Z Z Z B (x2 + y2+ z2)2dV = Z 2π 0 Z π 0 Z 5 0 ρ4ρ2sin φdρdφdθ = Z 2π 0 dθ Z 5 0 ρ6dρ Z π 0 sin φdφ = 2π · 57 7

15.8 7.

D : ρ = sin θ sin φ

考慮θ = 0, π。_{ρ = 0}表示 xz 平面與D沒有截出圖形 (除了原點)。

考慮θ = π/2。_{ρ = sin φ}表示 yz 平面在_D上截出一個直徑為₁的圓_, 此圓通過圓點_, 與 z 軸相切, 落 在_{y ≥ 0}的半平面上。

考慮_{θ = 3π/2}。ρ = − sin φ表示在_yz平面在_D上截出一個直徑為₁的圓_, 此圓與剛剛的圓完全重疊。

再考慮θ = π/4, ρ = ^√1

2sin φ或直接想像ρ = sin θ sin φ如何隨著_θ值變動_, 便可以看出圖形為一個 球。

18. R2π 0

Rπ π/2

R2

1 ρ²sin φdρdφdθ的圖形為一個挖掉核心部分的南半球。

21.

Z Z Z

B

(x² + y²+ z²)²dV = Z 2π

0

Z π 0

Z 5 0

ρ⁴ρ²sin φdρdφdθ

= Z 2π

0

dθ Z 5

0

ρ⁶dρ Z π

0

sin φdφ

= 2π · 5⁷

7 · (− cos π + cos 0)

= 4π · 5⁷ 7

24.

Z Z Z

E

e

√

x²+y²+z²dV =

Z π/2 0

Z π/2 0

Z 3 0

e^ρρ²sin φdρdφdθ

= π/2 · Z 3

0

e^ρρ²dρ Z π/2

0

sin φdφ

= π/2 · (ρ²e^ρ|³₀− Z 3

0

e^ρρdρ) · (− cos(π/2) + cos 0)

= π/2 · (9e³− ρe^ρ|³₀+ Z 3

0

e^ρdρ)

= π/2 · (9e³− 3e³+ e³− e⁰)

= π/2 · (7e³− 1)

32.

1

(a)

Z Z Z

H

px²+ y²+ z²dV = Z 2π

0

Z π/2 0

Z a 0

ρ³sin φdρdφdθ

= 2π · Z a

0

ρ³dρ · Z π/2

0

sin φdφ

= 2π ·a⁴ 4

(b) 因為對稱的關係_, 質心位於_{(0, 0, ¯z)}。

¯ z =

RRR

Hzpx²+ y² + z²dV RRR

Hpx²+ y²+ z²dV

= R2π

0

Rπ/2 0

Ra

0 ρ⁴cos φ sin φdρdφdθ 2π · ^a₄⁴

= Rπ/2

0 ρ⁴dρ ·Ra

0 cos φ sin φdφ

a⁴ 4

= a⁹ ·Rπ/2

0 sin φd sin φ 20

= a⁹ 40

所以質心位置為(0, 0,^a₄₀⁹)。 (c)

¯ z =

Z Z Z

H

x²+ y²p

x²+ y²+ z²dV

= Z 2π

0

Z π/2 0

Z a 0

ρ²sin φρ²sin φdρdφdθ

= π · a⁵/5 · Z a

0

1 − cos 2φdφ

= a⁵π²/10

43. 略。

2

44.

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

px²+ y²+ z²e^{−(x2+y2+z2)}dxdydz

= lim

r→∞

Z

Br

px²+ y²+ z²e^{−(x2+y2+z2)}dxdydz

= lim

r→∞

Z 2π 0

Z π 0

Z r 0

e^−ρ2ρ³sin φdρdφdθ

= lim

r→∞π · Z r

0

e^−ρ2ρ²dρ²· Z π

0

sin φdφ

= lim

r→∞2π · Z r

0

e^−ρ2ρ²dρ²

= lim

r→∞2π · (−ρ²e^−ρ2|^r₀+ Z r

0

e^−ρ2dρ²)

= lim

r→∞2π · (−r²e^−r2 − e^−r2 + e⁻⁰)

= lim

r→∞2π · 1 − (r²+ 1) e^r2

= 2π 45.

(a) Z 2π

0

Z a sin φ0

0

Z

√ a²−r² r cot φ0

rdzdrdθ = 2π

Z a sin φ0

0

(√

a²− r²− r cot φ0)rdr

= 2π

Z a sin φ0

0

r√

a²− r²− r²cot φ₀dr

= 2π · [−√

a²− r²³/3 − r³cot φ₀/3]^{a sin φ}₀ ⁰

= 2π/3 · (−

q

a²− a²sin²φ₀

3

− a³sin³φ₀cot φ₀ + a³)

= 2π/3 · (−a³cos³φ₀− a³sin²φ₀cos φ₀+ a³)

= 2a³π/3 · (1 − cos³φ0− sin²φ0cos φ0)

= 2a³π/3 · (1 − cos φ₀)

(b)

3

∆V = ρ³₂(θ₂− θ₁)(1 − cos φ₂)/3 − ρ³₂(θ₂− θ₁)(1 − cos φ₁)/3 − ρ³₁(θ₂− θ₁)(1 − cos φ₂)/3 +ρ³₁(θ₂− θ₁)(1 − cos φ₁)/3

= (θ₂− θ₁)/3 · (ρ³₂(1 − cos φ₂) − ρ³₂(1 − cos φ₁) − ρ³₁(1 − cos φ₂) + ρ³₁(1 − cos φ₁))

= (θ2− θ1)/3 · (−ρ³₂(cos φ2) + ρ³₂(cos φ1) + ρ³₁(cos φ2) − ρ³₁(cos φ1))

= (θ₂− θ₁)/3 · (ρ³₂(cos φ₁− cos φ₂) − ρ³₁(cos φ₁− cos φ₂))

= (θ₂− θ₁)(ρ³₂− ρ³₁)(cos φ₁− cos φ₂)/3

(c)

cos φ₂− cos φ₁ = cos⁰(ξ)(φ₂ − φ₁) = sin(ξ)(φ₂− φ₁) ≡ sin ˜φ∆φ ρ³₂− ρ³₁ = 3ρ²(ξ)∆ρ ≡ 3 ˜ρ²∆ρ

Therefore, ∆V = (θ₂− θ₁)(ρ³₂− ρ³₁)(cos φ₁− cos φ₂)/3 = ˜ρ²sin ˜φ∆ρ∆φ∆θ.

4