行政院國家科學委員會補助
大專學生參與專題研究計畫研究成果報告
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
計畫
＊＊
：一個知識管理現象的數學證明
＊＊
名稱
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
執行計畫學生：林柏佐
學生計畫編號：97-2815-C-003 -013 -M
研 究 期 間 ：97 年 7 月 1 日至 98 年 2 月底止，計 8 個月 指 導 教 授 ：陳界山
執 行 單 位：國立臺灣師範大學數學系(所)
中華民國 98 年 3 月 30 日
1. 研究動機與研究問題
現在各個大專院校都在積極爭取「邁向頂尖大學」5 年 500 億計畫，各個學校在第 一階段分配金額如下，台大 30 億、成大 17 億、清大 10 億、交大 8 億、陽明 5 億、
中央及中山各 6 億、中興 4 億、政大、台科大、長庚、元智各 3 億。從這樣的分配中，
我們可以看的出來教育部將重點學校分配大量的金額，而其他學校則是些微補助，那 是否這樣的補助方式對整體是最好的呢？有沒有數學根據能夠證明這件事？
現在我們考慮以下情形，如果有n所學校要分配 5 年 500 億，令x 代表每所學校成i 功的 probability(類似 random variable 的概念). 2
1
( ) ,
n i i
x μ
=
Δ =
∑
− 這裡1 , 0 1,
n i i
i
x n x
μ =
∑
= < < Δ就很類似 variation 的概念，也就是說其離散的程度。
Define
1
1 (1 )
n i i
H x
=
= −
∏
− 代表的意思就是，會成功的 probability(及1− 皆失敗的 probability).本計劃就是要來探討 H 與Δ 的關係，進而判斷教育部的暨定政策是不是符合數學
證明的結果。
2. 研究方法及步驟
本來想要證明∂H >0
∂Δ (即 increasing), 也就是說當Δ 越大(離散程度越大)，H 也越大 (即成功的 probability 越大)，採用 analysis 的手法，利用 concave analysis, 但在過程中
碰到了很大的阻礙，因為其Δ 並非一般分析手法可以解決的，因此在嘗試利用數學證
明的方法行不通的情形下，改而去分析教育部的補助經費與其學校辦學績效，是否有 很好的關聯，由於有些學校評鑑很難判別，本想要去教育部找一些相關資料(或是各大 學自行公佈的資料)，但由於搜尋有困難，最後改採取從英國泰晤士報公佈的全世界大 學排名，來判別其是否這樣的補助是不錯可行的。因此我們預期補助越多，名次將會 越低，有明顯的改善。
底下我利用統計軟體 R, 利用 regression 的方法，來作 analysis.
X 代表各個學校的排名(rank)，下標代表該年度
Y 代表各個學校補助的金額，下標代表第一期或第二期，單位為億元新台幣 底下輸入的順序依序為
台灣大學、成功大學、清華大學、交通大學、中央大學、中山大學、陽明大學、中興 大學、台灣科技大學、政治大學(只考慮公立學校，原因為一是兩次都有補助，二是大 部份可以查到世界排名)
底下將不再重複贅述。
如有需要說明，將會在後面加#加註說明
> x2005<-c(114,335,206,427,488,481,257,501,266,396)
> y1<-c(30,17,10,8,6,6,5,4,3,3)
> fm2005=lm(y1~x2005) #y1 對 x2005 做 regression
> summary(fm2005) Call:
lm(formula = y1 ~ x2005) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -9.383 -4.624 1.388 2.261 11.651 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 22.82267 6.47852 3.523 0.00781 **
x2005 -0.03925 0.01754 -2.237 0.05564 . ---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 7.002 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.3849, Adjusted R-squared: 0.308 F-statistic: 5.006 on 1 and 8 DF, p-value: 0.05564
因為 slope p− value=0.05564 並非有很顯著的 linear relation
> plot(x2005,y1,main="2005")
> abline(coef(fm2005))
> x2006<-c(108,386,343,441,497,505,392,536,454,511)
> fm2006=lm(y1~x2006) #y1 對 x2006 做 regression
> summary(fm2006) Call:
lm(formula = y1 ~ x2006) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-5.7400 -2.9160 0.9469 2.0122 5.8948 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 34.600160 4.331329 7.988 4.41e-05 ***
x2006 -0.060868 0.009981 -6.098 0.00029 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 3.756 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.823, Adjusted R-squared: 0.8008 F-statistic: 37.19 on 1 and 8 DF, p-value: 0.0002901
因為 slope p− value=0.0002901 有很顯著的 linear relation
> plot(x2006,y1,main="2006")
> abline(coef(fm2006))
> x2007<-c(102,336,334,450,398,450,450,450,450,450)
> fm2007=lm(y1~x2007) #y1 對 x2007 做 regression
> summary(fm2007) Call:
lm(formula = y1 ~ x2007) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -3.0606 -1.6110 -0.2853 1.1390 4.0851
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 37.389364 3.043316 12.286 1.79e-06 ***
x2007 -0.072841 0.007589 -9.599 1.15e-05 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 2.523 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9201, Adjusted R-squared: 0.9101 F-statistic: 92.13 on 1 and 8 DF, p-value: 1.152e-05
因為 slope p− value≒0, 有很顯著的 linear relation
> plot(x2007,y1,main="2007")
> abline(coef(fm2007))
> y2<-c(30,17,12,9,7,6,5,4.5,2,2)
> x2008<-c(124,354,281,450,450,450,341,501,450,501)
> fm2008=lm(y2~x2008) #y2 對 x2008 做 regression
> summary(fm2008) Call:
lm(formula = y2 ~ x2008) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -7.5903 -2.8193 0.8669 3.0557 5.2394
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 34.35546 4.93870 6.956 0.000118 ***
x2008 -0.06383 0.01217 -5.246 0.000777 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 4.308 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7748, Adjusted R-squared: 0.7467 F-statistic: 27.53 on 1 and 8 DF, p-value: 0.0007772 因為 slope p− value=0.0007772 有很顯著的 linear relation
> plot(x2008,y2,main="2008")
> abline(coef(fm2008))
3. 結論
從 regression 的理論知道，教育部有越高的補助與世界大學的排名越前面高度的相 關，因此可以知道教育部這樣的補助政策看起來是有道理的，至少在排名這個要求 下，要集中在一些重點學校的政策是很合理的。
4. 建議與改進
首先當然是沒有一個很好的數學模型，或是理論性的證明去支持此建議，希望之 後能進一步去探討此問題。還有在 regression 中，我們需要去假設其為 normal
distribution, 並且每個 random variable 是 identical independent, 且必須是 equal variance;
但是 rank 這樣的 scale 比較接近是 ordinal 的資料，而且由於有些學校 rank 太過後面 並沒有排到，故我將 400~500 名皆設為 450 名，500 名以上皆設定為 501 名，但是事 實上其資迅並不齊全。改進的方式有三種，一種可能可以採用 EM(estimate-maximize) Algorithm, 把遺失的資料納近來考慮；再來就是可能用無母數的方法或許會更貼切，
會比 normal distribution 的假設來的貼切；最後一種可能就適用 generalized linear regression model, 是著去找 link function, 來解決資料型態不是 normal 的假設。
當然還有一個最大的問題，就是蒐集資料的困難，因為教育部與各個學校不願意 將此資料公佈給個人使用，使得我在蒐集資料上遇到不小的瓶頸，可是我覺得如果要 大家都能夠檢視到底 5 年 500 億是否達到成效，應該將其成果公佈給社會大眾知道。
在這次的過程中，讓我學習到很多，覺得自己必須要多充實 statistical method, 尤 其是在實務方面，可以學習例如像 Latent Class 等等，很多問題是真的去做了才知道 哪裡有問題，希望自己在這方面能夠多多學習。
