中原大學土木工程系 94~97學年度工程數學考古題

(1)

提要 71：中原大學碩士班入學考試「工程數學」相關試題

中原大學

土木工程系

94~97 學年度

工程數學考古題

(2)

中原大學 94 學年度碩士班入學考試

3 月 20 日 14:00~15:30

土木工程系結構組/大地組/水環組

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

□可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 ▉不可使用計算機

1. Solve y′′−4y′+4y=(x+1)e (10%) ²^x 2. A uniform beam of length L carries a concentrated load w at ₀ x=L/2. The

beam is embedded at both ends. Use the Laplace transform method to solve the differential equation ₄ ₀ ( /2)

4

L x dx w

y

EI d = δ − , where δ(x−L/2) is a Dirac delta function, and y(0)=0,y′(0)=0,y(L)=0,y′(L)=0 (15%)

3. Expand

f ( x ) = x

³,

0 < x < 1

, in a Fourier Sine series. (10%) 4. (a) Describe the orthogonality of the Sturm-Liouville problems. (5%)

(b) Solve y x′′( ) 9+ λ² y x( )= 0

y(0)=0, y(1)+y′(1)=0 (10%)

5. Given vr1 = − +er r1 e2 e vr r3, 2 = + +er r1 e2 e vr r3, 3 = − −er r1 e2 er3, and

1= + −r r r, 2 = − +r r 2 ,r 3 = −r 2r+ r

r r r

e i j k e i j k e i j k , where , ,r r r

i j k are the unit vectors of

the orthogonal curvilinear coordinate system.

(1) judge whether

{

r r r1, 2, 3

}

v v v is a base or not? (10%) (2) if the answer of (1) is “yes”, find the reciprocal base of

{

r r r1, 2, 3

}

v v v ; if the answer of (1) is “no”, explain why

{

r r r1, 2, 3

}

v v v cannot be a base. (10%) 6. Find the solution of the following integral ^csch² ^{, where} ^: ¹

I =

∫

c z dz c z = ^(15%)

7. Solve u_t =u_xx+F x( ), with B.C. u(0, )t =0, ( , )u L t = , and 0 u(x,0)= f(x), where ( ) and ( ) are given functions.

F x f x (15%) L

w0

誠實是我們珍視的美德，

我們喜愛「拒絕作弊，堅守正直」的你！

(3)

中原大學 95 學年度碩士班入學考試

3 月 18 日 14:00~15:30 土木工程系

(結構組/大地組/水環組)

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

□可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 ▉不可使用計算機

1.

(a)試證明 Green’s theorem in the plane F² F¹ ₁ ₂

dxdy F dx F dy

x y

∂ −∂  = +

 ∂ ∂ 

 

∫∫ ∫

^{。 (15分)}

(b) 假設區域R為片段圓滑的曲線C所包圍，試證明區域R之面積 1

2 ^c

A=

∫

xdy−ydx^。

(5分)

2. 試求

2 2

2 ln

d y dy

x x y x

dx − dx + = 之解。 (15分)

3. 令

[ ]

1 1 0

0 0 0

A

− 

 

= − 

 

 

試求對應的特徵值(eigenvalues)及特徵向量(eigenvectors)。

(15分)

4. (a) 給定一存在於− < <_l _x _l之正交函數集合S={1,cosm ,sinn ,

x x m n

l l

π π _{為正整數}，試將}

此集合正規化(Normalization)。 (9分)

(b) 設 ^{f x}

( )

^在− < <^l ^x ^l領域中為一片段連續函數，表為

( )

⁰

1 1

cos sin ,

2 _n ⁿ _n ⁿ

a n n

f x a x b x l x l

l l

π π

∞ ∞

= =

= +

∑

+

∑

− < <

試求 a a b ₀, _n, _n (9分)

5. 試利用冪級數解 Legendre 方程式

(

¹⁻^x²

)

^y^′′⁻²^xy^′⁺⁶^y⁼⁰ ^(14分)

6. (a) 試將 ^{f z}

( ) ( )( )

⁼ ^z⁻¹¹^z⁺² ^以^z⁰ ^{= 為中心，在}⁰ ¹^< ^z ^<²環內展開成Laurent級數。

(9分)

(b) 積分

∫

_c ^{f z dz}

( )

^， ^{f z}

^{( )}

⁼

₍

_z₋¹₁

_{) (}

² ⁺ _z₊¹₂

₎

² ^{，式中C為} ^z ⁼^R^，1< < 。 ^R ² (9分)

(4)

中原大學 96 學年度碩士班入學考試

96/03/25 14:00~15:30 土木工程學系

科目：工程數學 (結構組、大地組、水利組) （共 1 頁）

** 不可使用計算機

1. 解線性方程式 y ′ + f ( x ) y = g ( x ) （15％）

2. 試用

Laplace

轉換求積分方程式：

∫ ⁻

+

= e

⁻^t ^t

y u t u du t

y ( )

0

( ) cos( ) （15％）

3. 求 z

²

− xy = 2 在 (1,2,2) 點上之切平面及法線方程式（15％）

4. 積分 ∫

c

( y ⁺ yz cos xyz ) dx ⁺ ( x ⁺ xz cos xyz ) dy ⁺ ( z ⁺ xy cos xyz ) dz _，

式中 c 為 z = 0 平面上之橢圓 4 x

²

+ y 9

²

= 36 （15％）

5. 求 f (x ) =

− x 1

0 1 0

0 1

<

− x

x

之 Fourier 級數（20％）

6. 解方程式

2

t k u t u

∂

= ∂

∂

u ( 0 , t ) = u

_x

( l , t ) = 0 _， u ( x , 0 ) = f ( x ) _（20％）

(5)

中原大學 97 學年度碩士班入學考試

4 月 13 日 14:00~15:30

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

□可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 ■不可使用計算機

1. 試求矩陣 [ ] ¹ ⁰ ¹ ¹ ⁰ ¹

0 0 1

A

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

的特徵値 (eigenvalue) 和特徵向量

(eigenvector)。 (15 分)

2. 試求 _∫∫

_S

(

^xi

^r ⁺

^yj

^r ⁺

^{zk ndA}

^r ) ^r , 其中 S 為單位立方體 0 ≤ ≤ ， 0

x

1 ≤ ≤ ，

y

1 0 ≤ ≤ 所對應的封閉表面。

z

1 (15 分)

3. 利用待定係數法求

y

′′ + 2

y

′ − 3

y

= 8

e^x

之解。 (15 分) 4. 試求

x y²

′′ − 5

xy

′ + 8

y

= 2

ln x

。 (15 分) 5. 試求

(

^x²

¹ )( ¹

^x²

⁹ )

^dx

∞

−∞

+ +

∫ 的 Cauchy principal value 。 (20 分) 6. 試求下面方程式之解

( ) ( )

2

0 0

0 0 0 0

0 0

u u

k , x L, t

x t

u ,t , u L,t , t

u x, f x , x L

∂ = ∂ < < >

∂ ∂

= = >

= ≤ ≤

(20 分 )

土木工程學系

(結構組、大地組、水利組)

(6)

中原大學

機械工程系

94~97 學年度

工程數學考古題

(7)

中原大學 94 學年度碩士班入學考試

3 月 20 日 14:00~15:30 機械工程系熱流組

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

□可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 X 不可使用計算機

1. Solve the following differential equations: 40%

(a) y′′+ y =x, y′(0)=1, 0y(π)= (b) (2+x)²y′′−2y= x²

(c) yy′′= y′²

(d) Use the method of Laplace Transform to resolve problem (a).

2. Find the eigenvalues and eigenvectors of the matrix A

15%

















=

2 2 1

1 3 1

1 2 2 A

3. (a) If Vr =∇φ

, where φ = xyz, determine Vr

⋅

∇ and Vr

×

∇ . 5%

(b) Assume that f and g are scalar functions with continuous second partial derivatives in a space region T with boundary surface S. Show that

dA

n f g dV

g f g f

S

T

∫∫

∫∫∫

⁽ ^∇² ⁺^∇ ^⋅^∇ ⁾ ⁼ ^∂_∂ 10%

4. Heat is generated at a constant rate uniformly throughout a slab which is initially at the temperatureT(x) and whose faces x = 0 and x = L are kept at temperature zero. Thus the 1-D heat conduction equation associated with conditions is

C

x T t

T +

∂

= ∂

∂

2

α 2 ; T(x,0)=T(x),T(0,t) =0 and T(L,t)=0

where α and C are positive constant. Find the temperature at any point of the slab

at any subsequent timeT( tx, ). 30%

(8)

中原大學 95 學年度碩士班入學考試

3 月 18 日 11:00~12:30 機械工程系熱流組

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

þ不可使用計算機

1. The lumped thermal capacity model is often applied for transient heat transfer system, which can be simply expressed as

T T q

m dt

dT

e +

−

= 1 ( )

where m is a time constant, q is a constant from heat source, and T is the _e temperature of free stream fluid. Determine the solution of transient and steady temperature if the initial temperature for the system is T₀. (15%) 2. Solve the following differential equations

a. ky x² dx

xdy − = (k = constant).

b. y x

dx y

d ₂ sin

2 + = . (20%)

3. Show that the total derivative, local derivative, and convective derivative have the relation

+ •∇

∂

= ∂ V^→ t dt

d

where k

j z i y

x

ρ ρ ρ

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ and V uiρ vρj wkρ

+ +

→=

is velocity. (15%)

4. (20%)

a. Reduce the third-order differential equation of

2 0

2 3

3 − − + y =

dt dy dt

y d dt

y d

to be a system of linear first-order differential equations.

b. Apply the method from eigenvectors and eigenvalues to solve above system with initial conditions:y(0) =1, (0)=0

dt

dy , and ₂ (0) 3

2 =

dt y

d .

(Note: If you use other methods to solve the third-order differential equation, you can only obtain maximum score 10 %.)

5. Two-dimensional ( 0≤x ≤a , 0≤ y ≤b ) steady heat conduction equation associated with conditions is

(9)

中原大學 96 學年度碩士班入學考試

96/03/25 11:00~12:30 機械工程學系熱流系統組

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

□可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 V 不可使用計算機

1. Find a fundamental matrix and use it to write the complete solution of the system

e t

x x x

x x

2 2 1 2

2 1

4 2

3 − +

′==

′

10%

2. Solve the following differential equations (a) 2xyy′− y² = x²; y(1)=1

(b) y′′+2y′−3y =4e²^x; 2y(0)= ,y′(0) =−6/5

(c) 0y′′+3y²y′= ; 1y(1)= ,y′(1)=−1 30%

3. Consider the velocity field of a frictionless flow V xy i y jˆ x ykˆ 3

ˆ 1 ³ ²

2 − +

r =

. Determine

(a) if it is a possible incompressible flow, (b) if it is a possible irrotational flow,

(c) if the flow is incompressible, find the pressure gradient∇p with negligible body force for density unity ( ρ =1 ). The Euler’s equation is

g z p

w V y v V x u V t

Vr r r r r

ρ

ρ =−∇ +

∂ + ∂

∂

∂ )

( . 30%

4. A one-dimensional slab (0≤ x≤π ) is initially at temperature zero and the face x

= 0 is kept at that temperature while the face x =π is kept at a constant temperatureT₀. Determine the temperatureT(x,t). Thus this 1-D heat conduction equation associated with conditions is

₂

2

x T t

T

∂

= ∂

∂

∂ α ; T(x,0)=0,T(0,t)=0 and T(π,t)=T₀

where α is a positive constant.. 30%

(10)

中原大學 97 學年度碩士班入學考試

4 月 13 日 11:00~12:30 機械工程學系熱流系統組

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

V 可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 □不可使用計算機 1. 20 分

(a) 請求解 y xy ; y(1) 2 dx

xdy+ = ² = (10 分)

(b) 若(a)之題以數值方法求解，請簡述所用的方法及其求解步驟之推演。(10 分) 2. 15 分

請求解

2 2

2

dx dy dx

y

yd ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

3. 15 分

請求解 5y′′+y′=−6x , y(0)=0 , y′(0)=−10

4. 15 分

請求解 F(x,y,z)= xy²−4x²y+z²於位置點(1,−1,2)在方向6iˆ+2jˆ+3kˆ的變化量 (Directional derivative).

5. 15 分

請求解下列矩陣之 Eigenvalues 及其對應之 Eigenvectors.

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

9 1 1

1 9 1

1 1 9

6. 20 分

有一顆直徑為 10 cm 的鋼珠，其材質密度、比熱、熱傳導值分別為

m3

8000 kg

=

ρ 、

C kg 460 J

CP o

= ⋅ 、

C m 35 W

k = ⋅o 。開始時鋼珠保持著的500^oC均勻溫度分布。

在一瞬間把該鋼珠置放在一個溫度維持在的80^oC可控制環境中。在這狀況下假

設熱對流係數

C m 15 W

h= 2⋅o 。

(a) 請以能量守恆觀念建立鋼珠的溫度隨時間變化方程式。

中原大學 土木工程系 94~97學年度 工程數學考古題

提要 71：中原大學碩士班入學考試「工程數學」相關試題

中原大學

土木工程系

94~97 學年度

工程數學考古題

中原大學 94 學年度碩士班入學考試

3 月 20 日 14:00~15:30

土木工程系結構組/大地組/水環組

科目： 工程數學 （共 1 頁第 1 頁）

f ( x ) = x

0 < x < 1

{

}

{

}

{

}

∫

中原大學 95 學年度碩士班入學考試

3 月 18 日 14:00~15:30 土木工程系

科目： 工程數學 （共 1 頁第 1 頁）

1.

∫∫ ∫

∫

[ ]

( )

( )

∑

∑

(

)

( ) ( )( )

∫

( )

( )

(

) (

)

中原大學 96 學年度碩士班入學考試

96/03/25 14:00~15:30 土木工程學系

科目： 工程數學 (結構組、大地組、水利組) （共 1 頁）

1. 解線性方程式 y ′ + f ( x ) y = g ( x ) （15％）

2. 試用

轉換求積分方程式：

∫ −

+

= e

y u t u du t

y ( )

( ) cos( ) （15％）

3. 求 z

− xy = 2 在 (1,2,2) 點上之切平面及法線方程式 （15％）

4. 積分 ∫

( y + yz cos xyz ) dx + ( x + xz cos xyz ) dy + ( z + xy cos xyz ) dz ，

式中 c 為 z = 0 平面上之橢圓 4 x

+ y 9

= 36 （15％）

5. 求 f (x ) =

− x 1

0

1 0

0 1

<

<

<

<

− x

x

之 Fourier 級數 （20％）

6. 解方程式

t k u t u

∂

= ∂

∂

∂

u ( 0 , t ) = u

( l , t ) = 0 ， u ( x , 0 ) = f ( x ) （20％）

中原大學 97 學年度碩士班入學考試

4 月 13 日 14:00~15:30

中原大學土木工程系 94~97學年度工程數學考古題

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

^{( )}

₍

_{) (}

₎

科目：工程數學 (結構組、大地組、水利組) （共 1 頁）

∫ ⁻

− xy = 2 在 (1,2,2) 點上之切平面及法線方程式（15％）

( y ⁺ yz cos xyz ) dx ⁺ ( x ⁺ xz cos xyz ) dy ⁺ ( z ⁺ xy cos xyz ) dz _，

之 Fourier 級數（20％）

( l , t ) = 0 _， u ( x , 0 ) = f ( x ) _（20％）

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

1. 試求矩陣 [ ] ¹ ⁰ ¹ ¹ ⁰ ¹

的特徵値 (eigenvalue) 和特徵向量

2. 試求 _∫∫

^r ⁺

^r ⁺

^r ) ^r , 其中 S 為單位立方體 0 ≤ ≤ ， 0

¹ )( ¹

⁹ )

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）

科目：工程數學（共 1 頁第 1 頁）