因演算流程。

5.2 基因演算法之系統參數估測設計 在估測靜態參數與動態參數均以基因演算法為 最佳化工具，基因演算法之參數選擇方式如表1所示。

表 1 基因演算法參數選擇

項目 方式

編碼 十進制浮點數

複製算子 保留最佳物種的隨機採樣

交配算子 採用均勻交配

突變算子 採用高斯變異

靜態參數的適合度函數定義為：

( ) { } ( ) ( )

⎩⎨

⎧ =

−

=

= i M

x J x

f

x J

i m i

i

m 1,2, ,

C max

C L (33)

其中M 為群體大小，x_i

(

)

( )

f 為物種適合度。

動態參數的適合度函數：

( )

( )

f

i

i = 1 , =1,2,L (34) 5.3 參數估測結果

經過基因演算法搭配混合函數(HybirdFcn)所得 到的靜態參數結果表2所示

表 2 靜態參數估測結果

Parameter Velocity>0 Velocity<0 ˆc

F 0.6114 0.6372

ˆs

F 0.697 0.8112

ˆc

V 0.18 0.2

ˆc

σ 0.008 0.014

估測出的動態參數如下 0.007 2 ˆ

ˆ₀ = σ₁=

σ

之後再進行系統開迴路輸入弦波信號之模型與 實際系統輸出響應性能比較，如圖12 所示

experiment(-solid line) simulation(--dash line)

圖 12 摩擦模型驗證

由圖12可看到模擬輸出與實驗結果幾乎疊合，以 此實驗結果作為摩擦模型參數。

5.4 摩擦補償模型之測試

為了進一步測試LuGre模型誤差的補償效果，觀 察修正前與修正後的模型差別，在此設計了一個PD 控制器加入摩擦補償，將控制器設計為

friction d

pe k e F

k

u= + &+ˆ (35) 其中誤差定義為e=xd −x，x 為目標位置。_d kp

與k 分別為PD_d 的增益大小，Fˆ_friction為LuGre模型 的摩擦力。追蹤目標x_d =2⋅sin

( )

03 .

=0

kd 。

5.4.1 修正前模型測試

如圖13，實驗發現，雖然我們使用LuGre模型來 描述補償摩擦特性，但是因為函數是以速度函數來表 示，因此可以發現在速度轉折處的描述並不適當，必 須等誤差大於一定值才能反向動作，所以，我們若能 將摩擦補償用於提早改變動作方向，將有助於改善補 償效果。

圖 13 PD控制器加修正前LuGre 摩擦補償

5.4.2 修正後模型測試

最後由修正過後的摩擦模型重新做一次補償測 試，採用同(35)式的PD控制器，實驗結果如圖14所示

圖 14 PD控制器加修正後LuGre摩擦補償 由實驗結果可以發現，比較圖13與圖14，速度轉 折處較大誤差的問題已經改善不少，整體誤差也明顯 降低。

6. Model-free FAT適應性控制器設計 由於本篇所設計的適應性滑動模式控制器，是利 用正交函數(orthogonal function)來近似系統誤差以提 升模型準確度。正交函數是由一些有限個函數線性組 合而成，具有可用以近似任意非線性函數的性質，可 用來近似未知的時變函數，適時調整正交級數參數之 調整率(adaptive law)，可以最佳化系統的輸出性能，

所以在這裡首先介紹函數近似法的概念。

6.1 正規化函數近似法的觀念【9】【10】【11】

若定義在區間

[

]

{ }

( )

( ) ( )

⎩⎨

⎧

=

≠

≠

∫

{ }

( )

[

]

∫

( )

2dt 1

φt 之性質，則稱為正規化(orthogonal) 函數集合。若定義在區間

[

]

{ }

( )

( ) ( ) ( )

⎩⎨

⎧

=

≠

≠

∫

{ }

( )

[

]

( )

( )

ϖ ，將正交函數的每一項乘 ϖ

( )

( )

[

]

( )

{ }

( )

( )

( )

( )

( )

f ₁φ_{1 2}φ_{2 n}φ_n (38) 此級數稱為廣義傅立葉級數(generalized fourier series)，其係數稱為 f

( )

{ }

( )

( )

[

]

( ) ( ) ∫ ( )

∫

1f tφ_n tdt w_n φ_n tdt (39) 因此，由上式可得係數w 為 _n

( ) ( )

∫ ( )

=

∫

2 1

2 2 1

dt t

dt t t f w

n n

n φ

φ

(40)

6.2 函數近似法【9】【10】【11】

根據6.1節的敘述可知，任何定義於

[

]

( )

( )

( ) ( )

=

+

=

n

i i

iz t t

w t

f

1

ε (41) 其中ε 為近似誤差。因此一個時變函數

( )

( )

以由正交基底函數向量z

( )

[

( )

( )

( )

]

與非時變係數向量w

( )

[

( )

( )

( )

]

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

f = ^T (42)

本文在設計適應性控制器中，將利用(42)式來近 似系統的時變參數項，其中^z

( )

7. 加入LuGre摩擦模型之適應控制器設計 由(18)式可以知道系統的動態方程式，修改(18) 式如下

(

)

( )

x&&= _m+Δ − + (43) 將系統參數擾動項及外部擾動整理成

( )

d bu

D=Δ + (44) 所以(43)式可以改寫成

D f u b

x&&= _m − + (45) 將(45)式代入(21)式得到

(

)

s&= _m − − − &&_d +λ& (46) 設計控制器為

[^{f D x λe sη}]

u b _d

m

−

− +

−

= 1 ) && & (47) 其中D)

為D的估測值，將(47)式的控制器代入 (46)式，則

η s D D

s_&= − ˆ− (48)

因此，如果能設計出適當的適應法則使得 D

Dˆ→ ，則由上式可推論出s→0，之後根據(20)式 可進一步推得出e→0，也就是x→x_d。但是實際系 統的參數變動及變動界線為未知，則傳統的強健控制 及適應性控制皆不適用，為了改善這種不確定性的影 響，利用6.2節介紹的正交函數將(48)式的Dˆ與D改 寫成

D T D

D T D

z w D

z w D= )

=

ˆ (49)