109 下高一數(ch4 排列組合與機率) 第 1 頁 翰林版 CJT
Ch 4.3 組合 (combination) 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：完全相異物之組合(combination)
1.意義：將物件選出來而不用排列不用排列不用排列，此種選取物件(不必考慮順序)稱為組合不用排列 組合組合，所有組合的總數稱為組合數組合 組合數組合數 組合數 2.完全相異物之組合數表示法：
用Ckn(讀作讀作讀作 C，讀作 ，，，n 取取取取 k)，，，，表示從 n 個不不不不同的物同的物同的物同的物件件件中取出 k 個物件 物物物件件件的組合數(0 ≤ k ≤ n)， 件
則C ＝kn
! k Pkn
＝ !
! ) (
! k
k n
n
− ＝
! ) (
!
! k n k
n
− 3.組合數C 的性質： kn
(1)C0n＝1，C ＝1 nn
(2)當 0≤ ≤k n時，C ＝kn Cnn−k。即從 n 個之中挑 k 個的方法數，相當於挑 n－k 個不要的方法數
或解釋為「從n個人中選出 k 人為一組時，必也相對的留下 n－k 人為一組，兩者的選法數是一樣的」
(3)從 n 個不同的事物中取出 k 個的排列數排列數排列數排列數P 是組合數nk 組合數組合數組合數C 的 !kn k 倍，即Ckn×k !＝Pkn 例 1.1：(1)在 a，b，c，d 之中挑出三個物品來排列，則有多少種方法？
(2)在 a，b，c，d 之中挑出三個物品出來不用排列(稱為組合)，則有多少種方法？
例 1.2：試計算下列的組合數：
(1)C 102 (2)C108 (3)C1010 (4)C100
例 1.3：設Cr43+1＝C2 r43，試求 r 之值
重點 2：組合數的應用
意義：實際生活中或應用上，排列與組合經常交錯在一起，是分不開的。窮舉、樹狀圖以及利用基本原理的思考方式 可利用加法、乘法、排容(取捨)原理等計算其方法數，才是排列組合的根本
註：分堆問題，有相同個數的分堆時，方法數＝分給人的方法數 等堆數階乘
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例 2.1：某地舉行議員選舉，甲、乙、丙、丁、戊 5 人要選出 3 人。試問：
(1)當選人的組合有幾種可能？並寫出所有可能的組合 (2)落選人的組合有幾種可能？並寫出所有可能的組合
例 2.2：(1)平面上有 5 條相異直線，最多會有多少個交點？試畫畫看！
(2)如圖，有三組平行線，A 組 4 條，B 組 3 條，C 組 3 條，
則這 10 條直線可決定多少個三角形？
例 2.3：將 x，x，x，x，x，x，x，y，y，y 排成一列有多少種方法？
例 2.4：某籃球隊共 10 名選手，每場比賽都要挑選其中的 5 名擔任先發球員。但是先發陣容中唯一的控球後衛只有甲或 乙可勝任，而且這兩人不能同時上場。試問共有多少種先發陣容？
例 2.5：將 6 件不同的物品分成 3 組，試求下列的分法：
(1)一組 3 件，一組 2 件，另一組 1 件 (2)每一組各 2 件
(3)一組 4 件，另兩組各 1 件
A B
C
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重點 3：二項式定理與乘法公式 1.二項式定理：對於正整數 n，則：
y n
x )
( + ＝C0nxny0＋C1nxn−1y1＋C2nxn−2y2＋…＋Cknxn−kyk＋…＋C1nx1yn−1＋Cnnx0yn＝
∑
= n − k
k k n n
kx y
C
0
(依 x 降冪排列)
＝C0nx0yn＋C1nx1yn−1＋C2nx2yn−2＋…＋Cknxkyn−k＋…＋C1nxn−1y1＋Cnnxny0＝
∑
= n − k
k n k n kx y C
0
(依 y 降冪排列) 註：(1)C 稱為二項式係數 kn
(2)二項式定理的 x，y 可以代換為其他變數或式子 2.完全平方 (x＋y)2＝x ＋2xy＋2 y 2
完全立方 (x＋y)3＝x ＋33 x2y＋3xy ＋2 y 3 3.二項式定理常見公式：
(1)C ＋0n C ＋1n C ＋…＋2n C ＝2nn n (2)C －0n C ＋1n C －…＋2n (−1)n C ＝0 nn
(3)C ＋0n C ＋…＝2n C ＋1n C3n＋…＝2n−1
例 3.1：(1)說明(x＋y)3展開後的 xy2項係數為什麼是 3？
(2)說明(x＋y)3展開後的 x3項係數為什麼是 1？
(3)說明(x＋y)3展開後為什麼沒有 x2y3這一項？
例 3.2：試利用二項式定理展開下列各式：(1) (x＋y)4 (2) (x－y)4
例 3.3：試求(a+2b)4的展開式
Ex3.3：試求(1+x)5的展開式
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重點 4：巴斯卡三角形(或楊輝三角形)
1.意義：二項式定理展開(x+y)n，n＝0，1，2，3，…，並將係數排列成如下三角形：
2.巴斯卡定理：當1≤ ≤ −k n 1時，C ＝kn Ckn−1＋Ckn−−11
註：設甲為這 n 個人中的其中一人，則自此 n 個人中選出 k 人為一組時，可以分成下列兩種情形：
(1)「甲被選中」：則須由剩下的 n－1 人中選出 k－1 人與甲合成一組，選法有Ckn−−11種 (2)「甲未被選中」：則須由甲以外的 n－1 人中選出 k 人，選法有Ckn−1種
⇒組合數C ＝kn Ckn−1＋Ckn−−11 3.巴斯卡定理性質：
(1)C ＋0n C ＋1n C ＋…＋2n C ＝2nn n (2)C －0n C ＋1n C －…＋2n (−1)n C ＝0 nn
例 4.1：下圖為巴斯卡三角形的一部分，請在空格□中填入適當的數字
例 4.2：試求C ＋33 C ＋34 C ＋35 C ＋36 C 的值 37
n
C ＝k Ckn−−11＋Ckn−1
