全國公私立高級中學 102 學年度 指定科目 第 5 次 聯合模擬考試 數學乙 試題
103.3.4~5 第壹部份：選擇題(單選題、多選題及選填題共占 74 分)一、單選題(占 18 分)
說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案 區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1.給定兩集合 A 和 B，其中集合 A＝{x －2≤ x ≤ 3}以及集合 B＝{x －5≤
1 ≤ 1}。求同時滿足集合 A 和 B 條件的 x 範圍 x (1)－51 ≤ x ≤ 1 (2)－2≤ x ≤－
5
1 (3) 1≤ x ≤ 3 (4)－
51 ≤ x ≤ 1，x ≠ 0 (5)－2≤ x ≤－
5
1，1≤ x ≤ 3 解：1.－5≤
x
1≤ 1，⇒－5≤
x 1且
x
1≤ 1，則 (1)∵－5≤
x 1，⇒
x
1＋5≥ 0，⇒
x x 1
5 + ≥ 0，⇒ x(5x＋1)≥ 0，且 x ≠ 0，⇒ x ≤－
5
1，x＞0
(2)∵x
1≤ 1，⇒
x
1－1≤ 0，⇒
x
−x
1 ≤ 0，⇒ x(1－x)≤ 0，且 x ≠ 0，⇒ x(x＋1)≤ 0，且 x ≠ 0，⇒ x＜0，x≥ 1
⇒由(1)(2)得知 x ≤－
5
1，x≥ 1，即 B＝{ x x ≤－
5
1，x≥ 1}，如右圖
2.∴A＝{x －2≤ x ≤ 3}且 B＝{ x x ≤－
5
1，x≥ 1}，
⇒如右圖，得知 A∩B＝{x －2≤ x ≤－
5
1，1≤ x ≤ 3}
答：(5)
2.有一個奇異的國度，居民要不是具有騎士性格，開口句句實話，要不然就是海盜性格，開口句句謊話。某日黃綠紅來 到這個國度度假，在接上碰到甲與乙兩個人並與之對談，其中有對話如下：
甲說：「乙是個具有騎士性格的人。」 乙說：「我跟甲不是同類性格的人。」
請問根據上面的對話，甲與乙分別是甚麼樣性格的人？
(1)甲與乙均具有騎士性格 (2)甲具有騎士性格，而乙是海盜性格 (3)甲是海盜性格，而乙具有騎士性格 (4)甲與乙均是海盜性格 (5)無法由上述對話分辨甲與乙的性格
解：(1)若甲與乙均具有騎士性格：⇒矛盾
⇒甲說「乙是個具有騎士性格的人」是實話，乙說「我跟甲不是同類性格的人」是實話，得甲是海盜性格的人 (2)若甲具有騎士性格，而乙是海盜性格：⇒矛盾
⇒甲說「乙是個具有騎士性格的人」是實話，與假設為「乙是海盜性格」矛盾 (3)若甲是海盜性格，而乙具有騎士性格：⇒矛盾
⇒甲說「乙是個具有騎士性格的人」是謊話，與假設為「乙具有騎士性格」矛盾 (4)若甲與乙均是海盜性格：正確
⇒甲說「乙是個具有騎士性格的人」是謊話，∴乙是海盜性格；
又乙說：「我跟甲不是同類性格的人」是謊話，∴乙與甲是同類性格(海盜性格)的人 (5)無法由上述對話分辨甲與乙的性格，⇒錯誤，∵由(4)得知可以分辨甲與乙的性格 答：(4)
3.我們規定產品的不良率為不良產品數量與總生產產品數量的比值。小鴨經銷商由 A、B 兩家工廠買進外觀相同的氣球，
已知 A 工廠的不良率為 100
1 ，收購價格為每個氣球 10 元；而 B 廠的不良率為 200
1 ，收購價格為每個氣球 15 元。本月 某市政府向小鴨經銷商訂購 1200 個氣球。小鴨經銷商基於成本考量依 2：1 的數量向 A、B 兩家工廠購買氣球，然後 以每個氣球 25 元賣給市政府。該市政府決定從整批氣球中隨意抽取 2 件檢驗，若 2 件均合格則整批接收，否則全數 退還。請問在此條件之下，小鴨經銷商在本次的交易期望值最接近多少元？
(1)9000 (2)11000 (3)16000 (4)18000 (5) 13000
-1/5 0 1
• •
-1/5 1 -2
• • 3
• •
解：1.經銷商訂單 1200 個氣球中，向 A 家工廠收購 1200×
3
2＝800 個，向 B 家工廠收購 1200×
3
1＝400 個
⇒經銷商的收購成本為 800×10＋400×15＝14000 元 2. A、B 兩家工廠不良品＝800 個×
100
1 ＋400 個×
200
1 ＝8＋2＝10 個，⇒合格產品有 1200－10＝1190 個 樣本空間 n(S)＝n(1200 個中抽取 2 件檢驗)＝C21200，事件(從 1190 個中抽取 2 件檢驗)＝C11902
∴訂單收購的期望值＝1200 個×25 元× 1200
2 1190 2
C
C ＝1200×25×
1199 1200
1189 1190
×
× ≈1200×25×
1200 1200
1190 1190
×
× ≈29502
⇒交易的期望值＝29502－14000＝15502 元 答：(3)
二、多選題(占 32 分)
說明：第 4 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題 答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，
得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
4.給定實係數多項式：f (x)＝a(x－1)(x－2)＋b(x－1)＋c＝ 2 ) 3 1 )(
2 1 (
) 3 )(
2
( ⋅
−
−
−
− x
x ＋ 3
) 3 2 )(
1 2 (
) 3 )(
1
( ⋅
−
−
−
− x
x ＋ 5
) 2 3 )(
1 3 (
) 2 )(
1
( ⋅
−
−
−
− x x
請選出正確的選項。
(1) a＜0 (2) a＝
2
1 (3) b＝1 (4) c＝－2 (5) y＝f (x)的圖形與 x 軸相交於二點 解：1.由題意得知：多項式 f (x)通過點(1，2)，(2，3)，(3，5)三點，∴由 f (x)＝a(x－1)(x－2)＋b(x－1)＋c
(1，2)代入 f (x)，⇒ f (1)＝c＝2
(2，3)代入 f (x)，⇒ f (2)＝b＋c＝2，∴b＝1 (3，5)代入 f (x)，⇒ f (3)＝2a＋2b＋c＝5，∴a＝
2 1
2. f (x)＝a(x－1)(x－2)＋b(x－1)＋c＝
2
1x2－x＋2＝
2 1(x－
2 1)2＋
8 15
f (x)為開口向上之拋物線，其最低點為(
2 1，
8
15)，圖形與 x 軸不相交，如右圖 答：(2)(3)
5.已知 x、y 為實數，考慮平面向量 a =(x，－1)， b ＝( 3 ，y)，其中 x2＋y2＝1。請選出正確的選項。
(1) a⋅ b 的最大值為 2 (2) a 與 b 不可能平行 (3) a 與 b 可能垂直 (4) 3 x－y 的值可能為 3 (5)當 a 與 b 的夾角為 150°時，有最小值為－2
解：(1) a⋅ b ＝(x，－1) ⋅( 3，y)＝ 3x－y，利用柯西不等式(Cauchy’s ineq.)
(x2＋y2)[( 3)2＋(－1)2] ≥ ( 3x－y)2，⇒ 4 ≥ ( 3x－y)2，⇒ －2≤ 3x－y≤ 2，即－2≤ a ⋅ b ≤ 2
∴最大值為 2，最小值為－2，
(4)由(1)得知 3x－y 的值可能為3 是不正確的 (5)由(1)，當等號成立時，則
3 x ＝
−1
y ，令 x＝ 3k，y＝－k，代入 x2＋y2＝1，⇒ k＝
2 1或－
2 1
當 k＝2
1時，得 x＝
2
3 ，y＝－
2
1，即 a =(
2
3，－1)， b ＝( 3，－
2
1)，使得a⋅ b ＝ 3x－y＝2 為最大值
當 k＝－
2
1時，得 x＝－
2
3 ，y＝
2
1，即 a =(－
2
3，－1)， b ＝( 3， 2
1)，使得a⋅ b ＝ 3x－y＝－2 為最小值 x
y
2 • • •
• f (x)
O
⇒ a =(－
2
3，－1)， b ＝( 3， 2
1)的夾角θ，cosθ＝ a ⋅ b | a | | b | ＝
13 7
−8 ，得知θ≠150° (cos＝150°＝－
2 3)
(2)若a 與 b 平行，則 3 x ＝
y
−1，⇒ x y＝－ 3，即解
= +
−
= 1 3
2
2 y
x y
x ，由 y＝－
x
3代入 x2＋y2＝1
⇒ x2＋(－
x
3)2＝1，⇒ x4－x2＋3＝0，但是判別式＜0，x2無實數根，∴ a 與 b 不可能平行 (3)若 a 與 b 垂直，則 a⋅ b ＝(x，－1) ⋅( 3，y)＝ 3x－y＝0 成立 (∵由(1)得知－2≤ 3x－y≤ 2) 答：(1)(2)(3)
6.臺灣政府欲推行「反貪腐」專案，在一次民意調查中訪問成年民眾。其中訪問成功者當中有 64%的民眾支持推行「反 貪腐」專案。在 95%的信心水準下，抽樣誤差為±2.4%，請選出正確的選項。
(95%的信心水準下的信賴區間為[pˆ－2 n
p pˆ(1− ˆ)
，pˆ＋2 n
p pˆ(1− ˆ)
] ) (1)訪問的成年民眾越多，得到的結果越正確，所以信賴區間長度越長 (2)訪問的成年民眾越多，得到的結果越正確，所以信賴水準越高 (3)本次抽樣調查所得的 95%的信賴區間為[0.616，0.664]
(4)本次抽樣調查訪問成功者約 1600 人
(5)由本次抽樣可以肯定臺灣成年民眾確實有 64%的民眾支持推行「反貪腐」專案 解：(1)訪問的成年民眾越多(n 值越大)，pˆ不變之下，
n p pˆ(1− ˆ)
會越小，
則信賴區間[pˆ－2 n
p pˆ(1− ˆ)
，pˆ＋2
n p pˆ(1− ˆ)
]變小，即信賴區間長度越短
(2)根據題意，民意調查中信賴水準是設定為「在 95%的信心水準」，故與訪問的成年民眾人數無關 (3)95%的信賴區間為[0.64－2.4%，0.64＋2.4%]＝[0.616，0.664]
(4)由抽樣誤差 2
n p pˆ(1− ˆ)
＝2 n
) 64 . 0 1 ( 64 .
0 − ＝0.024，⇒
n 36 . 0 64 . 0 ×
＝(0.012)2，得知訪問成功者 n 約為 1600 人 (5)民意調查中，只知道民眾支持率pˆ＝64%，無法得知真實數據
答：(3)(4)
7.教師在課堂上講解函數 f (x)＝2 與 g(x)＝x 3 。假設x a、b 均為正實數，請選出正確的選項。(log 2＝0.3010，log 3＝0.4771) (1) f (x)、g(x)的圖形有交點 (2) f (x)、g(x)的圖形都在 y 軸右方 (3)2a≤3 a
(4)2 ＋2a 22b≥2a+b+1 (5)3 ＞63 2100 解：(1) f (x)、g(x)的圖形交點於(0，1)，如右圖
(2) f (x)、g(x)的圖形都在 y 軸右方、左方皆有，而都在 x 軸上方，如右圖 (3)如右圖，當x＝a＞0 時，2a≤3a成立
(4)∵22a、22b都是正數
∴由算幾不等式：22a＋22b≥ 2 22a×22b ＝2 22(a+b) ＝2⋅2a+b＝2a+b+1
(5)∵log363＝63×log 3＝63×0.4771＝30.0573，而 log2100＝100×log 2＝100×0.3010＝30.10
∴log363＜log2100，⇒363＜2100 答：(1)(3)(4)
x y
f (x) g(x)
1 O a
2a
3a•
•
三、選填題(占 24 分)
說明：1.第 A 至 C 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(8－17)。
2.每題完全答對給 8 分；答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.阿太、阿平、阿島三人商議春節一周值班表。阿太說：「一周七日，我們有三個人，我建議每個人最少值班兩天，最 多值班三天。」阿平說：「這是當然。我也建議每個人需間隔一天以上才能再度值班。」阿島說：「妳們說的我都同意。
不過，我有個私人請求，周日(頭)跟周六(末)都讓我值班，其餘的五天我們再商議。」請問在這樣的條件下，三人的 值班表總共有_____種。
解：1.阿島值班 2 天時：即值班日、六，再分成一三五與二四，由阿太、阿平選擇，如下圖，方法數 2 種
2.阿島值班 2 天時：
(1)阿島值日、二、六，再分成一四與三五，由阿太、阿平選擇，如下圖，方法數 2 種
(2)阿島值日、三、六，再分成一四與二五，由阿太、阿平選擇，如下左圖，方法數 2 種 阿島值日、三、六，再分成一五與二四，由阿太、阿平選擇，如下右圖，方法數 2 種
(3)阿島值日、四、六，再分成一三與二五，由阿太、阿平選擇，如下圖，方法數 2 種
⇒共有 2＋2＋2＋2＋2＝10 種方法數 答：10 種
B.目前國際上使用芮氏規模來表示地震強度，設 E(單位：爾格)為地震芮氏規模 M 時所釋放的能量，關係如下：
log E＝11.8＋1.5M。近年來國際大地震頻傳。2011 年 3 月 11 日日本發生規模 9.0 級，引發大規模海嘯，甚至危害核10
安的大地震。2013 年 4 月 20 日在中國四川雅安發生規模 7.0 級死傷無數的大地震。請問日本大地震所釋放能量是中 國大地震所釋放能量的_________倍。
解：根據題意，計算如下：
日本：log10 E日＝11.8＋1.5×9＝25.3 中國：log10E中＝11.8＋1.5×7＝22.3
∴log10 E日－log10E中＝25.3－22.3＝3
⇒log10
中 日
E
E ＝3＝log10103，得
中 日
E
E ＝103，即E日＝1000E中 答：1000
C.某品牌的鞋子由三個工廠代工，其中 A 工廠、B 工廠以及 C 工廠分別生產 25%、35%以及 40%產量的鞋子。根據長期 統計 A 工廠、B 工廠以及 C 工廠的產品中各有 1.2%、1%以及 0.8%的瑕疵品。某天公司回收一件瑕疵品，則此瑕疵 品由 B 工廠製造的機率為 。(請化為最簡分數)
解：根據題意，列樹狀圖如右：
所求機率＝
瑕疵品總數 製造之瑕疵品
B ＝
0.8%
40%
1%
35%
1.2%
25%
1%
35%
× +
× +
×
×
＝30 35 32 35
+
+ ＝
97 35
答：97 35
○8 ○9
○10○11○12○13
○14○15
○16○17 ______
________
日 一 二 三 四 五 六
日 一 二 三 四 五 六
日 一 二 三 四 五 六 日 一 二 三 四 五 六
日 一 二 三 四 五 六
A B C
瑕疵品 瑕疵品 瑕疵品
25%
35%
40%
1.2%
1%
0.8%
－－－－－－－以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷－－－－－－
第貳部份：非選擇題(占 26 分)
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號(一、二)與子題號((1)、(2))，同時必須 寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛 筆。每一子題配分標於題末。
一、大臺飯店每個月有用資金四十萬，現在要對外招募廚師以及學徒若干。經過討論後決定一名廚師每個月給薪四萬元，
一名學徒個月給薪兩萬五千元，且為了維持烹飪水準，飯店規劃一名廚師帶領 3 至 5 明學徒。根據市場調查結果，
一名廚師每個月可創造七萬元的業績，一名學徒每個月可創造五萬元的業績。大臺飯店應招募廚師與學徒各 a 與 b 人，才得以創造每個月的最大業績 c 萬元。請問 a、b、c 的值各為多少。(16 分)
解：設招募廚師 x 人，學徒 y 人，根據題意，得
限制條件為
≤
≤
≤ +
0 ,
5 3
40 5 . 2 4
為正整數或 y
x
x y x
y x
，⇒
≤
≤
≤ +
0 ,
5 3
80 5 8
為正整數或 且
y x
x y y x
y x
，作圖如右
目標函數 P(x，y)＝7x＋5y 的最大值 依據平行法(或頂點法)
(x，y) (2，9) (2，10) (3，9) (3，10) (3，11) P(x，y) 59 64 65 71 76
∴當 x＝3，y＝11 時，有 P(x，y)最大值 76 即當 a＝3，b＝11 時，有 P(x，y)最大值 c＝76 答：a＝3，b＝11，c＝76
二、某款新推出的電腦遊戲貓熊大冒險，人物概分為戰士類與魔法師類兩大職業。根據每個月線上調查發現，這款遊戲 原來選擇戰士類者有 70%仍繼續下去，30%改練魔法師類；而原來選擇魔法師類者有 80%仍繼續下去，20%改練戰 士類。若玩家仍為原來的一群人，而公司 GM 以矩陣運算x ＝n
s r
q p
−1
xn ，n≥ 1，來推算每個月兩大職業的人數比 例，其中x 代表第個月結束時兩大職業類別所占比例的矩陣，又n x ＝0
4 . 0
6 .
0 代表剛推出遊戲時，戰士類人數占 60%
及魔法師類人數占 40%。
(1)請寫出轉移矩陣
s r
q
p 。(4 分。全對才給分)
(2)若遊戲在剛開始有 20000 人參與，而且前三個月遊戲人數不變的條件下，請計算出遊戲推出後第二個月結束時，
選擇戰士類與魔法師類的人數各是多少人。(6 分) 解：(1)根據題意，列表如右：
∴轉移矩陣＝
s r
q
p ＝
8 . 0 3 . 0
2 . 0 7 . 0
(2)第一個月：x1＝
8 . 0 3 . 0
2 . 0 7 . 0
x0＝
8 . 0 3 . 0
2 . 0 7 .
0
4 . 0
6 .
0 ＝
5 . 0
5 . 0
第二個月：x2＝
8 . 0 3 . 0
2 . 0 7 . 0
x1＝
8 . 0 3 . 0
2 . 0 7 .
0
5 . 0
5 .
0 ＝
55 . 0
45 . 0
⇒戰士類人數有 20000×0.45＝9000 人 魔法師類人數有 20000×0.55＝11000 人 答：戰士類 9000 人，魔法師類 11000 人
戰士類 魔法師 戰士類 0.7 0.2 魔法師 0.3 0.8
8x+5y=80 10 16
x y
y=3x y=5x
A
• B
••
• •
• •
• •
• (1,3) (2,6)
(3,9) (1,5)
(2,10) (2,9)
(3,11)
•
