+−+θ=−=−=− 41()1cos152210 ++ cossin2cossin −+ cossin2cossin

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.06.03 班級

範 圍

3-2,3 和角倍角半角

公式+ANS 座號

姓 名 一. 選擇題(每題 10 分)

1. 設 4 5π <

θ

<

2 3π

，則 1+sin2

θ

− 1−sin2

θ

=

(A) 2sin

θ

(B) 2cos

θ

(C) 2sin2

θ

(D) − 2sin

θ

(E) − 2cos

θ

答案：(E)

解析：

(1)∵ 1+sin2

θ

− 1−sin2

θ

= sin²

θ

+cos²

θ

+2sin

θ

cos

θ

− sin²

θ

+cos²

θ

−2sin

θ

cos

θ

= (sinθ +cosθ)² − (sinθ −cosθ)² = | sin

θ

+ cos

θ | − | sin θ

− cos

θ |

(2)由右上 y = sinx，y = cosx 的圖形，知

2 3 4

5π _<θ _< π 時，0 > cos

θ

> sin

θ

∴ sin

θ

+ cos

θ

< 0，sin

θ

− cos

θ

< 0

(3)∴ 原式 = − ( sin

θ

+ cos

θ ) + ( sin θ

− cos

θ ) = − 2cos θ

2. 設 cos

θ

= −

5

4，且

π

<

θ

< π 2

3 ，則 cos 2

θ = (A) − 5 2(B)

10 3 (C)

10 1 (D) −

10 3 (E) −

10 1 答案：(E)

解析：

π

<

θ

< π 2

3 ，

2 π <

2 θ < π

4

3 ，cos 2

θ < 0 ， cos 2 θ =

1 ( 4)

1 cos 5 1

2 2 10

+ θ + −

= − = − = −

二、填充題(每題 10 分) 3. 設sin

θ

− cos

θ

=

3 1，則

(1) sin3

θ

+ cos3

θ

= 。 (2) cos⁴

θ

+ sin⁴

θ

= 。 答案：(1) −

27 25 (2)

81 49

解析：

(1)由sin

θ

− cos

θ

= 3

1 ⇒ sin²

θ

− 2sin

θ

cos

θ

+ cos²

θ

= 9

1 ⇒ sin

θ

cos

θ

= 9 4

故sin3

θ

+ cos3

θ = 3sin θ

− 4sin³

θ

+ 4cos³

θ

− 3cos

θ = 3 (sin θ

− cos

θ ) − 4(sin

³

θ

− cos³

θ

) = 3(sin

θ

− cos

θ

) − 4(sin

θ

− cos

θ

)(sin²

θ

+ sin

θ

cos

θ + cos

²

θ

) = 3．

3 1− 4．

3 1．(1 +

9 4) = −

27 25

(2) sin⁴

θ

+ cos⁴

θ

= (sin²

θ

+ cos²

θ

)² − 2sin²

θ

cos²

θ = 1 − 2(

9 4)² =

81 49

4. 以x − cos40°除f (x) = 3x − 4x³之餘式為 。

答案：2

1

解析：由餘式定理以x − cos40°除f (x) = 3x − 4x³的餘式為f (cos40°) f (cos40°) = 3cos40° − 4cos³40° = − (4cos³40° − 3cos40°)

= − cos(3×40°) = − cos120° = −( − 2 1) =

2 1

5. 設π θ π

<

2 < ，tan

θ

= − 3 4，則

(1) tan2

θ

= 。 (2) sin2

θ

= 。(3)tan 2

θ = 。

(4)sin 2

θ = ， (5)sin 3

θ

= 。

答案：(1) 7

24 (2) 25

−24

(3)2 (4 ) 2

5 (5) ⁴⁴ 125 解析：

(1) tan2

θ

=

θ θ tan2

1 tan 2

− =

)2

3 ( 4 1

3) ( 4 2

−

−

−

= 7

24 (2) sin2

θ

=

θ θ tan2

1 tan 2

+ =

)2

3 ( 4 1

3 ) ( 4 2

+ −

． −

= 25

−24

(3)∵

2

π <

θ

<

π

且 tan

θ

= − 3

4，sin

θ

= 5

4，cos

θ

= − 5 3，tan

2 θ =

θ θ cos 1

sin

+ =

5 1 3

5 4

−

= 2

(4) ∵

1 ( 3)

1 cos 5 2

4 2 2 sin2 2 2 5

π θ π< < ⇒ θ= + − θ = − − =

(5)sin 3 3sin 4 sin³ 3( ) 4( )^{4 4 3 4}

5 5 125

θ = θ − θ = − = 4

6. 設cos2

θ

= 5

3，sin2

θ

< 0，則tan

θ

+ cot

θ

= 。 答案：−2

5

解析：∵ cos2

θ

= 5

3且 sin2

θ

< 0 ∴ sin2

θ

= − 5 4

tan

θ

+ cot

θ

= θ θ cos sin +

θ θ sin cos =

θ θ

θ θ

sin cos

cos sin² + ² =

θ θcos sin

1 =

θ θcos sin 2

2 =

θ 2 sin

2 = 5 4 2

−

= −2 5

7. sin67.5°之值 = 。

答案： 2

2 2+

解析：sin67.5° = sin 2 135°=

2 135 cos

1− °

= 2

2 1+ 2

= 2

2 2+ 8. 求下列各值：

(1) cos²

8 cos 7 8 cos 5 8 cos 3 8

2 2

2 π π π

π _{+ + +} = 。

(2) cos20°cos40°cos80° = 。

答案：(1) 2 (2) 8 1

解析：

(1)原式 = cos² cos²³ cos^{2 3} cos

8 8 8

π π π

+ + + ²

8 π

=2(cos² cos^{2 3} )

8 8

π+ π =2(

1 cos 1 cos3

4 4 )

2 2

π π

+ +

+ =2(

2 2

1 1

2 2 )

2 2

+ −

+ = 2

(2) cos20° cos40° cos80° =

°

°

°

°

°

20 sin 2

80 cos 40 cos 20 cos 20 sin 2

=

°

= °

°

°

° =

°

°

° =

°

°

°

20 sin 8

20 sin 20

sin 4

160 2sin 1 20

sin 2

80 cos 80 2sin 1 20

sin 2

80 cos 40 cos 40

sin =

8 1

9. 5sin

θ

+ 12cos

θ

= 0，

2

3π <

θ

< 2

π

，求(1) tan2

θ

= 。 (2) cos 2

θ = 。

答案：(1) 119 120 (2)

13

−3 解析：

(1) 5sin

θ

+ 12cos

θ

= 0 ⇒ 5sin

θ = − 12cos θ

， θ θ cos

sin = tan

θ

= − 5 12

tan2

θ

=

θ θ tan2

1 tan 2

− =

119 120 119

25 5 24 25 1 144

5 24

=

×

=

−

−

(2)∵ π 2

3 <

θ

< 2

π

∴ cos

θ

> 0 ⇒ cos

θ

= 13

5 ，

又 4 3π <

2

θ <

π

，cos 2 θ < 0

1 5

1 cos 13 3

cos2 2 2 13

θ + θ +

⇒ = − = − = − ， cos

2 θ =

13

−3 10.函數f (x) = cos²2x + 2sin²

x，x

∈

R。

(1) f (x)的最小值為 。 (2) f (x)的最大值為 。 答案：(1)

4

3 (2) 3 解析：

f (x) = cos

²2x + 2sin²

x = (1 − 2sin

²

x)

² + 2sin²

x = 4sin

⁴

x − 2sin

²

x + 1 = 4(sin

²

x −

4 1)² +

4 3

∵ −1 ≤ sinx ≤ 1 ∴ 0 ≤ sin²

x ≤ 1

故(1) sin²

x =

4

1時，f (x) = 4

3為最小值 (2) sin²

x =1 時，f (x) = 3 為最大值

11.設sin

θ

，cos

θ

為方程式x² + px + q = 0 的二根，試以p，q表 2cos² 2 θ (cos

2 θ + sin

2

θ )²。_____

答案：1 − p + q 解析：

∵ sin

θ

，cos

θ 為x

² + px + q = 0 的二根 ∴ sin

θ

+ cos

θ

= − p，sin

θ

．cos

θ

= q

故 2cos² 2 θ (cos

2 θ + sin

2

θ )² = (1 + cos

θ

)(cos² 2 θ + 2sin

2 θ cos

2 θ + sin²

2 θ )

= (1 + cos

θ

)(1 + sin

θ

) = 1 + (sin

θ

+ cos

θ

) + sin

θ cos θ

= 1 + ( − p) + q = 1 − p + q 12.設 0 <

α

<

2

π <

β

<

π

，且sin

α

= 14

13，sin

β

= 14

11，則

α

−

β

= 。 答案： −

3 π

解析：∵ 0 <

α

<

2

π <

β

<

π

且 sin

α

= 14

13，sin

β

= 14

11，畫圖 cos

α

= 14

3

3 ，cos

β

= − 14

3 5

故 cos(

α

−

β ) = cos α cos β

+ sin

α sin β =

14

3 3 ( −

14 3 5 ) +

14 13．

14 11=

196 98 =

2 1

∵ −

π

< −

β

< − 2

π 且 0 <

α

<

2

π ∴ −

π

<

α

−

β

< 0，故

α

−

β

= − 3 π

13.求tan80° − tan20°− 3 tan80° tan20°的值為 。 答案： 3

解析：tan(80° − 20°) =

°

° +

°

−

°

20 tan 80 tan 1

20 tan 80

tan = tan60° = 3

⇒ tan80° − tan20° = 3 + 3 tan80° tan20°

∴ tan80° − tan20°− 3 tan80° tan20° = 3 14.cos²

24

π − cos ² 24

5π = 。

答案： ²

4 解析：cos²

24

π − cos ² 24

5π = sin (⁵ 24

π+ 24

π )sin (⁵ 24

π− 24

π ) = sin 4 π sin

6

π = ^{2 1} 2 ×2= ²

4 15. cos40°sin160° − sin220°cos340° = 。

答案： 2

3

解析：利用和角公式

cos40°sin160° − sin220°cos340° = cos40°sin20° + sin40°cos20°

= sin20°cos40° + cos20°sin40° = sin(20° + 40°) = sin60° = 2

3

16.P(cos

α

，sin

α )，Q(cos β

，sin

β )， α

−

β

=¹

4

π

，求P到Q之距離 = 。

答案： 2− 2

解析：PQ = (cosα−cosβ)² +(sinα −sinβ)²

= cos²α−2cosαcosβ +cos² β +sin²α−2sinαsinβ +sin² β = 2−2(cos

α

cos

β

+sin

α

sin

β

)= 2−2cos(

α

−

β

)= 2 2cos 4

− π == 2− 2

α

，tan

β

² + 6x − 1 = 0 之二根，則

(1) tan(

α

+

β

) = 。

(2) sin²(

α

+

β ) + 2sin( α

+

β ) cos( α

+

β ) + 5cos

²(

α

+

β )之值為 。

答案：(1) − 3 (2)⁴

5

解析：(1)由根與係數關係得tan

α

+ tan

β

= − 6，tan

α

tan

β

= − 1 ⇒tan(

α

+

β

) = tan tan 6

1 tan tan 1 1 3

α + β −

= = −

− α β +

∴ cos²(

α

+

β ) =

₂ 1 ₂1 1

sec ( ) =1 tan ( ) =1 ( 3) 10 α + β + α + β + − ²

= 1

(2)原式= cos²(

α

+

β ) [

) ( cos

) ( cos 5 )

( cos

) cos(

) sin(

2 ) ( cos

) ( sin

2 2 2

2 2

β α

β α β

α

β α β α β

α β α

+ + +

+ + + +

+

+ ]

= cos²(

α

+

β )[ tan

²(

α

+

β ) + 2tan( α

+

β ) + 5 =

¹ [( 3)² 2 ( 3) 5] ⁴ 10 − + ⋅ − + = 5 18.設

α

+

β

=

3

π，則(sin

α

+ sin

β ) (sin α

− sin

β )之最小值為 。

答案：− ³

2

解析：(sin

α

+ sin

β )( sin α

− sin

β ) = sin

²

α

− sin²

β

= sin(

α

+

β )sin( α

−

β ) = sin

3

πsin(

α

−

β ) =

³

2 sin(

α

−

β )

又 − ≤1 sin(α − β ≤ ⇒) 1 原式= 3

− 2 最小

19.求(1 + tan1°)(1 + tan2°)(1 + tan3°)(1 + tan4°)…(1 + tan44°)之值。___________

答案：2²² 解析：

※當 (1 tan )(1 tan ) 2

4

α + β = ⇒ +π α + β = (公式)

原式 = [(1 + tan1°)(1 + tan44°)][(1 + tan2°)(1 + tan43°)]…[(1 + tan22°)(1 + tan23°)]

=  = 2

"

個 22

2 2

2⋅ ⋅ ⋅ ²²

20.在扇形 OAB 中，O 為圓心，

OA

=

OB

= r 為半徑，∠AOB = 60°。若 P 為圓弧 上一點，

而 P 至

AB

︵

OA的距離為 3，P 至 OB 的距離為 2，試求

r=_________。

答案：r =^{2 57} 3

解析： r = 2 ^{2 2} 2 ^{2 2} 2

3 3 2 2 19

3

a

+

ab b

+ = 3 + ⋅ + = 3 =2 573