23 i 3 i

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.10.20 範

圍 1-4 複數(1) 班級 姓

座號 名 一、單選題 (每題 5 分 )

( ) 1. 設α，β 為 x² + 6x + 4 = 0 之二根，則(

α

+

β

)² =？

(1) − 2 (2) − 4 (3) − 6 (4) − 8 (5) − 10 解答 5

解析 ∵ α，β是 x²+ 6x + 4 = 0 之二根，且δ = 6²− 4 × 1 × 4 > 0，α, β 為實數 又 α + β = − 6，αβ = 4 ⇒ α < 0，β < 0

∴ (

α

+

β

)² = α + β + 2

α β

= (α + β) − 2

αβ

= (− 6) − 2

4

= − 6 − 4 = − 10 ( ) 2. 設 Z1，Z2，Z3為任意三個不為 0 的複數，下列性質何者不恆正確？

(1) | Z1Z2 | = | Z1 | | Z2 | (2) | Z1 + Z2 | = | Z1 | + | Z2 | (3) |

2 1

Z Z _{| =}

|

|

|

|

2 1

Z

Z (4) | Z1

n | = | Z1 | ⁿ 解答 2

解析 ∵ | Z1 + Z2 | ≤ | Z1 | + | Z2 | ∴ | Z1 + Z2 | = | Z1 | + | Z2 | 不恆正確 ( ) 3. 下列各式何者正確？

(1)

6

=

− 2

×

− 3

(2)

− 6

= −

2

×

3

(3)

2 3

−

⁼

2 3

−

⁽⁴⁾

2 3

−

^{= −}

2 3

−

解答 4

解析 (1)

− 2

×

− 3

=

2 i

×

3 i

=

6i

²= −

6

，故

6

≠

− 2

×

− 3

(2)

− 6

=

6 i

，−

2

×

3

= −

6

，故

− 6

≠ −

2

×

3

(3)

2

3

−

⁼

i 2 3

，

2 3

−

⁼

2 i 3

=

2

2

3 i

i

．

．

=

2 3

−

i

= −

i 2 3

(4)由(3)可知

2 3

−

⁼

i 2 3

，−

2 3

−

^{= − ( −}

i 2

3

) =

i 2 3

，故

2 3

−

^{= −}

2 3

−

( ) 4. 複數平面上，所有滿足| z − 2 − i | = 3 的點，所成的圖形為何？

(1)一直線 (2)一圓 (3)一點 (4)不存在 (5)以上皆非 解答 2

解析 | z − 2 − i | = 3 之圖形為複數平面上與點(2，1)距離 3 的點之集合，亦即圓

二、多選題 ( 每題 10 分 )

( ) 1. 設 Z1與 Z2為方程式 Z ² = − 3 + 4i 的二根，則下列何者正確？

(1)Z₁= Z2 (2) | Z1 | = | Z2 | =

5

(3) Z1 + Z2 = 0 (4) Z1 + Z2 = 4i (5) Z1 Z2 = − Z ² 解答 235

解析 設 Z = x + yi ∴ (x + yi)² = − 3 + 4i ⇒ x² − y² + 2xyi = − 3 + 4i

∴

  

=

−

=

−



 4 2

2

3

2

xy y

x ……



又 x² + y² = 5……

 +  2

得 x² = 1 代入得 y² = 4 ⇒ x = ± 1，y = ± 2

但由知 xy = 2 ∴ x = 1，y = 2 或 x = − 1，y = − 2 ∴ Z1 = 1 + 2i，Z2 = −1 − 2i (1)Z₁=

1 + 2 i

= 1 − 2i ≠ Z2 (2) | Z1 | = | Z2 | = 1² +2² =

5

(3)(4) Z1 + Z2 = 1 + 2i + (−1 − 2i) = 0 (5) Z1 Z2 = (1 + 2i)(− 1 − 2i) = 3 − 4i = − Z ² ( ) 2. 下列敘述何者不正確？

(1) 2i > i (2) 5 + 2i > 4 + 2i (3) i² < 0 (4) | 5i | > 0 (5) | 3 − 4i | > | 2 + i | 解答 12

解析 (1)錯誤：虛數無法比較大小 (2)錯誤：同(1)

(3)正確：i² = − 1 < 0 (4)正確：| 5i | =

0

²

+ 5

² = 5 > 0 (5)正確：| 3 − 4i | = 3²+(−4)² > 2²+1² = | 2 + i | ( ) 3. 設 a，b ∈ R，b ≠ 0，則下列敘述何者正確？

(1)

a

² = | a | (2) (

a

)² = a (3)

− a

=

a

i (4)

a b

=

ab

(5)

b a

=

b a

解答 12

解析 (1)當 a < 0，b < 0 時，

a b

= −

ab

(2)當 a > 0，b < 0 時，

b a

= −

b a

(3)a ≥ 0 時，(

a

)² = a，而 a < 0 時，(

a

)² =

a

．

a

= −

a． a

= − | a | = − (− a) = a ∴ (

a

)² = a，∀a ∈ R

(4)當 a < 0 時，

− a

=

( − 1 )( a )

= −

− 1 a

= −

a

i ≠

a

i

三、填充題 ( 每題 10 分 )

1. 化簡

9 2

) 25 1

( ) 16 3

(

− +

− +

−

−

− ．

為標準式得____________。

解答 7 − i 解析

9 2

) 25 1

( ) 16 3

(

− +

− +

−

−

− ．

= i

i i

3 2

) 5 1 )(

4 3 (

+ +

−

−

= i

i 3

2

) 15 4 ( ) 20 3 (

+ + + +

− ₌

i i 3 2

19 17

+

+ ₌

) 3 2 )(

3 2 (

) 3 2 )(

19 17 (

i i

i i

− +

− +

= 4 9

) 51 38 ( ) 57 34 (

+

− +

+ i₌

13 13

91− i _{= 7 − i} 2. 若α= + ，1 i β = − ，求 2 3i

(1)α β+ = _________。 (2)α β− = __________。(3)αβ = __________。 (4)α

β = __________。

解答 (1) 3 2i− ;(2) 1 4i− + ;(3) 5 i− ;(4) 1 5 13

− + i

解析 (1)α β+ = + + −(1 i) (2 3 )i = + + −(1 2) (1 3)i= − 3 2i (2)α β− = + − −(1 i) (2 3 ) 1i = + − + = − + i 2 3i 1 4i (3)αβ= +(1 i)(2 3 )− i = − + −2 3i 2i 3i²= − 5 i (4)

2 2

1 (1 )(2 3 ) 2 3 2 3 1 5

2 3 (2 3 )(2 3 ) 4 9 13

i i i i i i i

i i i i

α β

+ + + + + + − +

= = = =

− − + −

3. 複數( − 2 +

3

i)⁴的(1)實部為____________。 (2)虛部為____________。

解答 (1)− 47;(2)− 8

3

解析 ( − 2 +

3

i)⁴ = (4 − 4

3

i − 3)² = 1 − 8

3

i − 48 = − 47 − 8

3

i，實部 − 47，虛部 − 8

3

4. 設 x，y 是實數，若 (1+i x)( +2 ) (3 2 )(y − − i x−y)= + ，求 (1) x =_________。(2) y = __________。 8 3i 解答 (1)x= ;(2)1 y= 2

解析 左式= +x 2y+ +xi 2yi−(3x−3y−2xi+2 )yi = − +( 2x 5 )y +(3 )x i= + 8 3i

∴ 2 5 8 1

3 3 2

x y x

x y

− + = =

 ⇒ 

 =  =

 

5. 設 i =

− 1

，則

3 5 8

1 4 5

9 3 5

−

− + +

i i

i

i

的絕對值為____________。

解答 3 1

解析

∵i⁴ = 1 ⇒

3 5 8

1 4 5

9 3 5

−

− + +

i i

i

i

=

3 5 8

1 4 5

−

− +

− i i

i

i ₌

3 3

1

− + i

i ₌

) 1 ( 3

1 i i +

− +

絕對值

(1 ) 1 2 1

3( 1 ) = 3( 1 ) 3 2 3 i i

i i

+ + = =

− + − +

6. x，y ∈ R，若

yi x

i + + 3

1

= 1 + i，則數對(x，y) = ____________。

解答 (2，1) 解析 ∵

yi x

i + + 3

1

= 1 + i， x + yi = i

i + + 1

3

1 =

) 1 )(

1 (

) 1 )(

3 1 (

i i

i i

− +

−

+

=

2 2

4+ i= 2 + i，∴x = 2，y = 1

7. 設 a 為實數，若方程式 x² − (a + i)x + 2 + 2i = 0 有一實根，試求 a 的值為_______。及另一根為 ________。

解答 3；1 + i

解析 設實根為 k，則α² − (a + i)k+ 2 + 2i = 0 ⇒ (α² − ak+ 2) + (− k + 2)i = 0 解

2

2 0

2 0 k ak

k

 − + =

 − + =



^，得

3 2 a k

 =

 = 

設另一根為β，則 2 + β =3 i+ ⇒ β =1 + i 8. 設 z =

2 1 i +

，則 1 + z⁸⁸ +

2

z¹⁹⁹⁹ = ____________。

解答 3 − i 解析 ∵ z² = (

2 1 i +

)² = 2

2i_{= i ∴ z}88 = (z²) ⁴⁴ = 1

z¹⁹⁹⁹ = z¹⁹⁹⁸．z = (z²)⁹⁹⁹．z = (i)⁹⁹⁹．z = i⁹⁹⁶．i³．z = (i⁴)²⁴⁹．(− i)z = − iz 故 1 + z⁸⁸ +

2

z¹⁹⁹⁹ = 1 + 1 +

2

(− i)．

2 1 i +

= 2 − i(1 + i) = 2 − i + 1 = 3 − i

9. 設 i =

− 1

，若 1 − i 為 x²− cx + 1 = 0 之一根，則複數 c = ____________。（以 a + bi 的形式表示）

解答 3 1 2−2i

解析 ∵ 1 − i 為 x²− cx + 1 = 0 之一根，∴ (1 − i) ²− c(1 − i)+ 1 = 0

⇒ 1 − 2i + i² − c(1 − i)+ 1 = 0 ⇒ c(1 − i) = 1 − 2i

⇒ c = i

i

−

− 1

2

1 ₌

) 1 )(

1 (

) 1 )(

2 1 (

i i

i i

+

− +

−

= ₂

2

1 2 2 1

i i i i

−

−

−

+

=

1 1

2 1

+ +

− i ₌ 2 3 i− 10. 設 z = 1 + 2i，w = 4 − 3i，則(1)絕對值 |

w z

²

| = ____________。 (2)共軛複數

z． w

= ____________

（以複數 a + bi 形式表之）。

解答 (1)1;(2)10 + (− 5) i

解析 z = 1 + 2i ⇒ | z | =

5

，w = 4 − 3i ⇒ | w | = 5，|

w z

²

| =

| |

|

|

²

w z

=

5 ) 5 ( ²

= 1，

又

z． w

=

z

．w= (1 − 2i)(4 + 3i) = 4 + 6 + (3 − 8) i = 10 + (− 5)i

11. 設 a，b ∈ R 且[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i，則

a + bi

=____________。

解答 − 4 − 11i

解析 [(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i ⇒ (a + 1 + 5) + (− 4 + b − 2)i = 2 + 5i

⇒ (a + 6) + (b − 6) i = 2 + 5i ⇒

 



=

−

= +

5 6

2 6 b

a

∴





=

−

= 11

4 b a

∴

a + bi

=

− 4 + 11 i

= − 4 − 11i 12. 設 z =

) 4 3 ( ) 7 2 (

) 2 7 ( ) 12 5 (

i i

i i

+

−

+

−

．

． ，則 | z | =____________。

解答 5 13

解析 若α，β ∈ C，β ≠ 0，則 | αβ | = | α | | β |，|

β α

_{| =}

|

|

|

| β α

∴ | z | = |

) 4 3 ( ) 7 2 (

) 2 7 ( ) 12 5 (

i i

i i

+

−

+

−

．

． |

=

| 4 3

|

| 7 2

|

| 2 7

|

| 12 5

|

i i

i i

+

−

+

−

．

． ₌

2 2 2

2

2 2 2

2

4 3 7

2

2 7 12

5

+ +

+ +

．

． =

5 53

53 13

．

．

=

5 13

13. 設α，β 為方程式x²+8x+ = 的兩根，求 6 0 (1)α²+β²= ____________。 (2)β α

α β⁺ = ____________。 (3) 1₂ 1₂

α ⁺β = ____________。

解答 (1)52;(2)26 3 ;(3)13

9 解析 α β+ = − ，8 αβ = 6

(1)α²+β²=(α β+ )²−2αβ = −( 8)²− × =2 6 52 (2)

2 2 52 26

6 3

β α β α

α β αβ

+ = + = =

(3)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 52 13

( ) 6 9

β α α β

α β α β αβ

+ +

+ = = = =

14. 四個複數z₁= ，0 z₂ = + ，8 3i z₃= + 及5 7i z 在複數平面上構成平行₄ 四邊形z z z z ，求 _{1 2 3 4}

(1)z₄= ____________。

(2)此平行四邊形兩鄰邊的長度= ____________。

解答 (1) 3 4i− + ;(2) 73 ，5 解析 (1)如圖

₂ : 3 ₃ (8,3) (5, 7)

: 4

z x z

y

−+ →

₁ : 3 ₄

(0, 0) : 4 ( 3, 4)

z yx z

−+ → − ， 故z₄= − + 3 4i

(2)z z_{1 2} = z₁−z₂ = − +0 (8 3 )i = − −8 3i = 64+ =9 73 z z_{1 4} = z₁−z₄ = − − +0 ( 3 4 )i = −3 4i = 3²+ −( 4)² = 5 15. 若α，β 為方程式x²+7x+ = 之兩根，求 9 0

(1)( α − β)²= ____________。 (2)(α²+10α+1)(β²+10β + = ____________。 1) 解答 (1) 1− ;(2)313

解析 7 0

9 0 α β αβ

+ = − <

 = >

 且D=7²− × × > 4 1 9 0 ⇒ α< 且0 β< 0

(1)( α − β)²=( α)²−2 α β +( β)²= +α 2 αβ β+ = − +7 2 9= − 1 (2)∵α，β 為x²+7x+ = 之兩根 ⇒ 9 0 ^{2 2}

2 2

7 9 0 7 9

7 9 0 7 9

α α α α

β β β β

 + + =  = − −

 ⇒ 

 

+ + = = − −

 

 

∴(α²+10α +1)(β²+10β +1) = −( 7α− +9 10α+ −1)( 7β − +9 10β+ 1) =(3α −8)(3β − =8) 9αβ −24(α β+ )+64 = × −9 9 24 ( 7)× − +64 =313 16. x²−2x−899= 的兩根0 α，β ，α β> ，則α β− = ____________。

解答 60

解析 2

899 α β α β

 + =

 ⋅ = −

 ⇒ (α β− )²=(α β+ )²−4αβ =2²− × −4 ( 899)=3600，∴α β− =60

17. 設α，β 為 x² − 3x − 4 = 0 的二根，則

2

4

3

α − α

₊

2

4

3

β −

β

之值為____________。

解答 3 17

解析 α + β = 3，αβ = − 4；α² − 3α − 4 = 0，β² − 3β − 4 = 0

∴ ²

4

3

α − α

₊

2

4

3

β −

β

₌

α α 3

3

+

β β 3

3

=3

1(α² + β²) = 3

1[(α + β)² − 2αβ] = 3 17

18. 設方程式 Z ² = 7 − 24i，則 Z =_____________________。

解答 Z1 = 4 − 3i，Z2 = − 4 + 3i

解析 設 Z = x + yi ∴ (x + yi )² =7 − 24i ⇒ x² − y² + 2xyi =7 − 24i

∴

2 2

2 2

7

2 24

25

x y

xy

x y

 − =

 = − ⇒

  + =



2 2

16 4

9 3

x x

y y

 =  = ±

 ⇒

 =  =

 

  ^{∴ Z1} = 4 − 3i，Z2 = − 4 + 3i

19. 在複數平面上表示三複數− 2 + i，4 + i，2 − 3i 的三個點 A，B，C，則△ABC 之垂心所表的複數 為______。

解答 2 − i

解析 − 2 + i ↔ A，4 + i ↔ B，2 − 3i ↔C，A(− 2，1)，B(4，1)，C(2，− 3)

∵

BC

之斜率為 2 4

) 3 ( 1

−

−

− _{= 2}

∴ 過 A 點的高所在直線為 y − 1 = − 2

1(x + 2) ⇒ x + 2y = 0……

又 ∵

AC

之斜率為

2 2

) 3 ( 1

−

−

−

− _{= −1}

∴ 過 B 點的高所在直線為 y −1 = 1．(x − 4) ⇒ x − y − 3 = 0……

 − 得 y = −1，代入 x = 2，得垂心 H 之坐標為(2，−1)

20. 設 k 為給定之有理數，且對任一有理數 m，恆使方程式 x² − 3(m −1)x + 2m² + 3k = 0 之根為有理 數，則 k = ____________。

解答 − 6

解析 根為有理數判別式 ⇒ [− 3(m −1)] ² − 4．1．(2m² + 3k)

= 9(m −1) ² − 4(2m² + 3k) = m² − 18m + (9 − 12k)為完全平方式

∴ 9² − (9 − 12k) = 0，則 k = − 6

P.S.

ax²+bx+c

為

完全平方式⇔ δ =b²−4ac=0