免費置換保證下元件之最佳訂購策略

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免費置換保證下元件之最佳訂購策略

Optimal Ordering Policy for Components under Free-Replacement Warranty 計畫編號：NSC 90-2218-E-011-008

執行期限：民國 90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日計劃主持人：葉瑞徽教授國立臺灣科技大學工業管理系

計畫參與人員：陳光澄、陳慈慧、周璟汶、羅紫綾國立臺灣科技大學工業管理系一、中文摘要

本計畫探討具有免費置換保證元件之最佳訂購策略。元件之置換通常基於其不可維修或維修成本偏高的特性，然而過去有關於元件置換策略的研究，很少將保證因素對置換策略所產生的影響納入考量。

有鑑於傳統年齡置換是最為廣泛應用於不可維修產品的一種置換策略，本計畫針對買方的立場，建立與分析免費置換保證下，買方採行年齡置換策略之訂購成本模式，計算最小化長期平均總成本之最佳置換年齡，並透過數值範例與傳統年齡置換策略的結果互相比較驗證，藉以探討免費置換保證對傳統年齡置換策略之影響。

關鍵詞：免費置換保證、年齡置換策略、

長期期望平均總成本。

Abstr act

In this study, the optimal ordering policy for non-repairable components under free- replacement warranty is investigated. Based on the most commonly used age-replacement policy, a cost model including the terms of warranty is established to derive the optimal age that minimizes the long-run expected cost rate. Then, the results are compared with that of the traditional age replacement policy through some numerical examples.

Keywor ds: Free-Replacement Warranty, Age Replacement, Long-Run Expected Cost Rate.

二、緣由與目的

近代消費市場的競爭與多樣化，驅動了消費者意識的提昇與使用習慣的改變，

產品保證亦隨之成為直接歸屬於產品本身的重要附加價值之一。Blischke 與 Murthy [3]對於保證的策略與成本模式有廣泛且深

入的探討。

產品能否順利發揮其應有功能，往往攸關使用者重要工作的執行。為了因應關鍵元件失效導致產品無法正常運作所可能產生的重大損失，免費置換保證往往是一種對使用者最直接有效的保證策略。買方在元件的保證期內遭逢元件損壞的狀況，

不需付出額外的費用，即能在最短的時間內獲得賣方的元件置換。不僅能因應某些關鍵性元件不可維修或維修成本偏高的特性，更能夠滿足使用者對於節省時間以利工作遂行的迫切需求。Blischke 與 Scheuer [4]透過更新理論，探討目前消費市場所普遍被採行的免費置換保證。

年齡置換策略基於其決策明確且容易執行的特性，遂成為不可維修元件最基本重要且廣泛運用的一種置換策略。Barlow 與 Proschan [1] 曾針對連續型壽命分配有系統地探討年齡置換策略， Berg [2] 並透過機率理論的角度，印證年齡置換策略本身實為所有合理置換策略中的最佳選擇。

此外，Osaki 與 Nakagawa [5] 及 Osaki [6]

等亦對於年齡置換策略有更為深入與多樣化的探討。

然而，除了 Ritchken 與 Fuh [7] 曾經

針對折價式保證策考慮不可維修元件之最

佳年齡置換策略以外，過去有關於年齡置

換策略的研究，很少將保證因素對置換策

略所產生的影響納入考量。事實上，在具

有元件保證的狀況下，由於保證期內的失

效成本轉嫁至賣方，買賣雙方的成本架構

均隨之改變，買方實有必要因應其購買產

品之生命週期內成本結構的改變，適切地

調整最佳置換與訂購策略，其中包含了最

佳的年齡置換策略（置換點）與最低的長

期單位時間期望總成本（成本率）的考量。

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基於上述觀點，本研究針對買方的立場，建立並分析免費置換保證下，買方採行年齡置換策略之元件訂購成本模式，尋求最佳化條件，並與傳統年齡置換策略的結果互相比較驗證，藉以探討免費置換保證對傳統年齡置換策略之影響。

三、研究方法及成果

當考慮將免費置換保證納入訂購成本模式時，可能採行的方式有以下兩種：

1.更新式（Renewing）免費置換保證：在保證期內元件失效，均由賣方免費提供每次一個新的元件做置換，且重新計算該產品之保證期。

2.非更新式（Non-Renewing）免費置換保證：在保證期內元件失效，均由賣方免費提供每次一個新的元件做置換，但保證期不重新計算，保證僅提供至第一個產品之保證期屆滿為止。

根據上述兩種保證方式，模式建構之基本假設如下。

1. 買方於保證期內，對元件只會進行失效性置換，而不會進行預防性置換。

2. 保證期內因失效而由賣方免費提供之置換元件，買方不需負擔採購成本。

3. 買方元件採購之前置時間與置換元件所需之時間可以忽略不計。

4. 若元件在保證期內失效，則會造成買方的當機成本，而當機成本為一常數。

5. 單次訂貨成本與單位元件購買成本亦均為常數。

上述成本模式所使用之符號分述於下：

w 單一元件保證期

C 單次採購成本

o

C 元件單位購買成本

b

C 單次當機成本

d

X 元件之壽命 )

( ⋅

f 元件壽命之機率分配 (⋅ )

F 元件壽命之累積機率分配 (⋅ )

r 元件壽命之失效率函數 µ 元件壽命之期望值

N 元件在保證期

w w

內置換的次數

γ 元件使用超過

w ^w

之殘餘壽命 )

( ⋅

f

_γw

元件殘餘壽命之機率分配 (⋅ )

F

_γw

元件殘餘壽命之累積機率分配

γw

µ 元件殘餘壽命之期望值 (⋅ )

r

_γw

元件殘餘壽命之失效率函數 t

0

元件之置換年齡

(⋅ )

C 更新循環總成本 )

( ⋅

T 更新循環總時間 (⋅ )

CR 單位時間期望總成本

3.1 更新式免費置換保證下之成本模式在更新式的置換保證下，首先考慮更新循環內第一個元件的使用情況，會具有如圖 1 所示的三種狀況。

t₀

失效性置換

（保證）

X₁ X₂

w

失效性置換

（無保證）

X₁ w X₂

預防性置換

（無保證）

圖 1.更新式免費置換保證示意圖考慮該元件在保證期 w 與置換年齡 t

₀

前後之可能的失效狀況，可求得單次更新循環時間為：



 



≥

<

≤

=

0 1 0

0 1 1

1 1

0



 )

(

t X t

t X w X

w X X

t

T 單次更新循環成本為：



 



≥ +

<

+ +

≤

=

0 1

0 1 1

0



 )

(

t X C

C

t X w C

C C

w X C

t C

b o

d b o

d

單位時間期望總成本可計算如下：

]]

| ) ( [ [

]]

| ) ( [ [ )]

( [

)]

( ) [

(

1 0

1 0 0

0

E E T t X

X t C E E t

T E

t C t E

CR = =

dt t F

t F C w F C C

t

d b

o

) (

) ( )

( ) (

0

∫

⋅ +

⋅

= +

(3)

3

將 CR ( t

₀

) 對 t 做一階微分並令其為 0，可得

₀

) ( )

( )

(

₀

0 0

0

F w

C C t C

F dt t F t

r

d b t o

+ ⋅

=

−

⋅ ∫

定理 1：若 r ( t

₀

) 為連續單調遞增函數，且

d

d b

o

C

C w F C K C

r ⋅

+

= +

>

∞ µ

) ( ) ) (

( ，則存在一

有限且唯一的

t₀^*

，使得

) ( )

( )

( ₀^*

0 1 1

* 0

*

0 F w

C C t C

F dx x F t

r

d b t o

+ ⋅

=

−

⋅

∫

且 CR ( t

₀^*

) = C

_d

⋅ r ( t

₀^*

) 。

3.2 非更新式免費置換保證下之成本模式非更新式的置換保證下，若元件在保證期內失效，則由賣方提供每次一個全新元件做失效性置換，而保證期不重新計算。在給定置換年齡為 t 的情況下，單一

₀

保證期之終止取決於第一個使用超過保證期之元件的殘餘壽命 γ ，如圖 2 所示。

_w

t₀ 失效性置換

w γ_w

預防性置換 w

γ_w

X_Nw X_Nw+1

X_Nw+1

X_Nw

圖 2.非更新式免費置換保證示意圖考慮更新循環中第一個使用超過保證期 w 之元件的殘餘壽命，可求得單次更新循環時間為：

 



−

≥

−

<

= +

w t t

w t t w

T

w w w

0 0

0



) 

( γ

γ

單次更新循環成本為：





−

≥

⋅ + +

−

<

+

⋅ +

= +

w t N

C C C

w t N

C C t C

C

w w

d b o

w w

d b o

0 0

0 

)  1 ) (

( γ

γ

單位時間期望總成本可計算如下：

]]

| ) ( [ [

]]

| ) ( [ [ )]

( [

)]

( ) [

(

1 0

1 0 0

0

0 E ET t X

X t C E E t

T E

t C t E

CR = =

dt t F w

w t F N E C C C

w t

w d

b o

w w

) (

)]

( ) ( [

0

∫

⁻

+

− +

⋅ +

= +

γ γ

令 t

₁

= t

₀

− w > 0 ，則上式可以改寫為

dt t F w

t F N E C C t C

CR ^o ^b ^d _t ^w

w

) (

)]

( ) ( ) [

(

1 0

1

1 ⁺

∫

+

⋅ +

= +

γ

將 CR ( t

₁

) 對

t₁

做一階微分並令其為 0，可得 )

( ] ) ( )[

(

₁

1 0

1

F t dt F t

w t

r

w w w

t

γ γ

γ

+ ∫ −

d b o

w C

C N C

E + ⁺

= [ ]

(*) 若

₊

< ∞

→

( )

lim

₁

1 0

t r

_w

t γ

，則當 t

₁

→ 0

⁺

( t

₀

→ w

⁺

)

時，式 (*) 等號左側趨近於 r

_γ_w

( 0 ) ⋅ w 。當 )

( t

₁

r

γw

為連續單調遞增函數時，分別考慮以下

r_γ_w(0)=0

與

r_γ_w(0)>0

的狀況，可得下列定理 2 與定理 3。

定理 2：假設 r ( t

₁

)

γw

為連續單調遞增函數，

且 lim (

₁

) 0

1 0

+

=

→

r

_w

t

t γ

，若滿足

) (

]) [ 1 ) (

(

w

C w

N E C

C K C

r

d

w d

b o

γ

⋅ + µ

+ +

= +

>

∞ ，則

存在一有限且唯一的

t₁^*

，使得

d b o w

t

C C N C

E

t F dt t F w t

r

w w w

+ +

=

− + ∫

] [

) ( ] ) ( )[

(

₁^*

0

* 1

1

γ γ

γ

且 CR ( t

₁^*

) = C

_d

⋅ r ( t

₁^*

)

^。

定理 3：假設 r ( t

₁

)

γw

為連續單調遞增函數，

且

d b o

w

C

C N C

E w

r

_w

⋅ < + +

< ( 0 ) [ ]

0

_γ

，若滿足

) (

]) [ 1 ) (

(

w

C w

N E C

C K C

r

d

w d

b o

γ

⋅ + µ

+ +

= +

>

∞ ，則

存在一有限且唯一的

t₁^*

，使得

) ( ] ) ( )[

(

₁^*

0

* 1

1

F t dt F t

w t

r

_γ_w

+ ∫

^t _γ_w

−

_γ_w

d b o

w

C

C N C

E + +

= [ ]

且 CR ( t

₁^*

) = C

_d

⋅ r

_w

( t

₁^*

) 。

(4)

4

3.3 數值範例

考慮元件壽命 X ~ Weibull ( λ , α ) （更新式免費置換，RFW）與 X ~ Gamma ( 2 λ , 2 )

（非更新式免費置換，NFW）的狀況下，

透過不同參數組合（ λ

=1

），分別與傳統年齡置換策略的結果（最佳置換年齡、成本）作比較，可得下列表一與表二的結果。

表 1 AR 與 RFW 成本模式下之最佳置換年齡

t₀^*

與最佳單位時間期望總成本

CR(t₀^*)

*

t0 CR(t₀^*)

α Cd

AR RFW AR RFW 50 1705.3 50.322 265.77 131.37 100 132.60 8.5978 318.93 184.53 1.2

500 2.9247 1.0000

^*

743.65 588.20 50 13.634 3.3310 276.99 136.88 100 4.9083 1.6172 332.32 190.75 1.5

500 0.9665 1.0000

^*

737.33 556.79 50 2.8209 1.3808 282.09 138.08 100 1.6886 1.0000

^*

337.72 183.16 2.0

500 0.6543 1.0000

^*

654.31 521.72

*表中星號的代表所決定之

t₀<w=1

表 2 AR 與 NFW 成本模式下之最佳置換年齡

t₀^*

與最佳單位時間期望總成本

CR(t₀^*)

*

t0 CR(t₀^*)

λ Cd

AR NFW AR NFW 50

_∞ _∞

250.00 163.99 100

∞ ∞

300.00 213.99 1.0

500 1.0683 1.1829 681.18 570.79 50

_∞ _∞

375.00 208.30 100

∞

5.3218 450.00 283.30 1.5

500 0.7122 1.0733 1021.8 822.77 50

_∞ _∞

500.00 245.45 100

_∞

2.3325 600.00 345.43 2.0

500 0.5342 1.0399 1362.4 1073.6

* 對 NFW 成本模式，

t₀^*=w+t₁^*

。四、結論與討論

1. 免費置換保證下，買方最佳化的考量如同傳統年齡置換策略，取決於元件的失效率與當機成本。惟非更新式免費置換保證進一步影響成本模式，使得元件殘餘壽命之失效率取代元件的失效率，成為影響決策的關鍵。

2. 就買方而言，若當機成本偏低，則免費置換保證所帶來的保證價值（成本率下降的效果）較為顯著。

3. 更新式（非更新式）免費置換保證下的成本模式，若存在有限且唯一的

t₀^*

（

t₁^*

），則此最佳置換年齡

t₀^*

（

t₁^*

）將小於傳統年齡置換成本模式之

t₀^*

。五、計畫成果自評

本研究完成原計畫中，相關於納入更新與非更新式免費置換保證考量之元件的年齡置換策略訂購成本模式，探討相對應之性質，並透過相關之數值範例與傳統年齡置換策略訂購成本模式做比較，研究成果已投稿於國際學術期刊。

探討免費置換保證對於年齡置換策略訂購成本模式的影響研究過程中，獲致許多此類更新方程式的基本性質，有助於來進一步深入分析免費置換保證對於其他不同類型之元件置換策略（如區間置換策略等），訂購成本模式之影響。

六、參考文獻

Baxter, L. A., Scheuer E. M., McConalogue, D. J. and Blischke, W. R. (1982). “On the Tabulation of the Renewal Function,”Technometrics, 24-2, pp 151-156.

[1] Barlow, R. E. and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability, Wiley, New York (1965).

[2] Berg, M., “A proof of optimality for age replacement policies,” Journal of Applied Probability, 13, 751-759 (1976).

[3] Blischke, W. R. and D. N. P. Murthy, Warranty Cost Analysis, Marcel Dekker, New York (1994).

[4] Blischke, W. R. and E. M. Scheuer.,

“Applications of renewal theory in analysis of the free-replacement warranty,” Naval Research Logistics Quarterly, 28(2), 193-205 (1981).

[5] Osaki, S. and T. Nakagawa, “A note on age replacement,” IEEE Transaction on Reliability, 24(1), 92-94 (1975).

[6] Osaki, S., Applied Stochastic System Modeling, Springer, New York (1993).

[7] Ritchken, P. H. and D. Fuh, “Optimal

replacement policies for irreparable

warrantied items,” IEEE Transaction on

Reliability, 35(5), 621-623 (1986).

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