數學模型和決策
楊大緯
一、 前言
數學離我們並不遙遠, 數學要解決的就是我們生活中會碰到的各種問題, 我們可以用數學 去描述實際碰到的問題, 然後從計算中釐清一些事物間的關係, 並做出預測, 雖然模型並不能完 全代表真實的情況, 但是只要這個模型包含了那些最具影響力的主導向, 我們就可以從計算中 去預測和掌握趨勢, 填補了用感覺和經驗來做預測的一些缺點和不足, 至少有數學當基礎的決 策會讓人增添許多信心, 最近常常聽到警察和抗議民眾發生衝突, 讓人開始對兩個族群戰爭的 數學模型感到興趣, 在此嘗試了一些計算來描述和解釋。
二、 內容
dx
dt = x(a − by) dy
dt = −y(c − dx)
這類型的方程, 最早由美國統計學家 Alfred James Lotka 和義大利數學家 Vito Volterra 獨 立發表, 用來描述掠食者與獵物之間數量隨時間變化的關係, 而本文則是用來描述兩個族群生 長和戰爭的模型, 所討論的對象有不同的角色關係。
考慮兩個族群, 假設其族群內的個體數不增加, 而且兩個族群發生戰爭, 造成雙方個體的 數量下降, 我們將使用以下的模型來進行模擬。
dA
dt = −k1AB dB
dt = −k2AB 其中 A, B 代表兩個種族個別的個體數量
A(0) = A0 >0, B(0) = B0 >0, k1, k2 >0
為什麼這個方程式要這麼列呢 ? 先想想看譬如有 10 個種族 A 的個體和 10 個種族 B 的個
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體, 一單位時間內平均相遇 3 次, 只要種族 A 和種族 B 的單一個體相遇, 就算一次, 那麼如 果種族 A 的個體數變成 30 個, 種族 B 的個體數維持不變, 是不是一單位時間內平均相遇次 數就會變成 9 次, 此時如果種族 B 的個體數變成 20 個, 那麼一單位時間內平均相遇次數就會 變成 18 次, 也就是說, 一單位時間內平均相遇次數正比於族群 A 和族群 B 的個體數, 我們不 仿假定一單位時間內平均相遇次數為 kAB, 又假設在一次相遇中族群 A 的個體死亡的機率為 PA, 族群 B 的個體死亡的機率為 PB, 那麼 PAkAB 和 PBkAB 就可以分別代表族群 A 和 族群 B 一單位時間內平均死亡的個體數, 我們令 PAk = k1, PBk = k2, 就可以列出如下的方 程式
dA
dt = −k1AB dB
dt = −k2AB
(1)
接下來我們把 A 和 B 解出來 解:
dA dB = k1
k2
⇒ Z
k2dA = Z
k1dB ⇒ k2A+ C1 = k1B (2) 將 (2) 式帶回 (1) 式中, 得
dA
dt = −A(k2A+ C1) ⇒
Z dA
A(k2A+ C1) = Z
−1dt
⇒
Z k2
k2A − k2
k2A+ C1
dA C1
= −t + C2
⇒ln(k2A) − ln(k2A+ C1) = −C1t+ C1C2
⇒1 + C1
k2A = eC1t−C1C2
⇒A= C1
k2(eC1t−C1C2 −1), 將 A 代回 (2) 式中可得 B(t) = C1eC1t−C1C2
k1(eC1t−C1C2 −1) 由初始條件可得
C1 = k1B0−k2A0, C2 =
lnk2A0
k1B0
(k1B0−k2A0) 其中這個 C1 在這個戰爭中具有特別的意義,
如果 C1 >0 則當 t → ∞, A(t) → 0, B(t) → B0− k2
k1
A0
如果 C1 >0 則當 t → ∞, A(t) → A0− k1
k2
B0, B(t) → 0
可以看出 C1 >0 意味著族群 B 會獲勝而族群 A 將被消滅, 反之若 C1 >0 則族群 A 會獲勝而族群 B 將被消滅, 所以 C1 是一個族群 A 和族群 B 勝負的判別式, 讓我們細細的研究一下 C1 = k1B0−k2A0,
A0 和 B0 分別是族群 A 和族群 B 一開始的個體數量, k1 = PAk, k2 = PBk,
PA 為族群 A 的個體在一次的戰鬥中死亡的機率, 換句話說這是族群 B 個體攻擊力的一個指 標。 PB 為族群 B 的個體在一次的戰鬥中死亡的機率, 這也是族群 A 個體攻擊力的一個指標。
k1 = PAk, k2 = PBk
我們可以看出 k1, k2 亦是族群 B 和族群 A 單一個體的戰鬥力指標, k1B0 和 k2A0 自然就可 以看作是族群 B 與族群 A 的總體戰鬥力, 至此我們知道 C1 = k1B0−k2A0 即是族群 B 和 族群 A 總體戰鬥力的差, 當然 C1 當成是族群 A 和族群 B 戰鬥勝負的判別式也就實至名歸 了。
如果考慮個體數會增生, 把原本的數學模型修改一下。 考慮兩個族群, 假設其族群內的個 體數會增加, 而且兩個族群發生戰爭, 造成雙方個體的數量下降, 我們將使用以下的模型來進行 模擬。
dA
dt = mA − k1AB dB
dt = mB − k2AB
其中 A, B 代表兩個族群個別的個體數量, A(0) = A0 >0, B(0) = B0 >0, k1, k2, m >0, 在不考慮環境負載和戰爭的簡單情況下, 式子中的 mA 和 mB 代表著族群的成長速度與族群 本身的數量呈正比, 如果將式子中的 mA 和 mB 改成 m1A 和 m2B, 其中 m1 和 m2 不相 同, 那麼情況就複雜許多, 不在本文的討論範圍中。
解:
k2
dA dt −k1
dB
dt = m(k2A − k1B) ⇒d((k2A − k1B))
dt = m(k2A − k2B)
⇒(k2A − k1B) = C1emt (3) dA
dt dB
dt
= dA
dB = A(m − k1B) B(m − k2A)⇒
Z m − k2A A dA=
Z m − k1B B dB
⇒mln A − k2A= m ln B − k1B+ C2
⇒mln(A
B) = k2A − k1B + C2 = C1emt+ C2
⇒A= BeC1e
mt+C2
m , 此式與 (3) 式進行聯立可得 A= C1emt+C1e
mt+C2 m
k2eC1emt +Cm 2 −k1
, B = C1emt k2eC1emt +Cm 2 −k1
代入初始值可得 C1 = k2A0−k1B0, C2 = m lnA0
B0
−k2A0+ k1B0
C1 在這個模型中仍舊是一個勝負的判別式, 如果 C1 >0, 則當 t 很大時
A= C1emt+C1e
mt+C2 m
k2eC1emt +Cm 2 −k1
= C1emt eC1e
mt+C2 m
k2eC1emt +Cm 2 −k1
=
A0− k1
k2
B0
emt B ≈0
如果 C1 <0, 則當 t 很大時 A ≈0
B= C1emt k2eC1emt +Cm 2 −k1
≈ C1
−k1
emt=
B0− k2
k1
A0
emt
解釋: C1 = k2A0−k1B0 >0, 指群體 A 的總體戰力大過群體 B, 在經過一段時間的戰鬥後, 群體 A 的個體數大概剩 A0− k1
k2
B0 這麼多, 並以這個數量繼續增生, 而群體 B 幾乎被消滅 掉, 反之 C1 <0, 指群體 B 的總體戰力大過群體 A, 在經過一段時間的戰鬥後, 群體 B 的個 體數大概剩 B0− k2
k1
A0 這麼多, 並以這個數量繼續增生, 而群體 A 幾乎被消滅掉。
結語
數學常常給人一種不食人間煙火的感覺, 其實我們生活中會碰到許多的困難和問題要去解 決或是做決策, 譬如對奕、 經濟、 軍事、 醫學、 民生, 這些都可以從建構數學模型或是進行統計 來幫我們做預測, 彌補經驗和感覺的不足, 譬如說我們都知道消息傳遞快速, 一傳十, 十傳百, 但是實際上到底有多快? 如果我們沒有建立起一個模型進行計算, 我們很難掌握某種我們關心 的量隨時間推移其大小的變化, 而這個量的大或小可能就會決定一個策略的成敗, 就如同前面 提到的群體 A 和群體 B 的戰爭模型一樣, 打贏的大量增生, 打輸的幾乎被消滅, 這是天差地遠 的結果, 一個決策的好壞影響真的很大。
參考資料
1. 王振華 (1996)。《微分方程式》。 台北: 超級科技圖書出版。
2. William E. Boyce and Richard C. Diprima, Elementary differential equation And bound- ary value problems. New York : John Wiley & Sons, 2010.
—本文作者為國立臺灣大學數學研究所碩二學生—
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