111 學年度 學士班申請入學筆試
2022年5月21日
姓名： 個人申請編號：
試題說明：
1. 本試卷共9頁、10大題，總分為 100 分。
2. 測驗時間為 150 分鐘。
3. 請在每一試題所屬頁面作答，若使用試題背面，請標示清楚。
4. 請完整寫出解答過程。
Page Points Score 1 10
2 10 3 15 4 15 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 Total: 100
1. 令函數
f (x) =√
x, g(x) = Z x
1
1 t dt.
(a) (3 points) 求 f (x) 的導函數。
(a)
(b) (3 points) 求 g(x) 的導函數。
(b)
(c) (4 points) 求導數 (g ◦ f )0(1).
(c)
2. (10 points) 求函數
y = f (x) = x 12
√36 − x2 的圖形與 x 軸在 0 ≤ x ≤ 6 所圍區域繞 x 軸的旋轉體體積。
(列出正確的積分形式得5分)
3. 令函數
f (x) = 4x x2+ 1.
(a) (5 points) 求 f (x) 的遞增、遞減區間，並藉此判斷其極值。
(b) (5 points) 求 f (x) 的反曲點，並判斷其凹向性。
(c) (5 points) 畫出 f(x) 的大略圖形。
4. 給定一個雙曲線 Γ :
p(x − 8)2+ (y + 2)2−p
x2+ (y + 2)2 = 6.
(a) (5 points) 求其中一個焦點座標。
(a)
(b) (5 points) 將 Γ 以原點為中心逆時針旋轉 30◦ 得雙曲線 Γ0. 求 Γ0 的其中一條漸近 線之方程式。
(b)
5. (5 points) 已知複數z與其共軛複數的和為6，且在複數平面上z與原點的距離為5，試 求複數z。
5.
6. (a) (5 points) 已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，偽陰率10% (即帶原者做檢驗 有10%的機會呈陰性反應，其他呈陽性反應)，而偽陽率也為10% (即未帶原者做 檢驗有10%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應)。 現推估有2%的民眾為此病毒 帶原者。若小明以此試劑檢驗結果呈陰性反應，試求其確實為非帶原的機率為 何？
(a)
(b) (5 points) 已知某家保險公司推出COVID-19的防疫保單，保險費是500元。對於 染上此疾病的民眾提供理賠保障。理賠金額分類如下。 假設推估染疫的機率
嚴重程度 輕 中 重
機率 99.75% 0.20% 0.05%
理賠金額 10000 20000 30000
是15%。若不計其他營運成本，試問保險公司可從每張保單獲利的期望值是多 少？
(b)
7. 已知兩平面 E1 : x − y − z = 3和 E2 : x + by + z = 1 所夾的銳角 為 60◦。假設b > 0。
(a) (5 points) 求 b 的值。
(a) (b) (5 points) 令點P 是平面E1上離原點(0, 0, 0)最近的點。求P 點座標。
(b)
8. 我們說平面上一點 (a, b) 是函數 f(x) 的對對對稱稱稱點點點如果
(a, b) 落在 f(x) 的函數圖形上
(a + h, b + k) 落在 f(x) 的函數圖形上則 (a − h, b − k) 也落在 f(x) 的函數圖形上 (a) (7 points) 找出多項式 x3+ 3x2+ x 的對稱點。
(a) (b) (3 points) 找出多項式 x5− 10x4+ x3+ 154x2− 38x − 20 的對稱點。
(b)
9. (10 points) 考慮像下圖一樣的數值三角形，在兩條邊上依序填入 0, 1, 2, . . .，而三角形 內部的數字跟巴斯卡三角形一樣，為上列相鄰兩數字的和。所以第一列所有數字總和 為 0，第二列所有數字總和為 2，第三列所有數字總和為 6。試證第 n 列所有數字總 和為 2n− 2。
10. (a) (5 points) 試證 √
6 為無理數。
(b) (5 points) 下圖說明如何在數線上用直尺和圓規標出 √
2：首先用直尺圓規做 出邊長為一的正方形，連接對角線，，以零為圓心對角線為半徑畫出的圓弧 即交數線於 √
2。請描述(佐以圖形尤佳)如何在數線上標出 √
6 (假定所有整數 . . . , 0, 1, 2, . . . 皆已標出)。
