Question 4.22. 試利用 T◦d(v)∈ Span(v,T(v),...,T◦d−1(v), p(T )(v)) 來證明 (4.7) 為 Cv 的 一組 basis.
Example 4.5.2. 考慮 A =
0 −1 0 1 1 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
, 計算得 µA(x) = (x2+ 1)2. 因 A2+ I4的 null space 為 N(A2+ I4) = Span((0, 1, 0, 1)t, (0, 0, 1, 0)t), 我們得 R4= Cv, 其中 v̸∈ N(A2+ I4), 且 µv(x) = (x2+ 1)2. 所以取 v = (1, 0, 0, 0)t, 則由 Theorem 4.4.4 知
{v,Av,A2v, A3v} =
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
−1 0 1 0
,
0
−2 0
−1
為 R4= Cv 的一組 basis. 然而 Lemma 4.5.1 告訴我們
{v,Av,(A2+ I4)v, (A3+ A)v} =
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0
−1 0
−1
亦為R4= Cv 的一組 basis.
另外考慮 B =
0 1 −1
−2 3 −2
−1 1 0
, 得 µB(x) = (x− 1)2. 因 Span((1, 1, 0)t, (−1,0,1)t) 為 B− I3 的 null space, 若令 w = (1, 0, 0)t, 我們有 Cw 的 cyclic basis 為
{w,Bw} =
1 0 0
,
0
−2
−1
. 然而 Lemma 4.5.1 告訴我們
{w,(B − I3)w} =
1 0 0
,
−1
−2−1
亦為 Cw 的一組 basis.
接下來我們要探討若利用 (4.7) 這一組 basis, 則 T|Cv 的 representative matrix 為何. 對 於 0≤ i ≤ m−1, 0 ≤ j ≤ d −1, 令 vid+ j+1= pi(T )(T◦ j(v)). 我們就是要考慮 β = (v1, . . . , vmd) 這一個 Cv 的 ordered basis. 假設 p(x) = xd+ ad−1xd−1+··· + a1x + a0, 當 1≤ k ≤ d − 1 時, 我們有 T (vk) = T (T◦k−1(v)) = T◦k(v) = vk+1. 而
T (vd) = T (T◦d−1(v)) = T◦d(v) = p(T )(v)− ad−1T◦d−1(v)− ··· − a1T (v)− a0v
= −a0v1− a1v2− ··· − ad−1vd+ vd+1.
也就是說 [T|Cv]β 這一個 matrix 的前 d 個 column 分別為
0 1 0 ... 0 0 0 ... 0
,
0 0 1 ... 0 0 0 ... 0
, . . . ,
0 0 0 ... 1 0 0 ... 0
,
−a0
−a1
−a2
...
−ad−1
1 0 ... 0
.
也就是說前 d 個 column 所形成的 matrix 為
Cp(x) U O
這樣的形式, 其中 Cp(x) 為 d× d 的 companion matrix of p(x), 而 U 為 d × d 的 matrix 其在最右上角為 1 其他位置皆為 0. 最後的 O 是 (m− 2)d × d 的 zero matrix. 同理當 id + 1≤ k = id + j+1 ≤ (i+1)d −1, 我們有 T(vk) = T (pi(T )(T◦ j(v)) = pi(T )(T◦ j+1(v)) = vk+1. 而當 k = (i + 1)d 時
T (v(i+1)d) = T (pi(T )(T◦d−1(v))) = pi(T )(T◦d(v))
= pi+1(T )(v)− ad−1pi(T )(T◦d−1(v))− ··· − a1pi(T )(T (v))− a0pi(T )(v)
=
{ −a0vid+1− a1vid+2− ··· − ad−1v(i+1)d+ v(i+1)d+1, if i + 1 < m;
−a0vmd+1−d− a1vmd+2−d− ··· − ad−1vmd, if i + 1 = m.
故得到
[T|Cv]β =
Cp(x)
U Cp(x)
O
U . ..
O
. .. Cp(x)U Cp(x)
.
這個 md× md 矩陣稱為 the classical matrix associated with p(x)m.
Example 4.5.3. 我們探討在 Example 4.5.2 中, 選取不同的 basis 所得的 similar matrices.
利用 v 所形成的 cyclic basis, 考慮 P1=
1 0 −1 0 0 1 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 −1
, 則 P1−1AP1=
0 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 0 −2 0 0 1 0
為 µv(x) = (x2+ 1)2= x4+ 2x2+ 1 的 companion matrix. 而若考慮 P2=
1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 −1
,
則 P2−1AP2=
0 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0
為 classical matrix associated with µv(x) = (x2+ 1)2. 注
意
( 0 −1 1 0
)
為 x2+ 1 的 companion matrix.
關於矩陣 B, 由於 u = (1, 1, 0)t∈ N(B − I3) 且 u̸∈ Cw, 我們得 R3= Cw⊕Cu. 現考慮 Q1=
1 0 1 0 −2 1 0 −1 0
, 我們有 Q−11 BQ1=
0 −1 0 1 2 0 0 0 1
, 為 B 的 rational form. 而若考慮
Q2=
1 −1 1 0 −2 1 0 −1 0
, 我們有 Q−12 BQ2=
1 0 0 1 1 0 0 0 1
, 為 B 的 Jordan form.
Question 4.23. 試說明 the classical matrix associated with (x−λ)m 就是 m× m 的 ele- mentary Jordan block associated withλ.
對於一般的情形, 若一個 F-linear operator T : V → V 的 minimal polynomial µT(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk, 利用 cyclic decomposition theorem (Theorem 4.4.10),
V = Cv1,1⊕ ···Cv1,n1⊕ ··· ⊕Cvk,1⊕ ··· ⊕Cvk,nk,
其中每一個 vi, j 的 T -annihilator 為 µvi, j(x) = pi(x)mi, j 滿足 mi= mi,1≥ mi,2≥ ··· ≥ mi,ni. 此 時若對每個 Cvi, j , 我們選取如 Lemma 4.5.1 中 (4.7) 這樣一組 ordered basis, 然後組合成 V 的一組 ordered basis β, 則 [T]β 為以下形式的 block diagonal matrix
[T ]β=
A1,1
. ..
A1,n1
O
. ..O
Ak,1
. ..
Ak,nk
,
其中每一個 Ai, j 為 classical matrix associated withµvi, j(x) = pi(x)mi, j. 這也告訴我們任何的 方陣都會 similar to 這樣形式的方陣, 我們稱此為 classical form.
Example 4.5.4. 我們延續 Example 4.4.11, 探討 A 的 classical form. 這裡為了方便起見, 我 們沿用 Example 4.4.11 的符號. 因µw1(x) = x2+ 1,µw2(x) = (x− 1)2 以及µw3(x) = x− 1, 考 慮 Cw1, Cw2 和 Cw3 如 Lemma 4.5.1 中 (4.7) 這樣的 ordered basis (w1, Aw1), (w2, (A−I5)w2) 以及 (w3),所形成 R5 的 order basis. 即若令
Q =
1 2 1 0 −1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
, 則 Q−1AQ =
0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
為 A 的 rational form.
Question 4.24. 考慮 square matrix A, 設 µA(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk, 其中 pi(x) 為相異的 monic irreducible polynomial. 若 m1= m2=··· = mk= 1, 試說明 A 的 classical form 就是 rational form. 另一方面, 若 deg(p1(x)) = deg(p2(x)) =··· = deg(pk(x)) = 1, 試說明 A 的 classical form 就是 Jordan form.
在求得 rational form 以及 classical form 的過程中, 其實只要知道每一個 cyclic vector vi, j 的 annihilator pi(x)mi, j, 就可以確定其 rational form 及 classical form. 這一組 annihilators 相當的重要, 我們有以下的定義.
Definition 4.5.5. 設 T : V → V 為 F-linear operator, 且
V = Cv1,1⊕ ···Cv1,n1⊕ ··· ⊕Cvk,1⊕ ··· ⊕Cvk,nk,
其中每一個 vi, j 的 T -annihilator 為 µvi, j(x) = pi(x)mi, j 滿足 mi,1≥ mi,2≥ ··· ≥ mi,ni. 我們稱 (p1(x)m1,1, . . . , p1(x)m1,n1, . . . , pk(x)mk,1, . . . , pk(x)mk,nk)
這一組 polynomials 為 T 的 elementary divisors.
例如在 Example 4.4.11 中 A 的 elementary divisors 就是 (x2+ 1, (x− 1)2, x− 1). 要注意 elementary divisors 指的是所有的 vi, j的 T -annihilators, 所以即使有可能 pi(x)mi, j= pi(x)mi, j′, 也要將它們一一列出. 例如一個 linear operator T : V → V 的 cyclic decomposition 為 V = Cv⊕Cw⊕Cu其中 µv(x) = (x + 1)2,µw(x) =µu(x) = x + 1, 則 T 的 elementary divisors 為 ((x + 1)2, x + 1, x + 1).
基本上, 我們需要利用 ker(pi(T )◦t), ∀t ∈ N 來確定 T 的 elementary divisors. 不過我們 可以由 χT(x) 和 µT(x) 得到 T 的 elementary divisors 的可能情況. 首先我們需要以下有關 elementary divisors 的性質.
Lemma 4.5.6. 設 T : V → V 為 F-linear operator 且
(p1(x)m1,1, . . . , p1(x)m1,n1, . . . , pk(x)mk,1, . . . , pk(x)mk,nk) 為 T 的 elementary divisors, 其中 mi,1≥ mi,2≥ ··· ≥ mi,ni, ∀i ∈ {1,...,k}. 則
χT(x) = p1(x)m1,1··· p1(x)m1,n1··· pk(x)mk,1··· pk(x)mk,nk, µT(x) = p1(x)m1,1p2(x)m2,1··· pk(x)mk,1.
Proof. 由 elementary divisors 的定義知存在 vi, j∈ V 使得
V = Cv1,1⊕ ···Cv1,n1⊕ ··· ⊕Cvk,1⊕ ··· ⊕Cvk,nk,
其中每一個 vi, j 的 T -annihilator 為µvi, j(x) = pi(x)mi, j. 由 Theorem 4.4.4, 我們有χT|Cvi, j(x) = µvi, j(x) = pi(x)mi, j, 故由 Lemma 3.5.5 得
χT(x) =
∏
i, j
χT|Cvi, j(x) =
∏
i, j
pi(x)mi, j.
另 外 由 Theorem 4.4.10, 我 們 已 知 若 µT(x) = p1(x)m1p2(x)m2··· pk(x)mk, 則 mi = mi,1,
∀i ∈ {1,...,k}. 故得證µT(x) = p1(x)m1,1p2(x)m2,1··· pk(x)mk,1. 我們利用以下的例子說明判斷 elementary divisors 的方法.
Example 4.5.7. 設 T :R10→ R10 為 R-linear operator 且 χT(x) = (x2+ 1)3(x− 1)4 以及 µT(x) = (x2+ 1)2(x−1)2. 首先我們知道 (x2+ 1)2以及 (x−1)2一定會出現在 T 的 elementary divisors 中. 不過 (x2+ 1)2 不會出現兩次. 這是因為在 χT(x) 中 (x2+ 1) 有三次方, 所以 由 Lemma 4.5.6 知僅還有一個 x2+ 1 會出現. 另一方面可能還有一個 (x− 1)2 會出現在 elementary divisor 中, 要不然就是有兩個 x− 1 會出現. 這是因為 χT(x) 中 x− 1 有四次方.
所以 T 的 elementary divisors 會有兩種可能, 一個是 ((x2+ 1)2, x2+ 1, (x− 1)2, (x− 1)2). 而 另一個是 ((x2+ 1)2, x2+ 1, (x− 1)2, x− 1,x − 1)).
至於 Example 4.5.7 中 T 的 elementary divisors 到底是哪種可能, 就不能完全由 χT(x) 和 µT(x) 來 決 定 了. 此 時 我 們 可 以 考 慮 dim(Ker(T − id)). 若 dim(Ker(T − id)) = 2 表 示 Ker((T− id)◦2) 可 以 寫 成 兩 個 T -cyclic subspaces 的 direct sum, 在 這 種 情 形 我 們 有 ((x2+ 1)2, x2+ 1, (x− 1)2, (x− 1)2) 為 T 的 elementary divisors. 而若 dim(Ker(T− id)) = 3 表示 Ker((T− id)◦2) 可以寫成三個 T -cyclic subspaces 的 direct sum, 在這種情形我們有 ((x2+ 1)2, x2+ 1, (x− 1)2, x− 1,x − 1) 為 T 的 elementary divisors. 至於一般的情形, 我們就 必須探討每一個 Ker(pli(T )) 的維度. 首先我們有以下的性質.
Lemma 4.5.8. 設 T : V → V 為 F-linear operator 且 f (x) ∈ F[x] 與 µT(x) 互 質. 則 Ker( f (T )) ={O}.
Proof. 由於 f (x) 與µT(x) 互質, 知存在 g(x), h(x)∈ F[x] 使得 g(x) f (x)+h(x)µT(x) = 1. 現若 w∈ Ker( f (T)), 由 µT(T )(v) = f (T )(v) = O, 得 v = g(T )( f (T )(v)) + h(T )(µT(T (v))) = O. 當 T : V→ V 為 linear operator 且 V = W1⊕ ···Wk, 其中 Wi 為 T -invariant subspace, 則 Ker(T ) = Ker(T|W1)⊕ ··· ⊕ Ker(T|Wk). (4.8) 這是因為若 v = w1+··· + wk ∈ Ker(T), 其中 wi∈ Wi, 則 OV = T (v) = T (w1) +··· + T(wk).
由 於 T (wi)∈ Wi 且 V = W1⊕ ··· ⊕ Wk 為 inner direct sum, 由 Proposition 3.4.6 (2) 知 T (w1) =··· = T(wk) = OV. 也就是說 wi∈ Ker(T) ∩Wi= Ker(T|Wi), ∀i = 1,...,k. 特別的, 若
f (x)∈ F[x], 則由於 Wi 亦皆為 f (T )-invariant, 故由式子 (4.8) 得
Ker( f (T )) = Ker( f (T )|W1)⊕ ··· ⊕ Ker( f (T)|Wk). (4.9) 現考慮 T : V → V 的 primary decomposition V = W1⊕ ··· ⊕Wk, 其中 Wi= Ker(pi(T )◦mi) 且 p1(x), . . . , pk(x) 為相異的 monic irreducible polynomials. 對於 i, j∈ {1,...,k}, 由於當 i̸= j 時, µT|W j(x) = pmjj(x) 與 pli(x) 互質, 故此時 Lemma 4.5.8 告訴我們 Ker(pli(T )|Wj) = Ker(pli(T|Wj)) ={O}. 再由式子 (4.8) 得
Ker(pli(T )) = Ker(pli(T )|W1)⊕ ··· ⊕ Ker(pli(T )|Wk) = Ker(pli(T )|Wi).
也就是說在求 Ker(pli(T )) 就等同於求 Ker(pli(T )|Wi),因此不失一般性我們僅要考慮 T : V→ V , 其中 µT(x) = p(x)m 這樣的情況.
現 考 慮 T : V → V, 其中 µT(x) = p(x)m. Cyclic Decomposition Theorem 告 訴 我 們 V = Cv1⊕ ··· ⊕Cvk, 其中對於 i = 1, . . . , k, µvi(x) = p(x)mi 且 m = m1≥ m2≥ ··· ≥ k ≥ 1 (亦 即 (p(x)m1, . . . , p(x)mk) 為 T 的 elementary divisors). 如何利用 Ker(pl(T )) 來 判 斷 T 的 elementary divisors 呢? 我們有以下的性質.
Lemma 4.5.9. 設 T : V → V 為 F-linear operator, v ∈ V 其 T-annihilator 為 p(x)m, 其中 p(x)∈ F[x] 為 monic irreducible 且 deg(p(x)) = d. 則
dim(Ker(pl(T )|Cv)) =
{ ld, if 1≤ l ≤ m − 1;
md, if l≥ m.
Proof. 對於 0≤ i ≤ m−1, 0 ≤ j ≤ d −1, 令 vid+ j+1= pi(T )(T◦ j(v)). 由 Lemma 4.5.1, 我們知 β = {v1, . . . , vmd} 為 Cv 的一組 basis. 即若 w∈ Cv, 則存在 c1, . . . , cmd∈ F 使得 w = ∑mdk=1ckvk. 因對於 r≥ m, pr(T )(v) = O 故當 1≤ l ≤ m − 1 時
pl(T )(w) =
m−1 i=0
∑
d−1 j=0
∑
cid+ j+1pl+i(T )(T◦ j(v)) =
m−l−1 i=0
∑
d−1 j=0
∑
cid+ j+1pl+i(T )(T◦ j(v)).
因此若 w∈ Ker(pl(T )|Cv) = Ker(pl(T ))∩Cv, 則由 β 為 linearly independent 知 c1= c2=
··· = c(m−l)d= 0. 得 w∈ Span({v(m−l)d+1, . . . , vmd}). 很容易看出 Span({v(m−l)d+1, . . . , vmd}) ⊆ Ker(pl(T ))∩Cv, 故得證 dim(Ker(pl(T )|Cv)) = md− (m − l)d = ld.
當 l≥ m 時, 因 pl(T )(w) = OV, for all w∈ Cv, 得 Ker(pl(T )|Cv) = Cv. 故 dim(Ker(pl(T )|Cv)) = dim(Cv) = md.
我們沿用剛才的符號, 利用 Lemma 4.5.9 我們有 dim(Ker(p(T )|Cvi)) = deg(p(x)), 再利用 式子 (4.9) 得
dim(Ker(p(T ))) =
∑
k i=1dim(Ker(p(T )|Cvi)) = k deg(p(x)).
換言之, dim(Ker(p(T )))/ deg(p(x)) 告訴我們 V 可以寫成多少個 T -cyclic subgroup 的 direct sum. 同理若 mi≥ 2, 則 dim(Ker(p2(T )|Cvi)) = 2 deg(p(x)). 而若 mi< 2, 則 dim(Ker(p2(T )|Cvi)) = deg(p(x)). 因此
dim(Ker(p2(T ))) =
∑
k i=1dim(Ker(p2(T )|Cvi)) = 2(k− s1) deg(p(x)) + s1deg(p(x)), 其中 s1= #{1 ≤ i ≤ k | mi= 1}. 也就是說我們可由
dim(Ker(p2(T )))− dim(Ker(p(T))) = (k − s1) deg(p(x))
得知 T 的 elementary divisors 中有多少個為 p(x)t 其中 t > 1 這種形式. 而且我們知 T 的 elementary divisors 中有
s1= (2 dim(Ker(p(T )))− dim(Ker(p2(T ))))/ deg(pi(x))
個為 p(x). 依此類推, 若令 st= #{1 ≤ j ≤ k | mi= t}, 則當 1 ≤ l ≤ k 時,
dim(Ker(pl(T ))) = (l(k− (s1+ s2+··· + sl−1)) + s1+ 2s2+··· + (l − 1)sl−1) deg(p(x)).
故由
dim(Ker(pl(T ))− dim(Ker(pl−1(T )))) = (k− (s1+ s2+··· + sl−1)) deg(p(x)) (4.10) 我們可以將 s1, s2, . . . , sk 一一求出.
Proposition 4.5.10. 設 T : V→ V 為 F-linear operator 且 µT(x) = p(x)m, 其中 p(x)∈ F[x]
為 monic irreducible polynomial. 當 1≤ l ≤ m 時, T 的 elementary divisors 中 p(x)l 出現 的次數為
1 deg(p(x))
(
2 dim(Ker(pl(T )))− dim(Ker(pl−1(T )))− dim(Ker(pl+1(T ))) )
.
Proof. 利用前面的符號, T 的 elementary divisors 中 p(x)l 出現的次數為 sl. 由式子 (4.10) 我們知當 1≤ l ≤ m − 1 時
dim(Ker(pl(T )))− dim(Ker(pl−1(T )))−(
dim(Ker(pl+1(T )))− dim(Ker(pl(T ))) )
= (k− (s1+ s2+··· + sl−1)− (k − (s1+ s2+··· + sl))) deg(p(x)) = sldeg(p(x)).
另外當 l = m 時 Ker(pm(T )) = Ker(pm+1(T )) 所以由式子 (4.10) 知
2 dim(Ker(pm(T )))− dim(Ker(pm−1(T )))− dim(Ker(pm+1(T )))
= dim(Ker(pm(T ))− dim(Ker(pm−1(T ))))
= (k− (s1+ s2+··· + sm−1)) deg(p(x)) = smdeg(p(x)),
得證本定理.
Proposition 4.5.10 看起來有點複雜, 其實它只是 Jordan form 的推廣. 在處理 Jor- dan form 時, 由 於 前 提 是 minimal polynomial 可 以 完 全 分 解, 所 以 p(x) 的 次 數 為 1.
我們也可以利用像 Jordan form 的點圖, 來說明 Ker(pl(T )) 和 elementary divisor 的關 係. 首 先 考 慮 Cv 的 情 形, 假 設 µv(x) = pm(x) 其 中 p(x) 為 irreducible 且 deg(p(x)) = d. 我們知道 v, T (v), . . . , Td−1(v)∈ Ker(pm(T ))\ Ker(pm−1(T )) 為 linearly independent 而 p(T )(v), p(T )(T (v)), . . . , p(T )(Td−1(v))∈ Ker(pm−1(T ))\ Ker(Pm−1(T )). 這樣一直下去直到 得到 classical form 中 Cv 的 basis. 我們大致上有以下的圖形:
Ker(pm(T )) ··· Ker(pm−1(T )) ··· ... ... ... ... Ker(p(T )) ···
這樣的點圖代表的就是 Cv所形成的 “一棟樓”. 和 Jordan form 的情形不同的是 Jordan form 的每棟樓的每一層樓僅有一個點 (因為 deg(p(x)) = 1), 而這裡每一層會有 d = deg(p(x)) 個 點. 而樓層的高度 m 代表的就是 µv(x) = pm(x) 中 p(x) 的次方.
回到 V = Cv1⊕···⊕Cvk, 其中對於 i = 1, . . . , k,µvi(x) = p(x)mi 的情形. 我們便會有 k 棟樓, 由於每棟樓的每一層都有 d = deg(p(x)) 個點, 所以最底下的一層, 即代表 Ker(p(T )) 這一 層共有 kd 個點, 亦即 dim(Ker(p(T )) = kd. 因此只要我們先求出 n1= dim(Ker(p(T )), 便知
V 可寫成 n1/d 個 cyclic subspace 的 direct sum. 接著再令 n1+ d2= n2= dim(ker(p2(T ))).
由 於 上 一 層 的 點 代 入 p(T ) 會 得 到 下 一 層 的 點, 由 Lemma 4.3.2 知 d2≤ n1. 接 著 令 n2+ d3= n3= dim(ker(p3(T ))). 同理有 d3≤ d2. 這樣一直下去, 令 nl= dim(ker(pl(T ))) 且 dl= nl− nl−1= dim(ker(pl(T )))− dim(ker(pl−1(T ))). 注意這裡 dl 表示的就是第 l 層共有 dl 個點, 也因此 dl 會被 d = deg(p(x) 所整除且我們有 n1≥ d2≥ ··· ≥ dm. 接下來我們可以畫 一個有 m 層的點所成的的圖. 最底下一層有 n1 個點, 再上一層靠左對齊有 d2 個點, 這樣 依序往上靠左對齊在第 l 層畫上 dl 個點. 最後所得的圖形就像有好幾棟樓房, 如下圖就是 m = 3, deg(p(x)) = 2, n1= 8, d2= 6, d3= 2 的圖形
這裡共有 4 棟樓, 第一棟樓有 3 層. 第二, 三棟樓有 2 層, 最後一棟有 1 層. 每一棟樓的每 一層有兩個點, 這些點就表示一個 basis 中的向量, 其下面的點表示為該向量代入 p(T ) 所 得的向量. 因此每一棟樓代表一個 classical matrix. 且其上的點代表的就是它們所形成的 T -cyclic subspace 的 basis, 因此該棟樓的層數就是其所對應 p(x) 的次方. 因為共有 n1/d 棟, 所以共可寫成的 T -cyclic subspace 的個數就是 dim(Ker(T ))/ deg(p(x)). 而 l 層樓的個 數共有 (dl− dl+1)/d 所以 T 的 elementary divisor 中 pl(x) 的個數為
1 deg(p(x))
(dim(Ker(pl(T )))− dim(Ker(pl−1(T )))− (dim(Ker(pl+1(T )))− dim(Ker(pl(T ))))) . 由 Proposition 4.5.10, 我們得知 T 的 elementary divisors 完全由 Ker(pli(T )) 來決定, 這和 V 的 basis 選取無關. 也就是說不管選取怎樣的 cyclic basis, 我們都會得到相同的 elementary divisors. 所以都可以化成相同的 rational form 和 classical form. 也就是說 rational form 和 classical form 都是 canonical form. 我們有以下之結論.
Theorem 4.5.11. 設 A, B 為 n× n matrices. 則 A 和 B 為 similar 若且唯若 A 和 B 可以 化成相同的 rational form 也若且唯若 A 和 B 可以化成相同的 classical form.
在 Theorem 4.3.9 我們知道當 A∈ Mn(F) 且 χA(x) 可以在 F[x] 中完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積, 則 A 的 transpose At 和 A 為 similar. 當時我們也提到這個定理 在一般的狀況也是對的, 現在我們可以證明這個更一般的結果.
Theorem 4.5.12. 設 A 為 n× n matrix, 則 A 的 transpose At 和 A 為 similar.
Proof. 因 µA(x) =µAt(x). 若 µA(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk, 我們僅要討論 ∀i ∈ {1,...,k} 對 於 1≤ l ≤ mi, pi(x)l 出 現 在 A 的 elementary divisors 的 次 數 等 於 出 現 在 At 的 ele- mentary divisors 的 次 數. 這 表 示 A 和 At 有 相 同 的 elementary divisors, 所 以 他 們 為 similar. 然而 pi(x)l 出現在 A 的 elementary divisors 的次數依 Proposition 4.5.10 知由 dim(Ker(pli−1(A))), dim(Ker(pli(A))) 以及 dim(Ker(pl+1i (A))) 所決定. 而對於任意 j∈ N, 我們 有
dim(Ker(pij(A))) = dim(Ker((pij(A))t)) = dim(Ker(pij(At))).
故得證本定理. 以前我們曾提到若 A, B∈ Mn(F) 且存在一個比 F 大的 field ˜F 使得在 Mn( ˜F) 中 A∼ B (即存在 ˜P∈ Mn( ˜F) invertible 使得 B = ˜P−1· A · ˜P), 則在 Mn(F) 中 A∼ B (即存在 P ∈ Mn(F) invertible 使得 B = P−1· A · P). 這個事實是因為由 A,B 看成 Mn( ˜F) 的 matrices 時它們 的 elementary divisors 相同可以推得 A, B 看成 Mn(F) 的 matrices 時它們的 elementary divisors 也相同. 證明的細節, 就留給大家當成習題了.
