第二章　矩陣與矩陣基本運算

第二章　矩陣與矩陣基本運算

矩陣與向量 矩陣轉置與加法

矩陣乘法

矩陣運算的性質

特殊矩陣

矩陣與向量

2 4 3 2 2 5 3

5 7 , ,

9 6 4 7 8

3 8

 

   

 

                

A B C

11 12

21 22 3 2

3 2

31 32

2 4 5 7 3 8

ij

a a

a a a

a a

 

   

   

           

   

   

A M

矩陣轉置與加法

T T

3 5 3 4 2

4 1 5 1 4

2 4

ij ji

d b

 

 

 

 

                 D B

2 4 3 5 2 3 4 5 5 9 5 7 4 1 5 4 7 1 9 8 3 8 2 4 3 2 8 4 5 12

ij ij ij

e a b

 

       

       

 

                    

         

       

E A B

2 4 3 5 2 3 4 5 1 1

5 7 4 1 5 4 7 1 1 6

ij ij ij

f a b

   

       

       

 

                    

F A B

矩陣乘法

 純量積

 向量積

3 3

3 3 3

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 6

9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 27 18

 

           

    

             

           

 向量積

 

 

2 3 2 3 x , 2 3 , x

x y

y y

   

        

  a x

a x  

 

 

2 3 6 2 3 2 3 2 3 6

5 7 8 5 7 5 7 8

5 7 x

x y x y y x

x y x y x y

y

   

   

  

                

               

                  

 Ax b 

 向量積（ 2 ）

   

   

4 6

1 2 3 5 1 2 3 5

4 6 6 4

1 2 3 32 28

3 1 2 5 5 4 6 29 31

6 4 3 1 2 5 3 1 2 5

6 4

     

     

     

       

             

           

             

     

         

 

矩陣運算的性質

 交換律

 結合律

 分配律

 單位元素

 反元素

需特別注意性質



AB BA

 ^CA 

^{ A C}

 ^AB 

^{ B A}

特殊矩陣

2 4 3 3 0 0 8 0 0 1 5 4

0 5 8 , 7 2 0 , 0 7 0 , 5 3 8

0 0 6 1 4 5 0 0 2 4 8 0

        

       

           

         

       

U L D S

上三角矩陣 下三角矩陣 對角矩陣 對稱矩陣

 有關對角矩陣

3

3 3

3

2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3

 

     

 

     

          

 

     

       

D DDD

5

2 0 0 1 4 5 1 4 5 2 8 10

0 5 0 2 3 1 2 3 1 1

2 2

0 15 5 0 0 3

5 5

1 2 3 1 2 3 3 6

2

3 3 3 9

  

       

       

             

          

       

DA

空間向量的運算

 內積與外積

 向量內積與投影長度、向量夾角

 向量外積與面積



, , ,

 

, , ,



x x x x x x x R

  

x  



,

, ,



xy y x y x y x

      

u  y x



 內積與外積

   

   

     

2,4,3 , 3,5,2

2,4,3 3,5,2 2 3 4 5 3 2 32 2,4,3 3,5,2 7,5, 2

2 4 3 2 4 4 3 3 2 2 4

7, 5, 2

 

       

     

    

u v

u v u v

 

 三角不等式

  

u v u v

 向量內積與投影長度、向量夾角

cos 

 

u v v u   u v

cos   u v u v



 科西不等式

  

u v u u v u v v

 

 向量外積與面積

   

     

1 1 1 2 2 2 1 1 1

2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

, , , ,

i j k

x y z x y z x y z

x y z

y z y z i z x z x j x y x y k

 

     

  

  

0

, , , , ,

i i j j k k

i j k j i k j k i k j i k i j i k j

     

              

  

   

     

           

 向量外積與面積（ 2 ）

   

   

 

1,1,0 , 0,1,1

0 1, 1,1

i j j k

i j j k i j i k j j j k k j i

i j k

     

                

     

u v

u v u v

   

   

          

  

     

     

 

     

2,3,0 , 0,0,4 , 2,0,2

2,3,0 2 3 , 0,0,4 4 , 2,0,2 2 2

2 3 4 12 8

12 8 2 2 12 2 24

i j k i k

i j k i j

i j i k

  

       

     

      

u v w

u v w

u v

u v w

 

  

    

   

 

 向量外積與面積（ 3 ）

1 3 2 5 2 1 i j k

  v w

  

 向量外積與面積（ 4 ）

 

1 2 1 6



 v w u v w  三 三三三三 三

三 三三三三 三