應用輸入修正法於非線性與時變系統之運動最佳化研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

應用輸入修正法於非線性與時變系統之運動最佳化研究

研究成果報告(精簡版)

計 畫 類 別 ： 個別型 計 畫 編 號 ： NSC 94-2212-E-006-052- 執 行 期 間 ： 94 年 08 月 01 日至 95 年 10 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立成功大學機械工程學系（所） 計 畫 主 持 人 ： 楊天祥 共 同 主 持 人 ： 陳國聲 計畫參與人員： 博士班研究生-兼任助理：王齊中 碩士班研究生-兼任助理：胡逸群、林莞慈、鄭坤銓、蔡孟龍 大學生-兼任助理：高憲堂 處 理 方 式 ： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 96 年 01 月 22 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

應用輸入修正法於非線性與時變系統之運動最佳化研究

Motion Optimization of Nonlinear and Time-Varying Systems

Using Input Shaping

計畫編號：NSC 94-2212-E-006-052

執行期限：94 年 8 月 1 日至 95 年 10 月 31 日

主 持 人：楊天祥

1

國立成功大學機械工程學系

共同主持人：陳國聲

2

國立成功大學機械工程學系

計畫參與人員：胡逸群 高憲堂 林莞慈 鄭坤銓

王齊中 蔡孟龍

____________________________________ 1 _{E-mail: [email protected]} 2 _{E-mail: [email protected]}

摘 要

在先前輸入修正法研究中，我們將撓 性結構之輸入指令分解成數個部分步階輸 入，並延遲個別部分輸入之實施時間，從 而誘發破壞性干涉來抑制結構系統為其輸 入指令所激發之殘留振動。然而，如此作 法只能使系統之控制點由某一初始平衡位 置移動並定位在另一新平衡位置上，但無 法令系統控制點精準地依循預設之連續軌 跡行進，因此在本計畫中我們針對撓性結 構系統之循跡能力進行探討。要言之，本 計畫之目的在於檢討輸入修正法對於系統 控制點軌跡精度與其參數誤差容忍度之影 響，進而歸納出可改善系統循跡能力和其 他相關運動特性之輸入修正法設計。在本 報告中，首先我們利用一由線性彈簧與質 點所構成之簡單力學模型來說明參數誤差 對於系統循跡精度的影響，並進一步討論 在導入輸入修正法後系統循跡精度之改善 程度。之後我們也將非線性效應納入模型 系統中，並檢討輸入修正法對於非線性系 統循跡能力之影響。最後，我們並利用一 天車模型來說明參數誤差對於時變系統循 跡精度的影響。 關鍵詞：輸入修正、循跡能力、彈簧與質 點系統、非線性系統、天車、時變系統

Abstract

The input command of a dynamical system can be decomposed into a number of partial step inputs, each of which administered at a particular delayed instant, so as to suppress the residual vibration of the system through destructive interference. However, such input shaping techniques are only capable of accurately positioning the system at a few particular locations, but not along an entire continuous path. This thus motivates the present study on the path tracking capability of flexible structures. In this report, the simple model of a spring-mass system is considered first. In particular, the effects of parameter errors on the path tracking accuracy of such a system, and the improvement of path tracking accuracy by using input shaping techniques, are investigated. Furthermore, the effects of nonlinearities on the path tracking accuracy of the system are also studied numerically. Finally, the effects of parameter errors on the path tracking errors of time-varying systems are discussed using the model system of a gantry crane.

Keywords: input shaping, path tracking,

spring-mass system, nonlinear system, gantry crane, time-varying system

1. 緒論

精密機械元件或力學結構運動時通常 會激發振動，而振動的存在將使得系統運 動的行進路線與預期路徑有所誤差，並且 嚴重影響系統定位的精度。通常，我們可 以增強系統阻尼的方式來達到抑制振動之 效果[1]。然而當難以在機械結構上加上足 夠的阻尼時，我們便必須利用改變輸入指 令的方式（亦即“輸入修正法”），來抑制 撓性結構運動時所引發的振動[2]。 藉由修正輸入指令形式以改善系統性 能的作法，在過去二、三十年間，有許多 的研究將其運用在機器人學、撓性臂控 制、微機電系統以及波動問題等研究領域 中[3–10]。在這些應用中，結構或波動系統 通常是連續且非線性的，所以使用現存的 輸入修正法不一定能得到令人滿意的結 果。因此，本研究團隊曾分別針對非線性 系統[11]及連續結構[12–15]減振，進行了 一系列的輸入修正法研究。同時，Chen等 人亦利用一懸臂樑系統進行實驗[16]，驗證 了相關的輸入修正法理論研究結果。 在前述研究中，本研究團隊不僅探討 了輸入修正法的減振效能，並且針對參數 誤差對於輸入修正法減振效能的影響做了 一番探討，以釐清將各種輸入修正法運用 於真實系統上之實用性及其限制。然而， 這些研究中所討論的輸入修正法只能使系 統之控制點由某一初始平衡位置移動並定 位在另一新平衡位置上，並無法令系統控 制點精準地依循預設之連續軌跡行進。 為了探討撓性結構系統之循跡能力， 在本報告中我們將先以一個簡單的彈簧與 質點系統為例，並欲使此系統中之質點能 遵循預先設定的路徑來移動（亦即使系統 在運動過程中所經過的每一點皆能精確定 位，而非僅只在少數幾個定點甚或是單一 定點做到精確定位）。在第2節中，我們將 由線性彈簧質點系統之運動方程式出發， 給予其中之質點一預設之餘弦(cosine)路 徑，並藉此推導出所需之輸入力。理論上， 在不考慮儀器設備能力限制之前提下，我 們皆可以所求得的輸入力施於系統上，並 使系統之行進路徑符合預期。然而在真實 使用上，因為系統老化(aging)，或是控制 之不精確，難免會有參數誤差；因此我們 也將討論當系統真實的自然振動頻率與預 期的振動頻率不同時，是項差異對於運動 路徑誤差的影響。 而後在第3節中，我們將檢討輸入修正 法對於系統控制點軌跡精度與其參數誤差 容忍度之影響，進而歸納出可改善系統循 跡能力和其他相關運動特性之輸入修正法 設計。復次，我們將在第4節中檢討非線性 效應對於系統循跡能力的影響，並在第5節 中利用一天車模型來說明參數誤差對於時 變系統循跡精度的影響；最後我們將在第6 節中總結本報告。

2. 彈簧質點系統模型

首先考慮一線性之彈簧質點系統模型 （如圖1所示），其中質點受彈簧恢復力及 外力作用；故其運動方程式可以寫成 2 ( ) a x+ω x= f t  , (1) 其中x t( )是質點位移，t 是時間變數，f t( ) 是外力除以質點質量 m ，ω_a = k m/ 是系 統 的 自 然振動頻率（k 是彈簧的彈性係 數）。在此假設我們希望系統中之質點能 以一餘弦路徑移動（見圖2）: 0 design ₂ (1 cos ) x x = − ωt , (2) 其中x 和₀ ω分別為該餘弦路徑的振幅與角 頻率(angular frequency)。將路徑方程式(2) 代回運動方程式(1)，我們可以求出欲使系 統中質點依循該路徑所需之外力時序變化 函數為

{

2 2 2

}

0 design( ) ( ) cos 2 a a x f t = ω + ω −ω ωt . (3) 在實際使用上，可能因為對系統自然 振動頻率估計不精準，或系統老舊使得參 數跑掉，使得系統的真實自然頻率ω_a與我 們預期中的頻率ω₀不同。為了將這項誤差 所可能造成的影響納入考慮，在此我們依 預期中的頻率ω₀來設計系統之外力輸入； 故系統所受之實際外力可寫成 圖1 彈簧質點系統示意圖

圖2 質點預定軌跡

{

2 2 2

}

0 0 0 ( ) ( )cos 2 x f t = w + ω −ω ωt . (4) 在此外力之作用下，系統中質點很明顯地 將無法依照預設路徑運動。事實上，將(4) 式所表示之外力函數代入運動方程式(1)， 並令質點之初始位置和初速皆為零，我們 可解得質點之實際位移變化將為 2 2 2 0 0 0 actual 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 ( ) cos 2 cos . a a a a a a x x t t t ω ω ω _ω ω ω ω ω ω ω _ω ω ω ω ⎧ − = _⎨ − − ⎩ ⎫ − − ⋅ _⎬ − _⎭ (5) 上式明確地指出，系統自然頻率估計 誤差(ω₀ ≠ωa)除了造成路徑平均位置和振 幅誤差外[與(2)式相比較，(5)式右手邊括號 內前兩項之係數皆異於 1]，亦誘發一以系 統真實自然頻率振盪之多餘振動分量[見(5) 式右手邊括號內第三項]。由先前研究成果 可知，即令系統自然頻率之估計值具有誤 差，輸入修正法仍能有效地抑制以系統真 實自然頻率振盪之多餘振動振幅[2,12]。因 此，在下節中我們將具體討論輸入修正法 對於前述三項軌跡誤差之影響，以及利用 線上調整(online tuning)方式來進一步降低 系統循跡誤差的可能。

3. 輸入修正對於軌跡誤差之影響

3.1 ZV 輸入修正 首先我們檢討論零振動(zero vibration; ZV)輸入修正法對於軌跡誤差之影響。簡單 地說，ZV 修正法的主要精神在於將系統輸 入指令分解成兩個強度相同、但實施時間 互異之部分輸入指令。當這兩個部分輸入 指令實施之時間差恰為系統真實自然振動 半週期的奇數倍時，則其個別誘發之振動 分量（皆以系統之真實自然頻率振盪）將 因破壞性干涉而相互抵消。且就實用觀點 而言更重要的是，即令部分輸入指令實施 之時間差稍異於系統真實自然振動半週期 的奇數倍時，系統整體以其真實自然頻率 振盪的振動分量振幅雖不為零，但亦得到 有效之抑制[2,12]。 以下我們便具體討論 ZV 輸入修正法 對於系統軌跡誤差之影響。導入 ZV 輸入 修正法後，系統輸入指令（外力變化）可 以數學式寫成 ZV 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 ( ) cos ( ) 4 cos( / 2) cos ( ) 4 cos( / 2) ( ). f t x w t H t x w t H t ω ω _ω ωτ ω ω _{ω τ} ωτ τ ⎧ − ⎫ = _⎨ + _⎬ ⎩ ⎭ ⎧ − ⎫ + _⎨ + − _⎬ ⎩ ⎭ × − (6) 在上式中，由(4)式所表示之原始外力輸入 被分解成兩部分外力：第一部分外力在 0 t= 實施[故(6)式第二行乘以 Heaviside 步 階函數H t( )]，而第二部分外力稍後在 t=τ 實施[故乘以H t( −τ)]。同時我們要特別指 出的是，(6)式中角頻率為ω之週期性外力 振幅另除以一cos(ωτ/ 2)因式（factor）， 以補償因時間差所造成之整體振幅衰減。 [當 t > ，而兩個週期性部分外力同時作用τ 時， cos cos ( ) 2cos( / 2) cos( / 2), t t t ω ω τ ωτ ω ωτ + − = − 故整體振幅與cos(ωτ/ 2)成正比。] 於是我們可利用線性疊加原理，由(5) 式求得當 t> 時，在 ZV 修正外力(6)式作τ 用下之質點位移變化為 ZV actual actual 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 cos ( / 2) 2 sec cos 2 2 cos ( ). 2 a a a a a a x t x t x t x t t t τ ω ω ω _{ω τ} ω ω ω ω ωτ ω ω ω τ ω ω ω τ ω τ = + − ⎧ − = _⎨ − − − ⎩ ⎛ − ⎞ −_⎜ + ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠ ⎫ ⎛ ⎞ × _⎜ − _⎟⎬ > ⎝ ⎠⎭ (7)

比較(5)式和(7)式可知，在 ZV 修正外力作 用下，質點路徑之平均位置和振幅誤差皆 不受影響，但角頻率為ω之週期性路徑變 化因而得到τ / 2（而非τ !）之時間延遲 （time delay）。同時，若恰當地調整兩個 部 分 外 力 實 施 之 時 間 差 ， 以 使 得 cos(ω τ_a / 2) 0= ，則可以完全消除以系統真 實自然頻率振盪之多餘振動分量。事實 上，稍後我們將以實際計算結果說明，即 令因參數估計誤差而使時間差τ 稍異於正 確值時，多餘振動分量振幅亦可得到有效 抑制。

因此，正如Singhose & Singer [17] 和 Peláez 等 人 [18] 在 先 前 相 關研究中所指 出，若系統控制點須在準確時間精確地遵 循 預 設 軌 跡 （ 這 類 軌 跡 可 稱 為“時間軌 跡”；temporal trajectory），則輸入修正法 明顯地不適用。但若只要求軌跡形狀正 確，而可以容忍一定程度之時間延遲時（這 類 軌 跡 可 稱 為“ 空 間 軌 跡 ” ； spatial trajectory），則輸入修正法不僅可用，更可 以有效地抑制、甚至完全消除多餘之振動 分量。此處我們還要指出來的是，在先前 將輸入修正法用於循跡系統之相關研究中 (例如 Singhose & Singer [17] 和 Peláez 等人 [18])，大多處理線性非時變系統；故本研 究可謂將輸入修正法推廣至非線性與時變 系統之循跡應用上。 回到 ZV 修正法對軌跡誤差之影響的 討論上；我們已經看到質點路徑之平均位 置和振幅誤差皆不受其影響，惟有以系統 真實自然頻率振盪之多餘振動分量可以受 到抑制。然而就實用觀點而言，所有軌跡 誤差之發生皆由於系統真實自然頻率無法 準確估計（因為建模誤差或系統老化等因 素），故在試圖選取部分外力時間差τ 以 使得cos(ω τ_a / 2) 0= 時，我們可能仍以系統 自然頻率之最佳估計值ω₀為依據，而選定 0 / τ π ω= （當然其奇數倍亦可，但我們沒 有必要選取較長之時間延遲）。於是(7)式 可以進一步寫成 ZV 2 2 2 0 0 0 2 2 2 ( ) cos ( / 2) 2 _{a a} x t x t ω ω ω _{ω τ} ω ω ω ⎧ − = _⎨ − − − ⎩ 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 sec cos 2 2 cos ( , / ); 2 a a a a t t ω πω ω ω πω ω ω ω ω ω π ω τ τ π ω ω ⎛ − ⎞ −_⎜ + ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠ ⎫ ⎛ ⎞⎪ × _⎜ − _⎟⎬ > = ⎪ ⎝ ⎠⎭ (8) 這裏的重點是在無法確知系統真實自然頻 率的前提下，以系統真實自然頻率振盪之 多餘振動分量將無法完全消除，且其振幅 與cos(πω_a/ 2 ) 0ω₀ = 成正比。 同樣就實用觀點而言，我們還可以進 一步思考線上調整的可能性。具體而言， 即令我們無法確知系統之真實自然頻率， 但仍可視系統之實際響應（response），適 當地微調外力大小以降低或消除部分軌跡 誤差。當然，欲消除那一部分之軌跡誤差 將視實際應用上之需要而有各種不同的選 擇。為了說明上的方便，在此我們將考慮 調整外力大小以使質點路徑之平均位置沒 有誤差（有時消去最遠或最近點等極限位 置之定位誤差也是可能的選擇）。因為此 處所考慮之模型問題為一線性系統，由(8) 式可知我們只須將(6)式所表示之外力乘上 2 2 0 / a ω ω 之因式，便可消去質點路徑之平均 位置誤差，且其所引起之系統響應為 ZV-OT 2 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 ( ) 1 / 1 cos ( / 2) 2 1 / 1 / 1 sec cos 2 1 / 2 cos ( , / ); 2 a a a a x t x t t t ω ω _{ω τ} ω ω πω ω ω πω ω ω ω ω π ω τ τ π ω ω ⎧ − = _⎨ − − − ⎩ ⎛ − ⎞ − −_⎜ ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠ ⎫ ⎛ ⎞⎪ × _⎜ − _⎟⎬ > = ⎪ ⎝ ⎠⎭ (9) 由(9)式可知，在利用線上調整消除質點路 徑之平均位置誤差後，路徑振幅與預設值 之比（我們將稱之為路徑振幅因子；path amplitude factor）為 2 2 0 2 2 1 / 1 / PA a f ω ω ω ω − = − . 同時，以系統真實自然頻率振盪之多餘振 動分量振幅因子為 ,ZV-OT 2 2 0 2 2 0 0 1 / 1 sec cos . 2 1 / 2 N a a A πω ω ω πω ω ω ω ω ⎛ − ⎞ = _⎜ − ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠

圖 3 在線上調整作用下之路徑振幅因子 （ f_PA與輸入修正法無關） 圖 4 在 ZV 輸入修正和線上調整同時作用 下之多餘振動振幅因子A_N,ZV-OT 在圖 3 中，我們選定若干個不同之 0 / ω ω 值，繪出路徑振幅因子與ω ω₀/ _a之關 係 曲 線 。 當 系 統 自 然 頻 率 估 計 正 確 時 （ω₀ =ω_a），路徑振幅顯然將無誤差，故 圖 3 中 所 有 曲 線 在ω ω₀/ _a = 處皆通過1 1 PA f = 。同時，由其定義式可知當ω >>ω₀ 和ω_a時， fPA ~ (ω ωa/ ₀)2；而當ω<<ω0和 a ω 時，fPA→ 。因此，一般來說如果預設1 路徑之振盪角頻率ω遠低於系統自然頻率 之估計值（設若其真值不可確知），則在 線上調整後其路徑振幅誤差通常極小（如 前文所述，質點路徑之平均位置和振幅誤 差不受輸入修正法影響）。而當ω遠高於 系統自然頻率時，其路徑振幅誤差與自然 頻率之估計精度有關；若自然頻率之估計 誤差不大時，可預期路徑振幅誤差亦小。 此外，如圖 3 所示，當ω接近系統自然頻 率時，因共振效應（resonance effects）， 微小的自然頻率估計誤差便可造成災難性 之路徑振幅誤差！基於以上觀察，我們可 以作以下結論：在實際之循跡應用上宜使 預設路徑之振盪角頻率ω儘量遠離系統自 然頻率，方可享有較大之系統參數（自然 頻率）估計誤差容忍度。 另外，在圖 4 中我們也就圖 3 中所選 定之ω ω/ ₀值，繪出在ZV 輸入修正和線上 調 整 同 時 作 用 下 之 多 餘 振 動 振 幅 因 子 ,ZV-OT N A 與ω ω₀/ _a之關係曲線。當系統自然 頻率估計正確時，以系統真實自然頻率振 盪之多餘振動顯然不會被激發出來，故圖4 中所有曲線在ω ω₀/ a = 處皆趨於零。同1 時，正如我們先前在圖 3 中所觀察到的， 當ω接近系統自然頻率時，共振效應可使 微小的自然頻率估計誤差誘發極大之多餘 振動振幅，並因而降低 ZV 輸入修正法對 於系統參數（自然頻率）估計誤差之容忍 度。 3.2 ZVD 輸入修正 談到輸入修正法對於系統參數估計誤 差之容忍度，就必須將先前研究中在這方 面表現優異的零振動與零導數(zero vibra- tion and derivative; ZVD)輸入修正法提出 來討論。要言之，ZVD 修正法將系統輸入 指令分解成三個實施時間不同（但間距相 同）之部分輸入指令；其中頭尾兩個部分 輸入之強度相同，且為居中部分輸入強度 的一半。當這三個部分輸入實施之時間差 恰為系統真實自然振動半週期的奇數倍 時，則頭尾兩個部分輸入所個別誘發之振 動分量（皆以系統之真實自然頻率振盪） 將建設性干涉，並共同與居中部分輸入所 誘發之振動分量破壞性干涉，從而消去系 統之多餘振動。更重要的是，在ZVD 輸入 修正作用下，當部分輸入指令實施之時間 差正確時（為系統真實自然振動半週期的 奇數倍），系統多餘振動之總振幅相對於 部分輸入實施時間差之導數亦為零。因 此，ZVD 修正法之參數誤差容忍度要比 ZV

修正法高出許多 [2,12]。 具體而言，導入ZVD 輸入修正法後， 系統輸入外力可以數學式寫成 ZVD 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 ( ) cos ( ) 8 cos ( / 2) cos ( ) 4 cos ( / 2) ( ) cos ( 2 ) 8 cos ( / 2) ( 2 ). f t x w t H t x w t H t x w t H t ω ω _ω ωτ ω ω _{ω τ} ωτ τ ω ω _{ω τ} ωτ τ ⎧ − ⎫ = _⎨ + _⎬ ⎩ ⎭ ⎧ − ⎫ + _⎨ + − _⎬ ⎩ ⎭ × − ⎧ − ⎫ + _⎨ + − _⎬ ⎩ ⎭ × − (10) 在上式中，三個部分輸入的常數項依序為 總步階（x₀ω₀2/ 2）的1/4, 1/2, 和 1/4 倍； 而角頻率為ω之週期性外力振幅則另除以 一cos (2 ωτ / 2)因式，以補償因時間差所造 成之整體振幅衰減。[當t>2τ，而三個週 期性部分外力同時作用時， 2

cos 2cos ( ) cos ( 2 ) 4cos ( / 2) cos ( ), t t t t ω ω τ ω τ ωτ ω τ + − + − = − 故整體振幅與cos (2 ωτ / 2)成正比。] 同樣利用線性疊加原理，我們可由(5) 式求得當t>2τ時，在 ZVD 修正外力(10) 式作用下之質點位移變化為

(

)

}

ZVD actual actual actual 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) 4 2 1 ( 2 ) 4 cos ( ) 2 sec cos 2 2 cos ( 2 ). a a a a a a x t x t x t x t x t t t τ τ ω ω ω _{ω τ} ω ω ω ω ωτ ω ω ω τ ω ω ω ω τ τ = + − + − ⎧ − = _⎨ − − − ⎩ ⎛ − ⎞ −_⎜ + ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠ × − > (12) 比較(5)式和(12)式可知，如同 ZV 修正一 般，在ZVD 修正外力作用下，質點路徑之 平均位置和振幅誤差皆不受影響，但角頻 率為ω之週期性路徑變化因而得到τ 之時 間延遲（相較於 ZV 修正之τ/ 2時間延 遲）。同時，若恰當地調整兩個部分外力 實施之時間差，以使得cos(ω τa / 2) 0= ，則 不僅可以消除以系統真實自然頻率振盪之 多餘振動分量，且使得多餘振動振幅相對 於部分輸入實施時間差之導數 2 {cos ( / 2)}/ sin( / 2) cos( / 2) a a a a ω τ τ ω ω τ ω τ ∂ ∂ = − 亦為零。在下文中我們將以實際計算結果 說明此一性質將使得在相同的系統參數估 計誤差下，ZVD 修正法所激發之多餘振動 振幅遠低於ZV 修正法所激發者。換言之， ZVD 修正法之參數誤差容忍度遠高於 ZV 修正法[2,12]。 不過在此我們先仿照前一小節中的作 法，依據系統自然頻率之最佳估計值ω₀選 定τ π ω= / ₀，並進一步利用線上調整將(10) 式所表示之外力乘上ω ωa2/ ₀2之因式： 2 ZVD-OT( ) ( a/ 0) ZVD( ) f t = ω ω f t , 以消去質點路徑之平均位置誤差；於是在 ZVD 輸入修正和線上調整同時作用下之系 統響應為 ZVD-OT 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 ( ) 1 / 1 cos ( ) 2 1 / 1 / 1 sec cos 2 1 / 2 cos ( 2 ; / ). a a a a x t x t t t ω ω _{ω τ} ω ω πω ω ω πω ω ω ω ω π ω τ τ π ω ω ⎧ − = _⎨ − − − ⎩ ⎛ − ⎞ − −_⎜ ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠ ⎫ ⎛ ⎞⎪ × _⎜ − _⎟⎬ > = ⎪ ⎝ ⎠⎭ (13) 由上式可知，在利用線上調整消除質 點路徑之平均位置誤差後，路徑振幅與預 設值之比和前一小節所得到的結果相同為 2 2 0 2 2 1 / 1 / PA a f ω ω ω ω − = − （如前文所述，質點路徑之平均位置和振 幅誤差不受輸入修正法影響），故在此不 另作說明（請見圖 3 和相關討論）。至於 以系統真實自然頻率振盪之多餘振動分量 振幅因子則為 ,ZVD-OT 2 2 2 0 2 2 0 0 1 / 1 sec cos . 2 1 / 2 N a a A πω ω ω πω ω ω ω ω ⎛ − ⎞ = _⎜ − ⋅ _⎟ − ⎝ ⎠ 以下我們便以實際計算結果來比較 ZV 和 ZVD 輸入修正法之參數誤差容忍度。

圖 5 在 ZVD 輸入修正和線上調整同時作 用下之多餘振動振幅因子A_N,ZVD-OT 在圖5 中我們繪出在 ZVD 輸入修正和 線上調整同時作用下之多餘振動振幅因子 ,ZVD-OT N A 與ω ω₀/ _a之關係曲線。如同圖4， 當系統自然頻率估計正確時，以系統真實 自然頻率振盪之多餘振動不會被激發出 來，故所有曲線皆在ω ω₀/ _a = 處趨於零。1 然而這裏更重要的觀察是，僅管圖5 和圖 4 中的多餘振動振幅曲線皆由相同之系統操 作參數所產生，但在ω ω₀/ _a = 附近，圖 51 中所示之多餘振動振幅遠遠低於圖 4 中相 對應之值（具有數個數量級的差異）。如 前文所述，這是因為ZVD 修正法所誘發的 多餘振動振幅函數在ω ω₀/ _a = 處同時具1 有零振幅與零導數的美好特性而然。當 然，和 ZV 修正法比起來，ZVD 修正法的 指令時間（command time）較長（為前者 的兩倍）。但若稍長之指令時間可忍受（或 必須忍受）時，則ZVD 輸入修正法當為實 際應用上之較佳選擇。

4. 非線性彈簧系統

接下來我們簡單討論非線性效應對於 系統中質點循跡能力的影響。具體而言， 加入最簡單之三次非線性項後，彈簧質點 系統之運動方程式如下： 2 3 3 3 ( ) ( ) a x+ω x+k x = f t  , (14) 其中k 為非線性彈簧力參數。將預設餘弦₃ 路徑(2)式代入上式，可得欲使系統中質點 按照預設路徑移動所需之外力為 2 2 0 3 0 3,design 2 2 3 0 2 2 2 3 3 0 3 0 ( ) 1 2 4 3 ( / ) 1 cos 4 3 1 + cos cos . 4 4 a a x k x f t k x t k x t k x t ω ω ω ω ω ω ⎧ = _⎨ + ⎩ ⎡ ⎤ +_⎢ − − _⎥ ⎣ ⎦ ⎫ − _⎬ ⎭ (15) 如前文所述，在實際使用上系統的真實（線 性）自然頻率ω_a可能與我們預期中的頻率 0 ω 不同；將這項可能誤差納入考慮（但暫 不考慮非線性彈簧力參數k 可能具有之誤₃ 差），我們依預期中的頻率ω₀來設計系統 之外力輸入，並將系統所受之實際外力寫 成 2 2 0 0 3 0 3 2 2 0 3 0 2 2 2 3 3 0 3 0 ( ) 1 2 4 3 ( / ) 1 cos 4 3 1 + cos cos . 4 4 x k x f t k x t k x t k x t ω ω ω ω ω ω ⎧ = _⎨ + ⎩ ⎡ ⎤ +_⎢ − − _⎥ ⎣ ⎦ ⎫ − _⎬ ⎭ (16) 由於運動方程式(14)為一非線性之微 分方程式，基本上不能利用解析方式求 解；所以以下我們設質點之初始位置和初 速皆為零，並利用標準之四階精度 Runge- Kutta 方法對(14)式作數值積分。至於路徑 誤差之判定，我們則選取一段足夠長的“觀 察時間”，並以足夠大的取樣頻率來紀錄數 值積分所得之質點路徑，進而計算在觀察 時間內之最大路徑誤差（亦即在觀察時間 內所紀錄到之實際與預設位置間距離的最 大值）。接下來我們便討論不同參數對如 此求得之最大路徑誤差的影響。 首先，在圖 6 中我們繪出當 /ω ω_a =1 時，在不同非線性彈簧力參數k 值下（以₃ 無因次參數k′ =k x_{3 0}2表示之），最大路徑誤 差與預設路徑振幅比值與ω ω_{0 a} 的關係曲 線。我們可以觀察到當k′≠0時之最大路徑 誤差較線性系統（k′=0）之最大路徑誤差 為小；這表示非線性項具有提昇減振的能 力。當我們將非線性彈簧力參數k′值逐漸 提高，也可發現誤差曲線逐漸的降低，但 其不規則跳動現象則趨於明顯。我們對此 一觀察的解釋是，當k′>0時彈簧變形量越

(a) (b) 圖 6 當 /ω ω_a = 時，在不同非線性彈簧力1 參數k 值下，最大路徑誤差與預設路徑振₃ 幅比值（圖中縱軸）與ω ω_{0 a} 的關係曲線（圖 例 中k 表 示 無 因 次 之 非 線 性 彈簧力參數 2 3 0 k′ =k x ）。圖(a) 顯示較小k′值範圍之計 算結果，而圖(b)則顯示較大k′值範圍之結 果。 圖 7 不同負k 值下之路徑誤差關係曲線3 （ω ω/ a = ） 1 圖 8 不同 /ω ωa值時之路徑誤差關係曲線 （令無因次非線性彈簧力參數k′=1） 大則其剛性越強（stress hardening），遂有 抑制路徑誤差的效果。同時，較強之非線 性及彈簧剛性皆可能引起高頻質點振盪， 使得我們的取樣頻率可能不足，進而使誤 差曲線不規則跳動。為了進一步驗證這樣 的解釋，在圖7 中我們繪出當k′<0時之誤 差曲線。我們可以看到此時因彈簧剛性隨 變形量增大而減弱（stress softening），使 得誤差曲線隨k′之絕對值變大而逐漸提 高；故前述說明應為正確。 最後，在圖 8 中我們令非線性彈簧力 參數k′=1，繪出在不同預設餘弦路徑角頻 率比ω ω/ _a下之路徑誤差關係曲線。圖8 顯 示，當預設餘弦路徑的角頻率與系統真實 自然頻率間之比值ω ω_a 接近於1 時，路徑 誤差較大；但因非線性彈簧力之作用，即 令共振發生時質點振幅與路徑誤差亦不致 趨於無窮大。無論如何，正如我們在討論 線性系統時所得之結論一般，在系統設計 上我們宜使預設路徑的角頻率與系統之真 實自然頻率（或其最佳估計值）保持足夠 之差距，以免使路徑誤差因共振現象失控。

5. 時變系統

5.1 平面天車系統模型及其輸入指令計算 在本節中，我們將以一個平面天車系 統為模型，討論時變系統之循跡能力。圖9 所示為一可直線移動之天車，其下方用纜 繩懸掛一負載，而纜繩的長度是可變的。 隨著天車的移動，纜繩及負載將會因為慣 性的影響而晃動。在本文中，我們將令負 載質點一預設之滾動路徑移動（如圖10 所 示）；並以滾動路徑之振幅ε 與迴轉頻率倒 數1/ω 對長度及時間做無因次化。

天車 x₀(t) g θ(t) m l(t) x y 圖9 平面天車系統示意圖 2πV/ω 2ε x y 圖10 滾線函數路徑示意圖 由圖 9 可知，懸掛負載之無因次路徑 與天車之位移及線長間之關係為 * * * * * * * 0 * * * * * ( ) ( ) ( )sin ( ), ( ) ( )cos ( ), X t x t l t t Y t l t t θ θ = + = − (17) 其中 * t =ωt為無因次時間， x0*=x0/ε 為天 車之無因次位移，l* =l/ε為無因次繩長， 而X*=X/ε、Y*=Y/ε則分別為負載之水 平及垂直位移。 我們期望藉由x t₀( )及l t( )此兩項輸入 控制懸掛負載能夠按照預定中之路徑行 走。因此，配合不同的路徑x t₀( )及l t( )亦有 所不同；在此我們以一滾線為路徑(見圖 10)，其路徑函數可表示成 * * * * * * ( ) cos , ( ) sin . X t V t t Y t t = − = (18) 滾線之運動可分為直線運動及圓周運動二 部分：其中 * _/ V =V ωε為無因次之直線運動 前進速率，且無因次之圓周運動的半徑及 角頻率皆為一。 由 Newton 運動定律可知負載之力平 衡為 sin , cos , T mX T mY mg θ θ = − = +   _(19a) 其中T 為纜繩之張力， g為重力加速度 （設為常數），而各參數上方之點符號代 表對時間微分。將其無因次化可得 * * * * * sin , cos , T X T Y g θ θ = − = +   _(19b) 其中 * _/ 2 T =T mεω ，g* =g/εω2。整理式子 (19b)可得

{ } {

}

{ } {

}

* 2 2 * * * * * 2 2 * * * sin , cos . X X Y g Y g X Y g θ θ − = + + + = + +       (20) 由式子(17), (18b), (20)整理可得系統之輸 入為 * * * * * * * 0 * * ( sin ) 1 2 sin sin l t g g g t l g t − + − = − ， (21) * * * * * * 0 0 * * ( )cos sin l g t x V t g t − = + − ； (22) 而將(18b)式對時間做兩次微分，代入(20) 式中可以得到θ( )t* ，微分可得θ( )t* ，並令 * ₀ t = 代入即可得到所需滿足之初始條件 為 -1 2 1 (0) sin , 1 g θ = − + (23a) (0) 0 θ = . (23b) 至此我們已求得欲使負載行使滾線路徑所 需之輸入力及初始條件；在不考慮儀器設 備之能力限制下，即可使系統之行進路徑 符合預期。 5.2 初始條件誤差對系統循跡能力的影響 在實施上，初始條件的設定，我們可 以利用標準的輸入修正法[2,12]，將質點負 載由靜止狀態帶到特定之位置，並使之具 有特定之角速度。然而實際應用上，因為 控制之不精確，初始條件的設定難免會有 誤差，此誤差將會對負載質點的循跡能力 造成影響；當然，影響的程度將會隨系統 參數( * V 、l₀*及g*)的不同而有異。不同的 初始條件會有不同的解，在此我們將從懸 掛負載質點之運動方程式

θa(0)−θ(0) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 eRM S 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 V*=0 V*=1 V*=5 V*=10 V*=50 V*=100 圖11 不同 * V 值時，初始角度誤差對路徑累 積 誤 差 圖 。 （ 參 數 設 定 g* =10, l0*=5, 6 τ = π） θ_a(0)−θ(0) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 eRM S 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 l0 *_=1.1 l0 * =2 l0 * =5 l0 *₌₁₀ l0 *₌₅₀ l0 * =100 圖12 不同 * 0 l 值時，初始角度誤差對路徑累 積 誤 差 圖 。 （ 參 數 設 定 g*=10, V*=1, 6 τ = π） θa(0)−θ(0) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 eRM S 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 g* =1.1 g*_=1.5 g* =2 g* =3 g* =5 g* =10 g* =50 g* =100 圖13 不同 * g 值時，初始角度誤差對路徑累 積 誤 差 圖 。 （ 參 數 設 定V* =1, l₀* =5, 6 τ = π） * * * 0 * * * 2l g sin x cos 0 l l l θ+  θ+ θ+ θ = (24) 來求得其數值解。 我們將輸入(21)、(22)兩式及其微分， 以及求得的θ 代入(17)式，即可得到有誤( )t 差的路徑（位移）函數X_e*及Y_e*，再將之與 預期中的路徑(18)式相減，即可得到路徑誤 差函數 2 2 * * * * ( ) ( ) _e( ) ( ) _e( ) . e t X t X t Y t Y t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎣ − _⎦ +_⎣ − _⎦ (25) 然而，誤差函數的值會隨著時間改變，我 們無法用此誤差函數來明確的表示出誤差 的大小。因此，為了更明確且有效的表示 誤差的大小，我們定義路徑累積誤差作為 評量的標準： 2 2 0 1 1 1 ( ) t ( ) N ( ) RMS _t n n e e t dt e t N τ τ τ = = = =

_∫

=

∑

, (26) 其中τ =N*Δt。在此我們選擇τ =6（三個 週期）為累積時間，分別繪出V*、l₀*及g*三 個參數在不同的設定值下，初始角度誤差 對路徑累積誤差圖於圖11-13，及初始角速 度誤差對路徑累積誤差圖於圖14-16。 由圖 11 及圖 14 中，我們可以發現隨 著初始角度或初始角速度誤差愈大，路徑 累積誤差就會愈大，這是可以很直觀理解 的。此外，我們看到不同的 * V 值對誤差並 沒有影響，此乃因為V*值是天車運動中等 速運動的部分，此值的不同並不會影響到 系統作用力，因此對誤差沒有影響。接著 觀察圖12 及圖 15，我們可以看出 * 0 l 值愈大 誤差會愈大，這是因為對於相同的角度或 角速度誤差l₀*變大會放大位移或速度的誤 差。以上的現象很容易就可以了解。然而g* 值的影響就比較豐富多變了。從圖13 及圖 16 中，我們可以發現 * g 值的不同對角度及 角速度的誤差造成完全不同的現象。在圖 13 中，隨著 * g 值的增加，在相同的初始角 度誤差下，累積誤差會先變小而後再變 大。然而在圖16 中，隨著 * g 值的增加，在 相同的初始角速度誤差下，累積誤差會愈 來愈小。在(21)和(22)兩式中，我們可以看 到 * g 值對作用力的影響是較複雜的，或許 這就是造成其效應截然不同的原因。此 外，由圖3, 4, 7, 8 中，我們可以發現在 * 0 l 或 * g 的值接近1 時，會產生不穩定的現象。

dθa(0)/dt−dθ(0)/dt -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 eRM S 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 V*=0 V*=1 V*=5 V*=10 V*=50 V*=100 圖14 不同 * V 值時，初始角速度誤差對路徑 累積誤差圖。（參數設定g*=10, l₀*=5, 6 τ = π） dθa(0)/dt−dθ(0)/dt -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 eRM S 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 l0 * =1.1 l0 * =2 l0 *₌₅ l0 * =10 l0 * =50 l0 * =100 圖15 不同 * 0 l 值時，初始角速度誤差對路徑 累積誤差圖。（參數設定g* =10, V* =1, 6 τ = π） dθa(0)/dt−dθ(0)/dt -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 eRM S 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 g* =1.1 g* =1.5 g* =2 g* =3 g*₌₅ g*₌₁₀ g*₌₅₀ g* =100 圖16 不同 * g 值時，初始角速度誤差對路徑 累 積 誤 差 圖 。 （ 參 數 設 定 * ₁ V = , l0*=5, 6 τ = π） 觀察(21)式可以發現當 * 0 l 接近1 時，在某個 時間點上l*會趨近於 0，將此 * l 代入(24)式 中將會發生除以 0 的現象，此時在數值運 算上只要有微小的誤差，即會使得計算出 來的結果有極大的誤差。由(21)和(22)兩式 亦可知，當 * g 接近 1 時，將在某個時間點 上要有無限大的繩長及無限大的天車位 移，這亦是極為不合理的。 由以上討論可知，在天車系統之設計 上，若能取較小之 * 0 l 值但避免接近1，將會 有較好的循跡能力。至於 * g 值之選取則要 視情況而定。

6. 結論與計畫成果自評

在本文中，我們首先探討了線性彈簧 質點系統在參數誤差下的循跡能力變化， 以及如何以輸入修正和線上調整等兩種方 式來調整路徑誤差關係曲線；而後則探討 非線性效應對於系統中質點循跡能力的影 響，並以天車模型為了實例，討論參數誤 差對於時變系統循跡能力的影響。 基本上，輸入修正法能幫助我們消去 以系統真實自然頻率振盪之多餘振動，且 ZVD 修正法之參數誤差容忍度遠高於 ZV 修正法；至於線上調整則可以消去系統控 制點軌跡之平均（或極限）位置誤差。因 此，在實際應用上應可將輸入修正和線上 調整等兩種方式配合使用，以提升系統之 循跡能力。同樣就實用觀點而言，我們也 發現在系統設計上宜使預設路徑的角頻率 與系統之真實自然頻率（或其最佳估計值） 保持足夠之差距，方可減少路徑誤差，並 且保持以輸入修正和線上調整方式來調整 路徑誤差的操作空間。 在非線性彈簧質點系統的討論中，我 們則發現若非線性彈簧參數k′>0（亦即彈 簧變形量越大則其剛性越強）時，提高k′之 值有抑制路徑誤差的效果。反之，若k′<0 （亦即彈簧變形量越大則其剛性越弱） 時，則提高k′之絕對值可能增大路徑誤 差。此外，如同線性彈簧質點系統一般， 當預設餘弦路徑的角頻率接近系統之自然 頻率時，路徑誤差將因系統共振而增大（但 非 線 性 效 應 使 路 徑 誤 差 不 致 趨 於 無 窮 大）。所以，無論線性或非線性系統，在 參數設計上我們應使預設路徑的角頻率與 系統之自然頻率保持足夠之差距。 在天車模型（時變）系統的討論中， 我們首先探討了如何求得使平面天車系統 之負載依預期路徑行進時所需之輸入及初 始條件。之後我們定義了累積誤差為評量 標準，討論了在不同的參數設定下，初始

條件誤差與系統循跡能力的關係。我們發 現 * V 值的大小對誤差並沒有影響；此外較 小的l₀*將可容忍較大的初始角度及初始角 速度誤差；至於 * g 的影響則較為複雜。因 此在天車系統之設計上，若能取較小之l₀* 值但避免接近1，將會有較好的循跡能力。 至於g*值之選取則要視情況而定，不過也 要避免其值接近1 為佳。 為求報告精簡，以上我們僅就本團隊 在今年度全國力學會議（彰化大葉大學， 2006 年 12 月 15–16 日）所發表之理論研究 成果[19,20]進行說明。事實上，在實驗和 數值軟體模擬工作方面，我們也探討了輸 入修正法在抑制長距離移動系統之結構振 動上的應用，並獲得了相當豐富的正面結 果[21]。目前我們除了已將部分理論和實驗 研 究 成 果 整 理 發 表 於 國 內 研 討 會 外 [19–21]，也正在積極整理其他成果中，以 投稿至相關學術期刊。 由本團隊在今年度所得到的豐碩成果 來看，本計畫之執行可謂至為成功。

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