則 g( x )、h( x )均為 f( x )的因式，而 f( x )分別為 g( x )、h( x )的倍式

E80301 

(1)因式分解的意義：

在前一章中，我們知道兩個 x 的一次式乘積展開後成為 x 的二次多項式。反過來說，如 果能將一個 x 的二次式寫成兩個 x 的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因 式分解。此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個 一次式的倍式。

在國中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這 種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如： 

x 2 － x －2＝( x ＋1)( x －2) 

x 3 －6 x ² ＋11 x －6＝( x －1)( x －2)( x －3)

像這樣將 x ² － x －2 表示成( x ＋1)( x －2)的兩個一元一次式乘積，

稱為 x ² － x －2 的因式分解。

【範例】：乘積展開：(2 x ＋1)( x －3)＝2 x ² －5 x －3 因式分解：2 x ² －5 x －3＝(2 x ＋1)( x －3)

【範例】：乘積展開：( x －2)(3 x ＋2)( x ＋3)＝3 x ³ ＋5 x ² －16 x －12 因式分解：3 x ³ ＋5 x ² －16 x －12＝( x －2)(3 x ＋2)( x ＋3) (2)因式與倍式：

（1）因式與倍式的定義：

f( x )，g( x )，h( x )為多項式，g( x )≠0，h( x )≠0，若 f( x )＝g( x )  ×  h( x )，

則 g( x )、h( x )均為 f( x )的因式，而 f( x )分別為 g( x )、h( x )的倍式。

【範例】： x ² ＋ x －6＝（ x ＋3）（ x －2）

所以（ x ＋3）和（ x －2）是 x ² ＋ x －6 的因式；

亦可說 x ² ＋ x －6 是（ x ＋3）和（ x －2）的倍式。

【範例】：3 x ³ ＋5 x ² －16 x －12＝( x －2)(3 x ＋2)( x ＋3)

所以( x －2)、(3 x ＋2)和( x ＋3)是 3 x ³ ＋5 x ² －16 x －12 的因式；

亦可說 3 x ³ ＋5 x ² －16 x －12 是( x －2)、(3 x ＋2)和( x ＋3)的倍式。

因式分解

乘積展開 因式分解

乘積展開

E80301 

（2）因式的判別：(利用多項式除法)

若 f( x )  ÷  g( x )能整除，則 g( x )為 f( x )的因式。

例如: ( x ³ ＋8 x ² ＋6 x －12)÷( x ＋2)＝ x ² ＋6 x －6

【範例】：請判別 x －2 是否為 2 x ² ＋ x －10 的因式。

解 ： 因為(2 x ² ＋ x －10)÷( x －2)＝2 x ＋5 ……0 可以整除，所以 x －2 是 2 x ² ＋ x －10 的因式。

【範例】：請判別 x ＋3 是否為 x ³ ＋4 x ² ＋4 x ＋3 的因式。

解 ： 因為( x ³ ＋4 x ² ＋4 x ＋3)÷( x ＋3)＝ x ² ＋ x ＋1 ……0 可以整除，所以 x ＋3 是 x ³ ＋4 x ² ＋4 x ＋3 的因式。

（3）因式定理：

(a)若 x －c 是多項式 f( x )的因式，則 f(c)＝0。

也就是說， x －c 是 f( x )的因式，會有一個多項式 g( x )，

使得 f( x )＝( x －c)×g( x )，所以當我們令 x ＝c 代入時 f(c)＝(c－c) g(c)＝0 × g(c)＝0。

【範例】：請判別 x ＋5 是否為 f( x )＝ x ² －4 x －45 的因式。

解 ：若 x ＋5 是 f( x )＝ x ² －4 x －45 的因式，則 f( x )＝( x ＋5)g( x ) f( x )＝ x ² －4 x －45

Þ f(－5)＝(－5) ² －4×(－5)－45＝25＋20－45＝0

∵ f(－5)＝(－5＋5)g(－5)＝0×g(－5)＝0。

∴  x ＋5 是 f( x )＝ x ² －4 x －45 的因式。

【範例】：請判別 x －2 是否為 f( x )＝ x ³ ＋2 x ² －5 x －6 的因式。

解 ：若 x －2 是 f( x )＝ x ³ ＋2 x ² －5 x －6 的因式，

則 f( x )＝( x －2)g( x ) f( x )＝ x ³ ＋2 x ² －5 x －6

Þ f(2)＝2 ³ ＋2×2 ² －5×2－6＝8＋8－10－6＝0

∵ f(2)＝(2－2)g(2)＝0×g(2)＝0。

∴  x －2 是 f( x )＝ x ³ ＋2 x ² －5 x －6 的因式。

(b)若 a x ＋b 是多項式 f( x )的因式，則 f(－ 

a 

b )＝0。

當 a x ＋b 是多項式 f( x )的因式時，會有一個多項式 g( x )，

使得 f( x )＝(a x ＋b) g( x )，所以當我們令 x ＝－ 

a 

b 代入時

f(－ a 

b )＝[a(－ 

a 

b )＋b] g( x )＝(－b＋b)g( x )＝0。

E80301 

【範例】：請判別 2 x －3 是否為 f( x )＝4 x ² －2 x －6 的因式。

解 ：

若 2 x －3 是 f( x )＝4 x ² －2 x －6 的因式，

則 f( x )＝4 x ² －2 x －6＝(2 x －3)g( x ) f( x )＝4 x ² －2 x －6

Þ

2 

3 )＝4×( 

2 

3 ) ² －2× 

2 

3 －6＝4× ⁹ 

4 －3－6＝9－9＝0 所以 2 x －3 是 f( x )＝4 x ² －2 x －6 的因式。

【範例】：請判別 4 x ＋1 是否為 f( x )＝8 x ² －10 x －3 的因式。

解 ：

若 4 x ＋1 是 f( x )＝8 x ² －10 x －3 的因式，

則 f( x )＝8 x ² －10 x －3＝(4 x ＋1)g( x ) f( x )＝8 x ² －10 x －3

Þ

4 

1 )＝8×(－ 

4 

1 ) ² －10×(－ 

4  1 )－3

＝8× 16  1 ＋ 

2  5 －3＝ 

2  1 ＋ 

2 

5 －3＝0 所以 4 x ＋1 是 f( x )＝8 x ² －10 x －3 的因式。

（4）餘式定理：

假設 f( x )是 x 的多項式，c 是常數，則 f( x )除以( x －c)所得的餘式為 f(c)。

這個結果可以表示成：

f( x )＝( x －c)×g( x )＋f(c) 例如：多項式( x ² ＋4 x ＋2)÷( x ＋1)＝( x ＋3)…(－1)

可以表示成： x ² ＋4 x ＋2＝( x ＋3)×( x ＋1)＋(－1) 定理推論公式：

f( x )÷( ax ＋b) Þ f( x )＝( ax ＋b)×商式＋餘式 Þ f(－ 

a 

b )＝( a ×(－ 

a 

b )＋b)×商式＋餘式＝餘式

若 f( x )為 x 的 n 次多項式，則 f( x )除以( ax ＋b)所得之餘式(數)為 f(－ 

a  b )。

【範例】：設 x ² －2 x ＋k 以 x ＋1 除之餘 6，求 k 之值。

解 ：利用餘式定理：f( x )＝( x －c)×g( x )＋f(c) f( x )＝ x ² －2 x ＋k＝( x ＋1)×g( x )＋6 令 x ＋1＝0， x ＝－1

代入 x ² －2 x ＋k 得：(－1) ² －2×(－1)＋k＝6 1＋2＋k＝6

k＝3 答：k＝3

E80301 

【範例】：若 x －1 能整除 4 x ³ －3 x ² ＋k x －5，試求 k 之值。

解 ：利用餘式定理：f( x )＝( x －c)×g( x )＋f(c) f( x )＝4 x ³ －3 x ² ＋k x －5＝( x －1)×g( x )＋0 令 x －1＝0， x ＝1

代入 4 x ³ －3 x ² ＋k x －5

得：4(1) ³ －3(1) ² ＋k(1)－5＝0 4－3＋k－5＝0

k＝4 答：k＝4

【範例】：若 5 x －3 能整除 5 x ³ ＋k x ² － x －3，試求 k 之值。

解 ：利用餘式定理：f( x )＝( x －c)×g( x )＋f(c) f( x )＝5 x ³ ＋k x ² － x －3＝(5 x －3)×g( x )＋0 令 5 x －3＝0， x ＝ 

5 

3  代入 5 x ³ ＋k x ² － x －3

得：5( 

5 

3 ) ³ ＋k( 

5  3 ) ² － 

5 

3 －3＝0 

25  27 ＋ 

25  9 k－ 

25  90 ＝0 

25  9 k＝ 

25  90 － 

25  27 ＝ 

25  63 

∴ k＝7 答：k＝7

【範例】：設 x ³ ＋m x ² ＋n x －12 能被 x －2 整除，若以 x －1 除之則餘－4，試求：

(1)m＋n 之值； （2）以 2 x －1 除之的餘式為何?

解 ：(1) ∵  x ³ ＋m x ² ＋n x －12 能被 x －2 整除

∴ 8＋4m＋2n－12＝0 Þ 2m＋n＝2……○ ¹

∵ 以 x －1 除之則餘－4

∴ 1＋m＋n－12＝－4 Þ  m＋n＝7……○ ²

將○ ¹ －○ ² 得到  m＝－5 ∴  m＝－5 代入○ ² 得到  n＝12

∴  m＋n＝－5＋12＝7

(2) ∴ 令 f( x )＝ x ³ －5 x ² ＋12 x －12，

利用因式定理 f( x )＝ x ³ －5 x ² ＋12 x －12＝(2 x －1)×g( x ) 所以令 x ＝ 

2 

1 代入：

f( 2  1 )＝ 

8  1 －5× 

4 

1 ＋12× 

2 

1 －12＝－ 

8  57 

答：(1)  m＋n＝7 (2) 餘式為－ 

8  57 。

E80301 

（5）因式與倍式的應用：

【範例】：設 x －3 為 3 x ² －8 x ＋a 的因式，試求常數 a 值？

解 ：令 f( x )＝3 x ² －8 x ＋a，

因為 x －3 為 3 x ² －8 x ＋a 的因式，

利用因式定理 f( x )＝3 x ² －8 x ＋a＝( x －3)×g( x ) 所以令 x ＝3 代入：

f(3)＝3×3 ² －8×3＋a＝0 Þ 27－24＋a＝0

Þ a＝－3 答：a＝－3

【範例】：若 3 x ² －4 x ＋b 為 3 x ³ －7 x ² ＋a x －2 的因式，試求 a、b 值？

解 ：

因為 3 x ² －4 x ＋b 為 3 x ³ －7 x ² ＋a x －2 的因式，

所以(3 x ³ －7 x ² ＋a x －2)÷(3 x ² －4 x ＋b)＝0 

x ³ 

3  x － 2  x ² －  x  b 

x  x ² 

7 

0  +  a  3  4  + 

x ³ 

3  － 4 x ² +  b x  x ² +  x 

－₃  (a­b) 

－₁ 

x ² +  x 

－3  4  －

－ 

b 

－ 2  (a­b­4) x － 2 + b 

利用除法計算得到的餘式：(a－b－4) x －2＋b＝0 所以先令－2＋b＝0，則 b＝2。

令(a－b－4)＝0，b＝2 代入 a－2－4＝0，則 a＝6 答：a＝6，b＝2

E80301 

【例題一】

(1)試用除法判別 x －2 是不是 x ² ＋8 x －20 的因式？

(2)試用除法判別 2 x －3 是不是 4 x ³ ＋4 x ² －9 x －9 的因式？

解：(1) ∵ ( x ² ＋8 x －20)÷( x －2)＝ x ＋10……餘式為 0

∴  x －2 是 x ² ＋8 x －20 的因式

(2) ∵ (4 x ³ ＋4 x ² －9 x －9)÷(2 x －3)＝2 x ² ＋5 x ＋3……餘式為 0

∴ 2 x －3 是 4 x ³ ＋4 x ² －9 x －9 的因式

【練習一】

(1)試用除法判別 3 x ² ＋2 是不是 9 x ⁴ －3 x ² －2 x ＋8 的因式?

(2)試用除法判別 x －4 是不是 x ³ －6 x ² － x ＋36 的因式?

解：(1) ∵ (9 x ⁴ －3 x ² －2 x ＋8)÷(3 x ² ＋2)＝3 x ² －3……餘式為－2 x ＋14

∴ 3 x ² ＋2 不是 9 x ⁴ －3 x ² －2 x ＋8 的因式

(2) ∵ ( x ³ －6 x ² － x ＋36)÷( x －4)＝ x ² －2 x －9……餘式為 0

∴  x －4 是 x ³ －6 x ² － x ＋36 的因式

【例題二】

(1)試用除法判別 x ² ＋8 x －20 是不是 x －22 的倍式？

(2)試用除法判別 x ³ －4 x －60 是不是 x ＋6 的倍式？

解：(1) ∵ ( x ² ＋8 x －20)÷( x －22)＝ x ＋30……餘式為 640

∴  x ² ＋8 x －20 不是 x －22 的倍式

(2) ∵ ( x ³ －4 x －60)÷( x ＋6)＝ x ² －6 x ＋32……餘式為－252

∴  x ³ －4 x －60 不是 x ＋6 的倍式

【練習二】

(1)試用除法判別 x ³ ＋2 x ＋8 是不是 x －4 的倍式?

(2)試用除法判別 4 x ⁴ ＋3 x ³ －10 x ² －9 x －6 是不是 x ² －3 的倍式?

解：(1) ∵ ( x ³ ＋2 x ＋8)÷( x －4)＝ x ² ＋4 x ＋18……餘式為 80

∴  x ³ ＋2 x ＋8 不是 x －4 的倍式

(2) ∵ (4 x ⁴ ＋3 x ³ －10 x ² －9 x －6)÷( x ² －3)＝4 x ² ＋3 x ＋2……餘式為 0

∴ 4 x ⁴ ＋3 x ³ －10 x ² －9 x －6 是 x ² －3 的倍式

E80301 

【例題三】

(1)設 x ＋1 為 2 x ² － x ＋a 的因式，試求常數 a 值？

(2)設 x －2 為 2 x ² ＋a x ＋6 的因式，試求 a 值？

解：(1) 令 f( x )＝2 x ² － x ＋a，

因為 x ＋1 為 2 x ² － x ＋a 的因式，

利用因式定理 f( x )＝2 x ² － x ＋a＝( x ＋1)×g( x ) 所以令 x ＝－1 代入：

f(－1)＝2×(－1) ² －(－1)＋a＝0

Þ

Þ

(2) 令 f( x )＝2 x ² ＋a x ＋6，

因為 x －2 為 2 x ² ＋a x ＋6 的因式，

利用因式定理 f( x )＝2 x ² ＋a x ＋6＝( x －2)×g( x ) 所以令 x ＝2 代入：

f(2)＝2×2 ² ＋2a＋6＝0

Þ

Þ

答：(1) a＝－3。(2) a＝－7。

【練習三】

(1)若 x －2 為 x ² － x ＋m 的因式，則 m＝ 。

(2)若 x －1 與 x ＋2 為 x ³ －a x ² ＋b x ＋6 的因式，則 a＝ ，b＝ 。 解：(1) 令 f( x )＝ x ² － x ＋m，

因為 x －2 為 x ² － x ＋m 的因式，

利用因式定理 f( x )＝ x ² － x ＋m＝( x －2)×g( x ) 所以令 x ＝2 代入：

f(2)＝2 ² －2＋m＝0

Þ

Þ

(2) 令 f( x )＝ x ³ －a x ² ＋b x ＋6，

因為 x －1, x ＋2 為 x ³ －a x ² ＋b x ＋6 的因式，

利用因式定理 f( x )＝ x ³ －a x ² ＋b x ＋6＝( x －1)×g( x ) 所以令 x ＝1， x ＝－2 分別代入：

f(1)＝1－a＋b＋6＝0

Þ

f(－2)＝－8－4a－2b＋6＝0

Þ

答：(1) m＝－2。(2) a＝2， b＝－5。

E80301 

【例題四】

若 x ² －2 x ＋b 為 3 x ³ －2 x ² ＋a x ＋12 的因式，試求 a、b 值？

解： ∵ x ² －2 x ＋b 為 3 x ³ －2 x ² ＋a x ＋12 的因式

∴ (3 x ³ －2 x ² ＋a x ＋12)÷( x ² －2 x ＋b)＝3 x ＋4……餘式為 0

∴ a－3b＝－8……○ ¹ 12＝4b……○ ²

由○ ² 得到 b＝3，代入○ ¹ 得到， a＝1

答：a＝1，b＝3。

【練習四】

設 x ³ ＋m x ² ＋n x ＋5 能被 x ＋1 整除，若以 x －2 除之則餘－9，試求：

（1）  m＋n 之值； （2）以 x －1 除之的餘式為何?

解：(1) ∵  x ³ ＋m x ² ＋n x ＋5 能被 x ＋1 整除

∴ －1＋m－n＋5＝0 Þ  m－n＝－4……○ ¹

∵ 以 x －2 除之則餘－9

∴ 8＋4 m＋2n＋5＝－9 Þ 2 m＋n＝－11……○ ² 將○ ¹ ＋○ ² 得到 3 m＝－15 ∴  m＝－5 代入○ ²  n＝－1

∴  m＋n＝－6

(2) ∴ 令 f( x )＝ x ³ －5 x ² － x ＋5，

利用因式定理 f( x )＝ x ³ －5 x ² － x ＋5＝( x －1)×g( x ) 所以令 x ＝1 代入：

f(1)＝1－5－1＋5＝0

答：(1)  m＋n＝－6。(2) 餘式為 0。

【例題五】

請判斷多項式 5 x ⁴ ＋3 x ³ －4 x ² ＋6 x ＋9 是否為 x ² ＋1 的倍式？

解： ∵ (5 x ⁴ ＋3 x ³ －4 x ² ＋6 x ＋9)÷( x ² ＋1)＝5 x ² ＋3 x －9……餘式為 3 x ＋18

∴  5 x ⁴ ＋3 x ³ －4 x ² ＋6 x ＋9 不是 x ² ＋1 的倍式 答：不是。

【練習五】

請判斷多項式 6 x ⁴ ＋4 x ³ ＋3 x ² －2 x －3 是否為 2 x ² －1 的倍式？

解： ∵ (6 x ⁴ ＋4 x ³ ＋3 x ² －2 x －3)÷(2 x ² －1)＝3 x ² ＋2 x ＋3……餘式為 0

∴  6 x ⁴ ＋4 x ³ ＋3 x ² －2 x －3 是 2 x ² －1 的倍式 答：是。

E80301 

因式分解其實就像質因數分解一樣，質因數分解是將一個大數分解成多個質因數的 連乘積，例如：24＝2 ³ ×3。而因式分解是將多項式分解成若干個多項式的連乘積，

例如： x  ＋4 ³  x  ＋11 x ＋6＝( x ＋1)( x ＋2)( x ＋3)。此目的在於，方便我們求出 ²  方程式的解(根)。

提公因式

1. 從各項提公因式：

如果發現每一項都有共同的因式(數)時，我們可先將此公因式提出。

【範例】：因式分解下列多項式：(1)  x ² ＋5 x  (2) (a－b) ² －2(a－b) (3) ( x －2y) ² ＋(2y－ x ) ³ 

解 ：(1)  x ² ＋5 x ＝  x x × ＋5 x ＝ x ( x ＋5)

(2) (a－b) ² －2(a－b)＝(a－b) (a－b)－2(a－b)

＝(a－b) [(a－b)－2]

＝(a－b) (a－b－2)

(3) ( x －2y) ² ＋(2y－ x ) ³ ＝( x －2y) ² －( x －2y) ³ 

＝( x －2y) ² [1－( x －2y)]

＝( x －2y) ² (1－ x ＋2y)

【範例】：因式分解下列多項式：

(1) 3 x  ＋2 ³  x ²  (2) 10 x  －6 ⁴  x ³  (3) 6 ax  －15 ³  ax ²  解 ：(1) 3 x  ＋2 ³  x ² ＝ x ² (3 x ＋2)

(2) 10 x  －6 ⁴  x  ＝2(5 ³  x  －3 ⁴  x  ) ³ 

＝2 x  (5³  x －3) (3) 6 ax  －15 ³  ax  ＝3 a (2 ²  x  －5 ³  x  ) ² 

＝3 ax  (2²  x －5)

2. 分組提公因式：當各項沒有公因式時，可嘗試重新分組，再觀察每組之間是否有公因式。

【範例】：因式分解多項式  x ³ ＋ x ² ＋ x ＋1。

解 ：方法一： x ³ ＋ x ² ＋ x ＋1＝ x ² ( x ＋1)＋( x ＋1)

＝( x ＋1)( x ² ＋1) 方法二： x ³ ＋ x ² ＋ x ＋1＝ x ³ ＋ x ＋ x ² ＋1

＝ x ( x ² ＋1)＋( x ² ＋1)

＝( x ＋1)( x ² ＋1)

E80301

【範例】：因式分解多項式 2xy＋5 x ＋4y＋10。

解 ：方法一：2xy＋5 x ＋4y＋10＝(2xy＋5 x )＋(4y＋10)

＝ x (2y＋5)＋2(2y＋5)

＝( x ＋2)(2y＋5)

方法二：2xy＋5 x ＋4y＋10＝(2xy＋4y)＋(5 x ＋10)（交換律）

＝2y( x ＋2)＋5( x ＋2)

＝( x ＋2)(2y＋5)

【範例】：因式分解多項式 2 ax ² －3 x ＋2 ax －3。

解 ：方法一：2 ax ² －3 x ＋2 ax －3＝(2 ax ² －3 x )＋2 ax －3

＝ x (2 ax －3)＋2 ax －3

＝(2 ax －3)( x ＋1) 方法二：2 ax ² －3 x ＋2 ax －3＝2 ax ² ＋2 ax －3 x －3

＝2 ax ( x ＋1)－3( x ＋1)

＝( x ＋1)(2 ax －3)

【範例】：因式分解多項式  xy(1＋ z  )＋ z ( ²  x ² ＋ y  )。 ²  解 ：可嘗試展開後，再做分組。 

xy(1＋ z  )＋ z ( ²  x ² ＋ y  )＝²  xy＋xy z  ＋ ²  zx ² ＋ zy ² 

＝(xy＋ zx ² )(xy z  ＋ ²  zy  ) ² 

＝ x (y＋ zx )＋yz( xz ＋y)

＝ x (y＋ zx )＋yz(y＋ zx )

＝(y＋ zx )( x ＋yz)

【範例】：因式分解多項式 27 x ³ －9 x ² ＋3 x －1。

解 ：方法一：27 x ³ －9 x ² ＋3 x －1＝(27 x ³ －9 x ² )＋(3 x －1)

＝9 x ² (3 x －1)＋(3 x －1)

＝(3 x －1)(9 x ² ＋1)

方法二：27 x ³ －9 x ² ＋3 x －1＝(27 x ³ ＋3 x )－(9 x ² ＋1)

＝3 x (9 x ² ＋1)－(9 x ² ＋1)

＝(3 x －1)(9 x ² ＋1)

【範例】：因式分解多項式 12 x ² －3  x a ²  －4xy＋a ² y。

解 ：方法一：12 x ² －3a ² x －4xy＋a ² y＝(12 x ² －3a ² x )－(4xy－a ² y)

＝3 x (4 x －a ² )－y(4 x －a ² )

＝(4 x －a ² )(3 x －y) 方法二：12 x ² －3a ² x －4xy＋a ² y＝12 x ² －4xy－3a ² x ＋a ² y 

＝4 x (3 x －y)－a ² (3 x －y)

＝(4 x －a ² )(3 x －y)

E80301

【範例】：因式分解多項式 ( x －2) a －( a  －2²  x )。

解 ：方法一：( x －2) a －( a  －2²  x )＝ ax －2 a － a  ＋2²  x 

＝( ax － a  )＋(2²  x －2 a )

＝ a ( x － a )＋2( x － a )

＝( x － a )( a ＋2)

方法二：( x －2) a －( a  －2²  x )＝ ax －2 a － a  ＋2²  x 

＝( ax ＋2 x )－(2 a ＋ a  ) ² 

＝ x ( a ＋2)－ a (2＋ a )

＝( x － a )( a ＋2)

【範例】：因式分解多項式  x ² － ax ＋bx－ab。

解 ：方法一： x ² － ax ＋bx－ab＝( x ² － ax )＋(bx－ab)

＝ x ( x － a )＋ b ( x － a )

＝( x － a )( x ＋ b )

方法二： x ² － ax ＋bx－ab＝( x ² ＋bx)－( ax ＋ab)

＝ x ( x ＋ b )－ a ( x ＋ b )

＝( x － a )( x ＋ b )

注意：從上面的例子我們可以看出，可能有不只一種分組的方式來進行因式分解。

3. 拆項後分組提公因式：有時候，可嘗試先將某一項拆開後，再利用分組提公因式。

【範例】：因式分解多項式  x  ＋3²  x ＋2。

解 ：將多項式中 3 x  改寫成  x ＋2 x  x  ＋32  x ＋2＝ x  ＋²  x ＋2 x ＋2

＝( x  ＋²  x )＋(2 x ＋2)

＝ x ( x ＋1)＋2( x ＋1)

＝( x ＋1)( x ＋2)

【範例】：因式分解多項式  x ³ ＋2 x  ＋2²  x ＋1。

解 ：將多項式中 2 x  改寫成 ²  x  ＋ ²  x  ， 2²  x  改寫成  x ＋ x 。  x 3 ＋2 x  ＋2²  x ＋1＝ x ³ ＋ x  ＋ ²  x  ＋²  x ＋ x ＋1

＝( x ³ ＋ x  )＋( ²  x  ＋²  x )＋( x ＋1)

＝ x  (²  x ＋1)＋ x ( x ＋1)＋( x ＋1)

＝ ( x ＋1)( x  ＋²  x ＋1)

E80301

【範例】：因式分解多項式  x ⁴ － x ³ ＋2 x  －²  x ＋1。

解 ：將多項式中 2 x  改寫成 ²  x  ＋ ²  x  。 ² 

x 4 － x ³ ＋2 x  －²  x ＋1＝ x ⁴ － x ³ ＋ x  ＋ ²  x  －²  x ＋1

＝( x ⁴ － x ³ ＋ x  )＋( ²  x  －²  x ＋1)

＝ x  ( ²  x  －²  x ＋1)＋( x  －²  x ＋1)

＝( x  －²  x ＋1)( x  ＋1) ² 

【範例】：因式分解多項式  x ⁴ ＋ x ³ ＋2 x  ＋²  x ＋1。

解 ：將多項式中 2 x  改寫成 ²  x  ＋ ²  x  。 ² 

x 4 ＋ x ³ ＋2 x  ＋²  x ＋1＝ x ⁴ ＋ x ³ ＋ x  ＋ ²  x  ＋²  x ＋1

＝ x  ( ²  x  ＋²  x ＋1)＋( x  ＋²  x ＋1)

＝( x  ＋²  x ＋1)( x  ＋1) ² 

【範例】：因式分解多項式  x ⁴ ＋3 x ³ ＋ x  －3²  x －2。

解 ：將多項式中  x  改寫成 2 ²  x  － ²  x  。 ² 

x 4 ＋3 x ³ ＋ x  －3²  x －2＝ x ⁴ ＋3 x ³ ＋2 x  － ²  x  －3²  x －2

＝ x  ( ²  x  ＋3²  x ＋2)－( x  ＋3²  x ＋2)

＝( x  ＋3²  x ＋2)( x  －1) ² 

＝( x ＋1)( x ＋2)( x －1)( x ＋1)

＝( x ＋1) ² ( x ＋2)( x －1) 事實上，此範例也可用分組的方式來因式分解： 

x 4 ＋3 x ³ ＋ x  －3²  x －2＝( x ⁴ ＋ x  ＋2)＋(3 ²  x ³ －3 x )

＝( x  －1)( ²  x  ＋2)＋3²  x ( x  －1) ² 

＝( x  －1)( ²  x  ＋3²  x ＋2)

＝( x －1)( x ＋1)( x ＋1)( x ＋2)

＝( x ＋1) ² ( x ＋2)( x －1)

E80301

【例題一】《提出公因式》

因式分解下列多項式：

（1）6 x  ＋5²  x  （2） ax ＋ab  （3）2 x  －²  x 

（4）3 x  －9²  ax ＋15 x  （5） ax ＋bx  （6）－3 ax ＋6ay－12a  解：（1）6 x  ＋5²  x ＝ x  (6 x ＋5)

（2） ax ＋ab＝ a ( x ＋b) 

（3）2 x  －²  x ＝ x  (2 x －1)

（4）3 x  －9²  ax ＋15 x ＝3 x ( x －3 a ＋5) 

（5） ax ＋bx＝ x  ( a ＋b)

（6）－3 ax ＋6ay－12a＝－3 a ( x －2y＋4) 

【練習一】《提出公因式》

因式分解下列多項式：

（1） x  －5²  x  （2）（ x ＋5）（ x －5）－（ x －5）

（3）4  b a ⁴  －7 a ² b ³ ＋5 a ³ b ²  （4）a( x －2)－( x  －2²  x )

（5）(a－b) ² －6 a＋6b  （6） x  ＋²  ax ＋bx＋ab  解：（1） x  －5²  x ＝ x  ( x －5)

（2）（ x ＋5）（ x －5）－（ x －5）＝（ x －5）（ x ＋4）

（3）4  b a ⁴  －7 a ² b ³ ＋5 a ³ b ² ＝  b a ²  (4 a  －7 ²  b  ＋5²  ab)

（4）a( x －2)－( x  －2²  x )＝a( x －2)－ x ( x －2)＝( x －2)(a－ x )

（5）(a－b) ² －6 a＋6b＝(a－b) ² －6 (a－b)＝(a－b)[(a－b)－6]

＝(a－b)(a－b－6)

（6） x  ＋²  ax ＋bx＋ab＝ x ( x ＋ a )＋b( x ＋ a )＝( x ＋ a )( x ＋b)

E80301

【例題二】《分組提出公因式》

（1）因式分解  a( x －y)－b(y－ x ) （2）因式分解xy－2y＋2 x － y ² 

（3）因式分解  4 a  ＋3 b－3 ab－4 a ² 

解：（1）a( x －y)－b(y－ x )＝a( x －y)＋b( x －y) ＝( x －y)(a＋b)

（2）xy－2y＋2 x － y  ＝²  y(x－y)－2( x －y)＝( x －y)(y－2)

（3）  4 a  ＋3 b－3 ab－4 a＝4 a( a－1)＋3 b(a－1)＝(a－1)(4 a＋3 b) ² 

【練習二】《分組提出公因式》

（1） 因式分解  x ³ －2 x  －3²  x＋6  （2） 因式分解  a ³ x － ax －a ² ＋1  （3）

因式分解  6  1 axy＋ 

2 

1 a ² y－ 

4 

1 a ² b－ 

12  1 abx 

解：（1） x ³ －2 x  －3²  x＋6  ＝ x  ( x －2)－3( x －2)＝( x －2)( ²  x  －3) ² 

（2） a ³ x － ax －a ² ＋1＝ ax (a ² －1)－(a ² －1)＝(a ² －1)( ax －1) 

＝( a ＋1)( a ＋1)( ax －1) 

（3） 6  1 axy＋ 

2 

1 a ² y－ 

4 

1 a ² b－ 

12  1 abx＝ 

12 

1 (2axy＋6a ² y－3a ² b－abx) 

＝ 12 

1 [(2axy－abx)＋(6a ² y－3a ² b)]＝ 

12 

1 [ax(2y－b)＋3a ² (2y－b)]

＝ 12 

1 (2y－b)(ax＋3a ² )＝ 

12 

1 a(2y－b)(x＋3a) 

【例題三】《先去括號再分組提出公因式》

（1）因式分解  (a－b)x－( x  －ab) ²  （2）因式分解  (3xy－4)－2(x－3y)  解： （1）(a－b)x－( x  －ab)  ＝a²  x－bx－ x  ＋ab＝(a²  x－ x  )－(b²  x－ab) 

＝x(a－x)－b(x－a)＝－x(x－a)－b(x－a)＝－(x－a)(x＋b) 

（2）  (3xy－4)－2(x－3y)＝3xy－4－2x＋6y＝3y(x＋2)－2(x＋2) 

＝(x＋2)(3y－2)

E80301

【練習三】《先去括號再分組提出公因式》

（1）因式分解  2 x  －(a－2b)²  x－ab  （2）因式分解 ab (1－ c ² )－c( a ² － b ² )  解： （1）2 x  －(a－2b)²  x－ab＝2 x  －a²  x＋2bx－ab＝2x(x＋b)－a(x＋b) 

＝(x＋b)(2x－a) 

（2）  ab(1－ c ² )－c( a ² － b ² )＝ab－ab c ² － a ² c＋ b ² c＝a(b－ac)－b c(ac－b) 

＝－a(ac－b)－b c(ac－b)＝－(ac－b)(a＋b c) 

【例題四】《先拆項再分組提出公因式》

因式分解 x ⁴ ＋ x ³ ＋2 x  ＋²  x＋1。

解：  x ⁴ ＋ x ³ ＋2 x  ＋²  x＋1＝( x ⁴ ＋2 x  ＋1)＋( ²  x ³ ＋x)＝( x  ＋1) ^{2  2} ＋x( x  ＋1) ² 

＝( x  ＋1)( ²  x  ＋1＋²  x)＝( x  ＋1)( ²  x  ＋²  x＋1)

【練習四】《先拆項再分組提出公因式》

因式分解  x ⁴ － x ³ －3 x  ＋4²  x－4。

解： x ⁴ － x ³ －3 x  ＋4²  x－4＝( x ⁴ －3 x  －4)－( ²  x ³ －4x)

＝( x  ＋1)( ²  x  －4)－²  x( x  －4)＝( ²  x  －4)( ²  x  －²  x＋1)

＝(x＋2)(x－2)( x  －²  x＋1)

【例題五】《先變號再提出公因式》

（1）因式分解（m－n）（x－y）－  c（n－m）（x－y）

（2）因式分解（a＋b）（x＋y－ z ）－（a－b）（ z －y－x）

（3）因式分解  5b（a－b）－ (b－a) ² 

解：（1） （m－n）（x－y）－  c（n－m）（x－y）

＝（m－n）（x－y）(1＋c)

（2）（a＋b）（x＋y－ z ）－（a－b）（ z －y－x）

＝（a＋b）（x＋y－ z ）＋（a－b）（x＋y－ z ）

＝（x＋y－ z ）(2a)＝2a（x＋y－ z ）

（3）  5b（a－b）－ (b－a) ² ＝5b（a－b）－ (a－b) ² ＝（a－b）（5b－a＋b）

＝－（a－b）（a－6b）

E80301

【練習五】《按係數比例分組》

（1）因式分解 3a ² －6 ax －5ac－8bx＋4ab＋10cx 

（2）因式分解 a ² －4 ax ＋2ab＋3ac－12cx－8bx  解：（1）3a ² －6 ax －5ac－8bx＋4ab＋10cx 

＝(3a ² －6 ax )－(5ac－10cx)＋(4ab－8bx)

＝3 a ( a －2x)－5c(a－2x)＋4b(a－2x)

＝( a －2x)(3 a －5c＋4b)＝( a －2x)(3 a ＋4b－5c) 

（2）a ² －4 ax ＋2ab＋3ac－12cx－8bx 

＝(a ² －4 ax )＋(2ab－8bx)＋(3ac－12cx)

＝ a ( a －4 x )＋2b( a －4 x )＋3c( a －4 x )

＝( a －4 x )( a ＋2b＋3c)

【例題六】

(1) 因式分解( 3x + 1 ) ² + 6 ( 3x + 1 ) + 9 

（2）因式分解( 3x + 1 ) ( x – 2 ) – ( 2x – 1 ) ( x – 2) 

解：（1）( 3x + 1 ) ² + 6 ( 3x + 1 ) + 9＝( 3x + 1＋3 ) ²  ＝( 3x + 4 ) ² 

（2）( 3x + 1 ) ( x – 2 ) – ( 2x – 1 ) ( x – 2)＝( x – 2 )［( 3x + 1 ) – ( 2x – 1 )］

＝( x – 2 )( x + 2 ) 

【練習六】

因式分解下列各式：

(1) 4a ² – 9b ² 

(2) 5 ( 2x – 1 ) ² – 3x ( 2x – 1 ) 

(3) ( x + 1 ) ³ ( x + 2 ) – ( x + 1 ) ( x + 2 ) ³ 

解：（1）4a ² – 9b ²  ＝(2a) ² – (3b) ²  ＝(2a＋3b)(2a－3b) 

(2) 5 ( 2x – 1 ) ² – 3x ( 2x – 1 )＝( 2x – 1 )( 10x – 5－3x)＝( 2x – 1 )( 7x – 5) 

(3) ( x + 1 ) ³ ( x + 2 ) – ( x + 1 ) ( x + 2 ) ³ ＝( x + 1 ) ( x + 2 )［( x + 1 ) ² －( x + 2 ) ² ］

＝－( x + 1 ) ( x + 2 )( 2x + 3 ) 

答案：(1) ( 2a + 3b ) ( 2a – 3b )；(2) ( 2x – 1 ) ( 7x – 5 )；(3) – ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( 2x + 3)