2014-t1 第二題解答.doc Y.C.Tu 製
2014/04/17 2B 第一次大考解答 NO.2 (簡頡學長) (a)y=y(x)或x=x(y)表示式
y=y(x)表示法，
3 2 2
(1 y ) (y) r = +
。
x=x(y)表示法，
3 2 2
(1 x ) (x) r = +
。
1
2 2 2
1 2
2 2
2 2 2
2
2
2
x(t) t sin t y(t) 1 cos t
y 1 cos t t cos (1 y)
cos t 1 sin t 1 y sin t 1 (1 y) 2y y x t sin t x cos (1 y) 2y y
1 1 2 2y
x ( 1)
1 (1 y) 2 2y y
1 1 y y
2y y 2y y 2y y
1 2 2y 2y y
2y y y
2 2y y
x 2y y
-
-
ì = -
ïïíï = - ïî
= - = -
\ = - = - = - - = -
\ = - = - - -
- -
= - -
- - -
= - - =
- - -
- -
- - ⋅
= - =
-
2 2
2
3 2
2 2
2 3
3 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2
3 2 2
y y
2y y y
2y y
(2y y )
(1 y )
1 (x) 2y y (2y y y ) (2y)
4, (y 2)
x y y y
(2y y )
+ -
- =
- -
é + ù + - - +
ê ú
ë û
r = = = = = =
-
(b)任意參數表示法 x( )= -sin
y( )=1- cos
t t t
t t
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
(x ' y ' ) ((1 cos t) sin t) 4 1
4 k (t )
x ' y '' x '' y ' (1 cos t)(cos t) sin t sin t 2 4
+ - +
r = = = = = p
- - -
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(c)弧長參數表示法 x( )= -sin
y( )=1- cos
t t t
t t
2 2 2
2 2
(1 cos ) (sin ) 2(1 cos )
ds dx dy
t t t
dt dt dt
2(1 cos ) 2 sin 2
ds t
dt t
2 sin( ) 4 cos( )
2 2
t t
ds dt c
當t 0,s 0 c 4
1 4 4 cos( ) 4 2 cos ( )
2 4
t s
s t
1 1
1
4 4
X( )=2 cos ( ) sin(2 cos ( ))
4 4
Y( )=1-cos(2 cos (4 )) 4
s s
s s s
1 4 4
cos ( ) , cos
4 4
s s
2 1
2
4 (4 ) 8
X( )=2 cos ( )
4 8
Y( )=1-8 8
s s s s
s
s s s
1
2 2
4 [2 cos ( )] 1 1 2
, 2 1 8
s d k
k s dS k s s
2
2
2
2
X( )= 8 4 8
(14 8 )(4 ) X( )=
8 s s s
s s
s s s
s
s s
,
Y( )= 1 1 4 Y( )= 1
4
s s
s
, 4, 1 4
XY XY
t s
