騎士漫遊方陣與魔方陣
林克瀛
魔方陣是兩千多年前發現的數字方陣。一個 n 階魔方陣的定義是把由 1開始的連續整數排 列成一個方陣, 陣中每一橫排每一縱列及兩條對角線上 n 個數字之和均相同。 把一個魔方陣旋 轉或取鏡中映象共可得 8 個不同的方陣, 稱為彼此等價, 只算是同一種排法。 三階魔方陣只有一 種排法, 古代稱為洛書, 即洛水書簡之意。 法國有人在 1693 年出版的著作中指出四階魔方陣共 有 880種。 三十多年前美國有人用電腦算出五階魔方陣共有275,305,224種。 魔方陣可以推廣到 立體或四維甚至更高維數的空間。 在 1972年一位加拿大氣象專家用簡單的算術證明三階魔術立 方體共有 4 種。 1981 筆者利用 4 個互相正交的拉丁超立方體證明在 4 維空間的三階魔術超立方 體共有 58種, 詳細證明於 1986發表在離散數學期刊 (Discrete Mathematics)。
騎士漫遊方陣是西方人發現的數字方陣。 最早研究的人是瑞士數學天才歐拉, 他在1759年 發表他的結果。 這種方陣是把西洋棋的騎士棋子放在棋盤的一個格子當中, 然後依下棋的走法 走遍整個棋盤, 但不能重複走過同一格。 騎士的走法和象棋中的馬相同, 棋盤共有六十四格。 把 棋子的起始位置放 1, 下一步放 2, 最後一步放 64, 就得到一個數字方陣。 三階騎士漫遊方陣是 不存在的, 因為棋盤太小, 騎士放在正中央的格子上, 再走一步就要跨出棋盤了。 四階騎士漫遊 方陣也是不存在的, 理由如下: 如果騎士在漫遊途中經過棋盤上兩個斜對角上的格子, 則必如圖 一所示, 只能在 4 個打叉號的格子之間來回, 除非起點及終點落在棋盤上同一邊的兩個角落上。
於是 1、 2、 3、 4 及 13、 14、 15、 16 等 8 個數字就必定落在如圖二所示打上叉號的方格中。 於是 5、 6、 7、 8 四個數字勢必落在圖中四個空白格子中, 或四個有黑點的方格中, 9 就無法放入剩下 未使用過的格子裡。
圖一 圖二
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一個有趣的問題是: 一個魔方陣會不會同時也是騎士漫遊方陣? 筆者不知道答案, 但曾證 明下面定理:
定理: 一個同時具有魔方陣及騎士漫遊方陣兩種性質的方陣, 其階數必須是 4 的倍數。
證明: 設棋盤的階數為 n, 欲證明 n = 4k, 只要分別排除 n = 4k + 2 或 n = 4k + 1、
4k + 3 (均可表為 2k + 1) 等三種狀況即可。 先把棋盤中相鄰的兩個方格分別塗上黑白二色。 若 騎士已走到黑 (白) 格中, 則下一步必定移到 白 (黑) 格子。 因此全部奇 (偶) 數都落在同一種 顏色的格子當中。 先考慮階數為 n = 4k + 2 的情形。 沿對角線上的格子顏色相同, 因此所有數 字之和必為偶數 (因為偶數個奇數之和必為偶數), 而一排 n 個數字之和必為奇數 (因 2k + 1 為奇數, 而 2k + 1 個奇數之和為奇數), 因此不可能是魔方陣。 再考慮 n = 2k + 1。 若其中有 一排有 k 個白格子及 k + 1 個黑格子, 則相鄰的一排必有 k 個黑格子及 k + 1 個白色格子。
於是相鄰兩排 n 個數字之和必定是一為奇數一為偶數, 因為 奇數個奇數 + 偶數個偶數 = 奇數 奇數個偶數 + 偶數個奇數 = 偶數。
在民國 75 年 6 月出版的數學傳播, 林建宏先生發表一篇文章, 證明五階棋盤上騎士漫遊共 有 112個解。 他用電腦得到這個結果。 下面我提供一個不必使用電腦的證明。 六階棋盤上的漫遊 總數太大, 必須用電腦計算, 我已經得到結果, 詳情將另寫一篇文章說明。
在一個五階棋盤中, 若騎士的起點及終點都不在角落上, 則騎士必須在途中經過四個角落, 由圖三可看出騎士的唯一可能性是漫遊在有叉號的方格中來回走動, 不可能經過全部格子, 因 此起點及終點至少有一個必須落在角落上。 在計算有多少種漫遊時, 旋轉及反映以及時間反轉 (倒過來走) 都是等價的, 所以可假定每一種漫遊的起點都落在左上角。
我們可以把全部漫遊分為三大類, 第一大類的終點不在角落上, 由圖四可看出由1到8的落 點已唯一確定。 第二大類漫遊的終點落在和起點同一邊的角上, 如圖五所示, 前六個數及最後兩 個數 (24、 25) 均已有確定位置。 第三大類漫遊之起點及終點落在相對的角落上如圖六所示, 漫 遊的前面及後面之 4 個落點均已確定。
圖三 圖四
先看圖四, 第 8 及第 9 步的走法有八種, 也就是說有八種方法把數字 9 及 10填入圖四, 如圖 七所示。 在圖七的兩個棋盤中, 各有 4 種方法把由 1 至 8 這 8 個數放入打上叉號的方格中, 又有 8 種方法把 25 (代表終點) 放入棋盤中。 我們可以很容易檢查只有唯一的一種方法把其他數字 (由 11 到 24) 依騎士漫遊的規則填入。 因此第一類漫遊共有 8 × 8 = 64 種。
圖五 圖六
圖七
在圖五中, 共有 30種方法把 7, 8, 23填入, 如圖八所示。 其他數字 (由 9 至 22) 的位置已完 全確定, 因此共有 30 種第二類漫遊。
在圖六中, 把5, 6, 21填入的各種方法如圖九所示。 我們很容易證明, 把其他數 (由7到20) 填入空格中只有一種方法。 在圖九中, 把 1, 2, 3, 4及 22, 23, 24, 25 等 8 個數填入打上叉號的 格子時, 對 A, B 兩塊棋盤而言, 各有 4 種方法, 對 C, D, E 則各有 2 種方法。 以上合計似乎 表示第三類漫遊一共有 28 種。 但是有些漫遊是等價的。 圖九 A 對穿過中心的垂直線而言左右 對稱, 因此不等價的漫遊數不是 8 而是 4。 圖九 B 對穿過 5 及 21 的對角線而言是對稱的, 因此 不等價的漫遊數不是 8 而是 4。 圖九 C 的對稱性比較複雜, 將此圖左右互換, 同時把每一數 R 換上互補數 (26 − R) 後圖形不變。 因此不等價的漫遊數不是4而是2, 圖 D 及 E 則沒有對稱 性, 各有 4 種漫遊, 一共合計共有 18種第三類漫遊。 三大類合計為 64 + 30 + 18 = 112, 和林 建宏先生由電腦計算結果相同。 這三類漫遊各舉一例如圖十所示。
圖八
圖九
歐拉曾研究過在西洋棋的棋盤上, 返回起點的騎士循環漫遊。 騎士走 64步後回到起點, 中 途經過全部格子。 對階數 n 為奇數的棋盤, 這種循環漫遊不可能出現, 證明如下: 把棋盤四角
的格子以及錯開來的格子塗上黑色, 全部黑格子的數目比白色格子的數目多出一個。 奇數必須 填入黑格中, 因為由 1 到 n2 的整數當中, 奇數的數目正好比偶數的數目多 1 個。 因此數字 1 (漫 遊起點) 及 n2 (漫遊終點) 都必須放在黑格中, 而每走一步, 格子要換顏色, 所以不可能由終點 再走一步回到起點。
圖十
參考文獻
1. 林克瀛, 魔方陣, 數學傳播, 4 卷 3 期, p.20 (1980)。
2. 林克瀛, 拉丁方陣和尤拉的預言, 科學月刊, 3 卷 9 期, p.33 (1972)。
3. 林克瀛, 漫談魔方陣, 科學月刊, 3 卷 10 期, p.48 (1972)。
4. 林建宏, 5 階棋盤之騎士漫遊僅有 112 個解, 數學傳播, 10 卷 2 期, p.20 (1986)。
5. 林克瀛, 縱橫圖與騎士漫遊方陣, 中華易學, 6 卷 9 期, p.298 (1985)。
6. K. Y. Lin, Magic cubes and hypercubes of order 3, Diserete Math. 58, 159 (1986).
—本文作者任教於清華大學物理系—
