x = 0 xy ≠ x = 3 x −= 1 k > 0 5 > 1 (0.5)(0.5)(0.5) <<

高雄市明誠中學 高三數學複習測驗 日期：95.10.16 班級 普三 班

範 圍

Book2 Chap 1

指數對數(1) 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1、( B ) 下列何者正確？ (A) _{1 1 1}

2 2 2

log 5>log 3>log (0.2) (B)log 3₅ >log₅ 2>log 1₅ (C)

2 3

3 3 4

2 >2 >2 (D)(0.5)³<(0.5)⁻¹<(0.5) ²

解析：(B)正確，∵底數 5>1，且3> 2>1，故log 3₅ >log₅ 2>log 1₅ 2、 ( D ) 求log 3 log 5 log 8₂ ⋅ ₃ ⋅ ₅ 之值為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析：原式

log 3 log 5 log 8 log 23

log 2 log 3 log 5 log 2 3

= ⋅ ⋅ = =

3、( C ) x, y 為異於 1 的正實數，k 為實數，下列何者是錯誤的？ (A) (B)

log 1_x =0

10 10 10

log

xy

=log

x

+log

y (C)

(D)

(E)

2

10 10

log k =2 log k log₁₀k³ =3log₁₀k

10 10

log y log x

x

=

y

解析：∵log ( 2)₁₀ − ² ≠2 log ( 2)₁₀ −

∴log₁₀k² ≠2 log₁₀k，log k₁₀ ³若有意義⇒k³ >0 ∴

k

>0故成立

4、( C ) log 35.7=x，則

x

− =1 (A)log 34.7 (B)log 36.7 (C)log 3.57 (D)log 357 解析： 1 log 35.7 log10 log^35.7 log 3.57

x− = − = 10 =

5、( C ) x, y 皆為正數，若

x

³ =

y

², 2x=3y，則以下何者正確？ (A)

x

=3 (B)x= y (C)

x

^x =

y

^y (D) 4

x

^x =9

y

^y (E) 9

x

^y =4

y

^x

解析：

x

³ =

y

² ∴

x

^3x =

y

^{2 x} ∴

x

^3x =

y

^{3 y} ∴

x

^x=

y

^y

3 2 2

9

x

=9

y

=(3 )

y

=(2 )

x

² ∴9x³=4x²，∴

x

= (不合)或0 ⁴

9, ^{2 8}

3 2

y= x=

7，故 x≠

y

log 9 log 9 log 2 log 3 8 (2 log 2 2 log 3)

27

xy = +y x= + −

log 4 log 4 log 2 log 2 4(3log 2 3log 3) 9

yx = +x y= + −

∴ log 9

x

^y ≠log 4

y

^x，故 9

x

^y ≠4

y

^x。

6、( D ) 若實數 x 滿足不等式log (3₃ 8) 1 log 2 2

x x

+ < + + ₃ 12

，則 x 的範圍為 (A)

(B) (C)

3 3

log 2< <

x

log 8 1< <

x

log3 log 4₃ < <

x

log 8₃ (D)log 4₃ < <

x

log 16₃

(E)log 8₃ < <

x

log 16₃

解析：log (3₃ 8) 1 log 2₃ log 2 3^{2 1} 2

x

x

x

3

+ < + + = ⋅ +

2 1 2

3 8 2 3 6 3

x x

x +

+ < ⋅ = ⋅ 令 3²

x

u

= ，得

u

²−6

u

+ < ⇒8 0 (

u

−4)(

u

− < 2) 0

∴2 3² 4

x

< =

u

< , log 2 log 3 log 4 2

< x <

3 3

log 2 log 4

2 2 2 log 2 2 l

log 3

x

log 3

x

⋅ < < ⋅ ⇒ < < og 4

即log 4₃ < <

x

log 16₃

7、( B ) 設 log 2_a =

x

, log 3_a = ，則

y

log₆ ¹

18可表示為 (A)

x

2

y x y

+

+ (B)

x

2

y x y

− +

+ (C) 2

x y

x y

+ +

(D) 2

x y

x y

− +

+

解析：

2 6

log 1

[log (2 3 )] [log 2 2 log 3]

1 18

log 18 log 6 log (2 3) log 2 log 3

a

a a a

a

a a a

− × − +

= = =

× +

(

x

2 )

y x y

=− + +

8、( B ) log 797=2.9015，則logx=1.9015，則

x

= (A)796 (B)79.7 (C)78.7 (D)7.97 (E)6.97 解析：logx=1.9015=log 797 1− =log 79.7

9、( D ) log log 2 log3^{( )}

10 ⁺ = ？ (A)5 (B)6 (C)log 5 (D)log 6 (E)log 2 log 3⋅ 解析：10^{log10(log 6)} =(log 6)^{log 1010} =log 6

10、( D ) 2 2 log (2 10 ) log (_{10 10} ¹ 10 10 )² 4

x x

x+ + ⁻ − + + ^x = (A)2 10× ^x (B) ₁₀ 1 log 4

x⋅ (C)1 (D)2 log 2₁₀ (E)2x+10^2x

解析：

2

10 10

2 2 log (2 10 ) log (1 10 10 ) 4

x x

x+ + ⁻ − + + ^x

2 2 2

10 10

2 2

10 (2 10 ) 4 10 4 10 1

log log ( )

1 1

( 10 10 ) 10 10

4 4

x x x x

x x x x

+ − × + × +

10 10

log 4 2 log 2

= =

+ + + +

= =

11、( B ) 化簡

2 3

3 4

8⁻ +log 27 log− 2得其值為 (A) ⁵

−4 (B)3 (C)2 (D)1

解析：原式 2

2 1

3 3 3 2

3 2

(2 )⁻ log 3 log 2

= + − 1 1

3 3

4 4

= + − =

12、( A ) 化簡

4

3

2 2 2 2(2 )

n n

n +

+

− ⋅ 得 (A)⁷

8 (B)2ⁿ⁺¹ (C)−2ⁿ⁺¹ (D)1 2− ⁿ 解析：原式

4 1

4

2 2

2

n n

n

+ +

+

= − 2 ¹₄ 1

1 1

2 8

n n + +

7

= − = − = 8

13、( D ) 解方程式log (₃

x

−2)=3，則 x 等於 (A)7 (B)25 (C)27 (D)29 解析：log (₃ x−2)= ⇔ − =3 x 2 3³ =27 ∴

x

=27 2+ =29

14、( A ) 設a^x−2 =1,(a≠0)，則x^x = (A)4 (B)2 (C)8 (D)1 解析：a^x−2 = ⇒ =1 x 2 ∴x^x =2² =4

15、( B ) 設a b, 為正實數，已知log₇

a

=11, log₇

b

= ；試問13 log (₇

a

+

b

)之值最接近下列哪 個選項？ (A)12 (B)13 (C)14 (D)23 (E)24

解析：∵log₇

a

=11⇒a =7¹¹，log₇

b

=13⇒b=7¹³

∴log (₇ a+b)=log (7₇ ¹¹ +7 )¹³ =log [7 (1 7 )]₇ ¹¹ + ² =log 7₇ ¹¹ +log (1 7 )₇ + ² 11 log 507 11 2 13

= + ≈ + =

故應選(B)。

16、( C ) 2^1.5與下列何者最接近？ (A)3 (B)2.5 (C)2.8 (D)3.2 解析：

1

1.5 2

2 = ⋅2 2 =2 2 ≒2.828

17、( A ) 化簡4 log 2 2 log 5 log 4₁₀ + ₁₀ − ₁₀ = (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

= 解析：原式=log (2₁₀ ⁴× ÷5² 4)=log 100₁₀ 2

18、( E ) x, y 為異於 1 的正實數，下列何者是正確的？ (A)log (₁₀ −x)² =2 log (₁₀ −x) (B) log_x

x

=0 (C)log_xy=log_yx (D)log (₁₀

x

+

y

)=log₁₀

x

⋅log₁₀

y

(E)log _x y =log_x y

解析：∵log ( 2)₁₀ − ² ≠2 log ( 2)₁₀ − , log_x

x

= 1 log 1

x log

y

y

=

x

, log₁₀

x

+log₁₀

y

=log₁₀

x y

1

log 2log log 1

2

x x

x

y

=

y

=

y

19、( A ) 若log 4.78=0.6794，則log 47800= (A)4.6794 (B)3.6794 (C)4.3206 (D)0.6794 解析：log 47800=log(4.78 10 )× ⁴ =4.6794

20、( B ) 設 ¹⁰

10

log 5 log 2

x= ，則4^x = (A)10 (B)25 (C)8 (D)16 解析：x=log 5₂ ⇒4^x=4^{log 52} =2^{2 log 52} =2^{log 252} =25

21、( A ) 不等式3^{2 10} ( ¹ ) ² 27

x− < ^x+ ，則 x 的範圍為

(A)− < <4

x

1 (B)− ≤ ≤4

x

1 (C)

x

< − 或4

x

>1 (D)

x

≤ − 或4

x

≥1 解析：3 ^{2 10} ( ¹ ) ² 3 ^{2 10} 3^{3 6}

27

x x x − −x 2 2

10 3 6 3 4 0

x x x x

⇒ − < − − ⇒ + − <

− < + ⇒ − <

(x 4)(x 1)

⇒ + − < 0，即− < <4

x

1

22、( D ) ，若 的首數為 7，則此種正整數 n 共有 (A)1 (B)7 (C) (D) (E) 個

n

∈ logn 9 10× ⁶ 9 10× ⁷

9 10× 8

解析：logn首數為 7 ∴n 之位數為 8 位數共9 10× ⁷個 23、( D ) 2 2 log (2 10 ) log (_{10 10} ¹ 10 10 )²

4

x x

x+ + ⁻ − + + ^x = (A)2 10× ^x (B) ₁₀1 log 4

x (C)1 (D)2 log 2₁₀ (E)2x+10^2x

解析：2 2 log (2 10 ) log (_{10 10} ¹ 10 10 )² 4

x x x

x+ + ⁻ − + + ₁₀ ^{2 2}

2

10 (2 10 ) log 1

( 10 10 4

x x

x x

+ −

=

+ + )

2

10 10 10

2

4 10 4 10 1

log ( ) log 4 2 log 2

10 10 1 4

x x

x x

× + × +

= =

+ +

=

24、( A )

log(log 9) log 3

3 = ？ (A)log 9 (B)3^{log 2} (C)3^{log 3} (D)9 (E)27 解析：

log(log 9)

3 log3 = 3^{log3(log 9)} =(log 9)^{log 33} = og 9l 25、( C )

n

∈ ，若log¹

n的首數為 ，則此種正整數 n 共有 (A)1 (B)k (C) (D)9 1 (E) 個

−

k

9 10× ^k−1 × 0^k

9 10× ^k+1

解析：log¹

n之首數為−

k

∴ k log¹ k 1

− ≤ n< − +

log 1

k≥ n> −k , 10^k ≥ >n 10^k−1，共10^k−10^k−1= ×9 10^k−1

26、( E ) 設

x

=log 5₃ ，則3^2x+3⁻x之值為 (A)5 (B)9 (C)28

3 (D)⁵¹

5 (E)¹²⁶ 5 解析：

x

=log 5₃ ∴3^x = ⇒5 3^2x =25, 3 ¹

5

−x = ，故3² 3 25 ^{1 126}

5 5

x+ −x = + =

27、( C ) log 0.649= −0.1878，則log 64.9=

(A)0.8122 (B)1.1878 (C)1.8122 (D)2.8122 (E)18.7800 解析：log 64.9= log100 0.649 2 log 0.649 1.8122× = + =

28、( D ) 設logA的首數為 a，尾數為

α

，求log¹

A的尾數為 (A)

α

(B)− (C)1

α

+ (D)1

α

−

α

解析：logA= +a α,log¹ logA (a ) a ( a 1) (1 )

A= − = − +α = − − = − − + −α α

∴log¹

A的首數為−a

−

1，尾數為1− 。

α

29、( B ) 設log 5₃ =

a

, log 2_b =3，則9^a+b³之值為 (A)12 (B)27 (C)

(D) (E)

log 35 3

9 +(log 2_b ) )

log 53 3

9 +(log 2_b 9^{log 35} +b^{log 2b} 解析：log 5₃ =

a

∴3^a =5, 9^a =(3 )^{a 2} = 52

log 2_b = ∴3 b³ =2 故9^a+b³ =25 2+ = 27

30、( B ) 試問有多少個正整數 n 滿足100 ？

(A)3 個 (B)4 個 (C)5 個 (D)6 個 (E)7 個 (1.5)ⁿ 500

≤ ≤

解析：由100≤(1.5)ⁿ ≤500 得 l

因為lo

og100≤log(1.5)ⁿ ≤log 500 g100=2

log(1.5) log3 2

n =n =n (log 3 log 2)− =n (0.4771 0.3010)− =0.1761n log 500 log1000

= 2 =log1000 log 2− = −3 0.3010 =2.6990 故 2 0.1761≤

n

≤2.6990⇒ ^{2 2.6990}

0.1761≤ ≤n 0.1761

即11.3572 ，故

滿足原不等式的正整數 n 共有 4 個。

15.327

≤ ≤

n

n=12,13,14,15

31、( A ) 假設 400 ( )³ 4

n

gn = ⋅ ，n 是自然數，則g_n <10⁻³時，n 最少是 (A)45 (B)46 (C)47 (D)48 (E)49

解析：400 ( )³ 10 ³ 4

n −

⋅ < ∴( )⁴ 4 10⁵ 3

n > × (log 4 log 3) 2 log 2 5

n − > + , ^5.6020 44.8...

0.1249 n> =

32、( C ) 試問2⁵⁰是幾位整數？(log 2=0.3010) (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 解析：log 2⁵⁰ =50 log 2=50 0.3010 15.05× =

首數為 15，故2⁵⁰為 16 位整數。

33、( B ) 下列選項中的數，何者最大？ [其中n!= × − × × ×n (n 1) 2 1] (A)100¹⁰ (B)10¹⁰⁰

(C)50⁵⁰ (D)50! (E)100!

50!

解析：先比較(A)(B)(C)的大小

∵100¹⁰ =(10 )^{2 10} =10²⁰

與 ；

100 2 50 2 50 50 50

10 =10 ^× =(10 ) =100 >50 10²⁰ ∴10¹⁰⁰最大 比較(B)(D)的大小

50 100

50! 50 49 48 2 1 100 100 100 100 100 10 50

= × × × × × < × × × × = =

∵

個 比較(B)(E)的大小

100! 100 99 51 50!

50! 50!

× × × ×

= 100 99 98 51 100 100 100 100 10¹⁰⁰

50

= × × × × < × × × × =

個 由1 ,° ° °2 , 3 得10¹⁰⁰最大。

34、( ^BC_D ) (複選)根據對數表，lo 的近似值是 0. ，lo 的近似值是 0.4771 。下列選 項有哪些是正確的？

(A) (B) (C) (D)方程式

g 2 3010 g 3

9 1

10 >9⁰ 10¹² >12¹⁰ 10¹¹>11¹⁰ 10^x=x¹⁰有一負根 解析：(1)∵log10 = 9⁹ ，log 9¹⁰ =10 log 9 10 log 3= ² =20 log 3=20 0.4771 9.542× =

∴log 9¹⁰ >log10⁹ ⇒9¹⁰ >10⁹

(2)∵ ，

∴

log10 = 1212

log1210 =10 log12 10(2 log 2 log 3)= + = ×10 (0.6020 0.4771)+ =10.791

12 10 12 10

log10 >log12 ⇒10 >12

(3)∵ ，而

∴

log1011=11 log12¹⁰ =10.791

11 10 10 11 10 10 11 10

log10 >log12 >log11 ⇒10 >12 >11 ⇒10 >11 (4)令

f x

( )=10^x−

x

¹⁰

∵

f

(0)=10⁰− = >0 1 0， ( 1) 10 ¹ ( 1)^{10 1} 1 ⁹ 0

10 10

f − = ⁻ − − = − = − <

由勘根定理知：∃ ∈ −c ( 1, 0)∋ f c( )=0，故10^x=x¹⁰有一負根 c 。 故應選(B)(C)(D)。

35、( ^BD_E )(複選)設 ，而 表示三角形ABC的三邊長，則

△ABC為 (A)直角三角形 (B)銳角三角形 (C)鈍角三角形 (D)等腰三角形 (E)正三角形

4^a+4^b+4^c−2^{a b+} −2^{b c+} −2^{c a+} =0 a b c, ,

解析：令

A

=2^a,

B

=2^b, C=2^c ∴A² +B²+C²−AB−BC−CA=0

∴¹[( )² ( )² ( ) ]² 0

2 A−B + B C− + C−A = ∴ A= =

B C

，故三角形 ABC 為正三角形 2^a =2^b =2^c⇒ = =a b c

36、( AD ) (複選)設

a

> >

b

1000，令

p

= log₇

a

⋅log₇

b

, ¹(log₇ log₇ ) q=2 a+ b , log (7 )

2 a b

r= + ，則下列何者正確？ (A)

q

=log₇

a b (B)

(C) (D)

q>r r< <p q p< <q r (E)q< <p r

解析： 2

a b + ab

> ∴r>q，1 _{7 7 7} (log log ) log log

2 a+ b > a⋅ ₇b ∴q> p

37、( 全 ) (複選)下列選項何者為真？ (A)

10 20

10 20

2 2

2 2 2

+ > ⋅

(B)

10 20

10 20

1 1

( ) ( )

1 1

2 2 ( ) ( )

2 2

+ > ⋅

2 (C) 10+ 20 > 30 (D)log10 + log20 > log30 (E)

2 2

10 20 10 20 2

( )

2 2

+ > +

解析：(A)2¹⁰ >0, 2²⁰ >0, ∴2¹⁰ 2^{20 10 20} 2 2 2

+ ≥ ⋅

(B)( )^{1 10} 0, ( )^{1 20} 0, 2 > 2 > ∴

10 20

10 20

1 1

( ) ( )

1 1

2 2 ( ) ( )

2 2

+ ≥ ⋅

2

(C) 10O .…， 203 O …， 304 O …⇒ 105 + 20> 30 (D)log10+log 20=log 200>log 30

(E)

2 2 2 2 2 2 2

10 20 (10 20) 2(10 20 ) (10 2 10 20 20 )

2 4 4

+ − + = + − + ⋅ ⋅ +

2 2

10 2 10 20 20 (20 10)

4 4 0

− ⋅ ⋅ + −

= = ² >

38、( ^AD_E ) (複選)log x = 3.9074，則下列何者正確？

(A)logx的首數為 3 (B)logx的尾數為 0.0926 (C)x的整數部分為 3 位數 (D)小數¹

x從小數點向右第 4 位出現非 0 的數字 (E)log¹

x的尾數為 0.0926 解析：log¹ 4 0.0926

x = − +

39、( ^AC_E ) (複選)設l ，則下列何者正確？

(A)

ogx=2.5514

logx的首數為 2 (B)log¹

x的首數為-2 (C)log ¹₂

x 的首數為-6 (D)log10x的首數為 12 (E)log 10x的首數為 3

解析：logx= +2 0.5514, 1

log 3 0.4486 x= − +

2

log 1 6 0.8972

x = − + , log10x= +1 0.5514 log 10x=0.5 2.5514+ = +3 0.0514

40、( AB ) 方程式2 log (1₂ − −x) log₂ x²− − =1 2 0之根有 (A) ⁵

−3 (B) ³

−5 (C)0 (D)³ 5 (E)⁵

3 解析：自然限制1− >

x

0 ∴

x

<1

又

2

2

(1 ) 1 4

x x

− =

− ，若− < <1

x

1 ∴(1−

x

)² =4(1−

x

²) ∴

x

= (不合)或1 ³

−5 若

x

< −1 ∴(1−

x

)² =4(

x

²− ∴1) ⁵

x= −3或 1(不合)