設 f x( )3x1237x125x2 ，則8 x 除1 f x( )的餘式為

  1

高雄市明誠中學  高一數學平時測驗        日期：105.11.04  範 

圍  2‐2 四則運算(2)  班級  一年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題 10 分)

1. 設 f x( )3x¹²³7x¹²5x² ，則8 x 除1 f x( )的餘式為________.

答案： 13

解析： f( 1)       3 7 5 8 13

2. 若 a, b, c, d 為實數，且 f x( )x⁴ 2 (x1)(x2)(x3)(x 4) a x( 1)(x2)(x 3) ( 1)( 2) ( 1)

b x x c x d

      ，則 a b c d    ________.

答案： 53 解析：

1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 3

2 6 14 2 1 3 7 , 15

3 18 3 1 6 , 25

4 4 1, 10

d

c

b

a

    

   

   

   

  

  

 

 



10 25 15 3 53 a b c d       

3. 若deg ( )f x 3，且多項式 f x( )除以(x1) ,² (x2)²的餘式分別為 3x 與3 171 x ，則 (1)以(x1)(x2)除 f x( )之餘式為________，

(2)以(x1) (² x 除2) f x( )之餘式為________.

答案： 13 x , 15 16x² 35x17 解析：

2

( ) ( 1) 1( ) 3 1

f x  x Q x  x (x2)²Q x₂( ) 3 x17，∴ f(1)2, f(2) 11 (1)設 f x( )(x1)(x2) ( )q x₁ a x(   1) 2

(2) 2 11 13

f       a a

∴r x( ) 13(x   1) 2 13x15

(2)設 f x( )(x1) (² x2)q x₂( )b x( 1)²3x1

(2) 5 11 16

f       b b

∴r x( ) 16(x1)²3x1 16x²35x17

4. 若 f x( )x⁴4x³3x²2x5a x( 3)⁴b x( 3)³c x( 3)²d x(   ，則 3) e

( , , , , )a b c d e ________， f(2.99)的近似值為________. (四捨五入至小數點第三位) 答案： (1,8, 21,16, 1) , 1.16

解析：

  2

1 4 3 2 5 3 3 3 0 6 1 1 0 2 , 1 3 6 18 3 1 2 6 ,16

3 15 3 1 5 , 21

3 3 1, 8

e

d

c

b

a

    

   

    

   

  

  

 

 





( , , , , )a b c d e (1,8, 21,16, 1)

4 3 2

(2.99) ( 0.01) 8( 0.01) 21( 0.01) 16( 0.01) 1

f           0.16 1  1.16

5. 若以(x2)³除多項式 f x( )之餘式為3x² 6x11，則以(x2)²除 f x( )之餘式為______.

答案： 6  x 1

解析： 以(x2)³除多項式 f x( )之餘式即3x²6x11除以(x2)²之餘式 3x²6x 11 3(x2)²6x ，∴餘式 61   x 1

6. 4(^{3 2 2})⁴ 8(^{3 2 2})³ 15(^{3 2 2})² 15(^{3 2 2}) 4

2 2 2 2

        ________.

答案： 8 2 2 解析：

設 f x( )4x⁴ 8x³15x² 15x 4

又 ^{3 2 2} 2 3 2 2

x 2  x  

2 2

4x 12x 9 8 4x 12x 1 0

       

1 1 1 4 12 1 4 8 15 15 4

4 12 1 4 16 15

4 12 1 4 14 4 4 12 1 2 +5

 

     

 

 

 

  

  



即 f x( )(4x² 12x1)(x²  x 1) 2x ；5 (^{3 2 2}) 2(^{3 2 2}) 5 8 2 2

2 2

f  

   

7. 設 a, b 為實數，若3x³5x²ax b 可被(x²2x 整除，則 a3) ______, b  ______.

答案： 11, 3

解析： x²2x 3 (x1)(x 3) ( 1) 0 3 5 0

11, 3 (3) 0 81 45 3 0

f a b

a b

f a b

       

     

      



  3

8. 已知 f x( )除以g x( )之商式為Q x( )，餘式為r x( )，則以4 ( )f x 除以5 ( )g x ，則 可得商式__________，餘式___________.

答案： ⁴ ( ), 5Q x 4 ( )r x

解析： ∵ f x( )g x Q x( ) ( )r x( ) 4 ( )f x 4 ( )g x Q x( ) 4 ( )r x

    4

5 ( ) [ ( )] 4 ( ) g x 5Q x r x

  

故商式為⁴ ( )

5Q x ，餘式為4 ( )r x

9. 若 f x( )9x⁶ 49x⁵78x⁴135x³135x² 49x20，則 f(4)________.

答案： 0

解析： f(4)之值即為 f x( )除以(x4)之餘式 9 49 78 135 135 49 20 4 36 52 104 124 44 20 9 13 26 31 11 5, + 0

      

     

    

∴ f(4)0

10. 若deg ( )f x 3，且 f(0) f(1) f(2)4, f(3) 2，則 f( 1) ________.

答案： 10

解析： 設 f x( )ax x( 1)(x 2) 4 (3) 3 2 1 4 2

f       a    a 1

∴ f x( ) x x( 1)(x 2) 4

故 f( 1)       1( 2)( 3) 4 6 4 10

11. 設多項式 f x( )的次數高於三次，且 f x( )除以x1, x²2x3之餘式分別為 2 與 4x ，則以8 (x1)(x2 2x 除3) f x( )之餘式為________.

答案： 5x² 14x7

解析： f x( )(x1)Q x₁( )2(x²2x3)Q x₂( )4x8 設 f x( )(x1)(x²2x3)Q x₃( )a x( ²2x 3) 4x8

(1) 2 4 8 2 5

f  a     a

∴r x( ) 5(x² 2x 3) 4x8  5x²14x7

12. 若多項式 f x( )以x²3x2除之餘式為 5x ，以6 x² x 20除之餘式為x ，且 deg2 f x( )4，

則 f x( )除以x²4x5的餘式為________.

答案： 3x 8

解析： f x( )(x²3x2)Q x₁( )5x 6 (x1)(x2)Q x₁( )5x6，∴ f(1)11

2

2 2

( ) ( 20) ( ) 2 ( 5)( 4) ( ) 2

f x  x  x Q x   x x x Q x  x ，∴ f( 5)  7

2

3 3

( ) ( 4 5) ( ) ( 5)( 1) ( )

f x  x  x Q x ax b x x Q x axb

∴ 11

5 7

a b a b

  

   

 ^{ a 3,b8}，故餘式為 3x 8

13. 設 f x( )x³2x²4x1, ( )g x  f(2x ，則以 23) x 除1 g x( )的餘式為________.

答案： 7

解析： 以 2x 除1 g x( )的餘式為 ( ¹) (2 ( ¹) 3) (2) 8 8 8 1 7

2 2

g   f     f     

  4

14. 設 f x( )x³2x²ax 以7 x 與2 x 分別除之其餘數相同，則 a3 _____，又其餘數為_____.

答案： 5,1

解析： ∵ f(2) f( 3) ，∴ 8 8 2  a    7 27 18 3a    7 a 5 餘數為 f(2) 1

15. 設 ( )f x (x³⁷4x²³4x¹⁵3x²1)(x⁷2x⁶5x³ x 2)

2 44

0 1 2 44

a a x a x a x

    … ，則：

(1)a₀  a₁ a₂ … a₄₄ ____.

(2)a₁ a₃ a₅a₇  … a₄₃ ____.

答案： 15, 20

解析： a₀ a₁ a₂  … a₄₄  f(1)  ( 3) (5) 15

1 3 5 43

(1) ( 1) ( 15) 25

2 2 20

f f

a a a a    

   …    

16. 計算 11⁴－13×11³＋25×11²－37×11＋56 的值為 。 答案： 12

解析： 設 f x( )x⁴13x³25x²37x56，

11⁴－13×11³＋25×11²－37×11＋56 f(11)即 f x( )除以x11之餘式 1 13 25 37 56 11

11 22 33 44 1 2 3 4, 12

    

   

   

17. 若以 x²－x－2 除 f (x)，g (x)之餘式分別為 2x＋1，3x＋2，則 以 x－2 除以 ( x＋4 )‧f (x)＋( 2x＋3 )‧g (x)之餘式為________。

答案： 86

解析： f x( )(x²  x 2)Q₁( )x 2x1=(x1)(x2)Q₁( )x 2x1，∴ f(2)5

2

2 2

( ) ( 2) ( ) 3 2 ( 1)( 2) ( ) 3 2

g x  x  x Q x  x  x x Q x  x ，∴g(2)8

以 x－2 除以 ( x＋4 )‧f (x)＋( 2x＋3 )‧g (x)之餘式為( 2＋4 )‧f (2)＋( 4＋3 )‧g (2)

∴[2 4] f(2)  (4 3) g(2)    6 5 7 8 86