底部加熱之密閉室內具電液動效應之熱傳分析及其最佳化電極排列研究

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科技部補助專題研究計畫報告

底部加熱之密閉室內具電液動效應之熱傳分析及其最佳化電極

排列研究

報告類別：成果報告計畫類別：個別型計畫計畫編號： MOST 108-2221-E-006-074-執行期間： 108年08月01日至109年12月31日執行單位：國立成功大學機械工程學系（所）計畫主持人：張錦裕計畫參與人員：碩士班研究生-兼任助理：王相為碩士班研究生-兼任助理：李其骏碩士班研究生-兼任助理：廖晟佑本研究具有政策應用參考價值：■否　□是，建議提供機關（勾選「是」者，請列舉建議可提供施政參考之業務主管機關）本研究具影響公共利益之重大發現：□否　□是　中　華　民　國　109　年　09　月　22　日

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中文摘要：本研究透過數值模擬研究電液動(EHD,Electrohydrodynamic)技術應用於自然對流的熱增強及最佳化分析。以二維紊流模型探討三種自然對流系統：側邊加熱之封閉矩形(case A)、底部加熱之封閉矩形 (case B)和底部加熱之無限長水平板(case C)，在不同施加電壓、溫差、電極高度及電極數(電極間距)下，電液動所產生的熱增強效果，並考慮焦耳熱效應對溫度場及熱傳增強的影響。在側邊加熱(case A)及底部加熱(case B)之封閉矩形中，增加施加電壓可以有效提升熱傳增益；當電極數(N=1-6)增加時，會造成流場中的渦流數增加和電極產生的焦耳熱效應增強；隨電極高度 (HEHD=10-40mm)改變，當電極高度位在右半部(上半部)會有最大紐賽數比。由於EHD為主動式熱增強方式，因而需考慮施加的功率 Power並定義單位功耗之淨熱傳增強量(QEHD-Q0)/Power作為衡量熱增強效率的標準。在特定的施加電壓V0 (12、13和14kV)及溫差T (20、25和30K)下，透過參數分析可以得到最佳(QEHD-Q0)/Power及其對應的電極數(N)和電極高度(HEHD)組合。在底部加熱之水平無限長平板(case C)中，增加施加電壓可以有效提升熱傳增益；隨電極間距或電極高度改變，紐賽數比存在最佳值。在熱增強的最佳化研究中，利用簡易共軛梯度法執行最佳化搜尋，並以(QEHD-Q0)/Power為目標函數，藉由電極高度(HEHD)和電極間距(SL)的變化，搜尋目標函數的最大值，其搜尋範圍分別為 10mm<HEHD<40mm和50mm<SL<90mm。研究結果顯示，在特定施加電壓 V0 (12、13和14kV)及溫差T (20、25和30K)下，可以得到最佳 (QEHD-Q0)/Power及其對應的電極高度(HEHD)和電極間距(SL)組合。中文關鍵詞：電液動技術、自然對流、熱增強、最佳化分析

英文摘要： The purpose of the research was to identify the heat transfer enhancement and optimization analysis of the natural convection with Electrohydrodynamic (EHD)

technique. There were three types of natural convection models : enclosure heated from side (case A), enclosure heated from below (case B) and infinite horizontal plates (case C). Two-dimensional turbulent models for the

prediction of heat transfer enhancement with different applied voltage, temperature difference, electrode height, number of electrodes and electrode pitch were investigated. Also, the numerical analysis added the Joule heating term to evaluate the effects of Joule heating on the heat transfer enhancement in natural convection.

In the case A and case B, heat transfer enhancement was increased as the applied voltage increased. The number of vortices in the flow field and the intensity of Joule heating increased with the increase in number of

electrodes. As the electrode height (HEHD) increased, the maximum Nusselt ratio (NuEHD/Nu0) occurred while the electrode was placed at the right (or top) half of the domains. EHD is an active heat transfer enhancement technique, so power consumption should be considered to

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satisfy the need for practicality. Therefore, the net heat transfer enhancement per unit power consumption (QEHD-Q0)/Power is defined as the evaluation standard for heat transfer enhancement. The optimal combination of electrode height (HEHD) and number (N) with specified applied voltage V0 (12, 13 and 14kV) and specified temperature difference T (20, 25 and 30K) were obtained through a parameter

analysis.

In the case C, heat transfer enhancement increased as the applied voltage increased. The Nusselt ratio had the

maximum value with variations in electrode pitch or height. Furthermore, the optimization of the electrode height and electrode pitch were investigated numerically along with an optimal strategy (SCGM, simplified conjugate gradient

method), and the net heat transfer enhancement per unit power consumption (QEHD-Q0)/Power was taken as the objective function to be maximized. A search for the optimum electrode height (HEHD) and electrode pitch (SL), ranging from 10mm < HEHD < 40mm and 50mm < SL < 90mm, respectively, with V0 (12, 13 and 14 kV) and T (20, 25 and 30 K), was performed. The result shows that the maximum objective function value and the optimal electrode arrangement are obtained.

英文關鍵詞： EHD, Natural convection, Heat transfer enhancement, Optimization analysis

(4)

I

摘要

本研究透過數值模擬研究電液動(EHD,Electrohydrodynamic)技術應用於自然對流的熱增強及最佳化分析。以二維紊流模型探討三種自然對流系統：側邊加熱之封閉矩形(case A)、底部加熱之封閉矩形(case B)和底部加熱之無限長水平板(case C)，在不同施加電壓、溫差、電極高度及電極數(電極間距)下，電液動所產生的熱增強效果，並考慮焦耳熱效應對溫度場及熱傳增強的影響。在側邊加熱(case A)及底部加熱(case B)之封閉矩形中，增加施加電壓可以有效提升熱傳增益；當電極數(N=1-6)增加時，會造成流場中的渦流數增加和電極產生的焦耳熱效應增強；隨電極高度(HEHD=10-40mm)改變，當電極高度位在右半部(上半部)會有最大紐賽數比。由於 EHD 為主動式熱增強方式，因而需考慮施加的功率 Power 並定義單位功耗之淨熱傳增強量(QEHD-Q0)/Power 作為衡量熱增強效率的標準。在特定的施加電壓 V0 (12、13 和 14kV)及溫差∆T (20、25 和 30K)下，透過參數分析可以得到最

佳(QEHD-Q0)/Power 及其對應的電極數(N)和電極高度(HEHD)組合。

在底部加熱之水平無限長平板(case C)中，增加施加電壓可以有效提升熱傳增益；隨電極間距或電極高度改變，紐賽數比存在最佳值。在熱增強的最佳化研究中，利用簡易共軛梯度法執行最佳化搜尋，並以(QEHD -Q0)/Power 為目標函數，藉由電極高度(HEHD)和電極間距(SL)的變化，搜尋目標函數的最大值，其搜尋範圍分別為 10mm<HEHD<40mm 和 50mm<SL<90mm。研究結果顯示，在特定施加電壓 V0 (12、13 和 14kV) 及溫差∆T (20、25 和 30K)下，可以得到最佳(QEHD-Q0)/Power 及其對應的電極高度(HEHD)和電極間距(SL)組合。關鍵字：電液動技術、自然對流、熱增強、最佳化分析

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II

Abstract

The purpose of the research was to identify the heat transfer enhancement and optimization analysis of the natural convection with Electrohydrodynamic (EHD) technique. There were three types of natural convection models : enclosure heated from side (case A), enclosure heated from below (case B) and infinite horizontal plates (case C). Two-dimensional turbulent models for the prediction of heat transfer enhancement with different applied voltage, temperature difference, electrode height, number of electrodes and electrode pitch were investigated. Also, the numerical analysis added the Joule heating term to evaluate the effects of Joule heating on the heat transfer enhancement in natural convection.

In the case A and case B, heat transfer enhancement was increased as the applied voltage increased. The number of vortices in the flow field and the intensity of Joule heating increased with the increase in number of electrodes. As the electrode height (HEHD) increased,

the maximum Nusselt ratio (NuEHD/Nu0) occurred while the electrode was placed at the right

(or top) half of the domains. EHD is an active heat transfer enhancement technique, so power consumption should be considered to satisfy the need for practicality. Therefore, the net heat transfer enhancement per unit power consumption (QEHD-Q0)/Power is defined as the

evaluation standard for heat transfer enhancement. The optimal combination of electrode height (HEHD) and number (N) with specified applied voltage V0 (12, 13 and 14kV) and

specified temperature difference ∆T (20, 25 and 30K) were obtained through a parameter analysis.

In the case C, heat transfer enhancement increased as the applied voltage increased. The Nusselt ratio had the maximum value with variations in electrode pitch or height. Furthermore, the optimization of the electrode height and electrode pitch were investigated numerically along with an optimal strategy (SCGM, simplified conjugate gradient method), and the net heat transfer enhancement per unit power consumption (QEHD-Q0)/Power was

taken as the objective function to be maximized. A search for the optimum electrode height (HEHD) and electrode pitch (SL), ranging from 10mm < HEHD < 40mm and 50mm < SL<

90mm, respectively, with V0 (12, 13 and 14 kV) and ∆T (20, 25 and 30 K), was performed.

The result shows that the maximum objective function value and the optimal electrode arrangement are obtained.

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III

目錄

摘要 ... I Abstract ... II 目錄 ... III 圖目錄 ... V 表目錄 ... X 符號說明 ... XI 緒論 ... 1 1.1 前言 ... 1 1.2 文獻回顧 ... 2 1.3 研究動機與目的 ... 7 第二章理論分析 ... 9 2.1 物理模型 ... 9 2.2 基本假設 ... 10 2.3 統御方程式 ... 11 2.4 紐賽數 Nu 及瑞利數 Ra 之計算 ... 14 2.5 單位功耗之淨熱傳增加量 ... 15 2.6 邊界條件 ... 16 第三章最佳化理論與數值分析 ... 24 3.1 最佳化理論 ... 24 3.1.1 共軛梯度法 ... 24 3.1.2 簡易共軛梯度法 ... 26 3.1.3 最佳化執行流程 ... 26 3.1.4 目標函數定義 ... 28

(7)

IV

3.2 數值方法 ... 28

3.2.1 通用守恆方程式(Generic Conservation Equation) ... 29

3.2.2 有限體積法(Finite Volume Method,FVM) ... 29

3.2.3SIMPLEC 演算法 ... 32 3.2.4 電場統御方程式之離散 ... 34 3.2.5 邊界條件之離散 ... 35 3.3 格點測試 ... 36 3.4 電極處電荷密度 ... 37 第四章結果與討論 ... 52 4.1 電荷密度分布 ... 52 4.2 焦耳熱對熱傳增益的影響 ... 52 4.3 電液動技術於封閉矩形空間之熱傳增強分析 ... 53 4.3.1 側邊加熱之封閉矩形空間(Case A) ... 54 4.3.2 底部加熱之封閉矩形空間(Case B) ... 58 4.4 電液動技術於無限長水平板之熱傳增強最佳化分析 ... 103 第五章結論 ... 116 5.1 電液動技術應用於側邊及底部加熱之封閉矩形 ... 116 5.2 電液動技術應用於底部加熱之無限長水平板 ... 118 參考文獻 ... 120

(8)

V

圖目錄

圖2-1 側邊加熱之封閉矩形空間物理模型與邊界條件(Case A) ... 21 圖2-2 底部加熱之封閉矩形空間物理模型與邊界條件(Case B) ... 22 圖2-3 底部加熱之無限長水平板物理模型與邊界條件(Case C) ... 23 圖3-1 研究介面架構圖... 41 圖3-2 共軛梯度法之搜尋路徑 ... 42 圖3-3 簡易共軛梯度法搜尋流程圖 ... 43 圖3-4 解題流程圖 ... 44 圖3-5 控制體積格點示意圖 ... 45 圖3-6 二維格點座標系統示意圖 ... 46 圖3-7 邊界控制體積示意圖 ... 47 圖3-8 側邊加熱之封閉矩形格點示意圖(N=6)... 48 圖3-9 底部加熱之封閉矩形格點示意圖(N=6)... 49 圖3-10 底部加熱之無限長水平板格點示意圖(SL=90mm) ... 50 圖3-11 電荷密度疊代流程圖 ... 51 圖4-1 電極處電荷密度與電極高度之變化圖 ... 63

圖4-2 不同電極高度下熱傳增益(NuEHD/Nu0)與瑞利數(Ra)之變化圖 ... 64

圖4-3 不同施加電壓下熱傳增益(NuEHD/Nu0)與瑞利數(Ra)之變化圖 ... 64

圖 4-4 不同電極高度下焦耳熱效應對溫度分布的影響(Case A、N=4、 V0=12kV、ΔT=20K) ... 65 圖 4-5 不同電極高度下焦耳熱效應對溫度分布的影響(Case A、N=4、 V0=12kV、ΔT=25K) ... 66 圖 4-6 不同電極高度下焦耳熱效應對溫度分布的影響(Case A、N=4、 V0=12kV、ΔT=30K) ... 67

(9)

VI

圖4-7 不同電極數量下之電壓分布(Case A、Vo=12kV、HEHD=25mm) ... 68

圖4-8 不同電極數量下之電荷密度分布(Case A、Vo=12kV、HEHD=25mm) ... 69

圖 4-9 不同電極數量下之電場 Ex 分布(Case A、Vo=12kV、HEHD=25mm) ... 70

圖4-10 不同電極數量下之電場 Ey分布(Case A、Vo=12kV、HEHD=25mm) ... 71

圖4-11 不同電極數量下之流線函數

Ψ

(Case A、Vo=12kV、HEHD=25mm、 ΔT=20K) ... 72

圖 4-12 不同電極數量下之溫度分布(Case A、Vo=12kV、HEHD=25mm、 ΔT=20K) ... 73 圖4-13 不同電極高度下之電壓分布(Case A、Vo=12kV、N=4) ... 74 圖4-14 不同電極高度下之電荷密度分布(Case A、Vo=12kV、N=4) ... 75 圖4-15 不同電極高度下之電場 Ex分布(Case A、Vo=12kV、N=4) ... 76 圖4-16 不同電極高度下之電場 Ey分布(Case A、Vo=12kV、N=4) ... 77 圖 4-17 不同電極高度下之流線函數

Ψ

(m2_{/s) (Case A、V} o=12kV、N=4、 ΔT=20K) ... 78 圖4-18 不同電極高度下之溫度分布(Case A、Vo=12kV、N=4、ΔT=20K) ... 79

圖 4-19 不同施加電壓下的流線函數

Ψ

(Case A、N=3、HEHD=20mm、 ΔT=20K) ... 80

圖4-20 熱傳增益與電壓之變化圖(Case A、HEHD=30mm、ΔT=25K) ... 81

圖4-21 熱傳增益與電極數量之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K) .. 81

圖4-22 熱傳增益與溫差之變化圖(Case A、V0=12kV、N=1) ... 82

(10)

VII 圖4-24 熱傳增益與溫差之變化圖(Case A、V0=12kV、N=3) ... 83 圖4-25 熱傳增益與溫差之變化圖(Case A、V0=12kV、N=4) ... 83 圖4-26 熱傳增益與溫差之變化圖(Case A、V0=12kV、N=5) ... 84 圖4-27 熱傳增益與溫差之變化圖(Case A、V0=12kV、N=6) ... 84 圖4-28 不考慮焦耳熱效應下熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A) ... 85 圖4-29 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K、N=1) ... 86 圖4-30 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K、N=2) ... 86 圖4-31 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K、N=3) ... 87 圖4-32 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K、N=4) ... 87 圖4-33 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K、N=5) ... 88 圖4-34 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、ΔT=25K、N=6) ... 88 圖4-35 單位功耗之淨熱傳增加量與電極高度之變化圖(Case A、V0=12kV、 ΔT=25K) ... 89 圖 4-36 不同電極數量下之流線函數

Ψ

(m2_{/s) (Case B 、 V} o=12kV 、 HEHD=25mm、ΔT=20K) ... 90 圖 4-37 不同電極數量下之溫度分佈(Case B、Vo=12kV、HEHD=25mm、 ΔT=20K) ... 91 圖4-38 不同電極高度下之流線函數

Ψ

(m2_{/s) (Case B、V} o=12kV、N=4、 ΔT=20K) ... 92

(11)

VIII 圖4-39 不同電極高度下之溫度分布 (Case B、Vo=12kV、N=4、ΔT=20K) ... 93 圖4-40 不同施加電壓下的流線函數

Ψ

(m2_{/s) (Case B、N=3、H} EHD=20mm、 ΔT=20K) ... 94 圖4-41 熱傳增益與施加電壓之變化圖(Case B、N=2、ΔT=25K) ... 95 圖4-42 熱傳增益與電極數量之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K) .. 95 圖4-43 熱傳增益與溫差之變化圖(Case B、V0=12kV、N=1) ... 96 圖4-44 熱傳增益與溫差之變化圖(Case B、V0=12kV、N=2) ... 96 圖4-45 熱傳增益與溫差之變化圖(Case B、V0=12kV、N=3) ... 97 圖4-46 熱傳增益與溫差之變化圖(Case B、V0=12kV、N=4) ... 97 圖4-47 熱傳增益與溫差之變化圖(Case B、V0=12kV、N=5) ... 98 圖4-48 熱傳增益與溫差之變化圖(Case B、V0=12kV、N=6) ... 98 圖4-49 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K、N=1) ... 99 圖4-50 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K、N=2) ... 99 圖4-51 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K、N=3) ... 100 圖4-52 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K、N=4) ... 100 圖4-53 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K、N=5) ... 101 圖4-54 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case B、V0=12kV、ΔT=25K、N=6) ... 101 圖4-55 單位功耗之淨熱傳增加量與電極高度之變化圖(Case B、V0=14kV、

(12)

IX ΔT=20K) ... 102 圖4-56 不同電極高度下之流線函數

Ψ

(m2_{/s) (Case C、V} o=12kV、SL=90mm、 ΔT=20K) ... 108 圖4-57 不同電極高度下之溫度分布 T(K)( Case C、Vo=12kV、SL=90mm、 ΔT=20K) ... 109 圖 4-58 熱傳增益與施加電壓之變化圖(Case C、ΔT=25K、SL=90mm) ... 110 圖 4-59 熱傳增益與電極間距之變化圖(Case C、HEHD=15mm、ΔT=25K) ... 110 圖 4-60 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case C、V0=12kV、ΔT=20K、 SL=90mm) ... 111 圖 4-61 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case C、V0=12kV、ΔT=25K、 SL=90mm) ... 111 圖 4-62 熱傳增益與電極高度之變化圖(Case C、V0=12kV、ΔT=30K、 SL=90mm) ... 112 圖4-63 不同施加電壓下之最佳化路徑搜尋圖(Case C、ΔT=20K) ... 113 圖4-64 不同施加電壓下之最佳化路徑搜尋圖(Case C、ΔT=25K) ... 114 圖4-65 不同施加電壓下之最佳化路徑搜尋圖(Case C、ΔT=30K) ... 115

(13)

X

表目錄

表3-1 側邊加熱之封閉矩形空間之格點測試結果 ... 39 表3-2 側邊加熱之封閉矩形不同電極數之格點數 ... 39 表3-3 底部加熱之封閉矩形空間之格點測試結果 ... 39 表3-4 底部加熱之封閉矩形不同電極數之格點數 ... 39 表3-5 底部加熱之無限長水平板之格點測試結果 ... 40 表3-6 底部加熱之無限長水平板不同電極間距之格點數 ... 40 表4-1 特定 V0及 ΔT 之最佳 N 及 HEHD組合(Case A) ... 61 表4-2 特定 V0及 ΔT 之最佳 N 及 HEHD組合(Case B) ... 62 表4-3 特定 V0及 ΔT 之最佳 SL 及 HEHD組合(Case C) ... 106 表4-4 不同 W 下之最佳 SL 及 HEHD組合(Case C) ... 107

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XI

符號說明

英文字母 A 面積[m2] ion b 離子遷移率[m2_/V‧s] p c 比熱係數[J/kg‧K] e D 離子擴散係數[m2_/s] E 電場 [V/m] f _{電極之粗糙因子} e F 單位體積的電液動力[N/m3_] g _{重力加速度[m/s}2_] h 熱對流係數[W/m2‧K] EHD H 電極高度(電極至高溫板的距離)[mm] I 電流[A] peek

I Peek Law 的電流[A]

simu I _{數值模擬的電流[A]} j _{電流密度[A/m}2_] ave j _{平均電流密度[A/m}2_] J 目標函數 k 熱傳導係數[W/m‧K] eff k 等效熱傳導係數[W/m‧K] e L _{電極與接地板之距離(較小值) [m]} x L _{封閉矩形空間}_{x 方向的長度[mm]} y L 封閉矩形空間y 方向的長度[mm]

(15)

XII n 垂直平板方向的單位向量[m] N 電極數量 Nu 紐賽數(Nusselt Number) p _壓力[Pa] Power 電極施加功率[W] r P 紊流動能產生率[J/kg‧s] '' q 熱通量[W/m2_] Q _熱傳量[W] e r 電極半徑[cm] Ra 瑞利數(Rayleigh Number) S 共軛梯度法搜尋方向 SL 電極間距[mm]  S 通用守恆方程式之源項 T 溫度[K] H T 高溫板壁面溫度[K] L T 低溫板壁面溫度[K] u ,v x,y 軸流速分量[m/s] V 電場電壓[V] 0 V 施加電壓[V] W 兩接地板距離[mm] x ,y 卡式座標系統希臘符號  熱擴散係數[m2_/s]  _{體積熱膨脹係數[1/K]}

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XIII c 下降方向係數  _{簡易共軛梯度法之共軛梯度係數}  相對密度  紊流能量消散率[J/kg‧s] 0  介電常數[F/m]  紊流動能[m2_/s2_]  _{黏滯係數[kg/m‧s]}  運動黏滯係數[m2_/s]  _{簡易共軛梯度法遞增搜尋方向}  _{通用因變數}  _密度[kg/m3_] _c 電荷密度[C/m3_] 0 _c 電極處電荷密度[C/m3_]   動量擴散率與紊流能量耗散率之比值 _k 動量擴散率與紊流動量擴散率之比之比值  _{流線函數[m}2_/s] 上標 * 前次時間的疊代舊值 ' 擾動量－平均 → 向量下標 a 空氣 EHD 施加電液動

(17)

XIV l 層流(laminar) t 紊流(turbulent) x 特定 x 值之局部點  周圍環境 0 未施加電液動

(18)

1

緒論

1.1 前言

近年來隨著工業技術的快速發展下，世界各國對能源的需求日益增加，再生能源的發展以及能源使用效率的提升已然成為當前世界各國首要處理的問題。在工程的發展上，能源的有效運用也是一個很重要的指標，本文研究主要專注於在自然對流系統中的熱傳增強分析，並同時考慮消耗的功率，以期獲得最佳的熱增強效率。在熱傳增強的技術中，可分為主動式(active)與被動式(passive)兩種方式，主動式需要額外施加動力來影響流體流動以增強熱傳效果，例如在物體表面提供吸入(suction)、噴出(blowing)、震動(vibration)、噴流(jet flow) 及電場或磁場等；被動式則不需額外施加動力，例如加入添加物(fluid addictive)、改變鰭片形狀、渦流產生器等。電液動(EHD，Electrohydrodynamic)技術是在一低導電度的流體當中 (空氣、CFC 冷媒)裝置電極，產生一高電壓且低電流的電場，在電場的作用下會對流場產生第二驅動力–電力，在電力的影響下會使物體表面邊界層受到擾動，以增強熱傳。其中電液動技術已廣泛的應用於電子晶片冷卻系統、氣冷冷凝器、蒸發器、微型泵等設備上。本文主要研究主動式電液動技術應用在自然對流系統中對平板表面的熱傳增強與最佳化分析，物理模型可以分為底部和側邊加熱的封閉矩形空間以及底部加熱的無限長水平板三類。在電液動技術當中，當施加電壓超過閾值電壓時，電極會產生電暈放電(corona discharge)，電極周圍的空氣會解離成帶電的正離子與自由電子，這些帶電的離子在電力的驅動下在流場中流動，即一般所稱的「離子風(Ionic wind)」，離子風的流動造

(19)

2 成平板表面的速度邊界層被破壞，以增進熱邊界層的混和與不穩定性，可以有效的提升熱傳。在電極通電後，系統會產生「焦耳熱效應(Joule heating effect)」，其中產生的焦耳熱會造成系統中溫度上升進而降低平板表面熱傳效果，在研究中也會探討在不同電極位置、溫差和施加電壓下，焦耳熱效應對於系統熱傳的影響。

1.2 文獻回顧

當流體底部受到加熱時，常會發生熱不穩定的現象，這個現象是由貝納Benard 由實驗中觀察發現，因而以後學者遇到相似的問題都將之稱為

貝納問題(Benard Problem)【1】。雷利(Rayleigh)【2】是第一個針對貝納問

題分析及描述的人，他發現流體中上下的溫差須要達到一個臨界值，流體才會開始對流，而臨界溫差所對應的雷利數稱為臨界雷利數(critical Rayleigh number)，其值為 Ra=1708。Jang et al.【3】以實驗探討在自然對流中的熱傳性質，模型為底部加熱之封閉矩形，並在其中裝置一水平導熱隔板，隔板上下側分別為流體和多孔性介質。結果顯示，熱傳主要受到隔板位置和熱傳導率的影響。在隔板位置較低(多孔性介質較薄)和較高的熱傳導率時會有較好的熱傳效果。此外，較高的多孔性介質有效熱傳導率及孔隙率可以提升熱傳率。在空隙率範圍為0.4 至 0.6 時，將多孔性介質有效熱傳導率與流體的熱傳導率的比值由1 提高至 5，紐賽數可以提升 35% 至41%。有關電液動應用於熱傳增強方面，在1995 年 Allen 和 Karayiannis【4】以實驗探討 EHD 應用在熱傳增強的研究。其結果顯示在單相的情況下，電暈風(Corona wind)和電泳(Electrophoresis)的作用會有明顯的熱傳增強效果。Yabe et al.【5】設計一線狀電極作為陽極，另把一平板作為陰極，觀察在施加高電壓的情況下產生的電暈效應和電暈風現象，最後證實產

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3 生電暈風的原因是庫倫力作用在離子上而造成的。Sheu et al.【6】以實驗研究震盪性EHD 針狀電極對平板表面熱傳的影響。施加電壓範圍為 4kV 到9.5kV，輸入電壓為穩定式或階梯式，頻率 f 範圍為 0.5Hz 到 2Hz，電 極與平板的距離為5mm 或 15mm。結果顯示，穩定式會較階梯式有較佳的熱傳效果。而在距離為 5mm 下，f=0.5Hz 的熱傳效果較 f=2Hz 時佳， 而當距離增加至 15mm 時，其結果則會完全相反，這是由於空氣氣流停留在平板上的有效時間不同所致。Kibler 和 Cater【7】以實驗研究針狀電極產生的電暈風對於加熱平板表面的熱傳影響。結果顯示，加熱板表面的熱對流係數會和電暈電流(corona current)的四次方根成正比。O’Brien 和 Shine【8】實驗研究線狀電極對於加熱垂直板的散熱分析，並考慮壓力及流體種類的影響。壓力範圍為 0.5 至 1.5 倍大氣壓力，氣體種類為空氣、氮氣和二氧化碳。結果顯示，垂直板的熱傳係數會隨著電流(電壓)增加而增加，而增加環境壓力也會提升熱傳系數。Owsenek 和 Seyed-Yagoobi【9】以實驗研究線狀電極和針狀電極對於加熱水平板的熱傳表現。研究發現，在相同的消耗功率下，針狀電極會較線狀電極的熱傳效益多出10%以上。 Franke【10】實驗研究在一加熱垂直板兩側裝置多根互相平行的電極，並探討其電液動效應。結果發現，其熱傳率會隨著功率增加而增加，而局部熱傳最大值會出現在高電壓電極處，而居部熱傳最小值則會出現在接地電極處。Ohadi et al.【11】研究電暈效應應用在管內強制對流的熱傳分析。管內流體為空氣，其流體的特性範圍包含層流和紊流，電極數量為一或二。其結果顯示，當電極數量為一時，只能在流體為層流或過度流時會有熱傳增強的效果；而當電極數量為二時，熱傳增強的效果則可延伸至流體為紊流時。且在相同的施加功率時，兩根電極會較單一電極時有較好的熱傳效益，其中的例外是在流體雷諾數接近過度流(Re=2000) 且電壓為 7.75kV(spark-over potential)時，單一電極的熱傳效益會較好。Franke 和

(21)

4 Hutson【12】實驗在一垂直空心圓柱的內表面裝置多根的垂直電極，並觀察其電液動效應對高溫內表面的熱傳影響。結果發現，電暈放電產生的離子風可以增強將近兩倍的熱傳效果，並在內表面會形成多個相鄰的渦流。 Kasayapanand 和 Kiatsiriroat【13】以數值研究在波浪型流道中裝置電極對熱傳增強的效果，並比較不同的電極排列方式對於熱傳的影響。結果顯示， EHD 熱傳效益會受到電極排列、電極數量和流道設計的影響。且在雷諾數增加或電極間距增加時會造成 EHD 的熱傳效益降低。Fernandez 和 Poulter【14】實驗研究管內流中之電液動效應，其工作流體為變壓器冷卻油(transformer oil)。研究結果顯示在通以直流電壓 30kV 時，流體會在徑向上有明顯的運動改變，使得流體在層流時的熱傳量增加20 倍，而壓降

僅增加3 倍。Haung 和 Lai【15】以數值研究焦耳熱效應(Joule heating effect)

對於電液動應用於封閉空間自然對流的熱增強影響。結果顯示當Ra 小於 104_{時，電極產生的焦耳熱對於熱傳的影響較大；而當}_{Ra 大於 10}5_時，由於系統產生的焦耳熱甚小於加熱壁面所傳入的熱量，因而可以忽略焦耳熱效應的影響。Fuijino et al.【16】以實驗研究均勻電場對於液態冷媒 R-113 於管內層流之強制對流熱增強分析。實驗為 R-R-113 位於兩垂直平板間且向上流動，並在兩側平板裝置板狀電極，其中一電極通以均勻的熱通量。結果顯示，電極釋出的電荷是流體產生電對流(electroconvection)最主要的因素，並且調整工作流體的電導率會對造成熱傳明顯改變。Peng et al.【17】以數值研究EHD 對矩形管流的熱傳增強分析，探討不同電極數量及電極位置的熱傳增強效果。研究結果顯示，EHD 在較低的雷諾數下熱傳增強效果較佳。而電極位置的最佳化結果顯示，當電極位置越接近入口且電極間距越大會有最佳的熱傳增強效果。且當電極數量為 7 時，最佳化的熱傳效果即達到最大值，再增加電極數量只會造成更多的功率消耗，無法有效增強熱傳。Owsenek et al.【18】以實驗研究將針狀電極裝置在水平平板

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5 上方，分析EHD 對於平板的熱傳影響。實驗結果顯示，在電暈風的影響下，平板局部熱傳系數最大可提升至65(W/m2_{-K)，為自然對流下的 25 倍，} 且具熱傳增強的範圍可達半徑30 公分。當電極距離平板太近時，會造成流體間的混和效果減弱，因而降低的熱傳效益。熱傳效益會隨著電極與平板距離增加增加而增加，當距離增加到一閾值時，熱傳效益會停止增加。在施加電壓至少為0.2W 的狀況下，電極與平板的閾值距離為 5 公分。而

負電暈風(negative corona wind)較正電暈風(positive corona wind)產生較少的焦耳熱，因而在固定電壓下，負電暈風的熱傳係數會較正電暈風略高一些。然而正電暈風所需消耗的功率較負電暈風少，因而在熱傳效率上，正電暈風會優於負電暈風。Lai 和 Mathew【19】以數值研究 EHD 對水平板流道內流場與溫度場的影響。研究結果顯示，流道內的流場與溫度場會受到雷諾數及電液動數的影響呈穩態、週期及非週期。結果顯示，當雷諾數較低或電液動數較高時，流場及溫度場會因為流場內的二次回流呈現震盪分布；當雷諾數較高或電液動數較小時，流場及溫度場會趨向穩態，且震盪流動與穩態流動相比會有較好的熱增強效果。為使流場為震盪流動，系統須控制電液動數大於4，而最大的熱增強量會為純強制對流時的 2 倍。 Kasayapanand【20】以數值研究電極排列在封閉空間中自然對流的熱增強分析。結果顯示，當電極數量增加時，EHD 熱增強效益會明顯提升。並且在固定電極數量下，將電極在空間中均勻排列時，會較將電極集中放置在上、中、下半側時有更好的熱增強效果。Kasayapanand【21】至【22】以計算流體力學分析EHD 對設置鰭片之封閉空間自然對流系統的熱增強分析。結果顯示熱增強效益主要受到電極數量和位置的影響。並在鰭片數量和鰭片長度增加時，熱傳係數會有明顯提升。電液動技術應用於乾燥製成方面，Hashinaga et al.【23】以實驗研究電液動應用於乾燥蘋果切片上。結果顯示，流場中的離子風撞擊乾燥物體

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6 表面後可以有效加快物體水分子的蒸散速率以增加乾燥速率，與一般常溫下的乾燥速率相比可提升4.5 倍。Leu et al.【24】以實驗及數值方法分析線狀電極電液動效應對流道內強制對流的質傳影響。結果顯示，電暈電流效應可以擾亂流體間的流動並增進流體間的混和造成水蒸發的性能提高。當施加電壓增加、電極間距增加或電極高度減小時，質傳增益會提高。在入口速度uin=1m/s 和電壓 V0=15kV 的情況下，當電極高度固定為 20mm 而電極間距由40mm 增加到 100mm 時，質傳增益會增加為兩倍；當電極間距固定為100mm 而電極高度由 30mm 降至 15mm 時，質傳增益會增加為3.5 倍。並且在特定的施加電壓下，利用簡易共軛梯度法搜尋得到最佳的電極高度和電極間距組合以達到最有效率的質傳效果。Lai 和 Sharma 【25】實驗以 3 根針狀電極裝置在一佈滿均勻玻璃珠(直徑為 3mm 或 6mm) 且完全被水浸濕的表面上，分析離子風對於表面蒸發率的影響。研究結果顯示，乾燥速率與電場的強度及交叉流(cross-flow)的流速有關。在沒有交叉流時，乾燥速率隨著電壓增加呈現性增加。Kulacki 和 Daumenmier【26】以實驗研究烤爐烘烤濕潤的麵團，並在烤爐中裝置電極，以分析EHD 對於水份蒸發的影響。結果顯示，電暈風可以有效增強水份蒸發率，減少達到預設水份流失量所需的時間。而質傳係數會近似於離子曳力(ion drag-forces)與動量力(momentum forces)比值的 0.1 次方。

電液動技術應用在LED 冷卻方面，Wang et

al.【27】以實驗研究針-網式離子風機對 LED 冷卻的效能分析。實驗結果顯示，電暈放電距離、施加電壓和放電功率為影響冷卻表現的的主要因素。且在負電暈放電時會較正電暈放電有較好的冷卻表現。在放電距離為 15mm 和施加電壓為 17kV 的條件下，最大離子風流速為 2.97 (m/s)，此時系統溫度降至最低。 Zhang et al.【28】以實驗觀察針-環系統中電暈放電產生的離子風特性，並探討電壓極性、電壓值和電極間隙對離子風的影響。實驗結果顯示，中央

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7 離子風的流速會隨電壓增加而線性遞增，且在相同電壓下，正電暈所產生的離子風流速會較逆電暈快，而逆電暈的離子風流速分布則會較均勻。在距離電暈放電處越遠所得到的離子風，其流速會越弱且分布較均勻。Chen et al.【29】實驗設計一針狀電極並施以電壓 4kV 至 11kV，分析其產生的離子風對於LED 冷卻的影響。實驗結果顯示在相同施加電壓下，負電暈作用下的熱阻會較正電暈時的小，最高可降低電阻 50%。而當電極傾斜角由0 度增加到 20 度時，熱阻會下降，若在持續增加傾斜角時，熱阻則將不再下降。並測試以點、線及網狀三種電極作為接地電極，發現網狀電極會有最小的熱阻。

1.3 研究動機與目的

從文獻回顧中發現，電液動技術可以有效的增強熱傳效果。在電液動相關的文獻中也有關於封閉矩形空間自然對流的熱增強研究，主要探討的是在不考慮焦耳熱效應的情況下，電極排列和鰭片幾何對熱增強的影響，而接地方式則為單側接地或四側接地。本研究針對雙側接地的封閉矩

形和無限長水平板，分析電液動技術對熱傳增益(NuEHD/Nuo)的影響，並考

慮焦耳熱效應對溫度場的影響，以貼近實際的溫度分佈。並考慮電液動所須施加的功率，分析與探討單位功耗的淨熱傳增加量((QEHD-Qo)/Power)。理論分析上，由電場的統御方程式去求解系統中的電場E、電壓 V、電流 密度 j 和電荷密度ρc，將電場的物理量代入流場統御方程式中，求得速度場、溫度場，壓力場的分佈。在高電壓電極的電場中，電場內的電荷密度會呈現不均勻分布，以往的相關文獻當中，常將電荷密度視為一常數，將此應用在電液動效應上會產生較大的誤差，因此需自行撰寫計算電荷密度的相關副程式，以達到數值模擬的結果能更真實描述實際的情形。針對水平無限長水平平板延伸做了最佳化分析，最佳化所使用的方

(25)

8

法為簡易共軛梯度法(SCGM，Simplified Conjugate Gradient Method)，並

對電極高度(HEHD)與電極間距(SL)兩參數去做最佳化搜尋，最佳化的目標

函數定義為單位消耗功率的淨熱傳增加量((QEHD-Qo)/Power)，在特定的接

地板間溫差(ΔT=20、25、30K)和施加電壓(Vo=12、13、14kV)情形下去搜

(26)

9

第二章

理論分析

2.1 物理模型

Case A.側邊加熱之封閉矩形空間物理模型 圖 2-1 為電液動熱增強技術應用於側邊加熱自然對流系統之物理模型和其相關的尺寸設計。計算範圍為二維封閉矩形空間，長寬分別為 Ly(Ly=400mm)和 W(W=50mm)，上側板和下側板均為水平絕熱板，右側板為定低溫板TL(TL=300K)，左側板為定高溫板 TH。電極與高溫板(左側板)的距離定義為電極高度 HEHD，於該封閉矩形空間中裝置不同的電極數 (N=1-6)，依照電極數量將電極置於均分矩形長邊的位置，電極間保持等間距(Ly/(N+1))。在不同電極施加電壓(Vo)和平板間溫差(ΔT=TH-TL)下，去探討電極數量和電極高度對於高溫板表面熱傳效益的影響。 Case B.底部加熱之封閉矩形物理模型 圖 2-2 為電液動熱增強技術應用於底部加熱自然對流系統之物理模型與其相關的尺寸設計。數值計算範圍為二維矩形封閉空間，矩形的長寬分別為Lx(Lx=400mm)和 W(W=50mm)，左側板與右側板均為垂直絕熱板，上側板為定低溫板 TL(TL=300K)，底部板為定高溫板 TH。電極與底部高溫板的距離定義為電極高度HEHD ，在封閉空間放置不同的電極數量(N=1-6)，依照不同的電極數量，將電極置於均分矩形長邊的位置，電極間保持等間距(Lx/(N+1))。在不同電極施加電壓(Vo)和平板間溫差(ΔT=TH-TL)下，去探討電極數量和電極高度對於高溫板表面熱傳效益的影響。 Case C.底部加熱之無限長水平板物理模型 圖2-3 為電液動熱增強技術應用在底部加熱自然對流系統物理模型，上下板為無限長水平板。電極間的距離定義為電極間距(SL)，電極距離底部高溫板的距離定義為電極高度 HEHD，上下接地板的距離為

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10 W(W=50mm)。數值計算範圍為從無限長水平板中取單一電極兩側各 SL/2 的範圍，其中上側板為定低溫板TL(TL=300K)，底部板為定高溫板 TH。並在左右兩側給定對稱條件，以此模擬無限長水平板。在不同施加電壓(Vo) 和平板間溫差(ΔT=TH-TL)下，去探討電極高度和電極間距對於高溫板表面熱傳效益的影響。

2.2 基本假設

由於系統中同時存在流場、溫度場，壓力場及電場，需同時求解動量方程式、連續方程式、能量方程式、Maxwell 電場統御方程式等，才能解出電液動效應對於流場、溫度場及壓力場的影響。為了簡化問題，本研究針對電場與流場做了以下合理的基本假設。 (1) 穩態流場(steady state)。 (2) 流場系統為二維紊流(turbulent flow)模組。 (3) 浮力項之密度採用布斯尼克近似(Bousseinesq Approximation)，即流體密度與溫度呈線性關係。流體其他物理性質均視為常數。 (4) 流體視為不可壓縮流(incompressible)。 (5) 考慮浮力效應。

(6) 流體為單相流(single phase flow)，即沒有相變化現象。 (7) 不考慮熱散逸現象(heat dissipation)與熱輻射現象。 (8) 電場統御方程式與流場統御方程式為單向耦合問題，即電場參數會對流場產生影響，但電場不會受到流場的影響。 (9) 流場中僅充滿正電離子與中性原子，電子不會影響電場中之電位。 (10) 電場影響主要由於正離子對中性原子碰撞，將動量傳給中性原子，離子擴散效應(diffusion effect)可忽略。 (11) 忽略流場中的靜電效應(Electrostatic effect)

(28)

11

2.3 統御方程式

電場統御方程式電場電暈(corona)是導致流體流動的主要驅動力，此驅動力每單位體積下的電液動力Fe可以寫成下列形式。 2 ₀ 2 0 1 1 2 2 e c F E   E   E       _ _ __            (2-1) 其中→E為電場向量，ρc為電荷密度。方程式(2-1)中，等號右側第一項和第二項分別代表電泳力和電致伸縮力，第三項為自由電荷上的庫倫力。假設空氣介電常數(ε0)在系統中為常數，所以可以忽略等號右邊第一項和第二項，因此Fe可簡化為: e _c F  E   (2-2) 對於等向性材料，氣體游離層內的電場→E可由高斯定律(Gauss’s law)描述: 0 c E     _(2-3) 電場的強度定義為:    E V (2-4) 然後，將方程式(2-4)代入(2-3)，電動勢可用柏松方程式(Poisson equation) 表示如下: 2 0 c V      _(2-5) 由於電流在在計算區域中是守恆的，因此電流的連續方程式由下式表示: 0 c j t         (2-6) 其中→j 為電流密度。在穩態條件下( c 0 t   _  )，空間內電荷守恆，因此電流的連續方程式可由下式表示:

(29)

12 0 j    (2-7) 在電極和接地平板之間存在兩個區域。第一區域位於電極周圍的電離區域，電離區域被電場充分包圍著；第二區域位於電離區域到接地平板間的漂移區域，電流在飄移區域中具有三種效應：離子相對於電場下的整個氣流運動(傳導_{c ion}b E)、電荷與氣流的傳輸(對流_cu)及離子的不均勻分布(擴散 De c)。因此電流密度可由下式表示:           c ion c e c j b E u D (2-8) 其中bion為離子遷移率，本研究中設定為2.1×10-4 (m2V-1s-1)；→u 為空氣流 體的速度向量；De 為離子擴散係數。由於離子的漂移速度通常較空氣流體的流速大約百倍，因此可以忽略電流密度中的對流項。離子風效應中的離子擴散係數很小，電流密度中的擴散項也可以忽略不計。因此在電液動效應中的電流密度主要是受電場中電荷運送離子漂移的影響，可將電流密度簡化為: c ion jb E   (2-9) 將方程式(2-4)和(2-9)代入方程式(2-7)，可以推導出空間中電荷密度的偏微分方程式: 2 0 c c V       _(2-10) 流場統御方程式在本研究中流體為空氣，並假設空氣為穩態、不可壓縮流、紊流、單相流。在考慮自然對流效應下，動量方程式中的浮力項採用 Bousseinesq Approximation 的方法去近似。以下為系統流場的統御方程式: 連續方程式: 0 u v x y  _ _   (2-11)

(30)

13 將方程式(2-2)中簡化後的單位體積電液動力加入動量方程式中，如下: x 軸動量方程式: u u u v x y  _  _   ' ' ' ' 1 p u u _cE_x u u u v x x x y y                   _  _ _  _   _  _  _  _ (2-12) y 軸動量方程式(加入自然對流浮力項): v v u v x y  _  _   ' ' ' ' 1 ( )    _                 _  _ _  _     _  _  _  _ cEy p v v v u v v g T T y x x y y (2-13) 能量方程式(加入電液動效應所產生的焦耳熱): p T T c u v x y  _    _     ' ' ' ' 2 a p a p ion c T T k c u T k c v T b E x x  y y         _ _   _ _      _  _  _  _ (2-14) 在動量方程式(2-12)和(2-13)以及能量方程式(2-14)中，分別包含了雷諾應力(_{u u}' '_、_{u v}' '_、_vv' '_{)和雷諾熱通量(}_uT' _、_vT' _{)，以上各項均為未知數，由} 於未知數的數目超過了統御方程式數目，產生了數學上所謂的閉合問題 (closure problem)。為了解決此問題，本研究採用 Launder 和 Spalding【30】

所提出的 k-ε 雙方程式紊流模組，其中κ和 ε 分別為紊流動能(turbulent

kinetic energy)和紊流能量消散率(turbulent energy dissipation ratio)，其定義如下: ' ' 1 2   u u_{i i} (2-15) ' ' =   _{ }    _{ }    i i j j u u x x (2-16)

(31)

14 κ-ε 雙方程式紊流模組較早期的零方程式模組(zero-equation model) 和單方程式模組(one-equation model)在用來預測較複雜的流場(具有渦流的流場)中具有較準確的結果。κ-ε 雙方程式紊流模組在計算上也較其他兩種紊流模組複雜，其方程式如下: κ傳輸方程式:

   

     _  _ x u y v





( + ) ( + )                             _ l t  _  _ l t  _ Pr x x y y (2-17) ε傳輸方程式:

   

        x u x v



1 2



( + ) ( + )                     _   _ _      _ l t  _  _ l t  _ c P cr x x y y (2-18) 式(2-17)及(2-18)中_l稱為層流黏滯係數(laminar viscosity)；_k為動量擴散

率與紊流動量擴散率之比(prandtl number for turbulent kinetic energy)；_

為動量擴散率與紊流能量耗散率之比(prandtl number for turbulent energy

dissipation)；P_r為紊流動能產生率(turbulent kinetic energy production rate)，

其表示如下:

 

2 2 2 2 2 2 3 3            _ _  __  _ _   _ _          j i i i r t i i j i i u u u u P u k x x x x (2-19) 其中 2 =    t c k 、c_=0.09、c₁=1.44、c₂=1.92、_k=1.0和_=1.3。

2.4 紐賽數 Nu 及瑞利數 Ra 之計算

平板表面總熱傳量為:

(32)

15 '' =    



a wall T Q q dA k dA n (2-20) 其中 ka為空氣熱傳導係數；q"為單位面積的熱傳量。局部熱對流係數定 義為: ''        a wall x H L H L T k q n h T T T T (2-21) 其中TH為高溫板表面溫度，TL為低溫板表面溫度。局部紐賽數 Nux與平均紐賽數ܰݑതതതത的定義為: ( ) x x wall a H L h W W T Nu k T T n       (2-22) 



x Nu dA Nu dA (2-23) 其中W 為高低溫板間的距離。瑞利數 Ra 定義如下: 3 ( _H _L) g T T W Ra     (2-24) 其中g 為重力加速度；β為體積膨脹係數；ν為運動黏滯係數；α為熱擴 散係數。

2.5 單位功耗之淨熱傳增加量

本文主要研究為電液動技術所能獲得的實際熱傳增強效益，針對淨熱傳增加量及消耗的功率，以單位功耗之淨熱傳增加量作為熱傳增強效率高低的評價標準，表示如下:



QEHD Q0



Power (2-25) 其中Q_EHD為施加電液動技術下總熱傳量；Q₀為未施加電液動技術下(純自然對流系統)的總熱傳量；Power則為電液動技術所施加的功率。

(33)

16

2.6 邊界條件

本研究將邊界條件分為流場邊界條件及電場邊界條件分別去討論不同物理模型下的邊界條件。 (1)電液動技術應用於側邊加熱之封閉矩形空間邊界條件 流場邊界條件物理模型及邊界條件如圖2-1 所示。左側板為高溫板，平板表面溫度為TH；右側板為低溫板，平板表面溫度為 TL(TL=300K)，其中 TH>TL。 (1)上下板邊界條件上下板為絕熱壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面垂直與平行之速度分量皆為零；平板表面為絕熱邊界，法向量溫度梯度為零。 0  u 、v0 (2-26) T 0   n (n 為平板表面法向量) (2-27) (2)右側板邊界條件右側板為等低溫壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面垂直與平行之速度分量皆為零；平板表面為等低溫邊界條件，其中TL=300K。 0  u 、v0 (2-28) L T=T =300K _(2-29) (3)左側板邊界條件左側板為等高溫壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面垂直與水平之速度分量皆為零；平板表面為等高溫邊界TH，其中TH>TL。 0  u 、v0 _(2-30)

(34)

17 H T=T _(2-31) (4)電極表面邊界條件電極表面為絕熱壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面之速度為零；電極表面為絕熱邊界，法向量溫度梯度為零。 0  u 、v0 (2-32) T 0   n (n 為電極表面法向量) (2-33) 電場邊界條件 (1)上下板邊界條件上下板為絕緣邊界，平板表面的電壓(V)與電荷密度(ρc)給定諾伊曼邊

界條件(Neumann boundary condition)。

0    V n 、 0    nc (n 為平板表面法向量) (2-34) (2)左右側板邊界條件左右側板為接地邊界，平板表面的電壓(V)給定狄利克邊界條件

(Dirichlet boundary condition)為 V=0 (V)；電荷密度(ρc)給定諾伊曼邊

界條件(Neumann boundary condition)。

V 0  (2-35) 0    nc (n 為平板表面法向量) (2-36) (3)電極表面邊界條件電極表面的電壓(V)與電荷密度(ρc)給定狄利克邊界條件(Dirichlet boundary condition)，其值分別為 V=V0、ρc=ρc0。 0 V V 、 _c= _c₀ _(2-37)

(35)

18 (2)電液動技術應用於底部加熱之封閉矩形空間與無限長水平板邊界條件 流場邊界條件底部加熱之封閉矩形空間及無限長水平平板物理模型及邊界條件如圖 2-2 和圖 2-3 所示，下板為高溫板，平板表面溫度為 TH；上板為低溫板，平板表面為TL(TL=300K)，其中 TH>TL。 (1)左右側邊界條件 (a) 封閉矩形空間封閉矩形空間的左右板為絕熱壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面垂直與平行之速度分量皆為零；平板表面為絕熱邊界，法向量溫度梯度為零。 0  u 、v0 _(2-38) T 0  _ n (n 為平板表面法向量) (2-39) (b) 無限長水平板無限長水平平板左右兩側為對稱性邊界條件(symmetric boundary condition)，邊界上的速度與溫度法線梯度為零。 0  _  _   u v n n 、 T 0  _ n (n 為平板表面法向量) (2-40) (2)上板邊界條件上板為等低溫壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面垂直與平行之速度分量皆為零；平板表面為等低溫邊界條件，其中TL=300K。 0  u 、v0 _(2-41) L T=T =300K _(2-42) (3)下板邊界條件下板為等高溫壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，

(36)

19 平板表面垂直與平行之速度分量皆為零；平板表面為等高溫邊界TH，其中TH>TL。 0  u 、v0 _(2-43) H T=T _(2-44) (4)電極表面邊界條件電極表面為絕熱壁面邊界，壁面須滿足無滑移條件(no-slip condition)，平板表面之速度為零；電極表面為絕熱邊界，法向量溫度梯度為零。 0  u 、v0 (2-45) T 0   n (n 為電極表面法向量) (2-46) 電場邊界條件 (1)左右側邊界條件 (a) 封閉矩形空間左右側板為絕緣邊界，平板表面的電壓(V)與電荷密度(ρc)給定諾伊曼

邊界條件(Neumann boundary condition)。

0    V n 、 0    nc (n 為平板表面法向量) (2-47) (b) 無限長水平板左右側板為對稱邊界，平板表面的電壓(V)與電荷密度(ρc)給定諾伊曼

邊界條件(Neumann boundary condition)。

0    V n 、 0    nc (n 為平板表面法向量) (2-48) (2)上下板邊界條件上下板為接地邊界，平板表面的電壓(V) 給定狄利克邊界條件

(Dirichlet boundary condition)為 V=0 (V)；電荷密度(ρc)給定諾伊曼邊

(37)

20 V 0  (2-49) 0   _ nc (n 為平板表面法向量) (2-50) (3)電極表面邊界條件電極表面的電壓(V)與電荷密度(ρc)給定狄利克邊界條件(Dirichlet boundary condition)，其值分別為 V=V0、ρc=ρc0。 0 V V 、 _c= _c₀ _(2-51)

(38)

21

(39)

22

(40)

23

圖 2-3 底部加熱之無限長水平板物理模型與邊界條件(Case C) 取單一電極作計算範圍

(41)

24

第三章

最佳化理論與數值分析

3.1 最佳化理論

在設計最佳化方法的分析器中，主要由三個單元所組成，分別為建模與網格產生單元、正向解資料庫單元及最佳化分析單元。在現今電腦輔助軟體朝向整合互通的發展趨勢下，促成了熱流計算工具與最佳化分析兩項工具的結合，並透過後處理程式的應用，讓設計者可以透過視覺來進行不同的參數分析。在不同的幾何或物理條件下進行重複的數值計算，並從計算結果中去擷取計算相關參數，同時配合最佳化搜尋路徑程式，找出能使目標函數趨近極值的參數組合，得到系統中不同幾何與物理條件下的最佳化設計。本研究透過撰寫 Fortran 程式，將商業熱流計算軟體(CFD-ACE+)與最佳化分析單元結合。當Fortran 程式執行時，藉由 python 去驅動前處理模組(CFD-GEOM)建立模型與產生格點，再透過數值計算軟體(CFD-ACE+)去進行電場、溫度場、速度場及壓力場的疊代計算，收斂的計算結果再透過敏感度分析(sensitivity analysis)，以利程式自動改變物理或幾何參數，進行無限次數的疊代計算以達到最佳目標函數的參數解，介面架構如圖3-1 所示。 3.1.1 共軛梯度法

早期的最佳化方法主要為最陡坡降法(steepest descent method)和牛頓法(Newton’s method)兩種。最陡坡降法具有起始位置選擇的要求低、計算簡單只需計算一階微分的優點，雖然在最初疊代幾次後距離極值越接近時收斂速度越慢，但在起始位置距離極值較遠時，最初幾步的疊代是相當有效的。牛頓法則是具有收斂速度快的優點，但在計算上需要計算到二階

(42)

25

微分，對於起始點的要求也較嚴格。因此，如何加快最陡坡度法在極點附近的收斂速度成為了改善最佳化方法的關鍵，因而推導出了共軛梯度法 (conjugate gradient method)【31】。

共軛梯度法的概念是利用第一次疊代時的梯度方向來當作搜尋的方向，即由_X( )k _按_S( )k _{ }_{f X}₍ ( )k ₎_方向找到_X(k1)_{，接下來則以原梯度方向和新} 梯度方向的組合來當作下一次的搜尋方向_S(k1)_，如圖 _{3-2 所示。}_S(k1)_的定義如下，若為求極大值則沿正向梯度，求極小值則沿負向梯度。 (k1) _{ } ₍ (k1)₎__( )k ( )k S f X S (3-1)

其中_( )k _{為共軛梯度係數(conjugate gradient coefficients)，可由前後兩次的}

梯度計算得出: 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )           _       T k k k k T k k k f X f X f X f X f X f X (3-2) 而 (k1)₌ ( )k ₊_ ( )k ( )k c X X S (3-3) 其中_c為下降方向係數。要找到下一個點_X( +1)k _{還必須求出}_ ( )k c ，然而 ( )  k c 的計算需要複雜的矩陣計算，因而衍生出了簡易共軛梯度法，共軛梯度法的計算步驟如下: (1) k 0，給定起始點_X(0)_{和允許誤差}_₍__{為很小的正數)。} (2) 計算函數 f X( )在起始點_X(0)_{處的梯度，作為第一次搜尋的方向} (0) S 。 (3) 求解下降方向係數_( )k c ，求出下一點 (k1)₌ ( )k ₊_( )k ( )k X X S 。 (4) 計算新點_X(k1)_{的函數梯度。} (5) 檢查是否滿足精度要求 __{f X}₍ (k1)₎ 2 ___{，若成立則終止疊代並輸出極值，} 不成立則繼續執行步驟(6)。 (6) 計算求出共軛梯度係數_( )k _{並求出下一點的搜尋方向} (k1) S 。

(43)

26

(7) k k 1，回到步驟(3)進行下一次疊代，直至收斂。

3.1.2 簡易共軛梯度法

簡易共軛梯度法(simplified conjugate gradient method)是在 2003 年由國立成功大學鄭金祥教授所提出【32】。簡易共軛梯度法保留了共軛梯度法的優點，並把下降方向係數c 給獨立出來，採用人工給定的方式以免去複雜的矩陣計算過程與幾何上的限制。使得此方法可以更廣泛的運用在其他多變數的領域中。簡易共軛梯度法是利用微擾量來直接計算數值微分以得到梯度函數，而不需求解梯度方程式。因而本研究使用簡易共軛梯度法來作為最佳化分析的搜尋工具。 3.1.3 最佳化執行流程 本研究採用簡易共軛梯度法來搜尋使目標函數J達到最大值時的參數值。令 ( )k n X 為第k 次疊代的第 n 個設計變數。梯度函數為目標函數 ₍ ( )k ₎ n J X 分別對 ( )k n X 的偏微分，即 J X_n，可透過微擾法直接從敏感度分析求得。敏感度分析可利用正向解副程式求出當前設計變數微調前後的目標函數值，再利用有限差分法來得到 J X_n (一般都是在不改變設計變數下先得到目標函數值 ( )k J ，然後在一次只微量改變一個設計變數 ' _ _{ } n n n X X X ，代入函數中計算，得到新的目標函數 ( )k n J ，即可利用有限差分法求得 ( ) ₍ ( ) ( )₎  k   k  k  n n n n J X J J X 。 ( )k n X 的疊代為: ( 1) ( ) ( ) ( ) ,    _ _ k k k k n n c n n X X _(3-4) 其中_{c n}_, ( )k 為第 k 疊代的第 n 個設計變數的下降方向係數。在簡易共軛梯 度法的疊代過程中，_{c n}_, ( )k 為給定的定值_{c n}_, ，其值由嘗試誤差法(trial and error method)來決定。 ( )  k n 為遞增搜尋方向(direction of ascend)，其定義為每一個設計變數之遞增方向與修正量的結合，其表示如下:

(44)

27 ( ) ( )₌ ( ) ( 1)   _    k k n k k n n n J X (3-5) 式(3-5)中_ ( )k _ n n J X 為第n 個設計變數在第 k 次疊代的梯度值，可由敏感度 分析計算而得。第一次疊代時_(1)₌₀_，即_ (1) _ n n J X 就為第一次疊代的搜尋方向。共軛梯度法中考慮了共軛梯度係數，其目的為改善不易收斂的缺點，並可加速收斂的速度以減少疊代次數。其中共軛梯度係數(conjugate gradient coefficients)γ的定義如下: 2 2 ( ) ( -1) ( )   _ _ _ _      



k



k k n n n n n n J J X X (3-6) 共軛梯度係數為根據目標函數前一次疊代斜率與這次疊代斜率的平方和比值決定，也因為這樣，最佳化程式才會在接近極值時慢下來。共軛梯度係數的定義也是為了讓程式可以自行決定每次疊代的修正量大小，不要超過所求的目標值。根據上述之簡易共軛梯度法， ( )k n X 會自動疊代至滿足目標函數最佳化，最佳化方法的計算流程如下: (1) 定義初始設計變數值 ( )k n X ，本研究為雙設計變數X1及X2，分別代表電極間距(SL)和電極高度(HEHD)。 (2) 給定各設計變數的下降方向係數_c_,1和_c_,2。 (3) 利用正向解副程式(CFD-ACE+)，在設定邊界條件後，求解不同場域的分布情形。 (4) 計算目標函數J X X( ,₁ ₂)，當目標函數達到最佳值時，程序將終止並跳出程式，否則將繼續執行步驟(5) (5) 透過敏感度分析，計算目標函數對設計變數X₁及X₂之斜率 ( ) 1 1 _J k _X _和 ( ) 2 2 _J k _X 。 (6) 計算共軛梯度係數_( )k _{及設計變數的搜尋方向} ( ) 1  k _和 ( ) 2  k 。

(45)

28 (7) 更新下一次疊代的設計變數 ( 1) 1  k X 與 ( 1) 2  k X ，繼續疊代。上述之最佳化流程，詳細繪製於圖3-3。 3.1.4 目標函數定義 式(2-25)表示在施加電液動技術後與未施加電液動技術下單位施加功率的熱傳淨增強量，其值越大代表熱增強效率越高。本研究即以「單位功耗之淨熱傳增加量」作為最佳化路徑搜尋的目標函數，其表示如下:



 0



 QEHD Q J Power (3-7) 在兩設計變數(電極高度 HEHD及電極間距SL)的疊代計算下，找出在目標函數達到最大值時最佳的設計變數配置。

3.2 數值方法

數值模擬方法是一種利用電腦中央處理器(CPU)高速計算能力去進行分析的方法，目前在熱流科學的領域中有許多不同模擬計算技術的發展及應用，這可以減少研究上嘗試錯誤的機會，降低實驗上的成本，提高研究效率。本研究主要探討電液動技術應用在自然對流系統中的熱增強參數分析及最佳化分析。其中涵蓋的場域包括了速度場、溫度場，壓力場及電場。由於在計算上較複雜，本研究使用了商業化軟體 CFD-ACE+作為數值模擬工具。在求解各場域的統御方程式上使用有限體積法(Finite Volume Method,FVM)，將計算去域內分割成多個網格，並使每個網格點周圍有一個互不重複的控制體積，並離散統御方程式以便在電腦上執行疊代計算。在動量守恆及質量守恆方程式的計算上採用 SIMPLEC(Semi-Implicit

Method for Pressure-Link Equation Consistent)去求得計算範圍內的速度場

(46)

29

3.2.1 通用守恆方程式(Generic Conservation Equation)

式(3-8)為一通用守恆方程式，方程式左側為暫態項(transient term)和對流項(convection term)，右側為擴散項(diffusion term)和源項(source term)。

若將分別以1、速度(u,v,w)及溫度(T)代入，將分別以 0、及k_eff 代入，則式(3-8)則可分別代表值量、動量及能量守恆方程式。因此，對於通用方程式之離散方法即可用於各守恆方程式中。為了方便說明，以下將以二維通用守恆方程式作為說明。

 













 transient term _{convection term}

( ) ( ) ( ) source term diffusion term                                           _{}_  u v w t x y z S x x y y z z (3-8)