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傳染病的數學模型
學習階段： 4 （必修部分 和 單元一）
學習單位： 進階應用 探索研究
目的： (i) 幫助學生聯繫 STEM 教育與現實生活
(ii) 讓學生認識生活中的數學及應用資訊科技解決問題 (iii) 讓學生認識數學是協助規劃的有效工具
先備知識： (i) 必修部分的「指數及對數函數」 和 「等比數列」
(ii) 初中「概率的簡單概念」
(iii) 延伸部分單元一中有關微積分的課題
傳染病的數學模型
背景資料：禽流感、非典型肺炎、伊波拉病毒都是曾於過去二十年發生的疫症，它 們嚴重損害全球人類的生命和財產。
教師可與同學們討論以下兩個簡化版的傳染病數學模型，讓學生初步認識數學如何 應用於日常生活情境。
兩個傳染病數學模型的基本假設：
1. 人口處於一個封閉範圍 2. 人口數目固定
3. 受感染者只會一次經接觸把病傳染給其他人士 4. 不考慮受感染者康復或死亡等情況
模型一：
1. 假設開始時，有一位受感染者
2. 該位受感染者經一次接觸把疾病傳染給另外兩位未受感染的人士 3. 該兩位新受感染者繼續各自把病毒傳給另外兩位未受感染的人士 4. 過程持續，直至所有人均受到感染，如下圖所示。
模型一的建構：
根據以上情境，得出 y2x，當中 x 表示第幾輪的接觸，y 表示該輪接觸後新受感 染者的數目。
數學模型的討論問題：
1. 需要多少輪傳播才能感染課室內的所有人？整間學校又怎樣？
2. 若每一輪接觸有三位新的受感染者，結果怎樣？
3. 假設全港有 780 萬人口，依據這個數學模型，約經多少輪傳播可感染全港市民？
4. 除基本假設的條件外，這個數學模型還有甚麼限制？
教師備註︰ 這是一個模擬疾病散播的最簡單數學模型，但過分簡化，例如這個模型 並沒有考慮受感染者其後的狀況，他們可能經醫治後康復、死亡或繼續傳染其他人。
這個模型也沒有考慮病患者會被隔離和未受感染人士的保護措施等。
模型二的建構：
我們投擲一粒勻稱骰子模擬受感染人數的變動，感染人數並不固定。
我們考慮兩個情況：
(i) 感染人數的期望值大於 1 (ii) 感染人數的期望值小於 1
情境一：
骰子上的數字 新受感染者的數目
1 0
2 0
3 1
3
受感染人數的期望值 = 1 1 1 1 1 1 4 0 0 1 2 2 3 6 6 6 6 6 6 3 受感染人數的期望值大於 1，傳染病爆發。
情境二：
骰子上的數字 新受感染者的數目
1 2
2 1
3 1
4 0
5 0
6 0
受感染人數的期望值 = 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 6 6 6 6 6 6 3 受感染人數的期望值小於 1，傳染病停止散播。
課堂活動：
教師可要求學生分成小組，每組獲得一粒勻稱骰子及30 顆數粒，並進行以下活動 : 1. 選取情境一或情境二。
2. 先把一顆數粒放在桌面代表一位受感染人士，即是傳染病的源頭。
3. 投擲骰子一次。假設擲得數字 4。在情境一，即兩位人士受感染。多把兩顆數粒 放在桌上顯示新受感染的人士的數目。在情境二，沒有新人士受感染，傳染病 停止散播。
4. 繼續為每一位新受感染人士投擲骰子，根據結果把適當數目的數粒放在桌上。
5. 繼續投擲骰子直至沒有新人士受感染或所有數粒已經用完。
6. 記錄傳染病的傳播過程於圖表上。
7. 模擬兩種情境數次，繪畫它們的圖像並作出比較。
數學模型的討論問題：
1. 在每種情境下，傳染病是爆發還是停止散播？
2. 平均來說，傳染病在每個情境下可以傳播多少輪？
3. 這個模型在哪一方面可以幫助我們理解傳染病的傳播過程？
4. 這個數學模型有沒有遺漏一些重要因素？你想到如何改善它嗎？
挑戰題：
現有一群人受到傳染病的威脅。該群人可分為兩類：健康人士和受感染人士。 設 p 為健康人士受感染的概率， r 為每月受感染人士康復的概率。假設最初有 8 位健康人 士， 2 位受感染人士。
數學模型 :
學生可投擲一粒勻稱的六面骰子，模擬該 10 位人士在這 10 個月期間的健康變化。
假設這 10 個月內沒有人病逝，及學生為每一位人士的每月健康變化投擲勻稱骰子。
1. 學生為一位健康人士投擲骰子，若擲得數字 1，2 或 3，則該位人士在該月會 受到感染（即 1
p ）。 2
2. 學生為一位受感染人士投擲骰子，若擲得數字 4 或 5，則該位人士在該月康復
（即 1 r ）。 3
3. 若出現其他結果，他們的現況不變。
建議答案 :
設 x 為人群中受感染的人士的比例，初始值為 0.2。我們可以用以下的表達式模擬 x 的變化率:
1
dx p x rx
dt
1 1
2 1 3
dx x x
dt 3 5
6
dx x
dt
教師備註︰
(i) 學生應能從所給予的條件建立有關 x 變化率的表達式，但課程並不要求學生 解微分方程。教師可向能力較高的學生展示解題技巧。
3 5 6
dx x
dt
6
3 5 dx dt
x
6ln 3 5
5 x t k
，當中 k 為常數
5
6 6
ln 3 5 ln 2 5 x t 5
6 3 5 5ln 2 t x
5
3 5 6
2 x t
e
因此
5
3 2 6
5 5
x e t，而當 t 趨向無限大時，x 趨向3
5。數學模型的圖像如下：
當 p 和 r 的數值改變，答案會產生怎樣的變化?
(ii) 另一個處理這個問題的做法是給學生建議答案
5
3 2 6
5 5
x e t，並要求他們 驗證這答案是否滿足該微分方程。
參考資料：
有關傳染病數學模型的網站
https://motivate.maths.org/content/DiseaseDynamics/
此示例主要涉及以下的共通能力︰
1. 明辨性思考能力
• 比較數學模型與現實情況，分析數學模型的不足之處
2. 解難能力
• 在解決現實生活問題時運用數學知識建構答案
• 應用實物模擬抽象數學情境
