從一個常見的矩陣談起

從一個常見的矩陣談起

鄭穗生

1. 引言

在一些常見的教科書裡, 往往會看到這 樣子的一個矩陣

M

⁽ⁿ⁾

=



























2 −1

−1 2 −1

−1 ·

·

· −1

−1 2



























n×n

如果我們追究這矩陣的來源, 會發現它和原 子結構 [12], 微分方程的數值計算 [10], 細繩 結珠振動狀況 [11], 飛輪的轉動穩定性 [11], 等都有著密不可分的關係。

在下一節中我們將以等矩結珠的細繩, 在受重力平衡狀態以及受轉動慣量平衡狀態 時所導至上述矩陣出現緣由, 作一說明。

該矩陣既與各種自然現象有關, 當然具 有豐富而有趣的性質。 本文即試圖將一些觀 察到或由電腦模擬出來的物理現象與該矩陣 的一些特性作聯繫說明, 希望籍此與讀者分 享筆者多年來研究的成果 [1-9] 與樂趣, 並 提供一些研究方向, 供有志者參考。

2. 結繩之動靜

考慮一條繃緊而且兩端固定之細繩 ( 其 質量近似零 )。 假定繩子於等距點 x = 1, x = 2, . . . , x = n 處受垂直外力 f

1

, f

2

, . . . , f

n

作用, 如圖一,

... ..

.. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . . . .. . .. .. .. . .. .. . .. ...

...

.

... ..

.. .. .

. ... ... ... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

... ... ... ... ..

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . . . .... . . .. ...

... . . ..

... ...

0

1 2 · · · n n+1 x

y

y

₂

. . .

圖一

由張力 T

_k

與外力 f

_k

平衡所導至位移 y

1

, . . ., y

n

所滿足的方程 ( 見圖二 ) 為,

T

k

sin θ

k

− T

k−1

sin θ

k−1

+ f

k

= 0, k = 1, 2, . . . , n

... ...

...

.. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. .. .. .. .

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. ... .. .. .. . .. .. .. . .

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . ... . .. . .. .. .. . .. ..

... .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . . ... . ...

... . . . .. .. ...

. .. . .. . ...

. . .. .. ...

.. .. . .. .. . .. .. .. .. .

. .. .. . .. ..

f

k−1

f

k

f

k+1

T

_k−1

T

k

θ

k−1

θ

k

圖二

1

注意 y

k+1

− y

k

= tan θ

k

, 而且由於細繩繃 緊, 張力 ≈ T 而且 tan θ

k

≈ sin θ

k

, 故近 似得

T (y

k +1

−y

k

)−T (y

k

−y

k− 1

)+f

k

= 0, 1 ≤ k ≤ n。

(1) 另外, 由於細繩兩端固定, 得

y

0

= 0, y

n+1

= 0。 (2) 如果我們把線性方程式組 (1-2) 用矩陣法表 示, 則得,

M

⁽ⁿ⁾

y = T

^{− 1}

f, (3) 其 中 y = col(y

1

, . . . , y

n

), f = col(f

1

, . . . , f

n

)。

特別當外力 f

k

是由細繩結上質量為 m

k

的細珠所引致的話, 則 f

_k

= m

k

g , 故方 程式 (3) 成為

M

⁽ⁿ⁾

y = p, p = T

^{− 1}

g col(m

₁

, . . . , m

n

) (4) 而當外力 f

k

是由細繩結上質量為 m

k

的細 珠並沿 x-軸以角速度 ω 轉動所引致的話, 則 f

k

= m

k

ω

²

y

k

, 故方程式 (3) 成為

M

⁽ⁿ⁾

y = T

^{− 1}

ω

²

diag(m

₁

, . . . , m

n

)y。

(5)

3. 逆矩陣之存在與性質

既然方程 (4), 即 M

⁽ⁿ⁾

y = p, 可 以表示結繩靜力平衡時垂直位移與重力之關 係, 而且由實驗知, 該位移存在且唯一, 故可 猜想 M

⁽ⁿ⁾

之逆矩陣必存在。 為了方便, 記

M

⁽ⁿ⁾

之逆為 G

⁽ⁿ⁾

。 則給定 p 時, y = G

⁽ⁿ⁾

p。 特別取 p = e

1

= col(1, 0, . . . , 0), p = e

2

= col(0, 1, 0, . . . , 0), p = e

n

= col(0, . . . , 0, 1) 時, 由於 G

⁽ⁿ⁾

p = G

⁽ⁿ⁾

e

k

是 G

⁽ⁿ⁾

的第 k 行, 所以我們得到 G

⁽ⁿ⁾

的 一個物理意義, 如記 G

⁽ⁿ⁾

的第 j 行的分量 為 g

_1j ⁽ⁿ⁾

, g

⁽ⁿ⁾ _2j

, . . . , g

_nj ⁽ⁿ⁾

的話, 則 g

⁽ⁿ⁾ _ij

是細繩 單獨於 x = j 點結上 p

j

= 1 的細珠時, 細 繩在 x = i 的垂直位移 ( 見圖三 )

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. ... .. .. .. . .. .. .. . .

... ..

. .. . .. .. .. . ..

.

... ..

.. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .

. . . .. .. . ...

. .. . .. . ... .

.. . .. . ...

y

p

j

g

ij

i j

x

圖三

有了這個物理意義, 不難對 G

⁽ⁿ⁾

作出 下面的幾個猜想:

1. G

⁽ⁿ⁾

所有的分量必大於零。

2. G

⁽ⁿ⁾

的分量必有對稱性 (例如 g

⁽ⁿ⁾ _ij

= g

_ji ⁽ⁿ⁾

)。

3. G

⁽ⁿ⁾

的最大分量必處於 “中央” (在 “中 點” 施力應得最大位移)。

4. G

⁽ⁿ⁾

的每一行必先線性遞增然後線性遞 減 (見圖三)。

上述猜想, 部份並不精確。 這時侯我們 需以計算補足。 我在第一次碰到求 G

⁽ⁿ⁾

這問 題時, 個人電腦剛開始流行, 所以我首先想到

的方法是以 Lotus 1-2-3做計算。 結果發現 G

⁽²⁾

=

¹ ₃

"

2 1 1 2

#

,

G

⁽³⁾

=

¹ ₄









3 2 1 2 4 2 1 2 3









,

G

⁽⁴⁾

=

¹ ₅















4 3 2 1 3 6 4 2 2 4 6 3 1 2 3 4















,

後面的 G

⁽ⁿ⁾

, 顯然不難想像。 事實上, 可以 試猜

g

⁽ⁿ⁾ _ij

=



 

 

 

 

i(n − j + 1)

n + 1 1 ≤ i ≤ j j(n − i + 1)

n + 1 j ≤ i ≤ n, 然後直接驗證 M

⁽ⁿ⁾

G

⁽ⁿ⁾

= I 即可。

有了 G

⁽ⁿ⁾

的精確形成, 上述四個猜想都 可以以更精確的形式表示並加以證明:

1. g

_ij ⁽ⁿ⁾

> 0, 1 ≤ i, j ≤ n.

2. g

_ij ⁽ⁿ⁾

= g

_ji ⁽ⁿ⁾

= g

n+1−i,n+1−j ⁽ⁿ⁾

= g

n+1−j,n+1−i ⁽ⁿ⁾

, 1 ≤ i, j ≤ n.

3.

max

i,j

g

_ij ⁽ⁿ⁾

=



 

 

 

 

g

⁽ⁿ⁾

n+1

2

,

ⁿ⁺¹₂ n = 奇數 g

⁽ⁿ⁾

ⁿ

2

,

ⁿ₂ n = 偶數

。

4. 固定 j 時, g

⁽ⁿ⁾ _ij

在 1 ≤ i ≤ j 時線性遞 增, 在 j ≤ i ≤ n 時線性遞減。

4. 逆矩陣之計算

如果我們滿足於對矩陣 M

⁽ⁿ⁾

及 G

⁽ⁿ⁾

所獲得之認知, 可能有很多隱藏的事實就無 法被發現了。 例如有下面的問題:

1. 什麼樣的矩陣其逆具正分量?

2. 什麼樣的矩陣其逆具對稱性?

3. 逆矩陣的最大最小分量位置可以預知嗎?

4. 第三節中用猜的方法太特殊, 有沒有較一 般的方法? G

⁽ⁿ⁾

每一行都是線性遞增後 線性遞減, 是否可以幫助我們求逆矩陣?

對於頭一個問題, 由於已有大量的研究 資料及專書報導 [13], 我不打算在這裡詳述 了。 對於第二個問題, 也有一些結果, 見 [18, 19]。 簡單來說, 如果矩陣具對稱性, 則其逆也 具對稱性。

對於第三個問題, 則筆者所知不多, 無法 提供任何參考文獻。

至於第四個問題, 研究資料也不少。 事 實上, 高斯消去法求逆, 我們在中學時就已學 過。 但這是一個通用的方法, 對於具特殊類型 如 M

⁽ⁿ⁾

或更一般的 Toeplitz 型矩陣, 我們 希望能設計一些較有效率的方法, 據我統計, 提出較有效率的計算方法的論文累計已超百 篇 [14,15]。 做為一個例子, 我們來看如何利 用 G

⁽ⁿ⁾

的性質求其值 [7]。

設細繩上單獨於 x = j 點結上 p

j

= 1 的細珠, 則對應之位移 y

_j

滿足

y

i

= a + b

i

, 0 ≤ i ≤ j, 及

y

i

= c + d(n + 1 − i), j ≤ i ≤ n + 1

由於y

0

= y

n+1

= 0, 故 a=c=0 。 只要決定 b 及 d 即可, 注意到

−1 = y

j+1

− 2y

j

= y

j−1

= (y

_j+1

− y

j

) − (y

j

− y

_j−1

) = −d − b,

故 b = 1 − d, 最後, 當 i = j 時, bj = d(n + 1 − j), 故 d = j/(n + 1) 而 b = (n + 1 − j)/(n + 1), 即

g

_ij ⁽ⁿ⁾

= y

j

= (n + 1 − j)i

n + 1 , 0 ≤ i ≤ j, 及

g

_ij ⁽ⁿ⁾

= y

i

= j(n + 1 − i)

(n + 1) , j ≤ i ≤ n + 1。

雖然上面我們以 M

⁽ⁿ⁾

為例作出逆矩陣之計 算。 但這樣用兩個多項式相接的方法卻有一 般性。 事實上, 對於“類似” M

⁽ⁿ⁾

或



























4 −1

−6 4 −1 4 −6 4 −1

· · ·

· · · · −1

−1 4 −6 4



























之矩陣, 利用多個多項式相接的方法, 我們可 作出一類求逆矩陣之計算法 [7]。 這裡我們順 便指出, [7]中所得之結果似乎可再加以推廣, 有興趣的讀者可以繼續研究這一課題。

5. G

⁽ⁿ⁾

之列優性

在上一節中, 我們提出了一些問題, 並作 出部份解答, 以說明 M

⁽ⁿ⁾

及 G

⁽ⁿ⁾

較深刻的

性質。 下面我們以同樣的目的, 再提出一些問 題。

先回到結繩之靜態模型。 對於給定的 n 個細珠 m

1

, m

2

, . . . , m

n

, 如以不同的次序置 於繩上的話, 則對應的位移 y

₁

, . . . , y

n

, 有一 最大值, 稱為最大位移。

問題: 以什麼次序置放細珠m

1

, . . . ,m

n

, 才可使得對應的最大位移為最大?

這樣的問題, 我曾經向不少朋友提到。

一致的答案是把較重的細珠放在中間, 把輕 的放在兩邊。 當然該答案並不精確, 但在 n ≤ 9 的情形下, 我們可以用模擬計算來補充 ( 注意, 不同的細珠置放法導致一個排列, 目前 對於個人電腦, 8! 的排列中找最大是可以的, 9! 或 10! 排列中找最大則需要“很長”的時間 了 )。 事實上, 經反覆計算後, 我們可得出以 下實驗結論: 將細珠以大小次序排出, 並標 上 1, 2, 3, . . . , n 記號。 將具標號為 1 的質量 置於繩上 x = n 的位置, 具標號為 2 的於 x = 1 的位置, 3 於 x = n − 1 , 4 於 x = 2 , 等等。 則對應的最大位移為最大。

在 [6]中, 我們把這樣的實驗結論用數學 方式作了證明。 其中一個重要的步驟, 是證明 G

⁽ⁿ⁾

具“中央列優性”。 要說明這性質, 我們 先把 G

⁽ⁿ⁾

的每一列看做一個向量。 我們說一 個向量 a 優於另一個向量 b 如果 a 的最大分 量不少於 b 的最大分量, a 的最大的兩個分 量的和不少於 b 的最大的兩個分量的和, . . . 以及 a 的所有分量的和不少於 b 所有分量 的和。(註: 這種”優於”的概念, 在經濟學中常 見到。 理由是如果 a, b 表二個國家成員的財 富, 則一個合理衡量國力的想法是認為, a 國 不比 b 國差, 如果 a 國首富不比 b 國少, a

國頭兩名首富的財產總和不少於 b 國頭兩名 首富的財產總和, 等等。) 現在以 G

⁽⁷⁾

為例

G

⁽⁷⁾

= 1 8



































7 6 5 4 3 2 1 6 12 10 8 6 4 2 5 10 15 12 9 6 3 4 8 12 16 12 8 4 3 6 9 12 15 10 5 2 4 6 8 10 12 6 1 2 3 4 5 6 7



































,

不難驗證第一列劣於第二列, 第二列劣於第 三列, 第三列劣於第四列。 然後, 第四列優於 第五列, 第五列優於第六列, 最後, 第六列優 於第七列。 這樣的性質, 我們不妨稱為中央列 優性。 當然, 對於一般的 G

⁽ⁿ⁾

, 不能以驗證 的方式說明中央列優性。 不過我們可舉一例 說明, 一般的證明方法。 首先注意到如 a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) 及 b = (b

1

, b

2

, . . . , b

n

) 滿 足 a

i

≥ b

i

對於所有的 i 成立的話, 則顯然 a 優於 b 。 現在如果 a, b 分別為 8 × G

⁽⁷⁾

的 第二及第一列的話, 即

a = (6, 12, 10, 8, 6, 4, 2), b = (7, 6, 5, 4, 3, 2, 1),

則把 a 中的第二分量 12 減去 1, 並加進第一 分量得

a

^′

= (7, 11, 10, 8, 6, 4, 2)。

顯然 a 優於 a

^′

, 而 a

^′

又優於 b , 故 a 優於 b 。 這種“富藏於民”的判別較優性方法, 可參 考 [16], 而利用這方法作出中央列優性的證 明, 可參考 [6]。 這裡我想順便補充幾件事情。

第一, [6]文本由我本人和呂宗澤教授合寫, 因 為在東德 ( 當時還是共產國家 ) 做報告時, 大會將單我個人具名的摘要當作最後文稿弄 錯了。 第二, 下面二個問題還未有任何答案, 值得研究:

問題: 什麼樣的矩陣其逆具中央列優 性?

問題: 以什麼次序置放細珠於細繩上, 才可使得對應的最大位移為最小?

6. G

⁽ⁿ⁾

之斜聚性

由第三節, 知位移 y = G

⁽ⁿ⁾

p 。 故 細繩上細珠有位能 m

^t

y = m

^t

G

⁽ⁿ⁾

p, 其中 m = col(m

1

, . . . , m

n

) 。 如果我們關心細繩 上細珠在靜力平衡時的穩定性, 自然會考慮 位能之最大最小。

問題: 以什麼次序置放細珠才可使 m

^t

G

⁽ⁿ⁾

p 最大?

一如前一節, 用計算模擬法可觀察到前 一節所描繪的排法也可使 m

^t

G

⁽ⁿ⁾

p 取最大。

這樣的觀察結果可能不太令人驚奇, 但 我們卻未能用上節所描繪的想法作出證明。

還好, 我們卻發現 G

⁽ⁿ⁾

的另一種性質可導致 這裡的觀察結果。 要說明這性質, 我們先看看 矩陣

H =



























5 4 1 2 5 2 1 1 2 5 2 1

· · ·

· · · 1 2 5



























這矩陣感覺上以接近對角線的分量較大。 再 看看矩陣 G

⁽⁷⁾

, 則類似的感覺就比較鮮明 了。 更確實的說法如下。 考慮任一給定方陣 G = (gij) 及任一中心 E = (x, y) 落在 G 的對角線 i = j 上, 而且以 G 的四分量 座標為頂點的矩形 ( 見圖四 )

... ..

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. ...

...

. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ..

... ..

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ...

. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .

... . .. .. ..

y

x

A B

C D

E

n+1 2

圖四

假如 (i) 當 E 的 x 坐標滿足 1 ≤ x ≤

ⁿ⁺¹ ₂

時, 有 g_C ≥ gB, gC ≥ gD, g_C − g_A ≥ |g_D − g_B|; 及(ii) 當 E 的坐 標滿足

ⁿ⁺¹

2

< x ≤ n 時, 有 g_A ≥ g_B, gA ≥ gD 及 g_A− gC ≥ |gB − gD| 。 則稱方 陣 G 有斜聚性。

不難驗證, 方陣 H 及 G

⁽ⁿ⁾

具斜聚性 [3]。 利用 G

⁽ⁿ⁾

的斜聚性, 加上一個把向量排 為 “對稱遞減”向量的算法 [17]即可證明我們 實驗觀察的結果 [3]。

在這裡我們順便提到 m

^t

G

⁽ⁿ⁾ _p

取最小值 時細珠的放法, 目前並無明確的猜想, 只能由 實驗知當 m

^T

G

⁽ⁿ⁾

p 取最小值時, 向量 m = (m

1

, m

2

, . . . , m

n

) 必然滿足 m

1

≥ m

2

≥

· · · ≥ m

j

及 m

j

≤ m

j+1

≤ · · · ≤ m

n

, 其中 1 ≤ j ≤ n 。 實驗結果也可給出證

明, 而且 G

⁽ⁿ⁾

的另一性質又被發現 [9]。 但 由於這結果並沒有完整回答我們原來的問題, 我們不打算在這裡仔細作報告了。

7. 結繩之振動與轉動

在第二節中, 我們推導了一個物理系統 的兩個數學模型。 到目前為止, 我們單只利 用其中的靜態模型獲至 M

⁽ⁿ⁾

與 G

⁽ⁿ⁾

的一 些性質。 那麼動態模型是否也可提供 M

⁽ⁿ⁾

與 G

⁽ⁿ⁾

的其他性質呢? 的確如此, 如果 我們進行結繩之轉動實驗, 不難發現, 並不 是在所有的轉速下有細珠位移的現象, 而在 有位移現象時, 各位移也不一定同向。 這些 發現, 導致不少數學研究。 特別地, 早在一百 年前 [20], Sturm 即已探索過結繩之振動與 轉動的數學理論基礎。 後來, Krein, Gant- makher等人更進一步提出 Oscillating Ma- trix之概念 [13]來反映各類振動系統所表現 的共同特性。

這些概念以及固有轉動或振動頻率的概 念推動了固有值, 離散富氏分析, Sturm- Liouville 系統等研究。 這些研究部份已成為 現代線性代數的標準組成部份。 另外一些則 伸展到現代的資訊工程 ( 例如透過離散富氏 變換 ) 等, 對人類現代文明起了極大的催化 作用。

8. 結語

線性代數已知的理論與應用範圍甚廣, 但未被發現的似乎應更多。 本文透過結繩之 動靜來說明發掘這些隱藏事實的過程中, 我

的一些經驗。 無疑, 發掘的時間很長 ( 已超 過十年 ), 發掘的過程也不順暢 ( 甚至可說 是異常艱苦 ), 發掘出來的成果更不能賴以致 富。 但今天能有機會把這些發現與讀者共享, 實一大樂事也。

參考文獻

1. S. S. Cheng, A discrete analogue of the inequality of Lyapunov, Hokkaido Math. J., 12(1983), pp. 105-112.

2. S. S. Cheng, Sturmian comparison the- orems for three term recurrence equa- tions, J. Math. Anal. Appl., 111 (19- 85), pp. 464-474.

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本文作者任教於清華大學數學系

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