，， xxxx 0 1 0 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠ 1 − x

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：95.04.27 班級 普三 班

範

圍 Book6 1-3 連續

座號

姓 名 一、是非題( 每題 5 分)

1. 設 f (x) = 1 x− ² ，則f (x)在實數集合 R 中為一連續函數。

【解答】╳

【詳解】

因為1−x² ≥ ⇒0 x²− ≤ ⇒ − ≤ ≤1 0 1 x 1，所以f (x)的定義域為[− 1，1]，且 f (x)在定義域都連 續，故f (x)是閉區間[− 1，1]的連續函數，但不是到處連續的函數

2. 設 f 與 g 均為實變數函數，f：A → B 且 g：B → R。若 f (x) = b 且 g (x)存在，則 g(f (x)) = g (b)。

x→a

lim limx→b

x→a

lim

【解答】╳

【詳解】若 f (x) = b 且 g (x) = g (b)，則 g (f (x)) = g (b)。（亦即 g 在 x = b 處連續）

x→a

lim limx→b

x→a

lim

3. 設 f (x) = 3 3

2 +

− x

x ，則f (x)在實數集合 R 上為一連續函數。

【解答】○

【詳解】f (x)在 R 都有意義且 f (x) =

x→a

lim 3

3

2 +

− a

a = f (a)，任意 a∈R，即 f (x)為 R 上的連續函數

4. 設函數 f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠ 0 1

0

x x x x

，

， ，則f (x)在實數集合 R 上為一連續函數。

【解答】╳

【詳解】f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠ 0 1

0

x x x x

，

， 時，f (x) = ，顯然f 在 x = 0 時不連續

⎩⎨

⎧

<

−

≥ 0 1

0 1

x x

，

，

二、選擇題(每題 10 分)

1. 設方程式 4x² + ax + (a − 13) = 0 有一根介於 0 與 1 之間，另一根介於 − 3 與 − 2 之間，則 (A)2

9< a < 13 (B) 2

23< a < 13 (C) 3 < a <

2 9 (D)

2

9 < a <

2

23 (E) 3 < a <

2 23

【解答】(D)

【詳解】

設f (x) = 4x² + ax + (a − 13)，由f (0) f (1) < 0 及f (− 3) f (− 2) < 0 得不等式組

⎩⎨

⎧

<

−

−

<

0 ) 2 ( ) 3 (

0 ) 1 ( ) 0 (

f f

f

f ⇔

⎩⎨

⎧

<

− +

−

− +

−

<

− + +

−

0 ) 13 3

36 )(

13 2

16 (

0 ) 13 4

)(

13 (

a a a

a

a a a

⇔ ⎩⎨⎧

<

−

−

<

−

−

0 ) 2 23 )(

3 (

0 ) 9 2 )(

13 (

a a

a

a ⇔

2

9< a < 13 且 3 < a <

2 23

取交集，得 2 9< a <

2 23

2. (複選)設 f (x)是連續函數，g (x)不是連續函數，則下列敘述何者正確？

(A) f (x) + g (x)必是連續函數 (B) f (x) + g (x)不是連續函數 (C) f (x)．g (x)必是連續函數 (D) f (x)．g (x)一定是不連續函數 (E) f (x)．g (x)不一定是不連續函數

【解答】(B)(E)

【詳解】

已知f (x)是連續函數，g (x)不是連續函數，則

c f (x) + g (x)不是連續函數 d f (x)．g (x)不一定是不連續函數 如：取f (x) = sinx，x∈ (− π，π)，而 g (x) =

x

1，x ∈ (− π，π)，則 f (x)．g (x)不是連續函數 若取f (x) = 0，則 f (x)．g (x)是連續函數。故應選(B)(E)

3. (複選)下列敘述哪些是正確的？

(A) f (x) = x² − 3x + 2 在R上是連續函數 (B) f (x) = log₂(x² + 1)在R上是連續函數 (C) f (x) = tan x在區間(− π，π)上是連續函數 (D) f (x) =

x x

sin 是R上連續函數

(E) f (x) = xsin x

1 ，x ≠ 0

⎩⎨

⎧

0，x = 0 是R上連續函數

【解答】(A)(B)(E)

【詳解】

(A)多項函數是連續函數

(B)令h (x) = x² + 1，g (x) = log 2 x，則 f (x) = (h(x)) = log2(x² + 1)

因h(x) = x² + 1 是連續函數，g (x) = log2 x在x > 0 是連續函數，故f (x)在R上是連續函數 (C) f (x) = tan x在x =

±π2處極限不存在，故f (x)在區間(− π，π)上不是連續函數 (D)因f (x)在x = 0 處不存在，故f (x)在R上不是連續函數

(E)c因f (x)在x ≠ 0 處均連續 d考慮x ≠ 0 時，0 <

x

sin1 ≤ 1，故 0 < x x 1x ≤

sin

但 x

limx

→0 = 0，由夾擠定理知： lim f (x) = (xsin

→0

x lim

→0

x x

1) = 0 = f (0)，故f (x)在x = 0 處也連續

由c及d知：f (x) = xsin x

1，x ≠ 0

⎩⎨

⎧

0，x = 0 是R上連續函數

三、填充題(每題 10 分) 1. 若f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

− + ≠

−

−

　　　　　

，

， 2 2 2

16

2 6 x k

x x x x

是R上的連續函數，則k的值為 。

【解答】− 10

【詳解】

f (x) = 是R 上的連續函數，所以

⎩⎨

⎧

−

=

−

≠

−

　　

，

， 2

2 8

x k

x

x f x f k

x = − =

−

→ ( ) ( 2)

lim2

10 8

2 8) ( lim ) ( lim

2

2 = − =− − =−

−

→

−

→ f x x

x

x ，且f (− 2) = k， f x f k

x = − =

−

→ ( ) ( 2)

lim

2 ，故k = − 10

2. 若函數f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

=

∈

≠

Z n n x

Z n n x x

x

，

，

，

，

π

π

1

sin 2 sin

，則f (x)不連續的x值為 。

【解答】x = n

π

，n ∈ Z

【詳解】

當x ≠ n

π

，n ∈ Z 時，sin x ≠ 0

得f (x) = x

x x x x

x 2cos

sin cos 2sin sin

2

sin = = ，故f (x) =

所以cn 為偶數時， f (x) = 2 dn 為奇數時， f (x) = − 2 df (n

π

) = 1 由cd與e知 f (x) ≠ f (n

π

)，故 f (x)不連續的 x 值為 x = n

π

，n∈Z

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

=

∈

−

=

≠

−

∈

=

≠

1

1 2 2

2 2

Z n n x

Z k

n n x

Z k n n x

，

，

，

，

　　　

，

，

π

π π

π x→limn

π x→limn π

x→limn

3. 若用二分逼近法求方程式x³ + x² + x − 1 = 0 在 0 與 1 之間實根的近似值，使其誤差要小於 16

1 ，則近似值為 。

【解答】16 9

【詳解】

要求 0 與 1 之間的一實根，如圖為一條標示 0 與 1 的數線

依序計算下列各函數值，並在數線上標示±號，f (0) = − 1 < 0，f (1) = 2 > 0 f (2

1) = 8 1+

4 1+

2

1− 1 = − 8

1 < 0，故根在 2

1與 1 之間 f (4

3) = 64 27+

16 9 +

4 3− 1 =

64

47 > 0，故根在 2 1與

4 3之間 f (8

5) = 512 125+

64 25+

8 5− 1 =

512

133 > 0，故根在 2 1與

8 5之間 取2

1與 8

5兩點的中點 16

9 作為f (x) = 0 近似根，其誤差小於 16

1 ( ^{1 5 1} 2− =8 16

∵ )

4. 設函數f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧− 2x − 5，x < a x + 1，a ≤ x < 3 2x + b，x ≥ 3

，若f (x)是定義於R的連續函數，則數對a² + b²之值為

。

【解答】8

【詳解】

因f (x)是定義於R的連續函數，故f (x)在x = a處及x = 3 處均連續 cf (x)在x = a處連續 f (x)在x = a處的左右極限相等 即 f (x) = f (a) − 2a − 5 = a + 1，得a = − 2 df (x)在x = 3 處連續 f (x)在x = 3 處的左右極限相等 即 f (x) = f (3)

⇔

→a−

xlim ⇔

⇔

→3−

xlim ⇔ 3 + 1 = 6 + b，得b = − 2 由cd得a = − 2，b = − 2，故a² + b² = 8

5. 設f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

=

−

−

≠ + ≠

+ + +

1 0

2

1 0

) 1 (

6 11 6 ²

3

x x

x x x

x

x x x

且

，

且

， ，則f (x)在哪些位置不連續？ 。

【解答】x = 0

【詳解】

x ≠ 0 且 x ≠ − 1 時，f (x) =

) 1 (

) 3 )(

2 )(

1 (

+ + + +

x x

x x

x =

x x x 2)( 3)

( + +

f (x) = lim1

−

→

x 1

) 3 1 )(

2 1 (

− +

− +

− = − 2 = f (− 1)且 f (x) =

x→a

lim a

a a 2)( 3)

( + + = f (a) a ≠ − 1 且 a ≠ 0，但 f (x)不存在，所以 f (x)只在 x = 0 處不連續

lim0

→ x

6. 設g(x) = x−1，f (x) =

1 ) 1 ( ) (

−

− x

g x

g 對於x ≥ 1，則 f (x) = lim2

→

x ，f在哪些點不連續？

。

【解答】1，x = 1

【詳解】f (x) =

1 ) 1 ( ) (

−

− x

g x

g =

1 1

−

− x

x =

1 1

−

x （∵ g(1) = 0）

∴ f (x) =

2

limx→ 2 1 1

− = 1，且 f 在 x = 1 不連續

7. 已知x³ − 3x² + 10x + 60 = 0 恰有一實根，且它在兩個連續整數n與n + 1 之間，則n =

。

【解答】 − 3

【詳解】

令f (x) = x³ − 3x² + 10x + 60，則f (x)為R上的連續函數

f (− 3) = − 27 − 27 − 30 + 60 = − 24，f (− 2) = − 8 − 12 − 20 + 60 = 20 由勘根定理知，f (x) = 0 在(− 3，− 2)區間內有一實根，所以n = − 3

8. 設f (x) = x⁴ + a x ³ + 2 x ² − 3x − 2a = 0 在開區間(− 2，− 1)與(1，2)各恰有一實根，則實數a 的範圍為 。

【解答】2 < a < 3

【詳解】

因為f (x) = 0 在開區間(− 2，− 1)與(1，2)各恰有一實根，依據勘根定理知

由c解得 2 < a < 3；由d解得 a < − 3 或 a > 0。兩者取交集，可得 2 < a < 3

⎩ ⇒

⎨⎧

<

<

−

−

0 ) 2 ( ) 1 (

0 ) 1 ( ) 2 (

f f

f f

⎩⎨

⎧

<

+

−

<

+

− +

−

0 ) 18 6 )(

(

0 ) 6 3 )(

30 10 (

a a

a

a ……c

……d

9. 設方程式f (x) = 12x³ − 8x² − 23x + 11 = 0 在開區間(a，a + 1)，(b，b + 1)，(c，c + 1)各有一 根，若a，b，c ∈ Z且a < b < c，則b = ，而a + b + c = 。

【解答】0，− 1

【詳解】

利用綜合除法計算f (x)的一些函數值如下表

x − 2 − 1 0 1 2

y = f (x) − 71 14 11 − 8 29 因為f (− 2) f (− 1) < 0，f (0) f (1) < 0，f (1) f (2) < 0

由勘根定理知：f (x) = 0 在開區間(− 2，− 1)，(0，1)，(1，2)各恰有一實根 a = − 2，b = 0，c = 1，亦即 a + b + c = − 1

10.設g (x) = ，若g：R → R是連續函數，則a =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<

<

+

≤ 2

2 1

1

3 2

x x

x b

ax

x x

，

，

，

，b = 。

【解答】7，− 6

【詳解】

因為g：R → R 是連續函數，所以 g 在 x = 1 及 x = 2 處均連續 故 g(x) = g(1) a + b = 1……c。

g (x) = g (2)

→1+

limx ⇔

→2−

xlim ⇔ 2a + b = 8……d 解c與d，得 a = 7，b = − 6

11.設 f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− ≠ +

− +

2 0

2 6

12 4

2 2

x x x

x x x

，

， ，試求 f (x)之值=________________， f (x)在 x = 2 處是否

連續？______________

2

limx→

【解答】5 8，否

【詳解】

2

limx→ 6 12 4

2 2

− +

− +

x x

x

x =

2

limx→ ( 2)( 3) ) 6 )(

2 (

+

− +

− x x

x

x =

2

limx→ 3 6 + + x

x =

5

8 ≠ f (2)，f (x)在 x = 2 是不連續的

12.(複選)判斷下列各函數是否「到處連續」？(A)f (x) = x⁶ + 8x ⁴ − 2x² + 5 (B) g (x) = 2^x+2 − 3 (C) h (x) = sin( 3x +

4

π ) (D) p (x) =

) 2 (

1

− + x x

x (E)q (x) = x

1 (F)r (x) =³ 2x+1

【解答】到處連續：(A)(B)(C)(F)

【詳解】

(A)多項函數均是到處連續

(B)指數函數的指數 x 並沒有任何限制，所以它是到處連續 (C) y = sin x ^左右伸縮

3 1倍

y = sin 3x ^向左平移

12

π y = sin 3( x + 12

π )

因 y = sin x 是到處連續，所以 y = sin( 3x + 4

π )也是到處連續

(D) p (x) =

) 2 (

1

− + x x

x 在x = 0 及 x = 2 不連續

(E) q (x) = x

1在x = 0 處不連續

(F) r (x) =³ 2x+1立方根內的x 並沒有任何限制，所以 r (x)是到處連續

13.設 k 為一定數，欲使函數 f (x) = 為一連續函數，則k 之值為何？________

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

+

−

≥ +

1 1 2

2 3

x k x

x x

，

，

【解答】4

【詳解】x = 1 代入x³ + 2 = 1³ + 2 = 3。x = 1 代入 − x² + k = − 1 + k = 3，k = 4

14.設 f (x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− ≠

−

2 2 2

2 4

x k x x x

，

， ，欲使f (x)為到處連續函數，則 k 值為何？_______________

【解答】k = 4

【詳解】

當x ≠ 2 時，f (x) = 2

2 4

−

− x

x = x + 2，其圖形為一直線（但少一點 x = 2）

如果要補上這一點，則必須k = f (2) = 4，所以欲使 f (x)為到處連續，則 k = 4

15.判斷方程式 10^x − 6x² + 3x = 50 是否有實數解？________________

【解答】有

【詳解】

0 (Sol一)：

令f (x) = 10^x − 6x² + 3x，則f (0) = 1< 50，f (2) = 82 > 50，且f (x)是到處連續函數 由中間值定理知：存在

α

∈(0，2)，使得f (

α

) = 10^α − 6

α

² + 3

α

= 50

故方程式 10^x − 6x² + 3x = 50 有實數解

(Sol二)：畫圖 觀察二圖形交點

2

10

6 3 5

y x

y x x

⎧ =⎪

⎨ = − +

⎪⎩

16.判斷方程式logx + 3x² + 2x = 10 是否有實數解？_______________

【解答】有

【詳解】

設f (x) = logx + 3x² + 2x，則f (1) < 10，f (10) >10 17.設函數 f (x) = x + x ，試求：

(1) 4

) 4 ( ) lim (

4 −

−

→ x

f x f

x 之值______________

(2)設函數 f 在集合 A 上都連續，求最大的集合 A=____________________

【解答】(1) 4

5 (2) A = {x | x 0} ≥

【詳解】

(1) 4

) 4 ( ) lim (

4 −

−

→ x

f x f

x =

4

) 4 4 ( ) lim(

4 −

+

− +

→ x

x x

x =

lim4

→

x )

4 1 2

( −

+ − x

x

= (1+

4

limx→ 2 1

+

x ) = 1 +

2 4

1 + =

4 5

(2)函數 f (x) = x + x 是多項函數 x 與無理函數 x 的和函數

因為多項函數x 在 R 上到處連續，而 x 是定義在區間[0，∞)上的連續函數 故函數f (x)在 R ∩ [0，∞) = [0，∞)上連續，亦即最大集合 A = {x | x 0} = [0，∞) ≥

18.試求方程式 5x³ + 11x² − 7x − 10 = 0 的實根位置，在哪些連續整數之間？________________

【解答】(− 3，− 2)，(− 1，0)及(1，2)

【詳解】

(1)正實根5 + 11 − 7 − 10 0 5 + 16 + 9 − 1 1 5 + 21 + 35 + 60 2 α (2)負實根 5 + 11 − 7 − 10 0

5 + 6 − 13 + 3 − 1

β

5 + 1 − 9 + 8 − 2 5 − 4 + 5 − 25 − 3

γ

所以 1 <

α

< 2，− 1 <

β

< 0，− 3 <

γ

< − 2

19.判斷下列各函數是否「到處連續」？(A) f (x) = | x − 2 | (B) g(x) = cos(3x − 3 π )

(C) h(x) = x+3 (D) p(x) =

) 1 (

3 2

+ + x x

x (E) q(x) = 3 5

2 + + x

x (F) r(x) = 3^{x + 2}

【解答】(A)是 (B)是 (C)不是 (D)不是 (E)是 (F)是

【詳解】

(1) y = x − 2 的圖形為一直線，f (x)是取x − 2 的絕對值，故f (x)的圖形是把直線y = x − 2 落 在x軸下方的部分，對x軸對稱上來，所以f (x)仍是到處連續

(2) g(x) = cos(3x − 3

π ) = cos3(x − 9 π )

y = cosx ^{左右水平方向}

伸縮3

1 y = cos3x

右移9 π

y = cos3(x − 9 π )

因y = cosx是到處連續，所以y = cos3(x − 9

π )也是到處連續 (3) h(x)的定義域為[ − 3，∞)且h(x)在其上都是連續

故h(x)在[ − 3，∞)上連續，但它不是到處連續

(4) p(x)在x = 0 與x = − 1 是沒有定義的，所以p(x)不是到處連續

(5)因為分母x² + 3 > 0 對每一個實數x均成立，故q(x)在R上都有定義，q(x)是到處連續 (6)指數函數的x在R上都有定義，所以r(x)是到處連續