∑∑∑ p 102 ~ w 6 pX D

全國公私立高級中學 102 學年度 指定科目 第 6 次 聯合模擬考試 數學甲 試題

一、單選題(占 18 分)

說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案 區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.請問小修在全憑猜測的情況下，要完全答對一題有 5 個選項的多選題之機率為多少？(已知至少有一個正確選項) (1)32

1 (2) 31

1 (3) 32

5 (4) 31

5 (5) 5 1

解：n(S 為所有可能答題情形)＝2⁵－1(沒有一個正確選項)＝31(種)，而 n(事件 A 為正確答案)＝1

⇒機率＝ ( ) ) (

S n

A

n ＝

31 1 答：(2)

2.圖(1)為兩變數 X 與 Y 的 9 筆資料的散佈圖，設變數 X 與 Y 的相關係數為 r，

請選出正確的選項。(已知 35≈5.92，其中≈表示該值為近似值) (1)－1≤ r ≤－0.5 (2)－0.5＜r＜－0.2 (3)－0.2≤ r ≤ 0.2 (4) 0.2＜r＜0.5 (5) 0.5≤ r ≤ 1

解：1.根據圖(1)，9 筆資料為(0，8)，(3，8)，(6，7)，(9，5) (9，6)，(9，7)，(12，5)，(15，4)，(18，4)

2.令 X：0，3，6，9，9，9，12，15，18 Y：8，8，7，5，6，7，5，4，4 3.計算如下表：

相關係數為 r＝

∑

∑

∑

=

=

=

−

⋅

−

−

−

9

1

2 9

1

2 9

1

) ( )

(

) )(

(

i i i

i i

i i

y y x

x

y y x x

＝ 252 20 66

⋅

− ＝

35 2

−11

＝2 5.92 11

×

− ＝－0.929

答：(1)

X Y x_i−x y_i−y (x_i −x)(y_i−y) (x_i−x)² (y_i−y)²

0 8 －9 2 －18 81 4

3 8 －6 2 －12 36 4

6 7 －3 1 －3 9 1

9 5 0 －1 0 0 1

9 6 0 0 0 0 0

9 7 0 1 0 0 1

12 5 3 －1 －3 9 1

15 4 6 －2 －12 36 4

18 4 9 －2 －18 81 4

x=9 y =6 －66 252 20

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x

0 2 4 6

8 • •

• •

•

• •

• •

3.在數線的正向上有三點 A(a)、B(b)、P(6)，已知 P 在線段 AB 之間且PA： PB ＝2：3，請問 ab 的最大值為下列哪一個 選項？(1)

2

75 (2) 25

6 (3) 25

36 (4) 30 (5) 6 25

解：1.如右圖，由分點公式得知 6＝

3 2

2 3

+ + b

a ，⇒3a＋2b＝30

2.∴A(a)、B(b)在數線正向上的點，∴a＞0，b＞0，得知 3a＞0，2b＞0

利用算幾不等式，得 3a＋2b ≥ 2 (3a)(2b)，⇒30 ≥ 2 (3a)(2b)，約分、平方後，得 ab≤

6 225＝

2 75

⇒ab 的最大值為 2 75 答：(1)

二、多選題(占 32 分)

說明：第 4 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題 答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，

得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4.設 a、b、c 皆為實數，且 f (x)＝3x²－2x－7＝a(x＋1)(x－1)＋b(x＋1)(x－2)＋c(x－1)(x－2)，請選出正確的選項。

(1) a＝f (2) (2) b＝－6 (3) b＝－9c (4) a＝－c (5) abc＝－1 解：∵f (1)＝3－2－7＝b(2)(－1)，⇒ b＝3

f (2)＝12－4－7＝a(3)(1)，⇒ a＝

3 1

f (－1)＝3＋2－7＝c(－2)(－3)， ⇒ c＝－

3 1

∴(1) a＝

1 ≠ f (2)＝1，錯誤 (2) 3 b＝3≠－6，錯誤 (3) b＝3＝－9(－

3

1)＝－9c

(4) a＝－c＝

3

1 (5) abc＝

3

1×3×(－

3 1)＝－

3 1 答：(3)(4)

5.已知 log 2≈0.3010，log 3≈0.4771，log 5≈0.6990，其中≈表示該值為近似值，請選出正確的選項。

(1)不必四捨五入，以對數律計算 log 0.6 的近似值為－0.2219 (2) log 1.2＝2＋log 0.6 (3)log(1.2)¹⁰⁰＝100·log 1.2 (4) (1.2)¹⁰⁰的整數部分為 7 位數

(5) (1.2)¹⁰⁰的整數部分中，最左邊的數字為 8

解：(1) log 0.6＝log (6×10⁻¹)＝－1＋log 6＝－1＋log (2×3)＝－1＋log 2＋log 3＝－1＋0.3010＋0.4771＝－0.2219 (2) log 1.2＝log (0.6×2)＝log 2＋log 0.6＝0.3010－0.2199＝0.0791

(3)對數律得知log(1.2)¹⁰⁰＝100·log 1.2

(4)∵log(1.2)¹⁰⁰＝100·log 1.2＝100×0.0791＝7.91＝7＋0.91，首數＝7，得知 (1.2)¹⁰⁰的整數部分為 8 位數 (5)∵log(1.2)¹⁰⁰的尾數為 0.91，且 log 8＜0.91＜log 9，⇒0.91＝log 8.…

⇒log(1.2)¹⁰⁰＝log10⁷＋log 8.…＝log8.L×10⁷，⇒ (1.2)¹⁰⁰＝8.L×10⁷，∴最左邊的數字為 8 答：(1)(3)(5)

A(a) B(b) 2 P(6) 3

6.運算矩陣乘法： 



 





−

− 7 17

2

5 



 





22 21

12 11

a a

a

a ＝ 



 



 2 0

0

2 ，請選出正確的選項。

(1)

1

7 17

2

5 ⁻



 





−

− ＝ 



 



 7 17

2

5 (2)a₁₁＋a₂₂＝24 (3)a₂₂＝a₁₁＋a₁₂ (4)a₂₁＝34 (5)

22 21

12 11

a a

a

a ＝14

解：(1)設 A＝ 



 





−

− 7 17

2

5 ，∵detA＝

7 17

2 5

−

− ＝35－34＝1，⇒

1

7 17

2

5 ⁻



 





−

− ＝ A det

1 



 



 5 17

2

7 ＝ 



 



 5 17

2 7

(2)∵ _



 





22 21

12 11

a a

a

a ＝

1

7 17

2

5 ⁻



 





−

− 



 



 2 0

0

2 ＝ 



 



 5 17

2

7 



 



 2 0

0

2 ＝ 



 



 10 34

4

14 ，⇒a₁₁＝14，a₁₂＝4，a₂₁＝34，a₂₂＝10

⇒a₁₁＋a₂₂＝14＋10＝24

(3)a₂₂＝10，a₁₁＋a₁₂＝14＋4＝18，⇒a₂₂≠a₁₁＋a₁₂ (5)

22 21

12 11

a a

a

a ＝

10 34

4

14 ＝14×10－4×34＝140－136＝4

答：(2)(4)

7.樂透彩公司推出新的彩券遊戲，稱為「39 樂合彩」，共有三種投注方式，其中一種稱為「二合」。玩法如下：由消費者 從 1 到 39 的 39 個整數號碼中任選兩個相異的號碼稱為一注，而彩券公司開獎當日會從 39 個號碼隨機開出開出五個相 異的號碼。若消費者所選的兩個號碼完全對中開出的號碼，即為中獎(例如：當期開出的號碼為 01、03、09、20、32，

則 03、09 有中獎；而 03、12 未中獎)。中獎一注可得固定彩金 1125 元，另二合彩每注售價為 25 元。

今小堅利用所學的統計學將歷年開出的號碼進行分析，得出可能中獎的五個相異號碼。於是他決定利用包牌方式(即將 五個相異號碼，任選二個為一注的所有組合)來購買彩券，請選出正確的選項。

(1)小堅總共需花費 500 元購買彩券

(2)若小堅的五個相異號碼中有兩個與當期開出的號碼相同，則他可得彩金 1125 元 (3)若小堅的五個相異號碼中有三個與當期開出的號碼相同，則他可得彩金 3375 元 (4)若小堅的五個相異號碼中有四個與當期開出的號碼相同，則他可得彩金 4500 元 (5)若小堅的五個相異號碼中與當期開出五個號碼完全相同，則他可得彩金 11250 元

解：(1)五個相異的號碼中任意兩個號碼皆為中獎，共有C ＝10 種配對方式，∵包牌(10 種全買)需 10×25＝250 元 ₂⁵ (2)有兩個號碼相同，表示中C ＝1 注，得彩金 1125 元 ₂²

(3)有三個號碼相同，表示中C ＝3 注，得彩金 3×1125＝3375 元 ₂³ (4)有四個號碼相同，表示中C ＝6 注，得彩金 6×1125＝6750 元 ₂⁴ (5)五個號碼完全相同，表示中C ＝10 注，得彩金 10×1125＝11250 元 ₂⁵ 答：(2)(3)(5)

註：開出的號碼為 01、03、09、20、32 中，不可能有 01、03、09 三個號碼，應該更正為 1、3、9、20、32

三、選填題(占 24 分)

說明：1.第 A 至 C 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(8－13)。

2.每題完全答對給 8 分；答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.為調查某候選人的支持率，民調公司成功訪問了 1400 位民眾。已知在 95%信心水準下，該候選人支持率的信賴區間 為[0.256，0.304]。試問此次調查中大約有_______人是支持候選人。

解：如右圖， ＝

2 304 . 0 256 . 0 +

＝0.28

⇒設大約有 x 人支持，∴0.28＝

1400

x ，得知 x＝1400×0.28＝392 答：392

B.如圖(2)在平面上已知 ABCD 為一正方形，∆AOD 為直角三角形，∠ AOD 為直角。已知OA＝(0，4)，OB ＝(－4， 7)，

點 E 在BC上，且 AD 垂直OE於點 F，則長方形 ABEF 的面積為_____平方單位。

解 1：1.∵ OB ＝OA ＋ AB ，⇒(－4， 7)＝(0，4)＋AB ，∴ AB ＝(4，3)

⇒|OA|＝4，| AB |＝5，得知 AD ＝| AB |＝5 (已知 ABCD 為一正方形)

⇒在∆AOD 中，OD＝3 2.∆AOD 面積＝

2

1×3×4＝

2

1×AD ×OF，⇒OF＝ 5 12

⇒在∆AOF 中， AF ＝ ² )² 5 (12

4 − ＝

5 16

3.長方形 ABEF 的面積＝AB × AF ＝5×

5 16＝16 解 2：1.在∆AOB 中， AB ＝5，OA＝4，OB＝| OB |＝ 65

設∠ OAD＝θ，

餘弦定理 cos(90^°＋θ)＝

5 4 2

65 5

4^{2 2 2}

⋅

⋅

−

+ ＝－

5

3，sinθ＝

5

3，cosθ＝

5 4 2.在∆AOF 中，cosθ＝

5 4＝

OA AF ＝

4

AF ，⇒ AF ＝ 5 16

3.長方形 ABEF 的面積＝ AB × AF ＝5×

5 16＝16

解 3：1.如右圖，作 AP⊥OP交於 P 點，⇒OPBE 為矩形，∴ AF ＝OP 2.∆AOB 面積＝

2

1× AB ×OP＝ 2

1× AB × AF ＝ 2 1|

7 4

4 0

− |＝8 長方形 ABEF 的面積＝ AB × AF ＝2(∆AOB 面積)＝2×8＝16 答：16

C.一袋中有紅球與白球，總共 10 顆球。設每一球被取中的機會相等，今從袋中每次取一球，取後放回。已知連續取 5 次中有 3 次是紅球的機率為

625

144，則此袋中有____顆紅球。

解：設袋中有紅球 k 個，則白球有(10－k)個，令隨機變數 X 為取到紅球的個數，⇒P(紅球)＝

10

k ，P(白球)＝

10 10−k

⇒P(X＝3)＝C (₃⁵ 10

k )³( 10 10−k

)²＝ 625

144，⇒10(

1000 k3

)( 100 ) 10 ( −k ²

)＝ 10000 ) 10 ( ²

3 k

k −

＝625 144

⇒k³⋅(10−k)²＝3²×2⁸＝4³×6²，∴k＝4 答：4

○⁸ ○⁹ ○¹⁰

○¹¹○¹²

^

[ ] 0.256 0.304

×

^p

•

O A B

C

D E

F

圖(2)

○¹³

•

O A B

C

D E

F θ

•

O A B

C

D E

F θ

P

－－－－－－－以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷－－－－－－

第貳部份：非選擇題(占 26 分)

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號(一、二)與子題號((1)、(2))，同時必須 寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛 筆。每一子題配分標於題末。

一、有一遊戲機台每次操作會出現一個數值，設出現的數值呈常態分布，其平均值為 70，標準差為 6。若數值落在 64(含) 到 76(含)之間可得 100 元；若數值落在 76(含)到 82(含)之間可得 200 元；若數值超過 82 可得 400 元；若數值低於 64 則需付 150 元。就常態分布 68－95－99.7 經驗法則，試問：

(1)小杰操作一次遊戲機台得 200 元的機率約為多少？(5 分) (2)小杰操作一次遊戲機台的金額期望值約為多少？(8 分) 解：(1)得 200 元為 76(含)到 82(含)之間(如右圖斜線區域)占

2

% 68

% 95 −

＝13.5%＝0.135 (2)根據題意，列表如下：

事件 64~76 76~82 82 以上 64 以下 數值 100 元 200 元 400 元 －150 元 機率 0.68 0.135 0.025 0.16

期望值＝100×0.68＋200×0.135＋400×0.025＋(－150)×0.16＝81 答：(1) 0.135，(2) 81 元

二、某校甲班學生參加慈善義賣，無論營業所得(未扣成本)為多少，最後都須捐出營業所得的一半做公益。該班學生打 算販賣果汁及熱狗，已知果汁一杯的成本為 5 元，售價為 15 元；熱狗一支的成本為 12 元，售價為 25 元，其他雜 費支出不計。請問在熱狗最多只有 300 支且總成本不超過 6000 元的情況下，假設果汁賣出 x 杯，熱狗賣出 y 支，

該班在捐出公益款項後的營業所得為 P 元，則：

(1)列出x、y 的限制條件。(3 分) (2)試以x、y 表示 P。(2 分)

(3)畫出可行解區域，並求出捐出公益款項後的最大營業所得為多少元？以及此時數對(x，y)＝？(8 分) 解：(1)根據題意，列表如下：

成本 售價 設 果汁 5 元 15 元 x 熱狗 12 元 25 元 y 限制 ≤6000 最大 y≤ 300

限制條件：







≤

≤ +

300

6000 12

5

0 ,

y

y x

y

x 為正整數或

(2)目標函數 P(x、y)＝

2

1(15x＋25y)的最大值 (3)作圖如右，斜線區域為可行解區域

利用頂點法：

頂點 (0，0) (1200，0) (480，300) (0，300) P(x、y) 0 9000 7350 3750 得知：當(x，y)＝(1200，0)時，P(x、y)有最大值為 9000 元

70 76 82 88 64

58 52

5x+12y=6000 1200 x y

O 500

300• y=300

• (480,300)•

可行解區域