習題演習

(1)

習題演習

向量分析

(2)

習題演習：向量分析

向量的基本運算

【習題 1】

Tow vector v₁ and v₂ in R span a subspace ⁴ E , where ₁ 1 1 1 1 v

⎡ ⎤⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥−

⎣ ⎦ , ₂

1 9 5 3 v

⎡ ⎤⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎣ ⎦ .

a. Perform the Gram-Schmidt process to find an orthonormal basis w₁ and w₂ of E .

b. The relation between these two bases can be represented by the following

equation：M_v =M U_w , where M_v =⎡⎣v v₁ ₂⎤⎦, M_w =⎡⎣w w₁ ₂⎤⎦, and U is a 2 2× upper triangular matrix. Based on the Gram-Schmidt process performed in part a., find U .【91 交大交研所】

【參考解答】a. ₁ 1 2 1 2 1 2 1 2 w

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎢ ⎥

−

⎢ ⎥

⎣ ⎦ , ₂

1 10 7 10

7 10

1 10 w

⎡− ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

. b. 2 4 U ⎡0 10⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

【習題 2】

Let ^{T x}

( )

⁼ ^Ax be a linear transformation from R to ² R as a counterclockwise ² rotation through the angle of 90° followed by an orthogonal projection on to a line

L in R , which is spanned by the vector ² 1 1

⎡ ⎤−

⎢ ⎥⎣ ⎦. a. Find the matrix A .

b. If the two steps in part a. are swapped (ie., the orthogonal projection is performed first and followed by the rotation), find the new matrix. 【91 交大交研所】

(3)

【參考解答】a.

1 1 2 2 1 1 2 2 A

⎡− − ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

. b.

1 1 2 2 1 1 2 2 A

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

【習題 3】

Assume coordinate of any vector x with respect to a basis B is denoted as

B

⎡ ⎤x

⎣ ⎦ . Consider the basis B of ₁ R consisting of vector, ² ₁ 2

v ⎡ ⎤1

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, and ₂ 5 v ⎡ ⎤3

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦. (1) If

1

2 1

B

x ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦, find x₁. (2) If ₂ 1

x ⎡ ⎤0

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, find

1

2 B

⎡ ⎤x

⎣ ⎦ .

(3) Consider another basis B of ₂ R consisting of vector, ² ₁ 0 u ⎡ ⎤1

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, and

2

1 u ⎡ ⎤0−

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦. If

2

1 3

B 2

x c

c

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦, find

1

3 B

⎡ ⎤x

⎣ ⎦ . 【92 交大交研所】

【參考解答】(1) ₁ 9 x ⎡ ⎤5

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦. (2)

1

2

3 1

B

x ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦− . (3)

1

1 2

3

1 2

5 3

2

B

c c

x c c

− −

⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ + ⎦.

【習題 4】

Consider a basis B of R consisting of the following vectors: ³ ₁ 1

2 0

1 2 v

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ,

2

1 2 0

1 2 v

⎡− ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

, ₃ 0

1 0 v

⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ .

(1) Show that B is an orthonormal basis.

(4)

(2) If

3 5 7 x

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

, find its coordinates with respect to the basis B . 【93 交大交研所】

【參考解答】

(1) B is an orthonormal basis.

(2) the coordinates with respect to the basis B is 5 2 2 2 5

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ .

方向導數與梯度

【習題 1】

Find the directional derivative of f at P in the direction of a, where

xcos

f =e y, ^P(^{2, , 0}^π )^, ^a^{= +}²ⁱ ³^j. 【中央土研所】

【參考解答】在a方向的方向導數為 ₍ ₎

2 2, ,0

2 13

a e

f

π a

∇ ⋅ = −

【習題 2】

Given a function ( ), x²2 y2² 1 x y k

a b

φ = ^⎛⎜ + − ^⎞⎟

⎝ ⎠, find the directional derivative of φ

along its boundary curve

2 2

: x y 1

C a +b = . 【95 交大土研所(10%)】

【參考解答】 ( )

4 2 4 2

2k y x d

dn a y b x

φ ₌ ⁻

+

【習題 3】

Find the directional derivative of ^{f x y}( )^, ⁼^x⁴⁻³^{x y}³ ⁺^{x y}² ²^at( )^2,1 along the

(5)

curve x= + , t² 1 y= in the direction of increasing t . 【成大土研所】 t³

【參考解答】 _{( )}₁ 48

P t 13 df

ds ⁼ = −

【習題 4】

已知函數^{F x y z}( ^{, ,} )⁼^axy²⁺^byz⁺^{cz x}² ³^在點(^{1, 2, 1}⁻ )處沿著 z 軸的方向有最大的 方向導數(directional derivative)，其值為 64，請問a,b,c三個常數值別為何？【91 中央土研所結構組】

【參考解答】a=6, b=24, c= −8

散度與旋度

【習題 1】

Given R= +xi y j+zk , find n. 【90 台大土研所】

【參考解答】 R₃ 0 R

⎛ ⎞

⎜ ⎟

∇ ⋅⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠=

【習題 2】

證明：^{∇ ⋅}

( )

^{r r}ⁿ ⁼⁽ⁿ⁺³⁾^rⁿ^。^{【交大土研所】}

【參考解答】^{∇ ⋅}

( )

^{r r}ⁿ ⁼⁽ⁿ⁺³⁾^rⁿ

空間曲線的微分幾何

【習題 1】

請利用向量函數(vector function, parametric equation or parametric representation) 求 circular cylinder：x²+y² =a², 0≤ ≤z 2表面(x²+y² =a²所在之面)之單位正交

向量。【92 交大土研所甲組】

【參考解答】單位正交向量

2 2

xi y j n

x y

= + +

(6)

【習題 2】

For a temperature distribution ^{T x y z}( ^{, ,} )⁼^{x z}² ⁺^yz² in a cone represented by the positive vector as r=ucosvi u+ sinv j+2uk, find dT

dn at position ^P(^{1, 0, 2})^{in the}

outer normal direction n. 【88 成大土研所丁組】

【參考解答】 7

5 dT

dn = −

曲率與扭率

【習題 1】

螺旋線^{r s}( )⁼â^cos_ω^s ⁱ⁺â^sin_ω^s ^j⁺^b_ω^s ^k^, ^ω ⁼ â²⁺^b² ^求曲率^κ^{及扭率τ 。}

【參考解答】 ₂a ₂ a b κ =

+ , ₂b ₂ a b τ =

+

【習題 2】

有一曲線x=3cost, siny= t, z=4t,則這一曲線的曲率半徑為何？【93 中央土研所結構組大地組】

【參考解答】曲率半徑 25

= 3

【習題 3】

設^{r t}( )⁼^{3 cos}^t ^ti⁺^{3 sin}^t ^{t j}⁺⁴^tk ^,求在^t⁼⁰^時的et, e_n , e_b以及曲率κ及扭率τ 。

【參考解答】 3 4 5 5

et = i+ k, e_n = j, 4 3 5 5

eb = − i+ k, 6

κ =25, 6 τ = 25

向量積分

(7)

【習題 1】

請計算_∫_k(^x⁺^{y dx})² ⁻

(

^x²⁺^y²

)

^dy^，其中^k^依經過^A^{( )}^1,1 ^, ^B^{( )}^{3, 2} ^, ^C^{( )}^{2, 5} ^為頂點

的三角形圍線。【92 交大運研所】

【參考解答】 ( )²

(

² ²

)

¹⁴⁰

3

k x+y dx− x +y dy= −

∫

【習題 2】

Let the vector field xi₂ z j₂ yk₂

F x y z

− +

= + + , the position vector r= +xi y j+zk, and the

line paths C be on the plane x=0 and extend from the point (^{0,1, 0}) to the point

(^{0. 2.0}⁻ ). Are the line integrals

CF d r⋅

∫ ^and∫CF d r× independent of path? Why?

Evaluate the line integrals. 【91 台大土研所】

【參考解答】

CF d r× =π

∫ ^, ∫CF d r× = −^{ln 2}i

【習題 3】

設曲面^{S z}^: ^{= −}²

(

^x²⁺^y²

)

^，^z^≥⁰^,求

(

² ²

)

S

x +y dA

∫∫

^。

【參考解答】

(

² ²

)

¹⁴⁹

S 30

x ₊y dA₌ π

∫∫

【習題 4】

計算 2 2 2

V

z dxdydz x +y +z

∫∫∫

^，其中^V ^為^a² ^≤^x²⁺^y² ^≤^b²^, ⁰^{≤ ≤}^z ^x²⁺^y² ^所界定

之區域。

【參考解答】

( ) ₍

3 3

₎

2 2 2

2 2 1

V 3

z dxdydz b a

x y z

π

= − −

+ +

∫∫∫

格林定理、高斯散度定理、史托克定理

(8)

【習題 1】

Use Green’s theorem to evaluate _∫_C

(

³^x²⁺^{y dx}

)

⁺

(

²^x⁺^y³

)

^dy^{, where}^C^{is the}

circle x²+y² =a². 【93 交大交研所】

【參考解答】_∫_C

(

³^x²⁺^{y dx}

)

⁺

(

²^x⁺^y³

)

^dy⁼^π^a²

【習題 2】

求 ² 4

Cy dx+ xydy

∫ ^，其中^C^為拋物線^y⁼^x²^與直線^y⁼²^x^{所圍區域之邊界，且積}

分路徑採逆時鐘走勢。【91 台科大結構組】

【參考解答】 ² 64

4 15

Cy dx+ xydy=

∫

【習題 3】

(1) For a curve x= + , 4 3t² 1 y= − , t z=2t²− , determine the unit tangent vector 6t at the point where t=2.

(2) Evaluate 32

S

X ndS⋅ = π

∫∫

^{, where X} ^{= +}^xi ^{y j}⁺^zk ^, ⁿ is the outward unit

normal to S, and S is the surface of the sphere (^x⁻¹) (²⁺ ^y⁺³)²⁺^z² ^{= . 【93}⁴

成大土研所結構組(20%)】

【參考解答】(1) the unit tangent vector is 2 2 2

3i+3 j+3k, (2) 32

S

X ndS⋅ = π

∫∫

【習題 4】

A vector field is V =yi+x j+x k² , and the surface is described as

(

² ²

)

: 1

S z= − x +y , 0≤z, calculate the following flux integral

S

I =

∫∫

V ndA⋅ ^{, where}

n is an outer unit normal vector on the surface. 【95 成大土研所乙組(20%)】

【參考解答】

S 4

I ₌ V ndA_⋅ ₌π

∫∫

(9)

【習題 5】

Evaluate

CF d r⋅

∫ ^{, where} ^F ⁼ ^{y i}² ⁺^{xy j}⁺^xzk^and^C^:^x²⁺^y² ⁼²^ay^{, y}^{= . 【台}^z

大土研所】

CF d r⋅ =

∫

線積分

【習題 1】

Calculate the work done by a force F = X i² −xy j from point ( )1,0 to (−1,0)

along a curve of 1 4

2

2 + y =

x in the upper plane (i.e., y≥0). 【91 成大土木(15%)】

w= − 3

【習題 2】

Compute the line integral ∫_C ^{f r}( )^⋅^{d r}^{, where} ^{F r}^{( )}⁼ ^{y i}² ⁻^{x j}² ^C is a straight-line segment from ( )⁰^,⁰ to ( )¹^.² . 【91 中央化工、材料(10%)】

3

CF d r⋅ =

∫

【習題 3】

求^F ⁼(^y⁺^{z i}) (^{+ +}^z ^{x j}) (⁺ ^x⁺^{y k}) ^{沿著曲線 C：}^{ti t j}⁺ ² ⁺^{t k}³ ，0 < t < 1 的線積 分∫C f d R⋅ =? 【91 成大資源(10%)】

CF d R⋅ =

∫

【習題 4】

(10)

Evaluate

CF d r⋅

∫ ^{, where} ^F ^{= +}^xi ⁶^j⁺^yxk^and^C is shown below. 【91 中原化工】

2

CF d r⋅ = −

∫

【習題 5】

Evaluate zdx xdy ydz

C + +

∫ ^{, where} ^C is the trace of the cylinder x² + y² =1 in the plane y+ z=3. 【91 嘉義機電(30%)】

Czdx+xdy+ydz= π

∫

【習題 6】

If ^F ⁼

(

³^x²⁻⁶^{yz i}

)

⁺⁽²^y⁺³^{xz j}⁾ ^{+ +}

(

^{1 4}^xyz²

)

^k, evaluate line integral

cF d r⋅

∫

along the straight lines from (⁰^,⁰^,⁰) to (⁰^,⁰^,¹), then to (⁰^,¹^,¹), and then to ( )¹^,¹^,¹ .

【91 淡江機械(15%)】

cg d r⋅ = −

∫ ^，∫cF d r⋅ = −³

【習題 7】

Let ^F ⁼^a^x²^xy⁺^{a x}^y ²⁺^a^z(^z− . Evaluate the line integral ¹)

( )

(^1,1,0)

0,0,0 F d⋅

∫

^{along a}

parabola y =x² on the xy plane. 【91 中山機電(10%)】

【參考解答】

( )

(^1,1,0)

0 ,0 ,0 F d⋅ =1

∫

【習題 8】

Evaluate the integral ^B

A F d⋅

∫ ^, F =²xyi+

(

x²−z²

)

j−³xz k A³ ^, ⁽0, 0, 0 , ⁾ B⁽2,1, 3⁾ by performing the integral along

(1) line segment from A to ^C(²^,¹^,⁰)^{to B .}

(2) straight line from A to B . 【91 海洋電機固態組(15%)】

(11)

【參考解答】(1) 50

ABCF d⋅ = −

∫ ⁽²⁾

∫

ABF d⋅ = −⁷⁹₂

【習題 9】

Let F = − +i xyz j−y k² , and let C be given by x= , t y= t , 1z= ; t : −1→1. Please find

CF d r⋅ =

∫ ? 【91 成大製造(8%)】

3

CF d r⋅ = −

∫

與路徑無關之線積分

【習題 1】

Let ^F ⁼

(

^yze^xyz⁻⁴^{x a}

) (

^ˆ^x⁺ ^xze^xyz⁺^{z a}

)

^ˆ^z^{for all}^x, y and z . (1) Verify that F is conservative.

(2) Find a potential function for F . 【91 台科電機(15%)】

【參考解答】(1)存在φ，使得∇ = ， F 為保守場 (2)φ F φ =e^xyz −2x²+yz+ 為保c 守位能

【習題 2】

Find the work done by F =x i² −2yz j+zk in moving an object along the straight line from ( )¹^,¹^,¹ ^to(⁴^,⁴^,⁴). 【91 北科化工(15%)】

w= − 2 ，本題 F 不是保守場， w^∵ =

∫

F d r⋅ ≠

∫

dφ

【習題 3】

Evaluate the integral ^I ⁼_∫_c

[ (

⁶^xy² ⁻^y³

) (

^dx⁺ ⁶^x²^y⁻³^xy²

)

^dy

]

from point ( )¹^,⁰ ^to

point ( )³^,² along line segment.【91 中興化工(8%)】

(12)

【參考解答】I =84

習題 4

Consider the force field ^F ⁼^{y i}² ⁺²(^xy⁺^{z j}) ⁺²^yk^.

(1) Determine the potential function.

(2) Evaluate

( )

(^2,2,2)

1,1,1 F d r⋅

∫

.【91 高科機械(20%)】

【參考解答】φ =xy²+2yz+ ，c

( )

(^{2 ,2 ,2})

1,1,1 F d r⋅ =13

∫

習題 5

空間有一力場^{F x y z}( ^{, ,} )⁼ ^yi⁺^{z j}⁺^xk^，求^F ^沿曲線^C^所作的功^W ⁼ ∫_C^{F d r}^⋅ ⁼^?

其中封閉曲線C由右式定義x+ y=2，^x² ⁺ ^y² ⁺^z² ⁼²(^x⁺^y)^{(本題請忽略}^C^的方

向，只求 W )

【參考解答】 2 2

CF d r⋅ = π

∫

習題 6

Evaluate

∫

F d R⋅ ^{, where} ^F ⁼^zy^sin^{( )}^{xy i}⁺^zx^sin^{( )}^{xy j}⁺

(

²^e^z⁻^cos^{( )}^xy

)

^k^{, and} ^R

is the position vector along the curve Cfrom (¹^,¹^,²)^to(¹^,−¹^,⁶).【90 北科光電 (10%)】

【參考解答】

_∫

^{F d R}^⋅ ^{= −}^{4 cos 1 2}⁺

(

^e⁶ ⁻^e²

)

習題 7

Let C be a path on the paraboloid x² +y² −z=0 from the initial point (¹^,⁰^,¹)^to

the terminal point (⁰^,¹^,¹); otherwise, C is arbitrary.

(1) What is the value of the line integral ₂ ₂

C

ydx xdy zdz

I x y

− + +

=

∫

+ along the path C? Is it independent of path?

(13)

(2) Why? (Prove your answer in(1).)【89 台大土木(19%)】

【參考解答】(1)

( )

(^{0 ,1,1})

1

2 2

1,0 ,1 C tan

ydx xdy zdz y

x y x z

− ++ + =⎡⎢⎣ − + ⎤⎥⎦

∫

^{(2)當路徑為}^{C ，}¹ ^I ^{= 。}^π₂

當路徑為C ，₂ 3 I = −2π

向量面積分

習題 1 z dA I xy

∫∫

S

= ，其中S為z =x² +y²對應於第一象限之4≤ x² + y² ≤9之部分。【90 淡江環工(25%)】

【參考解答】

3 3

2 2

1 37 17

I 24⎡ ⎤

= ⎢ − ⎥

⎣ ⎦

習題 2

v= yi−z j+yzk, find the surface integral

I =∫∫sv ndA⋅ ^for^s^: ^x⁼ ^y² ⁺^z² ^,

2 1

2 + z ≤

y .【91 成大土木(15%)】

【參考解答】I =0

習題 3

一向量場方程式為^F ⁼[^{x y z}^{, ,} ]^{。一曲面的方程式}^S^：r= ⎣⎡ucos , sin ,v u v u²⎤⎦ ， 4

0≤ u≤ ，−π ≤v≤π 。問通過此曲面的向量通量為何？【91 中興環工(10%)】

【參考解答】flux I =128π

習題 4

Integrate the surface integral

S

F ndA⋅

∫∫

^{, where} ^F ^{= ⎣}^⎡^e^y^{, 0,}^ze^x^⎤^{⎦ ,} ⁿ: units normal vector of S, S: ^r⁼[^{u u v}^{, 2 ,} ]^, ⁻¹^≤^u^≤¹^, ⁰^{≤ v}^≤³.【91 中興材料(20%)】

(14)

【參考解答】y=2x，− ≤ ≤1 x 1，0≤ ≤z 3，投影到xz面處理ndA dxdz j φ φ

= ∇

∇ ⋅ ，

2x y

φ = − ，^{∇ =}^φ

(

²ⁱ⁻ ^{j dxdz}

)

^，_∫∫_S^{F ndA}^⋅ ⁼³

(

^e²⁻^e⁻²

)

^。

習題 5

Evaluate the surface integral

∫∫

F ndA⋅ ^{, where} ^F ⁼

(

^{y x z}³^, ³^, ³

)

^{. Surface} ^S^:

1 4 ²

2 + y =

x , x≥0, 0y≥ , 0≤ z≤h.【91 成大水利(15%)】

64

SF ndA⋅ = h

∫∫

習題 6

Calculate the flux of water through the parabolic cylinder S: y=x², 3

0 , 2

0≤x≤ ≤z ≤ , if the velocity vector is F = yi+2j+xzk, speed being measured in m³ sec.【90 中興化工(10%)】

sF ndA⋅ =

∫∫

習題 7

Evaluate zds

∫∫S ^{, with} ^S the part of the plane x+ y+z=6 lying above the rectangle 20≤x≤3,0≤ y≤ .【91 北科車輛(20%)】

【參考解答】 21 3

szds=

∫∫

習題 8

對某一函數 ^f(^x,^y,^z)= ^y，試求此函數在一平滑表面(smooth surface) z=x²， 2

0≤ x≤ ，0≤ y≤3上之面積積分(surface integral)。【90 屏科環工(15%)】【91 台科電子(5%)】

【參考解答】 9 17 9 ¹ sinh 4 2 8

I = + ⁻

(15)

習題 9

Find the area of the following surface z=x² + y², 0≤ z≤10.【89 成大造船(17%)】

【參考解答】

3

412 1 A₌π6 ^⎡ ₋ ^⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

習題 10 Evaluate

S

A ndS⋅

∫∫

^{, where} ^A⁼¹⁸^zi⁻¹²^j⁺³^yk^and^S is that part of the plane 12

6 3

2x+ y+ z= where is located in the first quadrant.【89 中興機械(15%)】

S A ndS⋅ =

∫∫

習題 11

If F = +xi y j Calculate the surface integral

_∫

^F^⋅

( )

^ndA over the part of the surface

2

4 x2 y

z= − − that is above the (^{X ,}^Y) plane.【91 淡江物理(15%)】

SF ndA⋅ = π

∫∫

平面 Green’s 定理習題 1

已知一力場為^F ⁼

(

^y⁻^sin( )^{x e}^x

)

ⁱ⁺⁽^{cos 2}^y⁻^{x j}⁾ ^，

(1) 求F 沿路徑C₁所作的功。

(2) 利用格林(Green)定理及(1)之結果，計算F 沿路徑C₂所作的功。【90 台科營建 (15%)】

【參考解答】(1) ₁ 1

sin 2 1 w = 2 − (2)

2

3 1sin 2 2

C F d r⋅ = − − −π