使用聲子波茲曼方程對緊密型奈米尺度複合物之熱傳模擬

國立臺灣大學工學院應用力學研究所 碩士論文

Graduate Institute of Applied Mechanics College of Engineering

National Taiwan University Master Thesis

使用聲子波茲曼方程對緊密型奈米尺度複合物之 熱傳模擬

Thermal Conductivity Modeling of Compacted

Nanocomposites Using Phonon Boltzmann Model Equation

徐仁杰 Jen-Chieh Hsu

指導教授：楊照彥 博士 Advisor: Jaw-Yen Yang, Ph.D.

中華民國 97 年7月

July, 2008

誌謝

首先感謝楊照彥教授兩年的教導，讓學生得以口試畢業，再來感謝謝澤揚學 長，在服役期間仍不嫌煩地每星期的指導解惑，在研究遇到瓶頸的時候，給予極 大的協助，才能有此篇論文的產生。

在口試期間，感謝台大機械所王興華教授，中華技術學院洪榮泰助理教授，

以及謝澤揚博士在百忙當中，撥空前來參與口試審查、指導及建議，在此獻上感 激之意。

在應力所短暫兩年時間，感謝研究室博士班成員學長澤揚、育炘、國煇、立 昕在研究及學習上的指導；以及同儕之間的相互砥礪學習，學會了很多做事的方 法及處事態度。國煇、李元和維周，感謝你們在碩班期間時在運動上的陪伴，讓 我唸研究所時體力比大學時更好，而學弟們雖然相處時間不多，但是口試期間謝 謝你們的協助，也謝謝你們時常替研究室帶來歡樂的氣氛。

在此，也感謝大學同窗士傑、義傑，謝謝你們在我初來乍到台北混亂之時，

給予我很大的幫助，在課業遇到危機時，給我鼓勵，讓我在台北求學這段期間，

不會感到寂寞。再來感謝璐珊，謝謝妳從大學研究所考試一路陪伴我到唸完碩班，

這當中遇到了許多困難，多虧你陪我ㄧ一度過。

最後感謝我的家人，謝謝爸媽在我背後給予的極大支持及鼓勵，讓我心無旁 鶩無後顧之憂，可以專心的研究，不辜負爸媽對我的期望，順利完成學業。

摘 要

在巨觀尺度下，熱傳遵守傅立葉熱傳方程式。若尺度縮小到微奈米等級

時，傅立葉熱傳方程式在分析模擬上會高估實際的物理量產生熱傳率。所以在微 尺度下探討分析真實熱傳導，傅立葉熱傳方程已不適用。半導體或絕緣體材料 中，熱是由熱載子(電子、聲子和光子)來傳遞的。在本文中，主要探討聲子在複 合材料內的熱傳遞。

聲子輻射熱傳方程式為非線性且含有積分微分的多變數方程式，要直接求解 並不容易，若將碰撞項用鬆弛時間近似成 BGK 方程式 (Bhatnagar-Gross-Krook Equation)來簡化，在數學上會較易處理，本文在方向上使用離散座標法(Discrete Ordinate Method)將方向餘弦離散化，在空間上使用迎風算則( Upwind Scheme)來 分析問題。

奈米複合材料在超晶格(superlattice)中，被觀察到有類似熱導率減少及熱電 效率增加的現象，這提供了奈米尺度效應在熱電材料中可增加益處的方向。奈米 複合材料排列可分成兩種類型，一種為材料以奈米線的樣式嵌入在另一個主要的 基質材料，稱為線型(nanowire)，另一種為像棋盤式的緊密混合兩種不同類型的 奈米線，稱為緊密型(nanocompacted)。以相同的化學計量下，緊密型混合奈米線 的複合材料，因為材料沒有連續相，熱傳導係數會低於將奈米線嵌入一主要基材 的類型。

本文利用聲子輻射熱傳方程配分離座標法探討一維界面密度問題，以及二維 線型(wire)及緊密型(compacted)的超晶格界面密度的比較，以及在不同溫度下，

兩種類型的熱傳導率分佈情況。

最後再與先前論文中利用直接蒙地卡羅(DSMC)模擬的結果做誤差比較，以 探討缺失。

關鍵字: 微觀熱傳、聲子輻射傳輸方程式、離散座標法。

ABSTRACT

The equation of phonon radiative transfer (EPRT) is a nonlinear, integral, differential equation with many variables. It is difficult for us to solve the equation directly. If we simplify the relaxation time of collision term by Bhatnagar- -Gross-Krook Equation. The equation will become easily to cope with. In this paper, we deal with phase space where the discrete ordinate method is used for angular discretization; and using upwind scheme the deal with spatial discretization.

Nanocomposites in superlattices are observed that may realize a similar thermal conductivity reduction and thermoelectric efficiency enhancements. So it provides us a way to increase the benefits of the nanoscale effects to thermoelectric materials in bulk form. If there are two species of nanocomposites, one is a material in the form of nanowires embedded in another host matrix material; the other is a discrete mixture of two different kinds of nanowires that are compacted. At the same stoichiometry, a nanocomposite in the form of discrete mixtures of nanowires does not have a continuous phase of material, so its thermal conductivity is lower than composites with nanowires embedded in a host material.

In this paper, using EPRT with the discrete ordinate method to investigate simulation about the density of interface of one dimension superlattice, nanocomposites of nanowires embedded in another host matrix material, and nanocomposites of compacted silicon and germanium nanowire mixtures nanocompacted.

Results show that the thermal conductivity of composites in the form of compacted silicon and germanium nanowire mixtures is lower than the composites with silicon nanowires embedded in a germanium matrix at the same atomic composition and characteristic size of the nanowires.

Finally, we will take our data to compare with the other study which simulation by Direct Monte Carlo Method.

Keywords: Equation of Phonon Radiative Transport, Discrete Ordinate Method, nanowires, nanocompacted.

目 錄

誌謝

...

^Ⅰ

中文摘要

...

^Ⅱ

英文摘要

...

^Ⅲ

目錄

...

^Ⅳ

附表目錄

...

^Ⅵ

附圖目錄

...

^Ⅶ

符號說明

...

^Ⅹ

第一章 緒論 ...

1

1.1 引言 ... 1

1.2 微觀熱傳導 ... 1

1.3 文獻回顧 ... 4

1.4 研究內容 ... 7

第二章 聲子輻射熱傳理論 ...

¹¹

2.1 Liouville 方程式 ... 11

2.2 Boltzmann 方程式 ... 13

2.3 鬆弛時間 ... 13

2.3.1 缺陷散射 ... 14

2.3.2 三聲子過程( Three Phonon Process ) ... 15

2.3.3 等效鬆弛時間 ... 16

2.3.4 灰體鬆弛時間 ... 16

2.4 聲子輻射熱傳方程式 ... 17

2.5 邊界條件 ... 19

2.6 界面熱阻 ... 21

2.6.1 聲異理論模式( AMM ) ... 22

2.6.2 散異理論模式( DMM ) ... 23

2.6.3 散射聲異理論模式( SMAMM ) ... 24

2.7 射線效應( Ray Effect ) ... 25

2.8 假散射( False Scattering ) ... 26

第三章 數值方法 ...

31

3.1 方向離散 ... 31

3.1.1 離散座標法( Discrete Ordinate Method ) ... 31

3.2 空間離散 ... 32

3.2.1 迎風算則 ... 32

3.2.2 雙曲線型守恆律算則 ... 34

3.3 時間離散 ... 35

3.3.1 Euler Method ... 35

3.3.2 隱式算則( Implicit Scheme ) ... 35

3.4 無因次化 ... 37

第四章 數值模擬結果與討論 ...

40

4.1 薄膜超晶格結構 ... 40

4.2 線型超晶格結構 ... 42

4.3 緊密型超晶格結構 ... 44

第五章 結論與建議 ...

72

參考文獻 ...

74

附表目錄

表1-1 熱載子的基本性質 ... 8

表1-2 各種理論模式適用範圍表 ... 8

表3-1 300K~800K 矽/鍺薄膜材料的材料性質 ... 38

表4-1 DSMC 與 DOM 線型模擬 300K~800K 的數據比較 ... 47

表4-2 DSMC 與 DOM 線型模擬 300K~800K 的數據誤差比較 ... 47

表4-3 DSMC 與 DOM 緊密型模擬 300K~800K 的數據比較 ... 48

表4-4 DSMC 與 DOM 線型模擬 300K~800K 的數據誤差比較 ... 48

附圖目錄

圖1-1 薄膜中聲子的熱傳導 ... 9

圖1-2 聲子晶格2D振盪示意圖 ... 9

圖1-3 聲子振盪3D示意圖 ... 10

圖2-1 流線系綜( Ensemble )示意圖... 27

圖2-2 空間立體角( Solid angle )示意圖... ... 27

圖2-3 三聲子過程示意圖 ... 28

圖2-4 邊界鏡面反射 ... 28

圖2-5 邊界擴散反射 ... 28

圖2-6 AMM界面示意圖 ... 29

圖2-7 DMM界面示意圖 ... 29

圖2-8 射線效應示意圖 ... 30

圖2-9 假散射示意圖 ... 30

圖3-1 迎風算則示意圖 ... 38

圖3-2 數值方法流程圖 ... 39

圖4-1 薄膜超晶格及其單位晶胞 ( Unit cell ) 示意圖 ... 49

圖4-2 薄膜超晶格 ( LSi = 1nm, L/LSi = 2 ) 格點收斂測試圖 ... 50

圖4-3 鍺/矽薄膜超晶格 ( LSi = 10nm, L/LSi = 2 ) 穩態結果：(a) 溫 度；(b) 熱通量 ... 51

圖4-4 鍺/矽薄膜超晶格 ( LSi = 100nm, L/L_Si = 2 ) 穩態結果：(a) 溫 度；(b) 熱通量 ... 52

圖4-5 鍺/矽薄膜超晶格 ( L_Si = 1000nm, L/L_Si = 2 ) 穩態結果：(a) 溫 度；(b) 熱通量 ... 53

圖4-6 鍺/矽薄膜超晶格 ( L/L_Si = 2 ) 等效熱傳導係數何尺寸關係圖 ... 53

圖4-7 鍺/矽薄膜超晶格等效熱傳導係數和界面面積百分比關係 ...

... 54

圖4-8 線型超晶格及其單位晶胞 ( Unit cell ) 示意圖 ... 55

圖4-9 線型超晶格單位晶胞 ( Unit cell ) 邊界條件示意圖 ... 55

圖4-10 線型超晶格 ( Ge_0.5Si_0.5, L_W = 1nm ) 格點收斂測試圖 ... 56

圖4-11 鍺/矽線型超晶格 ( Ge_0.5Si_0.5, L_W = 10nm ) 穩態結果：(a) 溫 度；(b) 溫度剖面圖；(c) x方向熱通量圖 ... 57

圖4-12 鍺/矽線型超晶格 ( Ge_0.5Si_0.5, L_W = 100nm ) 穩態結果：(a) 溫 度；(b) 溫度剖面圖；(c) x方向熱通量圖 ... 59

圖4-13 鍺/矽線型超晶格 ( Ge_0.5Si_0.5, L_W = 1000nm ) 穩態結果：(a) 溫度；(b) 溫度剖面圖；(c) x方向熱通量圖 ... 60

圖4-14 鍺/矽線型超晶格L = 2L_W等效熱傳導係數與尺寸關係圖 ... ... 61

圖4-15 鍺/矽線型超晶格等效熱傳導係數與表面積百分比關係圖 ... ... 61

圖4-16 緊密型超晶格及其單位晶胞 ( Unit cell ) 示意圖 ... 62

圖4-17 緊密型超晶格單位晶胞 ( Unit cell ) 邊界條件示意圖 ... 62

圖4-18 鍺/矽緊密型超晶格 ( Ge0.5Si0.5, LW = 1nm ) 格點收斂測試圖 .. ... 63

圖4-19 鍺/矽緊密型超晶格 ( Ge0.5Si0.5, LW = 10nm ) 穩態結果：(a) 溫度；(b) 溫度剖面圖；(c) x 方向熱通量 ... 64

圖4-20 鍺/矽緊密型超晶格 ( Ge0.5Si0.5, LW = 100nm ) 穩態結果：(a) 溫度；(b) 溫度剖面圖；(c) x方向熱通量 ... 66

圖4-21 鍺/矽緊密型超晶格 ( Ge0.5Si0.5, LW = 1000nm ) 穩態結果：(a) 溫度；(b) 溫度剖面圖；(c) x方向熱通量 ... 67

圖4-22 鍺/矽線型與緊密型超晶格在 300K, 500K, 800K 熱傳導係數關

係圖 ... 68

圖4-23 鍺/矽線型在 300K DOM 與 DSMC 熱傳導係數比較圖 ... 68

圖4-24 鍺/矽線型在 500K DOM 與 DSMC 熱傳導係數比較圖 ... 69

圖4-25 鍺/矽線型在 800K DOM 與 DSMC 熱傳導係數比較圖 ... 69

圖4-26 鍺/矽緊密型在300K DOM與DSMC熱傳導係數比較圖 ... 70

圖4-27 鍺/矽緊密型在500K DOM與DSMC熱傳導係數比較圖 ... 70

圖4-28 鍺/矽緊密型在800K DOM與DSMC熱傳導係數比較圖 ... 71

圖4-29 鍺/矽線型在 Ge 所佔不同比例下之使用 BTE 及 MC 計算與本 文計算之熱傳導係數比較圖 ... 71

符號說明

A 無因次常數

a 粒子的加速度 [ms ]^-2 ( )

D ω 聲子態密度 [m s]^-3

f 統計的分布函數

普朗克常數除以2π [Js]

I 方向的頻譜的聲子輻射能量強度

波玆曼常數

聲子平均自由路徑

-2 -1

[Wm sr s]

kB [JK ]^-1

Λ [m]

L 薄膜厚度

界面的單位法向量 熱通量

晶格缺陷的半徑 位置向量

單位方向向量

時間

溫度

[m]

n

q [Wm ]^-2

R [m]

r ˆs

t [s]

T [K]

TD 德拜溫度

聲子總能量

V 聲速

速度向量

權函數

座標方向和長度

[K]

U

[ms ]-1

v [ms ]^-1

W

x

[m]

希臘字母

α 常數定義在(2-14)式 ψ 雜質密度[m ]^-3

η 無因次吸收係數 κa 吸收係數 [m ]^-1 κs 散射係數 [m ]^-1

Λ 聲子平均自由路徑[m]

μ 方向餘弦 ξ 無因次x距離

τ 鬆弛時間或溫因次時間 散射截面

相函數 χ 尺寸參數

[s]

Ψ [m ]²

Φ

ω 聲子角頻率 立體角

[s ]-1

Ω [sr]

σp 聲子的史蒂芬-波茲漫常數

上標

-2 -4

[Wm K ]

e 平衡狀態

下標

德拜截止 晶格缺陷

偏振

D i p

第一章 緒論 1.1 引言

近十幾年來，人類在傳統尺度上的物理現象及規律已有較充分的瞭解，因

此科學及工業技術的發展開始朝向微型化邁進，將注意力著重於發生在微小尺度 或快速過程中的現象及電子元件上，又隨著微機電系統、半導體產業及光電產業 順利的蓬勃發展，小元件內及其快速的熱物理問題逐漸廣泛受到重視。隨著微型 化的製作，不僅線寬縮小，材料在空間和時間上的尺度也縮小，材料的熱物理性 質亦與巨觀的熱物理性質有所不同，在巨觀熱傳現象下所使用的 Fourier 熱傳導 定律( Fourier Law of Heat Conduction )套用在極小尺度時已經不適用，所以微觀 熱傳理論( Microscale Heat Transfer Theory )因而被發展提出。

1.2 微觀熱傳導

根據熱力學第二定律，在自然界中任何不可逆過程( Irreversibility Processing ) 的反應，其能量的耗散必有一部分是以熱的形式來表現，在化學反應或是相變態 的過程中，任意分子的重新排列建構也會牽涉到與周遭環境能量交換界面的問 題。

早期微尺度熱傳學的研究集中在解決熱傳導問題上，爾後再擴展到對流及輻 射等問題。在微尺度下，熱導率與材料厚度有相依的關係，最先是由物理學家開 始萌起。一九六 O 年代後期，熱物理學家才開始注意到一系列元件中尺寸效應 ( Size Effect )對熱傳問題的影響，到了一九八 O 年代末，這類問題研究進展更是 迅速，於是微尺度熱傳學開始崛起。一切主因都與實際工程上的應用有著密切相 關，例如:金屬薄膜和金屬奈米線應用的增加與需要以及低溫技術的迅速發展，

Tien (1969) [31]在低溫下計算金屬薄膜和金屬線，發現其電導率及熱導率與巨觀 下的對應值有所不同，其中原因之一是靠近元件表面的電子平均自由程( Mean Free Path )在邊界上會縮小，且電子平均自由程隨溫度的降低而增加，在低溫的 狀態時，此情形更加明顯。如果熱載子的平均自由程與給定樣品的最小尺度在量 級上相當時，則這些熱載子的運輸過程會表現出對樣品尺度的依賴性，稱之為尺 寸效應( Size Effect )。

Fourier 定律最早是由 Biot 在實驗中觀察到的現象，之後由 Fourier 以數學形 式表達出，並以其名字命名之。Fourier 定律是假設材料為連續介質，具有巨觀 上連續意義的定義。從微觀角度研究熱導機制時，須由微觀考慮粒子運動所造成 的熱量運輸( Heat Transport )，其中包括介質內部從高溫區向低溫區擴散時熱載 子的運輸現象。由於熱傳導運輸機制涉及與大量的載子，在有限時間週期內的無 規律運動，科學家認為熱載子的統計運動在比德拜( Debye )溫度還高的情況下，

對熱傳導影響不大。Fourier 定律中熱傳導效應對鬆弛時間及特徵長度的範圍進 行了定量化。Bai 和 Lavine (1993) [1]採用修正後雙曲線型熱傳導方程式來研究固 體內的熱傳播，結果顯示對於層厚度在載子平均自由程( Mean Free Path )量級的 平板，躍變邊界條件對熱傳導問題的求解有很大的影響，在此種條件下由雙曲線 型熱傳導方程式求得的結果與傳統修正情況下的結果有很大的差異。在熱傳導問 題分析上，傳統熱學(巨觀熱傳學)大多是採用 Fourier 定律，但是熱載子的具體運 動則不在其考慮範圍之內。然而，當元件尺度小到次微米級之下時，從熱載子的 微觀角度來探討傳熱過程就變得相當重要。

在半導體介電質材料中，熱主要是由材料中的晶格振盪( Lattice Vibration ) 來傳遞，晶格振盪可以視為一種三維彈簧振動系統，圖1-3，與波的性質相同，

都 會 有 縱 向 偏 振 ( Longitudinal Polarization ) 及 橫 向 偏 振 ( Transverse Polarization )，而聲子在物理上並不是實際存在的物質，它是由晶格振盪所產生 的能量，經過量子化後，被定義為聲子( Kittle [15] )，為一種虛擬的粒子，與電 磁波被量子化後所產生的光子有相似的情形。量子化的能量可由彈性模式在不同 頻率下所產生的能量來表示：

1 E=^⎛⎜n+2^⎞⎟ ω

⎝ ⎠ (1-1) 其中，ω 為頻率， 為普朗克常數( Planck’ s Constant )除以 2π， 為第 n 個聲子 所佔 n = 0，

n

據。當 1

E= 2 ω時，被稱為在振盪模式的零點能 gy )。

固體導熱和輻射傳熱的主要載子有：電子( Electron )、聲子( Phonon )及光子 ( Photon )。在金屬中，熱傳導主要靠自由電子傳遞；在絕緣體及半導體中，主要 是由聲子來傳遞，但實際的情況是包含聲子-聲子、聲子-電子及電子-電子之間的 交互作用。

( Zero Point Ener

巨觀尺度下，一般利用傅立葉定律來描述熱傳現象，關係式如下：

K T

q= − ∇ (1-2) 其中，q 為單位面積熱流( Heat Flux )，K 為熱導率( Thermal Conductivity )，T 為 溫度( Temperature )，負號表示熱傳遞是沿著熱區往冷區的方向行進。此式套用 在微小尺度下時，根據動力學理論( Kinetic Theory )，介質中的熱導係數跟材料 的物理性質關係如下：

K 1

3Cv

= Λ (1-3) 其中， 為材料熱傳導常數( Thermal Conductivity )， 為比熱( Specific Heat )，

為聲子的群速度( Group Velocity )，

K C

v Λ 為聲子的平均自由徑( Mean Free Path )。

由固態物理理論，聲子的分布遵守Bose-Einstein 統計，在學術研究中，若材 料尺寸大於其物質波的波長時，可將之視為粒子，不用考慮其波的特性，所以可 利用波茲曼( Boltzmann )方程來描述微觀尺度之聲子傳遞現象。

我們為了方便探討不同尺度，及其數學模式所適用的範圍，會引進Knudsen Number(紐森數)來區分尺度情況。

Kn L

=Λ (1-4)

其中， 為平均自由程與特徵長度的比值， 為材料實際特徵長度， 為物質 的平均自由程。Bird 依局部 Kundsen 數定義各主導方程式的適用範圍，如表 1-2 所示。

由圖 1-1 所示，特徵長度跟平均自由程的比較，隨著比率

Kn L Λ

d

Λ的增大，邊界散

射效應變得很顯著，由於存在邊界效應，載子平均自由程小於其體材值，由式(1-3)

粗略看出，熱導率將變小。當 時，這種減小所帶來的效應可忽略，但是當

及 時， 。基於上述的概念，Filk (1992)等

Λ <<d

邊界散射的效應就必須考慮

提出了劃分熱傳導區域的措施，如微尺度熱傳導區域可以定義為 Λ ≈d Λ >d

d <O(1)

Λ 或

dT

(1)

<O

Λ ，上述採用了一階誤差符號表示之。

由圖1-1 可知，當Λ <d成立時，熱載子的Λ 除受到內部散射機制的影響外，

還受限於邊界散射；當Λ >d成立時，載子在一Λ 內經歷大的溫度變化。在這種

情況下，能量傳輸變成非局域性，並且有效熱導率取決於溫度梯度，這樣的非局 域輸運性很類似輻射性質中的反趨膚效應。聲子的輸運在Λ 遠大於元件特徵尺度 時是彈道型而非擴散型的。

微結構是由界面、邊界及顆粒邊界刻劃的，通常有兩種途徑能將這些關於導 熱的效應考慮到 Boltzmannz 方程式中，其中之一就是將它們考慮微體積效應，

然後利用經驗定理，如：Mattiessen 定理或是透過量子力學理論將其結合在散射 項中，另一種辦法是將其處理為邊界條件之後再進一步分析。

如果忽略了介質的微結構及尺度，則Fourier 定律只在下述區域成立 L >> (1)O

Λ (1-5) (1)

t O

τ ^>> (1-6) (1-7) 其中， 為特徵物理尺寸， 為熱載子平均自由程， 為物理時間，

T >> 0 K

L Λ t τ 為熱載子

平均鬆弛時間。(1-5)(1-6)(1-7)式分別代表尺度極大、 、溫度過高。熱載 子的平均自由程在微尺度熱傳導分析中是一個重要概念。

求解含有積分及微分的Boltzmann 方程並不容易，但是可以根據不同的假設

做簡化，若假設時間遠大於鬆弛時間， ；若

假設特徵長度遠大於平均自由徑，則梯度項可近似為沿 方向的一維Boltzmann 方程，該式稱為準平衡假設，其中唯一包含非平衡的項為散射項。

聲子在絕緣材料中的散射機制主要可分成兩類：(1)由於晶格缺陷而產生的 彈性散射，如：缺陷、錯位和邊界…等，聲子散射前後的能量或頻率不會發生任 何變化；(2)聲子-聲子間的非彈性散射，通常三個或三個以上的聲子彼此發生散 射，頻率會發生變化。缺陷散射灰體( Gray )模型為簡化問題，通常假設鬆弛時 間與頻率無關，即為灰體模型。

1.3 文獻回顧

在一九九0年代，一系列有關微熱傳的研究開始萌芽，如Flik [11]及Chen 與 Tien [8]和Majumdar [17]等人進行的一系列研究，顯示 定律在分析高溫超 導薄膜及介電質薄膜在一定溫度和厚度區域內的熱傳導問題時，已經不再適用。

時間極長

則通常做的簡化是不討論時間變化量 x

Fourier

在熱傳導方面，Duncan 及 Peterson (1994) ; Kumar 和 Vradis (1991)利用 Boltzmann 方程式，求解層厚在能量載子平均自由程量級上的薄膜，發現膜邊界 的散射是決定熱量傳遞的主要機制，薄膜電導率和熱導率隨尺寸的減小機制在許 多情況下是相同的，利用Boltzmann 方程式再作進一步分析可以對薄膜運輸特性 的有更多認識。Filk (1992)發展出一個用已定義的熱傳導，定義是否處於巨觀或 是微觀區域，因此可得出這樣的結論，材料的純度及缺陷結構強烈地影響熱傳導 的一些相關運輸性質鬆弛時間。Vedavarz (1991)也考慮到了這些現象，並對一定 加熱條件下，可能引起非 Fourier 定律熱傳導效應的鬆弛時間及特徵長度的範圍 進行定量化。

Bai 和 Lavine [1]採用修正後的雙曲線型熱傳導方程式來研究固體內的熱量 傳播，結果顯示層厚在載子平均自由程量級的平板，躍變邊界條件對熱傳導問題 的求解有很大的影響，此條件下由雙曲線型熱傳導方程式求得的結論與傳統修正 情況下的結果差異甚大。

Boltzmann 方程式在這方面是被認為是一種最具普遍適性和有效的工具，於 是 Majumdar [17]發展了一個基於 Boltzmann 理論的聲子輻射運輸方程式 ( Equation of Phonon Radiative Transport, EPRT )，用以分析單個薄膜中的熱導問 題。許多研究顯示：在微尺度區域內，晶格振動或聲子的熱傳導表現是以輻射熱 傳的形式，而非傳統巨觀的擴散熱傳形式。

Little [16]發展出聲異理論模式( Acoustic Mismatch Model, AMM )預測在極 低溫下兩固體界面間之溫差，此理論假設所有聲子與界面之相互作用皆為鏡面散 射( Specular Scattering )，即不考慮擴散散射( Diffuse Scattering )的效應，在低溫 情況下此種假設為合理假設，因為聲子波長遠大於界面粗糙度，但隨溫度增加，

聲子的波長會逐漸變小，這種假設就不再適用，為了克服該問題，Swartz 與 Pohl [28]提出了散異理論模式( Diffuse Mismatch Model, DMM )，此理論是假設所有聲 子與界面之相互作用皆為擴散散射，即不考慮鏡面散射效應。

Majumdar [17]首先利用聲子 Boltzmann 方程分析鑽石薄膜熱傳問題，結果顯 示在微尺寸下，聲子熱傳不可視為連續體，亦無法建立起區域溫度梯度，若是使 用Fourier 定律，則會高估薄膜之熱通量。

Phelan [22]利用聲異模式( AMM )與散異模式( DMM )來預估高溫超導薄膜 的界面熱阻，結果顯示由散異模式( DMM )得到的界面熱阻較接近實驗數據。

Chen 與 Tien [8]使用 DMM 分析 GaAs 與基材間之界面熱阻，結果顯示聲子穿透 率越高，則熱傳導係數會越高。Chen [3]利用聲子 Boltzmann 方程分析週期薄膜 結構在其平行方向( In-plane )之熱導率，並考慮不同之界面邊界條件，發現界面 粗糙度是導致熱導率下降的主因。Chen [4]利用聲子 Boltzmann 方程分析週期薄 膜結構在其垂直方向( Cross-plane )的熱導率，提出非彈性界面條件，比較彈性和 非彈性的界面條件差異，發現垂直方向的熱傳導率幾乎與鬆弛時間無關，使用灰 體模型( Gray model )即可得到良好的結果。

Prasher 與 Phelan [23]修正 AMM 並提出了 SMAMM ( Scattering Mediated Acoustic Mismatch Model )。Chen 與 Zeng [35]對 Little [16]提出的 AMM 以及 Swartz [27]提出的 DMM 修正，提出非彈性 AMM 與非彈性 DMM，結果顯示考 慮到非彈性之散射行為時，界面熱阻會降低故熱傳導係數會變大。Chen [6]提出 穿透擴散方程BDE ( Ballistic Diffusive Equation )，取代 BTE (Boltzmann Transport Equation )在為尺度熱傳的問題，結果顯示在微空間及時間尺度下，BDE 可以得 到與BTE 相符的結果。Muthy [19]以非結構網格解聲子 BTE。

Chen 與 Neagu [9]探討矽/鍺雙層薄膜和週期性結構，指出當超晶格厚度小於 臨界值，等效熱傳導係數會因界面散射機制不同而受影響，得知鏡面散射的影響 最小，擴散散射的影響最大；而當後度大於臨界值，晶格錯位( Dislocation )為超 晶格中最主要的散射機制，故可知界面粗糙度對熱傳導有很大之影響。

Yang 與 Chen [32]分析週期矽/鍺奈米線( Nanowire )結構，發現鍺原子數比在 0.8 時，等效熱傳係數與週期薄膜結構比較並無明顯降低，這是由於垂直與平行 散射的幾何因素所造成；在微尺度下，出現內部溫度高於邊界溫度之特殊現象，

熱通量亦異於一般情況；經過調整原子數量百分比後，發現線型的超晶格確實能 增加聲子散射，得到較一維薄膜超晶格低的等效熱傳導係數；文中指出在微尺度 時，鍺原子數量比越低則等效熱熱傳導係數越低，這是非常不同於傳統複合材料 的現象，顯示在微尺度下界面散射的重要性，於其主要原因為矽之熱傳導性質較 佳。

Narumanchi et al. [20]在聲子 BTE 問題中考慮了聲子的色散關係( Dispersion relation )與極化方向( Polarization )，並考量不同分支與頻率間聲子的交互作用，

成功預測矽塊材與矽薄膜平面方向的熱傳導係數與溫度之關係。Yang et al. [33]

利用 BTE 來分析週期性圓管之熱傳現象，研究顯示在圓管中若含有孔隙將會造 成更多的聲子散射，將比圓管有較低的熱傳導係數。Yang 與 Chen [34]利用 BDE 與BTE 比較 CMOS 元件的溫升，發現 BDE 在內不無熱源情況下之結果會與 BTE 較符合。Tian & Yang [29]使用直接蒙地卡羅法( Direct simulation Monte Carlo method, DSMC )分析矽/鍺緊密堆積的複合材料，發現在相同化學計量比例下，

等效熱傳導係數會比線型超晶格降低約一半，這是緊密堆積的複合材料的界面作 用造成更多的阻礙，且區域升溫情況亦不復見。

1.4 研究內容

本文第一章內容先從微觀角度出發，簡單介紹微觀熱傳的發展及突破進展。

並介紹了在電子元件中主要的三種熱載子，及其特性和熱傳遞的機制。接著利用 文獻回顧來介紹本文的研究主題。

第二章介紹由古典力學推導得到 Liouville 方程，並將複雜的多粒子系統簡 化為等效的單一粒子進行二元碰撞，然後又簡化獲得Boltzmann 方程式。接著以 波茲曼方程式為基礎，引進鬆弛時間近似，將聲子類比光子輻射方程式推導出聲 子輻射傳輸方程式( EPRT )。然後對聲子傳遞所發生的散射機制以及邊界條件做 簡介。再針對界面熱阻，介紹分析界面熱阻的理論方法，包括含聲異理論模式、

散異理論模式、界面層理論模式，以及間接散射聲異理論模式並比較其差異性。

由於聲異理論模式( AMM )僅適用在較低溫的情況下，故在本文中皆使用散異理 論模式( DMM )來分析界面熱阻的影響，探討尺寸改變對於熱傳導現象與界面熱 阻大小所產生的效應。

第三章介紹了一些本文所用到的數值方法；方向上則採用分離座標法 (DOM)。利用離散座標法將 EPRT 轉變成一組具雙曲型偏微分方程式，之後分別 對時間、空間離散，進行模擬分析。

第四章利用EPRT 搭配離散座標法( Discrete Ordinate Method )，並套用迎風 算則來進行分析，以求得問題的數值通量。先以一維超晶格( superlattice )薄膜模 型來探討界面密度的影響，再探討二維鍺/矽線型( nanowire )超晶格結構及二維 鍺/矽緊密型( nanocompacted )超晶格結構的界面密度所造成的不同熱傳導情形。

最後第五章提出本文的缺點，以及未來可以改進及繼續研究的方向。

表1-1 熱載子的基本性質

Free Electron Phonon Photon

Generation Ionization or Excitation

Lattice Vibration

Atomic ,Molecule Transition Propagation

Media Vacuum or Media Media only Vacuum or Media

Statistics Fermion Boson Boson

Frequency Zero ~ Infinite Debye cut-off Zero ~ Infinite Dispersion ^{( )2}

q 2

E= m E E q= ( ) v⁼ cλ

Velocity ~ 10 ⁶ ~ 10 ³ ~ 10 ⁸

表1-2 各種理論模式適用範圍表

Boltzmann Equation

Euler Equation

Navier-Stokes Equations

Collisionless Boltzmann

Equation

Conservation Equations Do Not Form A Closed Set Discrete Particle

Or Molecular Model

Continuum Model

Inviscid Limit

Free-Molecule Limit Local Knudsen Number

0 0.01 0.1 1 10 100

Λ > d

d

Λ < d d

圖1-1 薄膜中聲子的熱傳導

圖 1-2 聲子晶格 2D 振盪示意圖

圖 1-3 聲子振盪 3D 示意圖

第二章 聲子輻射熱傳理論

氣體動力論( Kinetic Theory of Gas )源自於十七世紀時期，首先由 J. C.

Maxwell 於 1859 年提出分子速度分佈函數的概念，藉著分子速度分佈函數以及 平均自由徑的觀念，得到氣體的傳輸係數( Transport Coefficient )，如：熱傳導係 數 ( Thermal Conductivity Coefficient )、黏滯係數( Viscosity Coefficient )…等。

1872 年 L. Boltzmann 提出以分子撞擊理論，求得分子速度分佈函數定律，並提 出以一速度分佈函數為主要變數的積微分方程式，即為波茲曼方程式( Boltzmann equation )。1880 年 L. Boltzmann 又提出，在平衡狀態下，波茲曼方程式可以被 直接求解的條件。

假設某種氣體是由無數個獨立分子所組成，其巨觀現象整體行為是由各分 子的運動與碰撞所產生出來的，所以分子的平均自由徑( Mean Free Path, MFP ) 與碰撞頻率( Collision Frequency )為表現此行為的重要參數，其中平均自由徑的 定義為分子產生碰撞所需移動的平均距離；碰撞頻率的定義為分子在單位時間內 所碰撞的次數，兩者可以作為判斷流場稀薄程度的依據。通常會採用 Knudsen Number ( Kn )，其定義為平均自由徑與流場特徵長度的比值

Kn L

= Λ (2-1)

隨著不同 Kn，流場會表現出不同特性。當 Kn 趨近於無限大時，流場可視 為分子無碰撞極限( Collisionless Limit )模型，即分子視為自由分子流；當 Kn 趨 近零時，則流場可視為連體模型且為尤拉極限( Euler Limit )或無黏性極限 ( Inviscid Limit )模型。

2.1 Liouville 方程式

^討論MD ( Molecular Dynamic )時，對於定溫、定壓下的系綜( Ensemble )，

必須利用推導出來的Liouville equation 來做討論分析。引進相空間( Phase Space ) 的概念，描述在保守赫米爾頓系統( Hamiltonian system )中，相空間分布函數 ( Phase Space Distribution Function )的演化過程。本質上，對通量而言是個連續方 程( Continuity Equation )。

考慮相空間中含有 N 個分子的運動行為，各分子皆可以用廣義位置與動量

來描述，故系統內的狀態N 個分子有 6N 個維度(每個分子在直角座標上有x y z, , 三個方向，每個方向上有位置 與動量r_i p ，3N × 2)相空間的座標來表達 _i

(

r r1, , ,2 r3_N, ,p p1 2, ,p3N

)

(2-2) 現在考慮此系統之系綜，即滿足某巨觀限制條件的集合，系綜裡面包含了相 空間中的點，如圖2-1 所示，我們藉由古典力學( Classical Mechanics )可知，由 一起始條件出發系統隨著時間在相空間中移動的軌跡是可以唯一來求得的，由於 在同一系綜內各系統點的起始條件皆不一樣，因此各系統點的軌跡亦不會相交 (無碰撞)，所以在相空間中的流線不會相交，代表著系綜將會守恆。

系綜裡面的系統數目通常非常龐大，遠比系統內粒子數目還多。在一系綜 裡，系統數可視為在巨觀下所看到的微觀狀態，就像是在巨觀尺度下的真實世界 裡，將原子與分子群視為連續體，所以將這些微觀正則狀態( Micro canonical state ) 視為相空間中的連續函數，其中可定義粒子密度 f^{( )N} 為在相空間點上的系統密 度，故在相空間中單位體積內的系統數為

Number of systems= f^{( )N} (r^{( )N} ,p^{( )N} , )t dr^{( )N} dp^{( )N} (2-3) 系統中的Hamiltonian 函數則可表示為

Η

(

r r1, , ,2 r3_N, ,p p1 2, ,p3N

)

(2-4) 在相空間中N 粒子的分布函數 f^{( )N} 隨著時間的演化為

( ) 3 ( ) 3 ( )

1 1

0

N N N N N

i i

i i i i

f f f

r p

t = r = p

∂ + ∂ + ∂

∂

∑

∂

∑

∂ = (2-5) 利用Hamilton 方程

^,

,

i

i

i p

i r

r H

p H

⎧⎪ =

⎨ = −

⎪⎩ (2-6) 可得到Liouville 方程式

^{( ) 3 ( ) 3 ( )}

1 1

0

N N N N

i i i i i i

f H f H f

t ₌ p r ₌ r p

∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂

∂

∑

∂ ∂

∑

∂ ∂ ^N = (2-7) 上式表達了分佈函數 f^{( )N} 隨著時間演化的行為，也明確描述了古典系統。但 是要直接解 Liouville 方程式是很難辦到的，因為太多龐大的變數在裡面，且每 個系統點的精確初始條件必須給定。雖然如此，Liouville 方程式卻也提供了一個 好的出發點。

2.2 Boltzmann 方程式

一般來說，N 個分子的起始條件不容易給定，且在相空間中具有 6N+1 個變 數( 3N 個位置、3N 動量和時間 ) ，還須考慮邊界條件的設定，全部整合起來其 數值解和正確解無法真正的被求解出。因此忽略各粒子之間的詳細行為，而著重 於其整體巨觀行為。故將N 個粒子的分佈函數簡化為單一粒子的分佈函數

^{( )}

( )

^{( )}

1

1 1 2 2

( , , ) !

1 !

N

N

N

f r p t f dr dr dp dpN

= N

−

∫ ∫

(2-8) 而其在相空間中，單位體積內的系統數為

Number of systems = f drdp⁽¹⁾ (2-9) 經過處理後的式子，大大地簡化了變數的數目。將單一粒子分布函數視為多 粒子分布函數的投影，但此簡化成立的條件是必須為稀薄氣體才可行，且碰撞項 部分僅考慮二元碰撞的情況。利用簡化過後的單粒子分佈函數，可以由Liouville 方程式獲到Boltzmann 方程式

( ) ( )

C

f f

v f a f

t r v t

∂∂ + ⋅∂∂ + ⋅∂∂ = ⎜ ⎟⎛⎝∂∂ ⎞⎠ (2-10)

其中碰撞項可表示為

⁴ ₁^* ₂^* _{1 2 2}

0 ( ) _r

C

f f f f f v d dv

t

π σ

∞

−∞

⎛∂ ⎞ = −

⎜∂ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

^Ω (2-11) 若考慮在晶格中載子的傳輸行為時，Boltzmann 方程式通常以波向量( Wave Vector )的形式表達

( ) ( )

C

f F f

v f f

t r k t

∂∂ + ⋅∂∂ + ⋅∂∂ = ⎜ ⎟⎛⎝∂∂ ⎞⎠ (2-12)

其中 為波向量， 為普朗克常數除以k 2π，p = mv 、 p = k ， p 為動量。

2.3 鬆弛時間

Boltzmann 方程式為一個含有七個維度的積分微分方程式，其碰撞項

C

f t

⎛∂ ⎞

⎜∂ ⎟

⎝ ⎠ 在物理上，表示粒子之間的碰撞情形，此機制相當複雜，須考慮其散射機制、材 料性質以及與電子之間的相互作用；在數學解析上，此碰撞項積分很複雜難解且

為非線性項。通常會利用鬆弛時間( Relaxation Time, τ )來近似，將碰撞項線性化 成平衡分佈函數的偏離量，即利用局部非平衡分佈函數與平衡狀態分佈函數的差 量來線性化，此種模型稱作Bhatnagar Gross Krook ( BGK )模型，BGK 方程式為

f f f fe

v a

t r v

f τ

∂ ∂ ∂ −

+ ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ (2-13) 鬆弛時間的近似簡化了複雜的散射項。而如何決定鬆弛時間是一個重要的關 鍵。考慮不同的散射機制，求得的鬆弛時間也不一樣。

聲子在材料中的散射機制主要為兩類：(1) 由晶格缺陷而產生的彈性散射，

如缺陷、錯位和邊界…等，在散射的前後，聲子的能量或頻率不會發生任何變化；

(2) 聲子與聲子間的非彈性散射，三個或三個以上的聲子彼此發生散射，則頻率 會產生變化。

2.3.1 缺陷散射

缺陷散射為限制平均自由路徑之重要因素，聲子的散射必須考慮晶體的邊 界、天然化學元素的同位素質量分布、化學雜質、晶格缺陷、以及非晶態結構，

這些都會影響到材料裡面內部的實際幾何情形。

缺陷所造成的鬆弛時間為

1

i v

τ ⁼αϕψ (2-14) 其中α 為一單位化常數、ϕ為散射截面，ψ 為缺陷密度，意指單位體積中會發生 散射位置的數目、 為聲子速度。 v

散射截面ϕ可以利用Rayleigh law (1896)來求得

4 2

( 4 ) R χ 1

ϕ π⁼ χ + (2-15) 其中R 為晶格缺陷的半徑，χ是尺寸參數( Size Parameter )，可由聲子的波長求 得

2 R R v

π ω

χ = =

Λ (2-16)

2.3.2 三聲子過程( Three Phonon Process )

三聲子過程是由晶體位能之三次方項造成，一個聲子的存在會導致週期性的 彈性應變，使得晶體的彈性常數在空間和時間上會產生變化，因此第二個聲子將 受到彈性常數之變化而被散射出去，產生第三個聲子。

(1) 正常過程( Normal Process )

正常過程( Normal Process )或稱為 N 過程，此過程不會建立起熱平衡，其原 因為在碰撞過程中聲子氣體之總動量守恆，在溫度T 時，聲子之平均分布會因飄 移速度而沿晶體移動，其飄移速度不會受其擾動，故不會有熱阻( Thermal Resistance )存在。

(2) 倒逆過程( Umklapp Process )

倒逆過程( Umklapp Process )或稱為 U 過程，此過程會造成熱阻( Thermal Resistance )，三聲子過程之 K 並不具有守恆形式 K1+K2=K3，而是具有下列形式 K1+K2=K3+G，其中 G 為倒晶格向量( Reciprocal Lattice Vector )，此過程由 Peierls 所發現。對聲子而言，只有在第一布里淵區( Brillouin Zone )內的 K 才有意義，

任一碰撞後，若產生較長的 K，必須加上一個 G 以回到第一布里淵區內，對於 的過程稱為倒逆過程。如圖2-3 所示，若有兩個都是負的

G 0≠ K_x聲子碰撞後，

有可能因倒逆過程而造成一個正的K_x聲子。這些過程在週期性晶格內常可能發 生。

U 過程的鬆弛時間為

exp( ^D)

U

D

A T

T τ θ

θ ω γ

= (2-17) 其中A 為一無因次常數與結構因子和倒逆過程的平均自由徑( MFP )有關，θ_D為 德拜溫度( Debye Temperature )，γ 為晶格結構參數。

2.3.3 等效鬆弛時間

利用Matthiessen 法則可得各種散射過程之等效鬆弛時間，當每種散射由一 單獨的鬆弛時間τ_i定義時，則等效鬆弛時間為

1 2

1 1 1 ...

Total

τ ⁼τ ⁺τ + (2-18) 或 τ_Total⁻¹ =

∑

τ_i⁻¹ (2-19)

Mattiessen 法則在不知道其他充分資訊的情況時，是一種非常有用的一階近 似。可以用於分析其他散射機制如：電子與電子、電子與聲子及跟雜質間的散射 或者是三種散射也或者是兩種不同的雜質散射。當幾種不同的散射過程，同時發 生時，如：電子同時受聲子及雜質(電洞、差排及錯排等)的散射時，Mattiessen 法則指出，固體電阻是由各種單獨的散射引起電阻之合。鬆弛時間的總合效應也 有類似的關係存在。

2.3.4 灰體鬆弛時間

由氣體運動理論可推導得熱傳導係數為 k 1

3Cv

= Λ (2-20) 其中k 為材料塊材( Bulk )之熱傳導係數; 為材料比熱;C v為材料聲速;Λ 為聲子平 均自由徑。

由(2-20)可估計聲子的平均自由徑，並求得其鬆弛時間

τ =^Λv (2-21) 一般而言，光頻支的聲子對於熱傳導的影響很小，幾乎沒有貢獻，通常會將 光頻的聲子之比熱排除在估計之外，並以sine 函數近似聲頻支之聲子的耗散關係

sin 2

p mp

ω ω ⎡ka⎤

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2-22) 其中 為波向量、k ω_p為極化方向p 之聲子角頻率、ω_mp為極化方向p 之聲子在第

一布里淵區邊界的角頻率、a 為等效原子間距。

聲子的群速( Group velocity )和比熱可表達為

[ ] cos

2 2

mp p

a ka

v ω

ω = ⎡⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎦ (2-23)

[ ]

2

1 2

2

T ²

2 3 2

sin exp

4

cos 2 exp 1

mp B

p

B mp

B

C k T

k a ka

k T

ω ω ω

ω ω

π ω ω

⎛ − ⎡ ⎤⎞⎟ ⎡ ⎤

⎜ ⎢ ⎥⎟

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎜ ⎢ ⎥⎟

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎢⎣ ⎥⎦⎠ ⎣ ⎦

= ⎡⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎦ ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ ⎡⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎦− ⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

=

= (2-24)

再利用下列公式

[ ] [ ] 0

/ 3

mp

p p

p

k C v d

ω

ω ω ω

= Λ

∑ ∫

(2-25) 可得較準確之值，此即為Dispersion 模式，而(2-21)之鬆弛時間稱為 Debye 模式。

2.4 聲子輻射熱傳方程式(EPRT)

Majumdar 在 1993 年將聲子類比光子，以波茲曼傳輸方程式為基礎，推導出 聲子輻射傳輸方程式( Equation of Phonon Radiative Transfer, EPRT )。而聲子在介 質中之傳遞速度接近為定值，故Boltzmann 方程式(2-13)式中，加速度項可省略，

方程可表示為

(

^,

)

e r

f f f

v f

t τ ω T

∂ −

+ ⋅∇ =

∂ (2-26) 聲子平衡分佈函數 f 為 Bose-Einstein 分佈 ^e

(

^,

)

¹

exp( ) 1 fe T

kT

ω ⁼ ω ₋ (2-27)

向量 為普朗克常數h( Planck’s constant )除以2π ，以頻率分佈函數可表示為

e r

f f f

v f t

ω ω ω

ω

τω

∂ −

+ ⋅∇ =

∂ (2-28) 將聲子類比成光子，可以定義出在每單位頻率下聲子的能量強度( Intensity )

(

^{, , ,}

)

¹ ( , ) ( , ) ( ) 4 _p

I r_ω θ φ t v θ φ f r t_ω ωD

= π

∑

^ω (2-29)

其中 ω 為量化的能量， ( )Dω 為狀態密度函數( Density of States )，一般皆使用簡 化的Debye模型

2

( ) 2 3

D 2

v ω ω

= π (2-30) 將聲子強度之定義代入並同乘以v ω ωD( )，整理可得聲子輻射傳輸方程式 ( Equation of phonon radiative transfer, EPRT )

1

( )

e r

I I I

s I

v t v

ω ω ω

ω τ ω

∂ −

+ ⋅∇ =

∂ (2-31) 將(2-31)對頻率與方向積分可得

4

4

Ie I

U q d d

t v v

ω ω

ω π ω

π ω ω

τ τ

∂ + ∇ ⋅ = − Ω

∂ ^r

∫ ∫ ∫

d (2-32) 其中能量( Energy )為

4

U I d

v

ω π

ω d

=

∫ ∫

Ω (2-33) 熱通量( Heat Flux )為

4

q I d d_ω

π

ω

=

∫ ∫

Ω (2-34) 由熱力學第一定律可知

U 0 t q

∂ + ∇ ⋅ =

∂ ^r (2-35) 所以可得聲子的平衡強度可表示為

4

4 I^e I

d d

v v

ω ω

ω π ω

π ω ω

τ ⁼ τ ^dΩ

∫ ∫ ∫

(2-36) 若假設聲子在每一個頻率下皆能達到平衡狀態，則可以得如下式

4

1 4

I_ωe I d_ω π π

=

∫

Ω (2-37) 若假設聲子跟頻率和鬆弛時間無關，則為灰體模型( Gray Model )，能量強度方面 可以直接把頻率積掉

I =

∫

I d_ω ω (2-38)

e e

I =

∫

I d_ω ω (2-39)

變成跟頻率無關的能量強度，此時(2-31)式為

1 ^e

r

I I I

s I

v t vτ

∂ + ⋅∇ = −

∂ (2-40)

2.5 邊界條件

以往討論分析巨觀方程式時，邊界條件的給定都為溫度或是熱通量，並不

需要考慮其在邊界處的強度分佈情形為何，但是當在討論微觀熱傳時，聲子在邊 界處上的作用情形卻是很重要，不能再只單純考慮溫度和熱通量的情況。

聲子碰撞過程中，在邊界( Boundary )和界面( Interface )處上，有下列幾種情 況：放射( Emission )、吸收( Absorption )、反射( Reflection )以及穿透( Transmission ) 等三種情形。

我們將在邊界上的聲子儲存( Phonon Reservoirs )僅考慮有放射與吸收兩種 現象，其他的界面處則考慮兩介質的物理性質所造成的反射與穿透的現象。通常 兩介質間，會有界面熱阻存在，主要的原因是兩界面間存在著不連續面，阻礙了 聲子的熱傳遞。

黑體邊界( Black Body Boundary )

假設從邊界入射到材料內部中，各方向之聲子強度為定值，其為邊界溫度T 的平衡強度。

I r

(

BC^,s^ˆ

)

=I T^e

( )

s nˆ 0^ˆ⋅ < (2-41)

平衡溫度邊界( Thermalizing Boundary )

分 析 熱 傳 區 域 的 邊 界 可 以 視 為 一 熱 平 衡 且 有 一 固 定 溫 度 的 儲 存 器 ( Reservoirs )，會同時吸收入射的聲子強度並會依各方向均勻輻射出來。根據統 計熱力學( Statistical Thermodynamics )，聲子能量強度可表為

( ) 4

e

b ref

I C T T

= π − (2-42) 為邊界儲存器的溫度， 為參考溫度相對於所定義的材料比熱。

Tb T_ref

假設自邊界入射到材料內各方向之聲子強度固定且與入射到邊界各方向之 聲子強度總和視為邊界溫度T 時的平衡強度。

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0

ˆ ˆ

, , 4 ^e

BC BC

s n s n

I r s d I r s d πI T s n

⋅ < ⋅ >

Ω + Ω = ⋅ <

∫ ∫

ˆ ˆ 0 (2-43) 或

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

4 ,ˆ

ˆ ˆ

, 0

e

BC BC s n

s n

I T I r s d

I r s s n

d π

⋅ >

⋅ <

− Ω

= ⋅

Ω

∫

∫

^ˆ< (2-44)

絕熱邊界( Adiabatic Boundary )

假設在邊界上無熱流進出，亦無能量的轉換和消耗，一般可分為鏡射與擴散 散射。

鏡射邊界( Specular Boundary )

根據 Snell’s law 邊界處發生完美的反射，入射角等於反射角。

( , , )_{b r} ( , , )_{b i}

I r s t = I r s t (2-45) 或

(

BC^,ˆ

) (

BC^{,ˆ 2ˆ ˆ}

)

^{ˆ ˆ}

I r s =I r s− s n⋅ s n 0⋅ < (2-46)

擴散散射( Diffuse Boundary )

假設入射邊界的聲子強度和從邊界出射出的聲子強度總合為零，出射來的

強度為依各方向均勻分佈。亦即入射邊界的聲子被完全均勻反射擴散回去材料內 部。

( ) ( )

ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0

ˆ ˆ _BC,ˆ ˆ ˆ _BC,ˆ 0 ˆ ˆ

s n s n

s nI r s d s nI r s d s n

⋅ < ⋅ >

⋅ Ω + ⋅ Ω = ⋅

∫ ∫

< (2-47) ⁰ 或

( ) ( )

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ,ˆ

ˆ ˆ

, 0

ˆ ˆ

BC s n

BC

s n

s nI r s d

I r s s n

s nd

⋅ >

⋅ <

− ⋅ Ω

= ⋅

⋅ Ω

∫

∫

^ˆ< (2-48)

部分鏡射部分反射( Partially Specular and Partially Diffuse Boundary )

( ) ( )

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ,ˆ

ˆ ˆ

, ( , , ) (1 )

ˆ ˆ

BC

BC b r s n

s n

s nI r s d

I r s pI r s t p s n

s nd

⋅ >

⋅ <

− ⋅ Ω

= + − ⋅

⋅ Ω

∫

∫

^{ˆ 0}< (2-49) p 為鏡射因子( Specularity Factor )。

週期邊界( Periodic Boundary )

假設聲子強度呈現週期性之變化，即其偏離平衡強度之值有週期性。

I r

(

BC^,s^ˆ

)

−I T^e

( ) (

BC =I rPeriodic^,s^ˆ

)

−I T^e

(

Periodic

)

s nˆ ˆ 0⋅ < (2-50)

2.6 界面熱阻

界面熱阻的觀念主要是因為薄膜間界面不同材料間的晶格出現中斷，阻礙了 聲子的傳輸，加上聲子穿過界面時，因材料晶格發生變化因而產生散射現象，一 部 分 聲 子 穿 透 界 面 ， 而 另 一 部 分 則 會 發 生 反 射 ， 因 此 在 界 面 處 產 生 溫 降 ( Temperature Drop )。所以利用聲子輻射熱傳模式處理多層膜結構時，就必須針 對界面問題加以處理。在Phelan和Chen的研究中指出，薄膜間界面熱阻對於整個 系統的熱傳導具有重要的影響。因此，顯示出界面熱阻的探討更為重要，目前主 要可分為幾種理論模式來模擬界面熱阻的現象。本節將針對各種界面熱阻模式做 一概要敘述性的介紹。

界面熱阻的定義為：

T

R q

= Δ (2-51)

其中 為界面兩端的溫差， 為單位面積的熱通量。

等效熱傳導係數為定義在微尺度下材料的熱傳遞能力，利用類似Fourier 定 律之形式，使用熱通量、兩端溫度差與材料厚度，可定義出等效熱傳導係數

ΔT q

e

K q L

= T

Δ (2-52) 其中 為薄膜厚度。 L