？？從著名不等式談數學歷史

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從著名不等式談數學歷史

陳宇航

香港中文大學教育學院

1. 引言

大概由人類懂得分辨數量的大小開始，不等式的概念已經誕生了。雖然我們自小學習的數學都以等式為主，但很久以前不等式已被應用來解決日常生活的問題。尤其在沒有微積分的時代，不等式都是計算最大和最小值的最佳工具（[5]），許多著名的不等式應運而生，後來理所當然地成為數學理論裡的研究對象。

或許因為不等式著重實用的緣故，也或許因為不等式本身只是一條數式那麼簡單，即使是著名的不等式也不會擁有很多專門的歷史記載。事實上，不等式的歷史滲透於整個數學歷史之中，這從難以找到一本專門介紹不等式的數學歷史書可見一斑。正因如此，本文特別選擇三個非常著名的不等式，在探討它們本身的歷史之餘，亦談談環繞它們所發生的事蹟，希望能夠勾劃出不等式在數學洪流中的風采。

本文介紹的三個不等式都甚具名氣，Jack Abad 和 Paul Abad（[16]）

於 1999 年在美國數學協會（Mathematical Association of America）的會議

？

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上，指出一百個歷史上最偉大的數學定理，它們都是榜上有名的。

2. 算術－幾何平均不等式（AM-GM inequality）

如果你曾修讀高中數學，或許對這個不等式會畢生難忘：

對於任何的正數 a₁ , a2 , … , an， ⁿ n

n a a a

n

a a

a  

2 1 2

1    

。當且 僅當 a₁ = a2 = … = an時，不等式的兩邊相等。

2.1 起源

算術－幾何平均不等式源遠流長，最早（[4]）出現於歐幾里德（Euclid, 325 B.C.  265 B.C.）的《幾何原本》（[6]），那裡說明了 n = 2 的情況，即

b ab a 

2 。

事實上，《幾何原本》沒有一個命題正式指出這個不等式，但是從其他命題可以看出當時的數學家不可能不知道這個事實。

卷 II 命題 5

這個命題指出，對於任意的邊長 a , b (a

 b)，可以作出圖一使長方形

ADHK 的面積 + 正方形 EGHL 的面積 = 正方形 BCEF 的面積，即

ab + [₂¹ (a + b)  b]² = [₂¹ (a + b)]²。

圖一

如果我們把正方形 EGHL 的面積省去，便得 ab  [¹₂ (a + b)]²。

A C D

B

K

L H

M

G F E

a b

b

)

2(

1 a



b

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卷 VI 命題 13

圖二

這個命題是指出對於長度分別為 a 和 b 的線段，如何把長度等於 a 和 b 的幾何中項 ab 的線段繪畫出來。利用卷 VI 其他的命題，歐幾里德證 明了在直徑 a + b 的半圓上，c 的長度便是 ab。

由於 c 是半圓內三角形的高，長度必定小於半徑 2

b a

，聰明的數學家們應該不會不知道幾何中項小於算術中項這個事實吧。

2.2 不同的證明方法

正如之前所說，微積分出現之前的時代對不等式的需求甚殷，算術－

幾何平均不等式很久以前已由 n = 2 被推廣成任意 n 個正數的情況，歷史上 曾出現多個有關的證明，黃毅英（[8]）亦寫過一篇收錄了 14 個證明的文章，

但是誰是第一個提出證明或者已經無法考究。以下介紹兩個由兩位著名數學家提出的證明。

反向歸納法（backward induction）

數學歸納法在莫洛克斯（Morlocks, 1494 – 1575）、帕斯卡（Pascal, 1623

 1662）

、伯努利（Bernoulli, 1654 – 1705）等多位數學家的推動下，於 18 世紀初開始成形（[19]）。柯西（Cauchy, 1789  1857）把它稍加變化，證明了算術－幾何平均不等式，這就是為後人所津津樂道的反向歸納法。名著

《怎樣解題》的作者波里亞（Pólya, 1887

 1985）在其另一本經典著作

《Inequalities》（[2]，頁 16  18）中亦使用了這個證明。

柯西的方法，就是先以常見的數學歸納法，來證明 n = 2^m （m 是自然 數）的情況，然後再證明如果命題對於 n = k 為真，則對於 n = k – 1 也為 真。結合兩組證明，便能證明在任意 n 個正數下的情況了。

a b

c

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厄多斯的證明

厄多斯（Endrös, 1913 – 1996）是近代其中一位最出色的數學家。年青時他有很多家人都被納粹黨殺害，自始居無定所，提著一個半空的行李箱，

周遊列國作巡迴演講，日常生活都是依靠在演講當地的數學家款待。他喜歡提出一些看似簡單但不容易解答的數學問題，有時甚至為徵求解答而標價，而數學家都為能夠解答他的問題而感到自豪（[9]）。

厄多斯的證明方法（[8]）是在不等式 e^x

 1 + x (x  1) 裡代入 x =

1

n r

A

a （A_n是所有 a_r的算術平均值），得 1 =

 



  ⁿ

r n

r A a

A e ⁿ a

r

1 1

1

=

n

n n

A G 



 



 。

跟以上相似的題目在香港的公開試也曾多次出現。其他的證明可參考 [8]。

2.3 應用面積和邊界

算術平均是有關加法的數值，幾何平均是有關乘法的數值，算術－幾何平均不等式便把面積和邊界結合起來討論。例如：對於周界長度固定的三角形，它的面積何時才是最大呢？

圖三

利用公元前 3 世紀已經流傳的海龍公式（Heron’s formula）：A = )

)(

(s a s b s c

s    （s 代表周界的一半，即 s =

2 c b a 

），如果周界 不變，那麼三角面積 A 的最大值將取決於 (s

 a)(s  b)(s  c) 的最大值，

而算術－幾何平均不等式說明，出現這個最大值需要 s  a = s  b = s  c，

即 a = b = c，由此知道答案是等邊三角形。類似的討論在微積分出現前是 十分普遍的（[5]）。

a

b

c

(5)

其他的不等式

運用算術－幾何平均不等式，可推導出有關調和平均值（Harmonic Mean）

n

an

a a

1 1

1

2 1

1



 的不等式：

n

an

a a

1 1

1

2

1  



ⁿ

an

a a

1 1

1

2 1

 

= n

an

a a₁ ₂

1

即得 ⁿ a₁a₂a_n



an

a a

n

1 1

1

2

1   。

再加以推廣，便得到一般平均值不等式（General Means Inequality）和在凸函數的研究上不可或缺的琴生不等式（Jensen’s Inequality）（[17]）。

3. 柯西不等式（Cauchy’s inequality）

柯西不等式共有三個版本，只有最初的版本由他自己提出，那是這樣的：

對於任何的實數 a1 , a2 , … , an 和 b1 , b2 , … , bn，



 







 







 





  



n

k k n

k

kb a b

a

1 2 1

2 2

1

。

3.1 起源

柯西（Cauchy, 1789 – 1857）自小已被發現擁有驚人的數學天份，可惜身體虛弱，而且不擅寫作，數學家拉格朗日（Lagrange, 1736 – 1813）便勸籲柯西的父母在 17 歲前不要讓他接觸數學。柯西自始用心學習文學基礎，

並成為歷史上舉足輕重的數學家（[10]，頁 269  292）。其中一項重要成就，

是利用

 -  符號和不等式為微分引入嚴格的定義，平息了第二次數學危

機。

柯西不等式首見（[1]）於柯西在 1821 的作品中，那看來與微積分理論裡的定義不大相似，或許那只是柯西用來輔助研究的工具也說不定。

柯西不等式又稱為拉格朗日不等式（Lagrange’s inequality）（[15]），可

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能是因為它可以由拉格朗日恆等式（Lagrange’s identity）

2

1



 







 n

k k kb

a =



   



 

 



 



 





n j i

i j j i n

k k n

k

k b ab a b

a

1

2 1

2 ( ) 導出的緣故吧。事實上，柯西年青時常

常拜讀拉格朗日和拉普拉斯（Laplace, 1749  1827）的著作。運用拉格朗日恆等式的證明方法是這樣的：



 

 



 



 



  



n

k k n

k

k b

a

1 2 1

2

1



 







 n

k k kb

a =



 n 

j i

i j j

ib a b

a

1 ,

)2

2 ( 1

=











n j i

i j j

ib a b

a

1

)2

(

 0

這個證明也在香港的純粹數學課程之內啊。

3.2 其他版本的柯西不等式

翻查柯西的數學成就，柯西不等式甚至微不足道，令這個不等式揚名立萬的，還有賴以下兩位數學家和兩個版本的柯西不等式。

柯西—許瓦爾茲不等式（Cauchy-Schwarz inequality）

許瓦爾茲（Schwarz, 1843

 1921）生於西里西亞，即現今波蘭一帶。

他最初只希望考獲化學學位，後來受有「分析學之父」之稱的外爾斯特拉斯（Weierstrass, 1815  1897）影響，轉而研究數學。最重要作品是他在 1884 年為外爾斯特拉斯的 70 歲大壽而做的紀念集，其中刊載了一個關於積分，

但以內積空間（inner product space）的概念來表示的不等式，即

| 1(x) , 2(x) |²  1(x) , 1(x) 2(x) , 2(x)。（[14]）

這是柯西不等式在積分方面的推廣，因而被稱為「柯西－許瓦爾茲不等式」（Cauchy-Schwarz inequality）。但是，時至今日，我們已不會把柯西不等式與柯西－許瓦爾茲不等式區別成兩個不同的不等式，「柯西－許瓦爾茲不等式」亦會用來稱呼那個原始版本的不等式（[7]，頁 76）。

柯西—賓亞高夫斯基—許瓦爾茲不等式

賓亞高夫斯基（Bunyakovsky, 1804  1889）生於俄羅斯，於 1825 年在柯西的指導下於巴黎取得博士學位，及後返回俄羅斯的聖彼德堡大學任教，致力把西方的數學理論帶到俄羅斯（[13]）。在 1859 年，他把原來的柯

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西不等式推廣為積分的形式：

    



_^ ^ ^ ^

   ^b

a b

a (x) (x)dx ₁(x) ²dx ₂(x) ²dx

2 2

1 。

事實上，賓亞高夫斯基與許瓦爾茲發現的不等式是相同的，只是表示方式不同而已。雖然賓亞高夫斯基比許瓦爾茲早 25 年發表了這個不等式，

但由於當時西方數學界較少留意俄羅斯的動向，以致賓亞高夫斯基的成就一度被忘懷了。後人為了紀念這位數學家的功勞，才把他的名字加入不等式的名字內（[3]，頁 71）。

3.3 應用和推廣

柯西不等式被推廣成很多不同的定理，較著名的有在 1889 出現的赫爾德不等式（Hölder’s Inequality）：

當 p q 1

1  = 1 並且 p , q > 1 時，

b q a p q b

a b p

a f x g x x f x x g x x

1 1

d ) ( d

) ( d

) ( )

( 









 



。（[3]，頁 67）

現在柯西不等式主要被應用於泛函分析、概率論和統計學中。

4. 三角不等式（Triangle inequality）

三角不等式有很多版本，在中學裡最常見的版本是：

對於任何的實數 a 和 b，| a | + | b |  | a + b |。

4.1 起源

顧名思義，三角不等式的最初版本是一個有關三角形的不等式：

三角形中任何兩條邊的長度之和，都比其餘一條邊的長度大。

《幾何原本》的卷 I 命題 20 也記載了這個定理，以下簡述裡面的證明：

不失一致性，我們可以假設要證明的是 AB + AC

 BC。如圖四，把

BA 延長至 D，使 AD = AC。留意

ACD 是一個等腰三個形，所以  = 。

由於

BCD =  + ACB > ，所以 BCD 的對邊比  的對邊長（卷 I 命

題 19 已證明這一點）。於是 BD > BC，即是說明了 AB + CA  BC。

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圖四

不過，當時的哲學組織伊壁鳩魯學派（Epicurean）認為，這個定理簡單得不用證明（[12]），指出即使是一頭驢子，也懂得依直線走向眼前的食物，不會繞道而行，並嘲笑只有傻瓜才需要透過證明來肯定。歐幾里德堅持把它證明了，你的看法又如何呢？

4.2 應用

隨著西方數學在中世紀後迅速發展，例如：外爾斯特拉斯在 1814 年引入絕對值的符號、向量空間在 19 世紀初的興起等，三角不等式出現了不同版本。在多個富有研究價值的抽象空間，例如歐幾里德空間（Euclidean space，即我們常見的



ⁿ 空間）、內積空間（inner product space）和 L^P空 間（P > 1），三角不等式均以定理的角色出現（[18]）。

在中學裡我們學到，凡是在



² 和



³ 的向量皆具有這個特性：

| u | + | v |  | u + v |。

如果 u、v 是



ⁿ 空間的向量，以上便是



ⁿ 的三角不等式。

本文之前介紹過的赫爾德不等式，可用來證明閔科夫斯基不等式

（Minkowski inequality），而閔科夫斯基不等式正可證明三角不等式在 L^P 空間（P > 1）是成立的。

三角不等式甚至被納入一些著名的抽象空間的定義之內（[18]），例如賦範向量空間（normed vector space）和在 1906 年才被正式命名，於拓撲學十分常見的量度空間（metric space）。

量度空間即是一個集合 M，當中的元素擁有一個函數 d : M  M  ，

A

B C

D





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並符合以下五個條件：

(i) d (x, y)  0 (ii) d (x, x) > 0

(iii) 如果 d (x, y) = 0，即代表 x = y。

(iv) d (x, y) = d (y, x)

(v) d (x , z)  d (x , y) + d (y , z)

第五個條件便是三角不等式了。在這個定義下，許多抽象空間如



ⁿ 和內積空間都是量度空間。

5. 總結

古往今來，不等式在數學中扮演十分重要的角色，藉著留意不等式的發展，我們可以看到不同時代的數學歷史。對於算術－幾何平均不等式，

我們見識過古希臘人的智慧，欣賞過數學大師柯西和厄多斯的風采，看到波利亞如何「識英雄重英雄」。在柯西不等式的介紹中，我們認識過柯西、

許瓦爾茲和賓亞高夫斯基的生平，感受過賓亞高夫斯基那種被人搶去功勞的遺憾。至於三角不等式，我們見證一個不等式的成長，由連驢子也通曉的道理，發展成在抽象空間裡討論的大智慧。補充一點，台灣的教育研究指出（[11]），在眾多數學式子的歷史中，柯西不等式的歷史是大學和高中學生最渴望知道的。

如果還要指出更多它們受到重視的原因，那相信就是數學美了。正如大部分的不等式，它們都是結構簡單和具有對稱性（意思是，把不等式的未知數交換位置，不等式仍然成立），本身已合乎一定的美學標準。最令人拍案叫絕的是，不等號的左右兩方是恰到好處的配搭，數值較大的一方只會僅大於另一方，而且容許左右相等的情況出現，奇妙之餘亦甚具實用價值，難怪足以躋身在歷史上最偉大的 100 個數學定理之中吧。

參考資料：書本及期刊

[1] Dragomir, S.S.(2003). A Survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Type Discrete Inequality, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, volume 4, issue 3, article 63.（可在 http://jipam.vu.edu.au/volumes.php 下載）

[2] Hardy, Littlewood, Polya(1959). Inequalities. Cambridge University Press.

(10)

[3] Kazarinoff, N.D. (1964). Analytic Inequalities. USA.

[4] Niculescu, C. P. (2000). A New Look at Newton’s Inequalities, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, volume 1, issue 2, article 17. （可在 http://jipam.vu.edu.au/volumes.php 下載）

[5] Nihin, P. J. (2004). Minimums, Maximums, Derivatives and Computers. When Least Is Best : How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible, Chapter 1. Princeton University Press. ( 可在 http://pup.princeton.edu/chapters/s7590.pdf 下載初版)

[6] 藍紀正、朱恩寬（譯）（1992）。《歐幾里德幾何原本》。九章出版社。

[7] E. 貝肯巴赫，R. 貝爾曼（著），文麗（譯）（1992）。《不等式入門》。凡異出版社。

[8] 黃毅英（1997）。從算術幾何平均不等式看數學解題中的一題多解。《邁向大眾數學

的數學教育》，頁 93  118。九章出版社。

[9] 蔡聰明（1997）。數學家 Paul Erdos。《數學傳播》，第 21 卷，第 4 期。

[10] 井竹君（等譯）（1998），E. T. Bell 著（1937）。古代學者的近代思想。《大數學家》

（Men of Mathematics），頁 17  34。台北：九章出版社。

[11] 謝佳叡（2000）。「從對數學式子的評價探數學教師的數學觀」－數學史知識需求面

相的另一種思考。《 HPM 通訊》，第三卷，第十期。（可瀏灠 http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm）

參考資料：網上資料

[12] Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, http://www.cut-the-knot.org/manifesto/need_it.shtml [13] MacTutor History of Mathematics,

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Bunyakovsky.html [14] MacTutor History of Mathematics,

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Schwarz.html [15] Math World, http://mathworld.wolfram.com/LagrangesInequality.html

[16] Nathan W. Kahl, Mathematics Department, Stevens Institute of Technology, http://personal.stevens.edu/~nkahl/Top100Theorems.html

[17] PlanetMath.Org, http://planetmath.org/encyclopedia/InequalityForRealNumbers.html [18] Wikipedia, the free encyclopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality [19] 數學網，http://www.edp.ust.hk/math/history/

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