當 T : V → V 是一個 linear operator 時, 我們很自然的可以考慮其合成 T◦2= T◦ T, 以及 T◦3 = T◦ T◦2

在學期開始我們先複習上學期的重要內容, 以便我們繼續下學期的課程. 在這個複習單 元中我們只是列出以後需要的定義與定理內容, 並不會有任何的證明. 至於證明細節請參 考上學其講義的 Chapter 3, Chapter 4A.

1. Linear Operator

當 V 是一個 vector space 時, 從 V 到 V 的 linear transformation, 就稱為是一個 linear operator on V . 當 T : V → V 是一個 linear operator 時, 我們很自然的可以考慮其合成 T^◦2= T◦ T, 以及 T^◦3 = T◦ T^◦2, . . . 這樣一直下去對任意 i∈ N 都可以定出 T^◦i = T◦ T^◦i−1 (T^◦0= id). 如此一來賦予 V 一個很豐富的代數結構 (稱為 F[T ]-module), 所以我們可以進 一步去了解 T 和 V 的關係.

一個 linear operator 由於定義域和對映域是同一個 vector space, 我們可以選相同的 ordered basis, 這會讓矩陣表示法變得較簡單. 也就是說若 T : V→ V 是一個 linear operator, 要得到 T 的 representative matrix, 我們可以選定 V 的一個 ordered basis β ^{= (v}1, . . . , v_n), 兩邊都用β^{, 得} _β^{[T ]}_β ^{這一個 n}×n matrix. 為了方便起見當兩邊選的 ordered basis 相同時, T 的 representative matrix, 我們就會用 [T ]_β 來表示, 也就是說

[T ]_β =(

τ_β^{(T (v}1)), . . . ,τ_β^{(T (v}n))) . 例如若 T₁, T₂ 皆為 V 的 linear operator 我們知

[T₂◦ T1]_β = [T₂]_β · [T1]_β. 另外依此表法, 我們有 [id]_β = I_n.

對同一個 linear operator 若換另外的一個 ordered basis 來處理, 它的 representative matrix 就可能不一樣了, 我們需了解這樣的 matrices 之間有何關係, 就得靠 _β′[id]_β 這樣的 change of basis matrix 來幫忙了. 我們有以下之結果.

Lemma . 設 β^,β^′ 為 V 的 ordered bases, T : V → V 為 linear operator, 則 [T ]_β′=_β [id]⁻¹_β′ · [T]_β·_β[id]_β′.

當 A, B∈ Mn(F), 而 P 為 M_n(F) 中的 invertible matrix, 若 B = P⁻¹· A · P, 則稱 A,B 為 similar matrix, 用 A∼ B 來表示. 此時因 det(P⁻¹) = det(P)⁻¹ 知

det(B) = det(P⁻¹· A · P) = det(P⁻¹) det(A) det(P) = det(A).

由上一個 Lemma 我們知道 [T ]_β ∼ [T]_β^′, 故得 det([T ]_β) = det([T ]_β′). 也就是說不管用哪一 個 ordered basis, T 的 representative matrix 的 determinant 皆相同, 我們也因此定義這就 是 T 的 determinant, 也就是說 det(T ) = det([T ]_β).

上一個 Lemma 反過來是對嗎? 有就是說若 A∼ [T]_β, 是否可找到 V 的一個 ordered basis β^′ 使得 A = [T ]_β′ 呢? 事實上, 若 P 是一個 invertible matrix 使得 A = P⁻¹· [T]_β· P, 則我們 能找到 V 的一個 ordered basis β^{′ 滿足 P =}_β ^[id]_β^{′, 故知}

A = P⁻¹· [T]_β· P =_β [id]⁻¹_β′ · [T]_β ·_β[id]_β′= [T ]_β′.

1

因此我們有以下之結論.

Proposition . 假設 V 為 finite dimensional vector space, dim(V ) = n 且 β ^{為 V 的一個} ordered basis. 設 T : V → V 為 linear operator 且 A ∈ Mn(F), 則 A∼ [T]_β 若且唯若存在 V 的一個 ordered basis β^′ 使得 A = [T ]_β′.

2. Characteristic Polynomial

前面提過一個 linear operator 的問題, 我們可以轉化成有關於 square matrix 的問題, 所 以我們會先探討一般 n× n matrix, 然後再將之轉化成 linear operator 的情形.

給定一個係數在 F 的 polynomial f (x) = c_dx^d+··· +c1x + c₀ 以及一個 n× n matrix A, 我 們定義

f (A) = c_dA^d+··· + c1A + c₀I_n.

很明顯的, f (A) 仍然是一個 n×n matrix. 一般來說矩陣相乘是不可交換的, 不過 Aⁱ 和 f (A) 相乘是可以交換的. 事實上

Aⁱ· f (A) = Aⁱ· (cdA^d+··· + c1A + c₀I_n)

= c_dA^d+i+··· + c1A¹⁺ⁱ+ c₀Aⁱ= (c_dA^d+··· + c1A + c₀In)· Aⁱ= f (A)· Aⁱ. 因此加上利用矩陣加法乘法的分配律, 我們可以得到以下的結果.

Lemma . 假設 f (x), g(x), h(x)∈ F[x] 且 f (x) = g(x)h(x). 若 A ∈ Mn(F), 則 g(A)· h(A) = h(A) · g(A) = f (A).

再次強調這裡都是和 A 相關的矩陣相乘才會成立, 一般來說若 g(x), h(x)∈ F[x] 以及 A, B∈ Mn(F), 不一定會有 g(A)· h(B) = h(B) · g(A).

接下來我們有興趣的是若 A∼ B, 是否 f (A) ∼ f (B) 呢? 首先觀察若 P 為 invertible, 則 (P⁻¹· A · P)²= (P⁻¹· A · P) · (P⁻¹· A · P) = P⁻¹· A²· P.

利用數學歸納法可得

(P⁻¹· A · P)ⁱ= P⁻¹· Aⁱ· P.

我們有以下結果.

Lemma . 假設 f (x)∈ F[x] 且 A,B ∈ Mn(F). 若 A∼ B, 則 f (A) ∼ f (B).

我們也可把這概念推廣到 linear operator, 假設 f (x) = c_dx^d+··· + c1x + c₀∈ F[x] 以及 T : V → V 是一個 linear operator, 由於 linear operators 之間的合成和矩陣之間的相乘相對 應, 我們定義

f (T ) = c_dT^◦d+··· + c1T + c₀id,

很明顯的 f (T ) 仍然是 V 到 V 的 linear operator. 我們可以檢查 T^◦i◦ f (T) = f (T) ◦ T^◦i, 所 以一樣有以下結果.

Lemma . 假設 f (x), g(x), h(x)∈ F[x] 且 f (x) = g(x) · h(x). 若 T ∈ L (V), 則 g(T )◦ h(T) = h(T) ◦ g(T) = f (T).

這裡要強調一下當 f (x) = g(x)·h(x) 時 f (T) = g(T)◦h(T) 而不是等於 g(h(T)). 也就是說 將 g(T ) 和 h(T ) 這兩個 linear operator 合成會得到 f (T ) 這個 operator, 但並不是將 h(T ) 這個 linear operator 代入 g(x) 這個多項式.

給定 V 的一個 ordered basisβ 我們自然要問 F(T ) 的 representative matrix 是否和 T 的 representative matrix 有關. 事實上我們有 [T^◦2]_β = [T ]²_β, 利用數學歸納法可得

[T^◦i]_β = [T◦ T^◦i−1]_β = [T ]_β · [T]ⁱ_β⁻¹= [T ]ⁱ_β, 由此我們有以下之結果.

Lemma . 假設 V 是一個 finite dimensional F-space, β 為 V 的一個 ordered basis 且 T : V → V 是一個 linear operator. 若 f (x) = cdx^d+··· + c1x + c0∈ F[x], 則

[ f (T )]_β = f ([T ]_β) = c_d[T ]^d_β+··· + c1[T ]_β+ c₀I_n.

現在回到 n× n matrix 的情形. 我們知 dim(Mn(F)) = n², 現若 A∈ Mn(F), 考慮 S = {In, A, A², . . . , Aⁿ²}. 由於 #(S) = n²+ 1 > dim(M_n(F)), 我們知 S 為 linearly dependent. 亦即 存在 c₀, c₁, . . . , c_n2 ∈ F 不全為 0 使得

c_n2Aⁿ²+··· + c1A + c₀I_n= O.

若令 f (x) = c_n2xⁿ²+··· + c1x + c₀, 則得 f (A) = O. 因此我們可以說: 對任意的 n× n matrix A, 皆存在一個次數不大於 n² 的非零多項式 f (x)∈ F[x] 使得 f (A) 為 n × n 的 zero matrix O. 注意這裡 c_n2 有可能是 0 所以我們不能說 deg( f (x)) = n², 另外 c_n2, . . . , c₁, c₀ 不全為 0, 所以 f (x) 不是零多項式.

事實上我們可以找到次數為 n 的多項式 f (x) 使得 f (A) = O, 就是所謂的 characteristic polynomial.

Definition . 假設 A∈ Mn(F), 考慮 χ^A(x) = det(xI_n− A) ∈ F[x], 稱為 A 的 characteristic polynomial.

注意有的書定義 det(A−xIn)為 A 的 characteristic polynomial, 我們用 det(xIn−A) 主要是 讓 χA(x) 是一個 monic polynomial (最高次項係數為 1). 利用降階求 determinant 的方法以 及數學歸納法, 我們可以知當 A 為 n× n matrix 時, χA(x) 的次數為 n 且最高次項係數為 1.

也可更進一步得到χA(x) 的次高項 (即 xⁿ⁻¹項) 係數為−tr(A) (註: tr(A) 為 A 的 trace, 即對 角線之和). 另外將 x = 0 代入χA(x) 可得χA(x) 的常數項為 χA(0) = det(−A) = (−1)ⁿdet(A).

接下來我們來看看 similar matrices 它們的 characteristic polynomial 有什麼關係.

Proposition . 若 A, B∈ Mn(F) 且 A∼ B, 則 χA(x) =χB(x).

特別的, 當 T : V→V 是一個 linear operator,β^,β^′為 V 的 ordered bases, 由於 [T ]_β ∼ [T]_β^′, 上一個 Proposition 告訴我們 χ[T ]_β(x) =χ[T ]_β′(x). 因此我們可以定義 linear operator 的 characteristic polynomial.

Definition . 假設 V 為 finite dimensional F-space. 對於 V 的 linear operator T : V → V, 任取 V 的一個 ordered basis β, 定義 T 的 characteristic polynomial 為 χ[T ]_β(x), 且以 χT(x) 來表示.

有關於ㄧ個方陣的 characteristic polynomial 最重要性質就是以下的定理.

Theorem (Cayley-Hamilton Theorem). 若 A∈ Mn(F), χA(x) 為 A 的 characteristic poly- nomial, 則 χA(A) = O.

當β 為 V 的一個 ordered basis, T : V→ V 為 linear operator, 我們定義 χT(x) =χ[T ]_β(x).

此時 χT(T ) 為 linear operator, 其對 β 的 representative matrix 為 [χ[T ]_β(T )]_β =χ[T ]_β([T ]_β).

故知 [χT(T )]_β = O, 因此得 χT(T ) = O. 這就是 linear operator 版本的 Cayley-Hamilton Theorem.

Corollary (Cayley-Hamilton Theorem). 若 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator, 則 χ^{T(T ) = O.}

3. Minimal Polynomial

若 A 是 n× n matrix, 利用 A 的 characteristic polynomial, 我們知道存在次數為 n 的多 項式 f (X)∈ F[x] 使得 f (A) = O. 會不會有次數更小的多項式可以達到這個目的呢? 這是 有可能的, 例如 A = I_n 時, χIn(x) = (x− 1)ⁿ, 但考慮 f (x) = x− 1, 我們有 f (In) = I_n− In= O.

所以我們想要找到次數最小的非零多項式 f (X)∈ F[x] 使得 f (A) = O.

Definition . 設 A∈ Mn(F), 在所有非零多項式 f (x)∈ F[x] 中滿足 f (A) = O, 且次數最小 的 monic polynomial (即最高次項係數為 1) 稱為 A 的 minimal polynomial, 用 µA(x) 來表 示.

我們知道一定存在次數最小的非零多項式 f (x)∈ F[x] 使得 f (A) = O, 而這裡要求 monic 就是要求唯一性. 事實上若 f (x), g(x)∈ F[x] 為次數最小的非零 monic polynomial 使得 f (A) = g(A) = O, 因皆為次數最小故必有 deg( f ) = deg(g), 又要求 f (x), g(x) 為 monic, 故 知 deg( f (x)− g(x)) < deg( f (x)). 但此時 f (A) − g(A) = O − O = O, 故由次數最小的要求知

f (x)− g(x) 必為零多項式, 即 f (x) = g(x), 所以 minimal polynomial µA(x) 是唯一的.

接下來我們要問若 A∼ B, 那麼它們的 minimal polynomial µA(x),µB(x) 是否相等. 首先 來看一個 minimal polynomial 最基本的性質.

Lemma . 假設 A∈ Mn(F) 且 f (x)∈ F[x]. 則 f (A) = O 若且唯若 µA(x)| f (x).

現若 A∼ B, 知 µA(B)∼µA(A) = O, 然而和零矩陣 similar 的矩陣必為零矩陣 (因對任意 invertible matrix P, P⁻¹·O·P = O), 故得µA(B) = O. 由前一個 Lemma 知µB(x)|µA(x). 同理 利用µ^B(A)∼µ^{B(B) = O, 得}µA(x)|µ^{B(x). 然而}µA(x),µ^B(x) 皆為 monic, 故得µA(x) =µ^B(x).

證得以下之結果.

Proposition . 若 A, B∈ Mn(F) 且 A∼ B, 則 µA(x) =µB(x).

我們也可以定一個 linear operator 的 minimal polynomial.

Definition . 設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→ V 為一個 linear operator. 在 所有非零多項式 f (x)∈ F[x] 中滿足 f (T) = O, 且次數最小的 monic polynomial 稱為 T 的 minimal polynomial, 用 µT(x) 來表示.

同 matrix 的情形, T 的 minimal polynomial 必存在且唯一. 利用矩陣情形相同的證明方 法 (需用到零函數和任何函數合成仍為零函數) 我們會有以下結果.

Lemma . 假設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V → V 為一個 linear operator. 則 f (T ) = O 若且唯若 µ^T(x)| f (x).

當β 為 V 的 ordered basis, T 的 characteristic polynomialχ^T(x) 是由 T 的 representative matrix [T ]_β 的 characteristic polynomial χ[T ]_β(x) 定義而得. 不過 T 的 minimal polynomial µT(x) 並不是由µ[T ]_β 定義得到, 所以我們要探討它們是否相同.

Proposition . 設 V 為一個 finite dimensional F-space, β 為 V 的一個 ordered basis 且 T : V → V 為 linear operator. 則

µT(x) =µ[T ]_β(x).

最後我們來探討 minimal polynomial 和 characteristic polynomial 之間的關係.

Theorem .

(1) 假設 A∈ Mn(F), 則 µA(x)|χA(x). 而且若 p(x)∈ F[x] 是一個 irreducible polynomial, 則 p(x)|χA(x) 若且唯若 p(x)|µA(x).

(2) 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator over F, 則 µ^T(x)|χ^T(x). 而且若 p(x)∈ F[x] 是一個 irreducible polynomial, 則 p(x) |χ^{T(x) 若} 且唯若 p(x)|µT(x).

利用以上的 Theorem, 我們馬上有以下的結果.

Corollary . 若 A∈ Mn(F) 且 χA(x) = p^c₁¹(x)··· p^c_k^k(x) 其中 c_i∈ N, pi(x)∈ F[x] 為 monic irreducible polynomial 且 p_i(x)̸= pj(x) for i̸= j, 則µA(x) = p^m₁¹(x)··· p^m_k^k(x) 其中 1≤ mi≤ ci. 當然了對於 linear operator 也會有同樣的結果, 我們就不再贅述了. 這裡最重要的便是 要知道, 以後我們找一個方陣或一個 linear operator 的 minimal polynomial 的方法便是先 找到它的 characteristic polynomial, 然後再利用上一個 Theorem 從最小次數的情形一個一 個代入, 直到得到零矩陣或零函數時, 便是其 minimal polynomial 了.

Example . 考慮 linear operator T : P₂(R) → P2(R) 滿足

T (1) = 2x²− 1,T(x + 1) = 3x²+ 2x + 2, T (−x²+ x + 1) = 4x²+ 2x + 2.

我們想找出 T 的 minimal polynomial µT(x).

首先考慮 P₂(R) 的 ordered basis β ^{= (}−x²+ x + 1, x + 1, 1). 因

T (−x²+ x + 1) = (−4)(−x²+ x + 1) + 6(x + 1) T (x + 1) = (−3)(−x²+ x + 1) + 5(x + 1)

T (1) = (−2)(−x²+ x + 1) + 2(x + 1) + (−1)1 得 [T ]_β =



 −4 −3 −2

6 5 2

0 0 −1



. 計算得 χT(x) =χ[T ]_β(x) = (x + 1)²(x− 2). 又

([T ]_β+ I₃)· ([T]_β− 2I3) =



 −3 −3 −2

6 6 2

0 0 0



 ·



 −6 −3 −2

6 3 2

0 0 −3



 =



 0 0 6 0 0 −6 0 0 0



,

知 µT(x) =µ[T ]_β(x)̸= (x + 1)(x − 2), 而得 µT(x) =µ[T ]_β(x) = (x + 1)²(x− 2). 事實上

([T ]_β+ I₃)²· ([T]_β− 2I3) =



 −3 −3 −2

6 6 2

0 0 0



 ·



 0 0 6 0 0 −6 0 0 0



 = O.

4. Primary Decomposition

當 U,W 皆為 V 的 subspace 且 U∩W = {OV} 時, 我們會將 U +W 用 U ⊕W 來表示. 要注 意此時 U⊕W 指的是 V 的 subspace U +W. 我們用 U ⊕W 這個符號來強調 U ∩W = {OV} 並稱之為 U,W 的 internal direct sum.

當 V 為 finite dimensional vector space, 且 U 是 V 的 subspace. 我們可以找到另一個 V 的 subspace W 使得 V = U⊕W. 事實上任取 U 的一組 basis S = {u1, . . . , u_m}, 我們知可以 將 S 擴大成 V 的一組 basis {u1, . . . , u_m, w₁, . . . , w_n}. 此時若令 W = Span({w1, . . . , w_n}), 由 於{u1, . . . , u_m, w₁, . . . , w_n} 為 linearly independent, 我們知 U ∩W = {OV}. 所以可得 U ⊕W 這一個 U,W 的 internal direct sum. 又因為 V = Span({u1, . . . , u_m, w₁, . . . , w_n}), 我們得 U⊕W = V. 由於將一組 linearly independent 元素擴展成 basis 的方法並不唯一, 從這裡我 們也了解到給定 V 的一個 subspace U, 可將 V 寫成 U⊕W 的 W 並不唯一.

將 V 寫成 internal direct sum V = U⊕W 的一個好處就是若 v ∈ V, 則存在唯一的 u ∈ U 以及 w∈ W 使得 v = u+w. 我們將 V 寫成兩個 subspaces 的 internal direct sum 的性質列 舉如下.

Proposition . 假設 U,W 為 V 的 subspaces. 下列是等價的 (1) V = U⊕W.

(2) 若 v∈ V, 則存在唯一的 u ∈ U,w ∈ W 使得 v = u + w.

(3) 對任意 U,W 的 basis S₁, S₂, 我們有 S₁∩ S2= /0 且 S₁∪ S2 為 V 的一組 basis.

我們可以把兩個 subspaces 的 internal direct sum 推廣到更多 subspaces 的 internal direct sum. 我們有以下之定義.

Definition . 假設 V₁, . . . ,V_k 為 V 的 subspaces, 且 Vi∩ (

∑

j̸=i

Vj) ={OV}, ∀i = 1,...,k

則 V 的 subspace V₁+··· +Vk 稱為 V₁, . . . ,V_k 的 internal direct sum, 用 V₁⊕ ··· ⊕Vk 表示.

再次強調, 對於 V 的 subspaces V₁, . . . ,V_k, 我們都有 V₁+···+Vk 這一個 subspace. 若我們 寫成 V₁⊕ ··· ⊕Vk⊆ V 或強調為 internal direct sum, 便是說 V1, . . . ,V_k 滿足 V_i∩ (∑j̸=iV_j) = {OV}, ∀i = 1,...,k 這些條件. 另外, 以後我們要談的 decomposition theorem, 都是將一個 vector space 拆解成一些 subspaces 的 internal direct sum, 因為我們不會去談所謂 external direct sum, 所以我們就不再強調為 internal direct sum, 直接稱為 direct sum..

將 vector space 寫成多個 subspaces 的 direct sum, 和寫成兩個 subspaces 的 direct sum 有同樣的性質. 由於證明和前一個 Proposition 相同, 我們就不再證明了.

Proposition . 假設 V₁, . . . ,V_k 為 V 的 subspace. 下列是等價的 (1) V = V₁⊕ ··· ⊕Vk.

(2) 若 v∈ V, 則對於所有 i = 1,...,k 皆存在唯一的 vi∈ Vi 使得 v = v₁+··· + vk. (3) 對任意 V_i 的 basis S_i, 我們有 S₁∩ ··· ∩ Sk= /0 且 S₁∪ ··· ∪ Sk 為 V 的一組 basis.

讓我們回到 linear operator. 若 T : V → V 為 linear operator, 我們希望將 V 寫成一些 subspaces 的 direct sum, 使這些 subspaces 的 ordered basis 所組成 V 的 ordered basis 讓 T 的 representative matrix 有比較好的形式. 要達到這個目的, 我們希望 T 限制在這些 subspaces 上是不會跑掉的 (即希望它們仍為 linear operator), 所以我們有以下的定義.

Definition . 假設 T : V → V 是一個 linear operator. 若 W 為 V 的 subspace 且滿足 T (W )⊆ W (即對所有 w ∈ W 皆有 T(w) ∈ W), 則稱 W 為 T-invariant.

很容易判斷 Im(T ) 和 Ker(T ) 皆為 T -invariant. 我們可以利用 f (x)∈ F[x] 得到更多 T -invariant subspaces.

Lemma . 假設 V 為 F-space, T : V → V 為 linear operator 且 f (x) ∈ F[x]. 則 Im( f (T)) 和 Ker( f (T )) 皆為 T -invariant subspaces.

Proof. 假設 w∈ Im( f (T)), 即存在 v ∈ V 使得 w = f (T)(v). 由 T ◦ f (T) = f (T) ◦ T, 因此 T (w) = T ( f (T )(v)) = (T◦ f (T))(v) = ( f (T) ◦ T)(v) = f (T)(T(v)) ∈ Im( f (T)), 得證 Im( f (T )) 為 T -invariant.

假設 v∈ Ker( f (T)), 亦即 f (T)(v) = OV. 此時 f (T )(T (v)) = T ( f (T )(v)) = T (O_V) = O_V, 亦即 T (v)∈ Ker( f (T)), 得證 Ker( f (T)) 為 T-invariant.  給定一個 linear operator T : V → V, 考慮 V 的一個 subspace W, 我們可以將 T 的定 義域限制在 W 上, 即考慮 T|W : W → V, 定義為 T|W(w) = T (w),∀w ∈ W. 這是一個從 W 到 V 的 linear transformation, 我們稱為 the restriction on W . 當 W 為 T -invariant 時, 因 T (w)∈ W, ∀w ∈ W, 我們有 T|W : W → W, 為一個 W 上的 linear operator. 我們自然可

以探討 T|W 和 T 的 minimal polynomial 之間的關係. 首先對於 f (x)∈ F[x], 因 W 亦為 f (T )-invariant, 我們有興趣知道 f (T )|W 和 f (T|W) 這兩個 W 的 linear operator 之間的關 係. 現對所有 w∈ W, 因

T^◦2|W(w) = T^◦2(w) = T (T (w)) = T|W(T|W(w)) = T|W◦2(w),

我們知 T^◦2|W 和 T|W◦2 為 W 上相同的 linear operator. 利用數學歸納法可得 T^◦i|W = T|W◦i,∀i ∈ N. 現若 f (x) = adx^d+··· + a1x + a₀∈ F[x], 則對於任意 w ∈ W, 皆有

f (T )|W(w) = f (T )(w) = a_dT^◦d|W(w) +··· + a1T|W(w) + a₀id|W(w)

= a_dT|W◦d(w) +··· + a1T|W(w) + a₀id|W(w) = f (T|W)(w).

也就是說 f (T )|W 和 f (T|W) 是 W 上相同的 linear operator, 因此知 f (T )|W = f (T|W).

利用此結果, 我們有以下之 Lemma.

Lemma . 假設 T : V→ V 為 linear operator, W 為 T-invariant subspace, 則 T 的 restriction on W , T|W : W → W 為 W 上的 linear operator, 且其 minimal polynomial µT|W(x) 滿足

µT|W(x)|µT(x).

假 設 V 可 以 寫 成 兩 個 T -invariant subspace U,W 的 (internal) direct sum V = U⊕ W , 分 別 選 取 U,W 的 一 個 ordered basis β^{1 = (u1}, . . . , u_l),β^{2 = (w1}, . . . , w_m), 則 知 β ⁼ (u₁, . . . , u_l, w₁, . . . , w_m) 亦為 V 的 ordered basis. 此時由於 T (u_i) = T|U(u_i)∈ U, 我們知 [T ]_β 的前面 l 個 columns, 每個 column 的前 l 個 entry 都和 [T|U]_β1 相同, 而且後面 m 個 entry 皆為 0. 同樣的, 由於 T (w_j) = T|W(w_j)∈ W, 我們知 [T]_β 的後面 m 個 columns, 每個 column 的前 l 個 entry 都是 0 而後面 m 個 entry 皆和 [T|W]_β2 相同. 也就是說 T 對於 β 的 representative matrix 為

[T ]_β =

( [T|U]_β1 O O [T|W]_β2

)

利用這個結果我們就可以得到 characteristic polynomial 的關係了.

Lemma . 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V→V 為 linear operator. 若 V =U ⊕W, 其中 U,W 為 T -invariant subspace, 則

χT(x) =χT|U(x)χT|W(x).

至於 minimal polynomial, 我們可以得到以下的關係.

Lemma . 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V→V 為 linear operator. 若 V =U ⊕W, 其中 U,W 為 T -invariant subspace, 則

µT(x) = lcm(µT|U(x),µT|W(x)).

現在我們來說明如何將 V 寫成 T -invariant subspaces 的 direct sum.

Theorem . 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator 且 µT(x) = f (x)g(x), 其 中 f (x), g(x)∈ F[x] 為 monic polynomials 且 relatively prime. 若 令 U = Ker( f (T )), W = Ker(g(T )), 則 V 可以寫成 T -invariant subspaces U,W 的 internal direct sum, 即 V = U⊕W, 而且 µT|U(x) = f (x) 以及 µT|W(x) = g(x).

上個定理告訴我們可以利用找 kernel 得到 T -invariant subspace. 回顧一下, 對於 linear operator T : V → V, 要找到 Ker(T), 我們可以利用 V 的 ordered basisβ, 先得到 representa- tive matrix [T ]_β. 再求 [T ]_β 的 null space N([T ]_β) (我們用 N(A) 表示矩陣 A 的 null space).

接著將 null space 的元素用 τ_β^◦−1 還原成 V 的元素, 就得到 Ker(T ) 的元素了.

F[x] 是一個 unique factorization domain (U.F.D.), 表示 F[x] 中的非常數多項式都可 以唯一寫成一些 irreducible polynomials 的乘積. 因此對於 linear operator T 的 mini- mal polynomial, 我們可以找到相異的 monic irreducible polynomials p₁(x), . . . , p_k(x) 使得 µT(x) = p₁(x)^m1··· pk(x)^mk, 其中 m₁, . . . , m_k ∈ N. 由於 characteristic polynomial χT(x) 和 µ^T(x) 有相同的質因式且 µ^T(x)|χ^{T(x), 我們知道} χ^{T(x) = p}1(x)^c1··· pk(x)^ck, 其中 c_i∈ N 且 c_i≥ mi.

Theorem (Primary Decomposition Theorem). 假設 V 是 dimension 為 n 的 F-space, T : V → V 為 linear operator 且

µT(x) = p₁(x)^m1··· pk(x)^mk and χT(x) = p₁(x)^c1··· pk(x)^ck

其 中 c_i, m_i ∈ N 且 p1(x), . . . , p_k(x) 為 相 異 的 monic irreducible polynomials. 若 令 V_i = Ker(pi(T )^◦mi), for i = 1, . . . , k, 則

V = V₁⊕ ··· ⊕Vk

且

µT|_Vi(x) = p_i(x)^mi and χT|_Vi(x) = p_i(x)^ci,∀i = 1,...,k.

Primary Decomposition Theorem 告訴我們, 若 linear operator T : V → V 的 characteristic polynomial (或 minimal polynomial) 是 p₁(x)^c1··· pk(x)^ck, 則我們可以找到 V 的 ordered basis β^{, 使得 [T ]}_β 為以下的 block diagonal matrix





A

O O ^A



,

其中每個 A_i 的 characteristic polynomial 為 χAi(x) = p_i(x)^ci. 因此以後我們只要個別探討 linear operator 其 characteristic polynomial 為 p(x)^c (其中 p(x) 為 monic irreducible, c∈ N) 這種情形就可以了.

對於 n×n 方陣 A ∈ Mn(F), 我們也可以利用 linear operator 的 primary decomposition 的 概念找到 invertible matrix P∈ Mn(F) 使得 P⁻¹· A · P 為 block diagonal matrix. 我們可以 將 A 看成是 linear transformation T : Fⁿ→ Fⁿ 其定義為 T (x) = Ax. 此時 A 便是 T 對於標