全面生產維修策略之理論與實務應用研究---子計畫III：產品保證對最佳維修策略之影響(I)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

子計畫三:產品保證對最佳維修策略之影響(1/3)

計畫類別： 整合型計畫

計畫編號： NSC91-2213-E-011-091-

執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學工業管理系

計畫主持人： 葉瑞徽

計畫參與人員： 陳光澄、陳明郁、遲銘璋

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 92 年 5 月 14 日

全面生產維修策略之理論與實務應用研究--計劃三：

產品保證對最佳維修策略之影響(1/3)

The Impacts of Product Warranty on the Optimal Maintenance Policies

計畫編號：NSC 91-2213-E-011-091

執行期限：民國 91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日

計劃主持人：葉瑞徽教授 國立臺灣科技大學工業管理系(rhyeh@im.ntust.edu.tw) 共同主持人：羅惠瓊副教授 真理大學管理科學研究所

計畫參與人員：陳光澄、陳明郁、遲銘璋 國立臺灣科技大學工業管理系 一、中文摘要

本子計畫探討產品保證對最佳維修策略之影響。第一年度首先分析免費置換 保證對傳統不可維修產品之年齡置換策略的影響。由於傳統年齡置換是最為重要 且廣泛應用於不可維修產品的一種維修策略，本計畫以買方的立場，建立與分析 在產品具有免費置換保證下，買方採行年齡置換策略之成本模式，推導最佳置換 年齡使得長期平均總成本最小，並透過數值範例與傳統不具免費置換保證之最佳 年齡置換策略的結果互相比較驗證，藉以探討免費置換保證對最佳年齡置換策略 之影響。結果顯示在特殊成本結構下，最佳置換年齡將會小於傳統置換年齡。

關鍵詞：免費置換保證、年齡置換策略、長期期望平均總成本。

Abstr act

In this study, the effects of product warranty the traditional age-replacement policy are investigated. Since the age-replacement policy is the most commonly used maintenance policy for non-repairable product, a cost model is developed to incorporate the free-replacement warranty at the buyer’s point of view. Based on the model, the optimal age for replacement is derived such that the long-run coat per unit time is minimized. The resulting optimal age is then compared to the traditional replacement age via numerical example. The result shows that the resulting optimal age may be shorter than the traditional age under certain cost structure.

Keywor ds: Free-Replacement Warranty, Age Replacement Policy, Long-Run Expected Cost Rate.

二、緣由與目的

本子計畫為國科會整合型三年計劃「全面生產維修策略之理論與實務應用研究」

之子計劃三-『產品保證對最佳維修策略之影響』 。第一年年度之主要研究內容主 要以買方立場探討產品保證對於不可維修產品之最佳置換策略的影響，相關背景 介紹如下。

隨著近代人類科技與文明的快速發展，產品發展呈現多樣化與精緻化的特 性。然而豐富的產品規格，也導致產品本身的使用壽命分配更趨複雜，因而造成 消費者在產品使用過程中增加了更多的不確定性，連帶衍生出與產品可靠度相關 之消費者使用習慣與觀感等諸多問題。為因應消費者意識之提昇與使用習慣的改 變，具有提升消費者對產品信賴程度與實質保障之作用的產品保證策略，遂成為 直接歸屬於產品本身的重要附加價值之一。對於保證的策略的型態與成本模式的 分析，在 Balcer 與 Sahin [1] 及 Blischke 與 Murthy [4]的論文中對這方面的研究 成果有廣泛且完整的調查。

在眾多保證策略中，免費置換保證是一種對於不可維修產品之使用者最直接 有效的保證策略，也是最被廣泛採用的保證策略。Blischke 與 Scheuer [5]在 1981 年藉由更新理論發展免費置換保證策略的理論基礎，建立分析保證策略的模式。

因此，本研究探討買方購買具有免費置換保證之不可維修產品時，相對應維修策 略所要因應的調整。

買方購買具有免費置換保證之不可維修產品後，針對不同產品將有不同的維 修策略，由於年齡置換策略具有決策明確且容易執行的特性，因此成為不可維修 產品最被廣泛運用的一種維修策略。關於年齡置換策略，Barlow 與 Proschan [2]

對於具連續型壽命分配之產品的年齡置換策略有基本的理論介紹與分析， Berg [3] 、Osaki 與 Nakagawa [6] 及 Osaki [7] 亦分別驗證年齡置換策略的合理性。

因此，本研究著重於推導具有免費置換保證之不可維修產品的相對應最佳年齡置 換策略。

關於保證策略與維修策略的整合方面，Ritchken 與 Fuh [8] 曾經研究 折價式保證策略與不可維修產品之最佳年齡置換策略的模式，而有關年齡置換保 證策略與年齡置換策略的整合研究則付之闕如，因此，本子計劃針對買方的立 場，建構並分析免費置換保證下，買方採行年齡置換策略之整合成本模式，尋求 最佳化條件，並與傳統年齡置換策略的結果相互比較驗證，藉以探討免費置換保 證對於傳統年齡置換策略產生之影響。

三、研究方法及成果

所謂更新式免費置換保證就是產品在保證期內失效時，均由賣方免費提供

每次一個新的產品做置換，且重新計算該產品之保證期。模式之基本假設如下：

l 保證期內的使用之產品，只在損壞時進行失效性置換，而不會進行預防性置 換。

l 保證期內因失效而由賣方免費提供之置換產品，買方不需負擔採購成本。

l 產品採購與置換所需之前置時間均忽略不計。

l 產品失效會造成買方一次當機成本，其中當機成本為一常數。

l 單次訂貨成本與單位產品購買成本亦均為常數。

建構成本模式所使用之數學符號分述於下：

w 單一產品保證期 C 單次採購成本 o

C 產品單位購買成本 b

C 單次當機成本 d

X 產品之壽命 )

( ⋅

f 產品壽命之機率分配 (⋅ )

F 產品壽命之累積機率分配 (⋅ )

r 產品壽命之失效率函數 µ 產品壽命之期望值

N 產品在保證期 w w 內置換的次數 t w 產品之置換年齡

(⋅ )

C 更新循環總成本 (⋅ )

T 更新循環總時間 (⋅ )

CR 單位時間期望總成本

3.1 成本模式— t _w ≥ w

在更新式的免費置換保證下，首先考慮保證期不大於置換年齡（ t _w ≥ w ）的 情形。更新循環內第一個產品的使用，必符合下圖 1 中所示的三種狀況之一。

t _w

X

₁

w

更新循環

w

X

₁

更新循環

w

X

₁

更新循環

t _w

t _w

失效置換

（具保證）

失效置換

（不具保證）

預防性置換

圖 1 更新式免費置換保證

示意圖（ t _w ≥ w ）

考慮該產品在保證期 w 與置換年齡 t _w 前後之可能的失效狀況，可求得單 次更新循環時間為：



 



≥

<

<

≤

=

w w

w w

t X t

t X w X

w X X

t T

1 1 1

1 1

) (

若 若 若

單次更新循環成本為：



 



≥ +

<

<

+ +

≤

=

w b

o

w d

b o

d

w

t X C

C

t X w C

C C

w X C

t C

1 1 1

) (

若 若 若

單位時間期望總成本可透過上述結果計算如下：

]]

| ) ( [ [

]]

| ) ( [ [ )]

( [

)]

( ) [

(

1 1

X t T E E

X t C E E t

T E

t C t E

CR

w w

w w

w = =

dt t F

t F C w F C C

t

w

w d b

o

) (

) ( )

( ) (

∫ 0

⋅ +

⋅

= +

將 CR ( t _w ) 對 t 做一階微分並令其為 0，可得： _w )

( )

( )

( )

( 0 F w

C C t C

F dt t F t

r

d b o w t

w

w

− = + ⋅

⋅ ∫ ⁽¹⁾

分析式(1)可得下列定理。

定理 1：假設對所有 t _w > 0 ， r ′ ( t _w ) > 0 。 (1) 若 _{( ) ( ) ( ) ( )}

0 F w

C C w C

F dt t F w r

d b w o

+ ⋅

≥

−

⋅ ∫ ^{，則 t w ∗ = w .}

(2) 若 _{( ) ( ) ( ) ( )}

0 F w

C C w C

F dt t F w r

d b w o

+ ⋅

<

−

⋅ ∫ ^且

d

d b

o

C

C w F C r C

⋅

+

> +

∞ µ

) ( ) ) (

( ，則存

在有限且唯一的 t _w ^∗ > w 使得 _{( ) ( ) ( ) ( )}

0 1 1 F w

C C t C

F dx x F t

r

d b o w t

w

w

− = + ⋅

⋅ ^∗

∗ ∫

^∗

^且

) ( )

( t _w ^∗ = C _d ⋅ r t _w ^∗

CR 。

3.2 成本模式— t _w ≤ w

其次，考慮置換年齡不大於保證期（ t _w ≤ w ）的情形。更新循環內第一個產

品的使用，必符合下圖 2 所示的兩種狀況之一。

t _w w X ₁

更新循環

X ₁

更新循環

失效置換

（具保證）

預防性置換

t _w w

圖 2 更新式免費置換保證示意圖

（ t _w ≤ w ）

考慮更新循環中第一個使用產品壽命，可求得單次更新循環時間為：

 



>

= ≤

w w

w

w t X t

t X t X

T

1 1

) 1

( 若

若

單次更新循環成本為：

 



>

+

= ≤

w b

o

w d

w C C X t

t X t C

C

1

) 1

( 若

若

單位時間期望總成本計算結果如下：

)]

( [

)]

( ) [

(

w w

w E T t

t C t E

CR =

dt t F

t F C C C C C

t

w

w b

o d b o

) (

) ( )]

( [ ) (

∫ 0

⋅ +

− +

= +

令 CR ( t _w ) 對 t _w 微分的結果為 0，可知當 C _d > C _o + C _b 時

) ) (

( ) ( ) (

0 d o b

b o w

t

w C C C

C t C

F dt t F t

r

^w

+

−

= +

−

⋅ ∫ ⁽²⁾

考慮當 t _w 趨近 0 時，式(2) 之等號左側亦趨近於 0。由於 r ( t _w ) 單調遞增 的特性，可以推論對所有 t _w > 0 ， ^{r ' ( t w ) ⋅} ∫ ^{0 t}

^w

^{F ( t ) dt} 恆為正值，此結果亦說明

) ( )

( )

( 0 w

t

w F t dt F t

t

r ⋅ ∫

^w

− ^{為 t w 之單調遞增函數，故當 C d ≤ C o + C b 時，可得} 0

, 0 )

( < ∀ >

′ t _w t _w

R

C 的結果。

其次，當 C _d > C _o + C _b 時，首先考慮

) ) (

( )

( ) (

0 d o b

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

≤ +

−

⋅ ∫

的情形，此條件說明了當 t _w < w 時，均可得 C R ′ ( t _w ) < 0 的結果，因此 CR ( t _w ) 的最佳解發生在 t _w = w 時。此外式(2)左側必須大於

) ( _{o b}

d

b o

C C C

C C

+

−

+ 以滿足

w

t _w ^∗ < 的限制，亦即

) ) (

( )

( ) ( 0

b o d

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

> +

−

⋅ ∫ ^{。一旦存在 t w ∗ 滿}

足(2)式，我們可以知道根據上述 ' ( ) ( ( ) ) 0

0 >

+

⋅ ∫ ^t

^w

w w F t dt

t

r 的特性，對所有

< ∗ _w

w t

t ，皆有 CR ' ( t _w ) > 0 的結果，如定理 2。

定理 2：假設對所有 t _w > 0 ， r ′ ( t _w ) > 0 。 (1) 若 C _d − ( C _o + C _b ) ≤ 0 ，則 t _w ^∗ = w . (2) 若

) ) (

( ) ( )

( 0

b o d

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

≤ +

−

⋅ ∫ ^{，則 t w ∗ = w .}

(3) 若

) ) (

( ) ( )

(

0

b o d

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

> +

−

⋅ ∫ ，則存在一有限且唯一之 t _w ^∗ < w 使得 )

) ( ( )

( ) (

0 d o b

b o w

t

w C C C

C t C

F dt t F t

r

^w

+

−

= +

− ^∗

∗ ∫

^∗

^{，且 CR ( t w ∗ ) = [ C d − ( C o + C b )] ⋅ r ( t ∗ w ) 。}

3. 演算法

根據前述討論，更新式免費置換保證成本模式下之最佳置換年齡 t ^∗ _w 的決 定，可透過下列演算法的搜尋步驟來進行：

步驟 1：給定產品之壽命分配 F (⋅ ) 、免費置換保證期 w 與相關之成本 C 、 _o C _b 與 C _d 。 若 C _d ≤ C _o + C _b ，執行步驟 3.

步驟 2：令 ( ) ( ) ( )

1 r w 0 F t dt F w

A = ⋅ ∫ ^w − ^{，若 ( ) 1} _{( )}

b o d

b o

d b o

C C C

C A C

w C F

C C

+

−

≤ +

≤ + ⋅

， 得 t _w ^∗ = w 。若 ₁ F ( w )

C C A C

d b

o + ⋅

< ，執行步驟 3。若

)

1 (

b o d

b o

C C C

C A C

+

−

> + ，執

行步驟 5。

步驟 3: 計算 A ₂ lim r ( t )

t → ∞

= ，

若

d

d b

o

C

C w F C A C

⋅

+

≤ +

µ ) ( ) (

2 ，得 t _w ^∗ = ∞ 。

步驟 4: 以 t _w = w 為啟始點，利用牛頓法搜尋大於 w 且滿足式(*) 之 t 。 _w ^∗ 步驟 5: 以 t _w = w 為啟始點，利用牛頓法搜尋小於 w 且滿足式(**) 之 t 。 _w ^∗

所得到的最佳置換年齡將如圖 3 所示。

(1) t

_w^*

= w CR(t

_w

)

t_w^* = w

t

w

(2) t

_w^*

> w CR(t

_w

)

t_w^*

t

w

(3) t

_w^*

diverge CR(t

_w

)

t

w

(4) t

_w^*

< w CR(t

_w

)

tw*

t

CR(w)

CR( )'

圖 3 最佳置換年齡 t _w ^∗ 四、結論與討論

免費置換保證下，買方最佳化的考量如同傳統年齡置換策略，取決於產品的 失效率與當機成本。就買方而言，若當機成本偏低，則免費置換保證所帶來的保 證價值（成本率下降的效果）較為顯著。再者，若存在有限且唯一的 t ，則當 _w ^*

w

t _w ≥ 時，此最佳置換年齡 t _w ^* 將小於傳統年齡置換成本模式之 t ₀ ^* 。反之，當 w

t _w ≤ 時， t _w ^* 將大於 t ₀ ^* 。

五、計畫成果自評

本研究完成子計畫中，具更新式免費置換保證考量之產品，其年齡置換策略 訂購成本模式之建構，並分析探討成本模式的性質，透過數值演算法範例，與傳 統年齡置換策略訂購成本模式做比較，獲致相關於決策制訂之重要性質，佐證保 證策略對成本模式之影響。相關研究結果已撰文投稿 Reliability Engineering and System Safety，這些結果奠定了第二年度及第三年度研究產品保證對可維修產品 最佳維修策略之影響的理論基礎。

六、參考文獻

[1] Balcer, Y. and Sahin, I. Replacement costs under warranty: Cost moments and time variability. Operations Research (1986). Vol. 34-4, pp. 554-559.

[2] Barlow, R. E. and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability, Wiley, New York (1965).

[3] Berg, M., “A proof of optimality for age replacement policies,” Journal of Applied

Probability, 13, 751-759 (1976).

[4] Blischke, W. R. and D. N. P. Murthy, Warranty Cost Analysis, Marcel Dekker, New York (1994).

[5] Blischke, W. R. and E. M. Scheuer., “Applications of renewal theory in analysis of the free-replacement warranty,” Naval Research Logistics Quarterly, 28(2), 193-205 (1981).

[6] Osaki, S. and T. Nakagawa, “A note on age replacement,” IEEE Transaction on Reliability, 24(1), 92-94 (1975).

[7] Osaki, S., Applied Stochastic System Modeling, Springer, New York (1993).

[8] Ritchken, P. H. and D. Fuh, “Optimal replacement policies for irreparable

warrantied items,” IEEE Transaction on Reliability, 35(5), 621-623 (1986).