[8.3] Applications to Physics and Engineering(p.560)

[8.3] Applications to Physics and Engineering(p.560)

NOTE: 若沒特別說明，皆假設 (1) 重力加速度 g = 9.8 (m/s²) (2)水的密度為 1000 (kg/m³)

1 p.560 No.7

(圖 1)

可參照 p.553 Example1 的做法。先選擇一個垂直的 x 軸，原點在該三角形的高和底邊交點，然後 x 軸的 方向垂直向下 (如圖 1)。三角形的高是 √

3(m)，所以我們把 [0,√

3]等分成若干個子區間 (記作 [xi−1,xi])，

接著任意取一點 x^∗_i ∈[xi−1,xi]。考慮從這點水平延伸出去用來逼近該三角形的長方形 (圖 1 的深紅色部分)，

假設寬度為 ∆x，長度 wi 可以利用相似三角形法求出 wi = 2a = 2−^√2₃x^∗_i，因此這塊水平長方形的面積 Ai ≈ wi∆x = (2−^√2₃x^∗_i)∆x。假設 ∆x 很小，則位於 x^∗_i 的壓力 Pi ≈ 1000gx^∗i (N /m²)。所以位於深度 x^∗_i 所受的靜流體力 (hydrostatic force)Fi= PiAi≈ 1000gx^∗i(2−^√2₃x^∗_i)∆x (N )

所以總靜流體力 F 就等於

F = lim

n→∞

∑n i=1

Fi = lim

n→∞

∑n i=1

1000gx^∗_i(2− 2

√3x^∗_i)∆x =

∫ ^√3 0

1000gx(2− 2

√3x)dx = 9800(N )

(圖 2)

這題可以分成兩部分來計算 (如圖 2 用綠色水平線分成的上下兩部分)。

上半部分:

把頂點設成原點，做一個垂直向下的 x 軸 (如圖 2)，總深度是 √^a

2(m)(最底端的坐標是 √^a

2)。把 [0,√^a 2] 分成 若干個子區間 (記作 [xi−1,xi])，接著任意取一點 x^∗_i ∈[xi−1,xi]。考慮從這點水平延伸出去用來逼近該三角形 的長方形 (圖 2 的深紅色部分)，假設寬度為 ∆x，長度 wi 可以利用相似三角形法求出 wi = 2x^∗_i，所以該水 平長方形的面積 Ai≈ wi∆x = 2x^∗_i∆x。假設 ∆x 很小，則位於 x^∗_i 的壓力 Pi≈ 1000gx^∗i (N /m²)。所以位於 深度 x^∗_i 所受的靜流體力 (hydrostatic force)Fi = PiAi≈ 1000gx^∗i × 2x^∗i∆x (N)。所以上半部三角形總靜流體 力 Fup 就等於

Fup= lim

n→∞

∑n i=1

Fi= lim

n→∞

∑n i=1

(1000gx^∗_i × 2x^∗i∆x) =

∫ √^a 2

0

2000gx²dx = 4900√ 2a³ 3 (N )

下半部分:

把三角形斜邊中點設為原點， 做一個垂直向下的 x 軸 (如圖 2)， 總深度是 √

2a(m) (最底端的坐標是

√a

2)。把 [0,√^a

2] 分成若干個子區間 (記作 [xi−1,xi])，接著任意取一點 x^∗_i ∈[xi−1,xi]。考慮從這點水平延 伸出去用來逼近該三角形的長方形 (圖 2 的深紅色部分)，假設寬度為 ∆x，長度 wi 可以利用相似三 角形法求出 wi = 2(√^a

2 − x^∗i)，所以該水平長方形的面積 Ai ≈ wi∆x = 2(√^a

2 − x^∗i)∆x。假設 ∆x 很 小，則位於 x^∗_i 的壓力 Pi ≈ 1000g(^√a₂ + x^∗_i) (N /m²)。所以位於深度 x^∗_i 所受的靜流體力 (hydrostatic force)Fi= PiAi≈ 1000g(^√a₂+ x^∗_i)× 2(^√a₂− x^∗i)∆x。所以下半部三角形總靜流體力 Fdown 就等於

F_down= lim

n→∞

∑n i=1

F_i= lim

n→∞

∑n i=1

(1000g( a

√2+x^∗_i)×2( a

√2−x^∗i)∆x) =

∫ √^a 2

0

2000g( a

√2−x)( a

√2+x)dx = 9800√ 2a³ 3 (N )

所以整塊正方型所受的總靜流體力 F = Fup+ Fdown =⁴⁹⁰⁰

√2a³ 3 +⁹⁸⁰⁰

√2a³

3 = 4900√ 2a³(N )

2

3 p.560 No.13

(圖 3)

如圖 3，把水槽底端當成原點，做一個垂直向上的 x 軸，總高度是 4√

3(m)(最頂端的坐標是 4√ 3)。把 [0,4√

3]分成若干個子區間 (記作 [xi−1,xi])，接著任意取一點 x^∗_i ∈[xi−1,xi]。考慮從這點水平延伸出去用來 逼近該三角形的長方形，假設寬度為 ∆x，長度 wi 可以利用相似三角形法求出 wi = ^2x√^∗i

3，所以該水平長方 形的面積 Ai ≈ wi∆x = ^2x√^∗i

3∆x。假設 ∆x 很小，則位於 x^∗_i 的壓力 Pi ≈ 840g(4√

3− x^∗i) (N /m²)。所以位 於深度 4√

3− x^∗i 所受的靜流體力 (hydrostatic force)Fi = PiAi ≈ 840g(4√

3− x^∗i)×^2x√₃^∗i∆x。所以該水槽總 靜流體受力 F 就等於

F = lim

n→∞

∑n i=1

Fi= lim

n→∞

∑n i=1

PiAi = lim

n→∞

∑n i=1

(840g(4√

3− x^∗i)×2x^∗_i

√3∆x) =

∫ 4√ 3 0

1680g

√3 x(4√

3− x)dx

= 526848(N)

4 p.560 No.14

(圖 4)

如圖 4，把半圓形水壩閘門的圓點，做一個垂直向上的 x 軸，總高度是 2(m)(最頂端的坐標是 2)。把 [0,2]

分成若干個子區間 (記作 [xi−1,xi])，接著任意取一點 x^∗_i ∈[xi−1,xi]。考慮從這點水平延伸出去用來逼近 該三角形的長方形，假設寬度為 ∆x，長度 wi = 2√

4− (x^∗i)²，所以該水平長方形的面積 Ai ≈ wi∆x =

√

= 19600

0

10√

4− x²dx− 19600

0

x√

4− x²dx 19600∫2

0 10√

4− x²dx 部分可以利用三角代換法， 令 x = 2 sin θ (0 ≤ x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ θ ≤ ^π₂)， 所 以 (19600∫2

0 10√

4− x²dx = 196000∫^π₂

0 4 cos²θdθ = 196000× 4∫^π₂

0

1+cos θ

2 dθ = 196000π。19600∫2 0 x√

4− x²dx 部分令 u =√

4− x²，所以 19600∫2 0 x√

4− x²dx = 19600∫0

2(−u²)du = ¹⁵⁶⁸⁰⁰₃ 。所以 19600∫2 0 10√

4− x²dx− 19600∫2

0 x√

4− x²dx = 196000π−¹⁵⁶⁸⁰⁰₃ (N)

5 p.560 No.26

可參考 p.557 的算法。假設質心坐標為 (x, y):

x =

∫4 0 x√

∫4 xdx

0

√xdx

=12 5 = 2.4

y =

∫4 0

1 2(√

x)²dx

∫4 0

√xdx = 3 4 = 0.75

6 p.560 No.27

可參考 p.557 的算法。假設質心坐標為 (x, y):

x =

∫1 0 xe^xdx

∫1 0 e^xdx

= 1

e− 1 ≈ 0.582

y =

∫1 0(e^x)²dx

∫1

0 e^xdx = e²− 1

4(e− 1) =e + 1 4 ≈ 0.93

4

7 p.560 No.31

可參考 p.557 的算法。假設質心位置是 (x, y)。四條曲線所圍出來的面積 = ∫^π

4

0 (cos(x)− sin(x))dx =

√2− 1，所以:

(√

2− 1)x =

∫ ^π

4

0

(x× cos(x))dx −

∫ ^π

4

0

(x× sin(x))dx =

∫ ^π

4

0

x(cos(x)− sin(x))dx =

√2π− 4 4

(√

2− 1)y =

∫ ^π

4

0

(1

2cos²(x))dx−

∫ ^π

4

0

(1

2sin²(x))dx = 1 2

∫ ^π

4

0

(cos²(x)− sin²(x))dx = 1 2

∫ ^π

4

0

cos(2x) = 1 4 質心坐標為 (x, y) = (₄₍^√√^2π−4

2−1), ¹

4(√ 2−1))

8 p.560 No.40

把這個圖用 y 軸分成一個位於第二象限的矩形和一個位於第一象限的三角形。矩形的質心剛好就位於它 的正中心 (⁻¹₂ , 1)的位置，而三角形的質心則位於它的重心 (三中線交點)(²₃,²₃)的位置。假設原圖形的質心 位置為 (x, y)，根據力矩平衡:

x = 2×⁻¹₂ + 2ײ₃ 2 + 2 = 1

12, y = 2× 1 + 2 ײ₃ 2 + 2 = 5

6 所以質心位置就是 (₁₂¹,⁵₆)