4 微分的應用
4.7 最佳化問題
最佳化問題
在解決實際問題時，最大的挑戰常常是將問題轉化成數學的 模型，其中一類可能的模型便是最佳化問題，也就是如何設 定我們想觀察的變量，再來討論如何最佳化（使其達到最大 值、最小值）。
我們先復習解決問題的幾個原則。
最佳化問題
1. 了解問題：什麼是變數？什麼是應變數？有什 麼條件？
2. 建立關係圖：了解各個變量的關係 3. 利用符號代表各個變數與條件
4. 用符號將變量之間的關係寫下函數、等式
5. 利用之前章節的方法討論我們關心變量的最大
值或最小值。
範例一
一位農夫有 2400 吋長的籬笆，想沿著河岸圍住一塊長方形 區塊的地。請問農夫需要怎麼圍，才可以圍出最大的面積？
解: 我們可以先嘗試幾個不同的情況如下圖
面積 = 220000 平方單位 面積 = 700000 平方單位 面積 = 400000 平方單位
範例一 / 解
令 x, y 分別為矩形距離河岸的深度跟寬度，則可將面積表示 為
A = xy
接著由條件
2x + y = 2400 於是我們可以將面積改寫為 x 的函數
A = x(2400 – 2x) = 2400x – 2x2
cont’d
範例一 / 解
考慮現實條件 x 0, x 1200 ，於是我們的問題便是在這個 區間上求函數的最大值
A(x) = 2400x – 2x2 0 x 1200 微分得到 A(x) = 2400 – 4x ，計算臨界點滿足
2400 – 4x = 0 知 x = 600 。
於是 A 的最大值即發生在 x = 600 或者 [0,1200] 的邊界上。
cont’d
範例一 / 解
帶入數值後得到 A(0) = 0, A(600) = 720000, 以及 A(1200) = 0 ，由於連續函數保證可以在閉區間上有最大值，其發生點 若不在臨界點則在邊界，因此可以看出
A(600) = 720,000 為最大值。
cont’d
在商業、經濟上的最佳化問題
在經濟上的應用
我們定義 C(x) 為成本函數 (cost function) ，表示生產 x 單位產品所需要的成本。而邊際成本 (marginal cost) ，便 是 C(x) 成本對於生產量的變化率。
換句話說邊際成本就是成本函數的導數。
接著考慮市場上的行銷，我們令 p(x) 表示市場上有 x 單位產 品時的銷售單價。
我們另外稱 p 為需求函數 (demand function) 或者價格函數 (price function) 。一般而言市場上產品若越多，則可預期 價格會減低。
在經濟上的應用
此時若市場上這項產品均售出，則可預期收入為：
R(x) = xp(x)
賣出 x 單位的產品，此時價格為 p(x) 。此時我們稱 R(x) 為 收入函數 (revenue function).
收入函數的導數 R 被稱為邊際收入 (marginal revenue function) ，也就是收入對產品銷售總量的變化率。
在經濟上的應用
將收入值減去成本便是獲利 (profit)
P(x) = R(x) – C(x) 此時 P 稱為獲利函數 (profit function) 。
同樣的，邊際獲利 (marginal profit function) 則是 P ，為 獲利函數的導數。
範例六
一家商店在過去一週內售出 200 台藍光 DVD 播放器，其中 一台價格為 350 美元。一項市場調查指出，價格每折 10 美 元，則一週可以增加 20 臺的銷售量。試求此模型的需求與 收入函數，並推論應該做多少折扣可以創造最大的獲利？
解:
我們假設 x 為藍光 DVD 播放器每週的銷售量，則比原先銷 售量增加的數字即為 x – 200 。
因此 x – 200 每增加 20 ，價格則減 $10 。
範例六 / 解
因此每單位的增加銷售量，需要折扣的價格為 ，於 是我們可寫下需求函數：
p(x) = 350 – (x – 200) = 450 – x 此時獲利為
R(x) = xp (x) = 450x – x2
考慮邊際獲利 R(x) = 450 – x ，R(x) = 0 解得 x = 450 。 由一次導數檢驗，可知 x<450 時 R’ 為正， x>450 時 R’ 為 負，於是 R(x) 在 450 有局部極大值。同時，在其他點 R’ 不 再變號，因此在 x = 450 時 R(x) 有最大值。
cont’d
範例六 / 解
此時相對應的價格為
p(450) = 450 – (450) = 225
對應的折扣為 350 – 225 = 125.
因此為了創造最大獲利，應該做 $125 的折扣。
cont’d
